THỂ TÍCH KHỐI đa DIỆN

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Câu Cho lăng trụ ABC ABC  có tất cạnh Gọi M , N P trung điểm AB ; BC  C A Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A Câu 3 16 B 3 C 3 D 3 Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích 2020 Gọi M , N trung điểm AA ; BB điểm P nằm cạnh CC  cho PC  3PC  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P 2020 5353 2525 3535 A B C D 3 3 Câu Cho lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC tam giác cạnh a , góc cạnh bên với mặt phẳng đáy 60 A cách điểm A, B, C Gọi M trung điểm AA ; N  BB thỏa mãn NB  NB P  CC  cho PC  3PC  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P A Câu a3 B 41a 3 240 C 23a 3 144 D 19a 3 240 Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích V Gọi M trung điểm AA ; N thuộc cạnh BB cho NB  NB P thuộc cạnh CC  cho PC  3PC  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P theo V A Câu 101 V 180 B V C 41 V 60 D V Cho lăng trụ ABC AB C  diện tích đáy chiều cao Gọi M , N , P trung điểm AA, BB , CC  G, G  trọng tâm hai đáy ABC , AB C  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm G, G , M , N , P A 10 Câu B C D Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có diện tích đáy chiều cao Gọi M , N P tâm mặt bên AA ' B ' B , BB ' C ' C CC ' A ' A , G , G' trọng tâm hai đáy ABC A ' B ' C ' Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm G , G ', M , N , P bằng: A Câu B C D Cho hình lăng trụ ABC ABC  có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC P, Q thuộc cạnh AC , AB cho AP AQ   Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, A, M , N , P Q AC  AB A 18 Câu B 19 C 27 D 36 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có điểm O G tâm mặt bên ABB ' A ' trọng tâm ABC Biết VABC A ' B 'C '  270 cm Thể tích khối chóp AOGB A 15 cm Câu B 30 cm3 C 45 cm3 D 15 cm Cho lăng trụ ABC ABC  tất cạnh a Gọi M điểm đối xứng A qua BC  Thể tích khối đa diện ABC.MBC  a3 a3 3a 3a B C D 3 Câu 10 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  AA '  a Gọi M , P trung điểm A hai cạnh AC B ' C ' Lấy điểm N cạnh AB thỏa mãn AN  AB Mặt phẳng  MNP  chia lăng trụ cho thành khối đa diện, thể tích V1 khối đa diện chứa đỉnh C là: A V1  3057 a 23520 B V1  2057 a 23520 C V1  4057 a 23520 D V1  5057 a 23520 Câu 11 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  Biết A¢B vng góc đáy Đường thẳng AA tạo với đáy góc 45 Góc hai mặt phẳng  ABBA   ACC A  30 Khoảng cách từ A đến BB CC  Gọi H , K hình chiếu vng góc A BB, CC  H , K  hình chiếu vng góc A BB, CC  Thể tích lăng trụ AHK AH K  A V  200 B V  100 C V  200 D V  100 Câu 12 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có độ dài tất cạnh a Gọi M trung điểm AB N điểm thuộc cạnh AC cho CN  AN Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, M , N , A, B C  A 3a3 12 B 3a 36 C 3a 36 D 3a 12 Câu 13 Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích 30 Gọi O tâm hình bình hành ABBA G trọng tâm tam giác ABC  Thể tích tứ diện COGB A B 15 14 C D 10 Câu 14 Cho lăng trụ ABC ABC  có độ dài tất cạnh Gọi M , N trung điểm hai cạnh AB AC Tính thể tích V khối đa diện AMNABC  A V  48 B V  32 C V  32 D V  48 Câu 15 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh 1cm Gọi M , N , P , Q trung điểm cạnh AB , AD , DC  , C B O , I , J , ,lần lượt tâm hình vng ABCD , AADD , BCC B (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện OINPQMJ cm3 cm3 cm3 A cm B C D 24 24 12 a    Câu 16 Cho lăng trụ ABC A B C có chiều cao đáy tam giác cạnh a Gọi M , N P tâm mặt bên ABBA , ACC A BCC B Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, C , M , N , P 3a 3 3a 3 a3 3a 3 B C D 32 32 24 Câu 17 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D Trên cạnh AA , BB , CC  lấy điểm A AM BN CP  ,  ,  Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh DD Q AA BB CC  Gọi V1 , V2 thể tích khối đa diện MNPQABCD MNPQABC D Khi M , N , P cho V1 V2 31 40 40 A B C D 31 9 31 Câu 18 Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.DEF có chiều cao a diện tích đáy 4a Gọi M , N , P tâm mặt bên ABED , BCFE , ACFD G , H trọng tâm hai đáy ABC , DEF Thể tích khối đa diện có đỉnh điểm G , M , N , P , H a3 a3 a3 a3 B C D 12 Câu 19 Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy hình bình hành Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác AAD , ACD , ACB , ABA Gọi O điểm mặt đáy ABCD Biết thể tích khối chóp O.MNPQ V Tính theo V thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D 27 81 81 27 V V A B V C V D 4 Câu 20 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có chiều cao diện tích đáy Gọi M , N , A P tâm mặt bên ABBA , BCC B CAAC  Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A , B , C , M , N , P D Câu 21 Cho khối lăng trụ đứng ABCD AB C D có đáy hình thoi cạnh a , chiều cao a , · góc BAD  120 Gọi O giao điểm CA AC  Gọi điểm M , N , P, Q, R, S A B đối xứng với O qua mặt phẳng C  ABCD  ,  ABC D  ,  CDDC   ,  ABBA ,  BCC B ,  ADDA Thể tích khối đa diện lồi tạo đỉnh M , N , P, Q, R, S 3a a3 3 3a B C D 3a 2 Câu 22 Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC  có cạnh đáy a , chiều cao 2a Gọi M , N , P trung điểm AA , CC  , BC Mặt phẳng  MNP  chia khối lăng trụ cho A thành hai phần Thể tích phần có chứa đỉnh B 19a 3 3a 3 5a 3 11a 3 B C D 48 48 Câu 23 Cho khối tứ diện ABCD tích V Gọi M , N , P, Q trung điểm A AC , AD, BD, BC Thể tích khối chóp A.MNPQ A V 12 B V C V D V Câu 24 Cho hình chóp S ABCD có diện tích đáy 13, đường cao Đáy ABCD hình thoi tâm O Gọi M , N , P, Q trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA Tính thể tích khối đa diện O.MNPQ A 130 27 B 130 81 C 130 D 130 63 Câu 25 Cho khối lăng trụ ABC ABC  tích V Trên cạnh AA, BB, CC  lấy điểm M N P cho AM  AA, BN  BB, CP  CC  Thể tích khối đa diện ABCMNP 2V 4V V 5V A B C D 9 Câu 26 Cho hình hộp ABCD ABC D tích 2020 Trên cạnh AB lấy điểm M khác A B Gọi  P  mặt phẳng qua M song song với mặt phẳng  ACD  chia khối hộp thành hai phần cắt hình hộp theo thiết diện có diện tích lớn Tính thể tích phần khối hộp chứa cạnh DD A 1010 B 2020 C 505 D 505 Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ( ABC ) tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực BC góc 300 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 C VS ABC  D VS ABC  Câu 28 Cho hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a , có SA  2a vng góc với mặt đáy Gọi M , N trọng tâm tam giác SAB , SCD Tính thể tích khối tứ diện S MNC A VS ABC  a A a 27 B VS ABC  B a 27 C a 13 D a 13 Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SAB nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi M , N , P , Q , R , T trung điểm đoạn thẳng AB , BC , CD , DA , SB SC Thể tích (tính theo a ) khối đa diện MNPQRT bao nhiêu? 5a a3 5a 3 a3 B C D 96 96 96 96 Câu 30 Cho khối chóp tứ giác S ABCD Gọi M điểm đối xứng C qua B, N trung điểm A cạnh SC Mặt phẳng ( MDN ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ số thể tích khối đa diện chứa đỉnh S khối chóp S ABCD A Câu 31 B 12 C 12 D Cho hình chóp S ABC có SC ^ ( ABC ) , SC = 3a Tam giác ABC vuông cân B , AB = a Mặt phẳng ( a ) qua C vng góc với SA, cắt SA, SB D, E Tính tỉ số thể tích khối chóp S CDE khối chóp S ABC A 11 B 20 C 20 D 15 12 uuuuu r uuuu r Câu 32 Cho hình hộp ABCD ABC D tích V , gọi M , N hai điểm thỏa mãn DM  2MD , uuuu r uuur C N  NC , đường thẳng AM cắt đường AD P , đường thẳng BN cắt đường thẳng BC  Q Gọi V  thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm A, B, P, Q, M , N Tính tỉ số V V A B C D Câu 33 Cho hình chóp S ABCD có M , N trung điểm SA, SB Mặt phẳng ( MNCD ) chia hình chóp cho thành hai phần Tỉ số thể tích khối chóp S MNCD khối đa diện MNABCD là: A B C D Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 450 Gọi B¢, D¢ hình chiếu A SB, SD Mặt phẳng ( AB ¢D ¢) cắt SC C ¢ Tính tỉ số thể tích khối chóp S AB ¢C ¢D ¢ S ABCD A B 12 C D Câu 35 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SA, điểm E , F điểm đối xứng A qua B D Mặt phẳng ( MEF ) cắt cạnh SB, SD điểm N , P Tính tỉ số thể tích khối đa diện ABCDMNP S AEF A B C D uuur uuur r Câu 36 Cho khối tứ diện ABCD Gọi M , N điểm thỏa mãn MA  MB  uuur uuur r NC  2ND  Mặt phẳng    chứa đường thẳng MN song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích khối đa diện chứa đỉnh A khối đa diện lại A 11 18 B 18 C 11 D 11 Câu 37 Cho hình lăng trụ ABC ABC  Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm cạnh CC , BC BC  , tỉ số thể tích khối chóp A.MNP với lăng trụ ABC ABC  1 1 A B C D Câu 38 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  Lấy H , G tâm hình chữ nhật BCC B ACC A, I trung điểm CC  Tính tỉ số thể tích tứ diện CHGI tứ diện CBAC  30 15 B C D 8 Câu 40 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH có AB  , AD  , AE  Gọi M trung điểm A FG Tính tỉ số thể tích khối đa diện MBCHE với khối hộp chữ nhật ABCD.EFGH A B C D Câu 41 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' , I trung điểm BB¢ Mặt phẳng ( DIC ¢) chia khối lập phương thành phần Tỉ số thể tích phần bé phần lớn A 19 B 15 C 17 D 10 17 Câu 42 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh Gọi M trung điểm cạnh BB Mặt phẳng  MAD  cắt cạnh BC K Tính tỷ số thể tích khối đa diện ABC DMKCD khối lập phương A 24 B 17 C 24 D 17 24 Câu 43 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D Gọi N trung điểm BC  , P đối xứng với B qua B Khi mặt phẳng  PAC  chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích phần lớn phần bé A B 17 C 25 D 25 14 uuur uuur uuu r uuur Câu 44 Cho khối chóp S.ABC có M  SA, N  SB cho MA  2 MS , NS  2 NB Mặt phẳng  qua hai điểm M , N song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện, tích V1 , V2 với V1  V2 Tỉ số V1 V2 4 B C D  Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA Gọi O điểm mặt A V V 27 D phẳng đáy  ABCD  Biết thể tích khối chóp O.MNPQ V Tính tỉ số 27 27 B C Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi C  trung điểm SC Mặt phẳng  P  qua AC  A vng góc SC cắt SB , SD B , D Gọi V1 , V2 thể tích hai khối chóp S ABC D S ABCD Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 V1 V2 C V1  V2 D V1  V2 Câu 47 Cho tứ diện SABC có G trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB , SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số VS AMN VS ABC 1 B C D Câu 48 Cho tứ diện ABCD , cạnh BC , BD , AC lấy điểm M , N , P cho A BC  3BM , BD  BN , AC  AP Mặt phẳng  MNP  chia khối tứ diện ABCD thành hai phần tích V1 , V2 với V1  V2 Tính tỉ số T  A T  26 13 B T  26 19 V2 V1 C T  26 21 D T  26 15 Câu 49 Cho tứ diện ABCD tích V , M trung điểm AB ; N , P điểm thuộc đoạn AD , DC cho AD  y AN CD  x.PD , với x , y số thực dương Biết thể tích tứ diện BMNP B A V , tích x y 12 C D 12 Câu 50 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a , O tâm đáy Gọi  P  3a 10 Mặt phẳng  P  10 chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích mặt phẳng qua S , song song với BD cách A khoảng V V1 khối đa diện cịn lại tích V2 Biết mặt phẳng  P  cắt đoạn OC I Tỉ số V2 bằng: A B C D · · Câu 51 Cho hình chóp S ABC có ABC vuông cân B , AB  a , SAB  SCB  90 Khoảng cách từ a điểm A đến mặt phẳng  SBC  Thể tích khối chóp S ABC A Câu 52 a3 3a a3 a3 B C D 4 12 Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông A , AB  2a, BC  4a Gọi M   · · · trung điểm BC có SCB  SMA  900 , SB,  ABC   60 Thể tích khối chóp S ABC 39a 39a B 39a C 39a3 D 3 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A , AC  4a , ·ASB  30 Góc A Câu 53 hai mặt phẳng  SAB   ABC  30 Biết I trung điểm SA tâm mặt cầu ngoại 21 tiếp hình chóp S ABC Gọi  góc IB mặt phẳng  SAC  Khi sin   khoảng cách hai đường thẳng AC SB 14 a C 3a D 3a a Câu 54 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB  2a , AC  a , A B · · SBA  SCA  900 , góc SA mặt phẳng  ABC  450 Tính thể tích khối chóp S ABC A Câu 55 a3 Cho B a hình chóp C S ABC có 2a D 2a · · SB  3a, AB  2a , SAB  SCB  900 , · ,  ABC   30 , ·SBC  ,  ABC   60  SB    Thể tích khối chóp S.ABC theo a 0 A Câu 56 16 6a 6a 3a 6a B C D 27 27 3 · · Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a , SBA  SCA  900 , góc đường thẳng SA mặt phẳng  ABC  600 Thể tích khối chóp S ABC A a 3 B a3 C a3 D a3 Cho hình chóp S.ABC có AB  BC  a , ·ABC  120o , cosin góc hai mặt phẳng Câu 57  SAB   SBC  10 Tính thể tích khối chóp S ABC biết hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABC  nằm tia Cx P AB (cùng phía với A nửa mặt phẳng bờ BC ) nhìn cạnh AC góc 60o A a Câu 58 Cho B hình chóp a3 S ABC C có a3 ·ABC  1350 , D AB  a, BC  2a , a3  ·AC,  SAB     · · SAB  SBC  900 , thỏa mãn sin   Thể tích khối chóp S ABC theo a a3 a3 5a A B C 5a D 12 · Câu 59 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cân A , cạnh AB  a , góc BAC  120 Tam giác SAB vuông B , tam giác SAC vng C Góc hai mặt phẳng  SAB   ABC  60 Tính thể tích khối chóp S ABC theo a a3 a3 a3 a3 B C D 12 · · Câu 60 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , AB  2a , SBA  SCA  90 A góc hai mặt phẳng  SAB   SAC  60 Tính thể tích khối chóp S ABC A 4a B a3 C 4a D 4a Kẻ FK  BE mà FK  BC (do BC   ABFE  )  FK   BCHE   d  F ,  BCHE    FK 1 1 5       FK  2 FK FE FB 16 16 BE  BF  EF  22  42  FG //  BCHE   d  M ,  BCHE    d  F ,  BCHE    FK  Diện tích: S BCHE  BC.BE  1.2  1 VM BCHE  d  M ,  BCHE   S BCHE   3 VABCD EFGH  AB AD AE  4.1.2  V Vậy M BCHE   VABCD.EFGH Cách phản biện Kí hiệu V  VABCD.EFGH Ta có VEBF HCG  V 1 1 VMBCHE  VEBF HCG   VE FMB  VH MGC   V  V  V (Tổng diện tích tam giác MBF 2 3 MGC ½ diện tích BFGC ) Vậy VMBCHE VABCD.EFGH  Câu 41 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' , I trung điểm BB¢ Mặt phẳng ( DIC ¢) chia khối lập phương thành phần Tỉ số thể tích phần bé phần lớn A 19 B 15 C 17 D 10 17 Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Oanh ; Fb: Nguyễn Oanh Chọn C Trong  BAA ' B ' kẻ IN / / AB ' , N  AB Þ NA = NB Vì AB '/ / DC ' Þ mặt phẳng ( IDC ') cắt AB N Do mặt phẳng ( DIC ¢) chia hình lập phương thành khối đa diện: khối C ' INDCB tích V1 phần cịn lại tích V2 Giả sử cạnh hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' a 1 Ta có: VC 'DAB 'IN =VC ' ADN +VC '.ANIB ' = CC '.SADN + C ' B '.SANIB ' 3 a a2 a a a2 Mà SADN = a = SIBN = = 2 2 a2 3a2 5a3 Þ SANIB ' = a2 = Þ VC 'DAB 'IN = 8 24 5a3 7a3 Þ V1 = a3 = 24 24 Phần cịn lại tích V2 = a - 7a3 17a3 V1 = Þ = 24 24 V2 17 Các cách giải khác: Cách 1: Giả sử hình lập phương có cạnh a ta có VABCD A¢B¢C ¢D¢ = a 1 1 S DCC ¢ = a , S BIN = a = a 2 2 æ a2 a2 a2 7a3 ỗ ữ + + ữ VBIN CC ¢D = BC S BIN + S BIN SCC ÂD + SCC ÂD = a ỗ = ữ ữ 24 ỗ 2ứ ố8 ( ) 7a 17a Thể tích phần cịn lại a Tỉ số cần tính = 17 24 24 Cách 2: Gọi E giao điểm CB DN , ta có 1 1 VE DCC ¢ = VABB¢.DCC ¢ = VABCD A¢B¢C ¢D¢ = V 3 1 1 VE BNI = V Suy VBNI CDC ¢ = V V= V 24 24 Thể tích phần cịn lại V - 7 17 V = V Tỉ số cần tính 24 24 17 Câu 42 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh Gọi M trung điểm cạnh BB Mặt phẳng  MAD  cắt cạnh BC K Tính tỷ số thể tích khối đa diện ABC DMKCD khối lập phương A 24 B 17 C 24 D 17 24 Lời giải Tác giả: Lê Thị Như Quỳnh; Fb: Lê Thị Như Quỳnh Chọn D Gọi K trung điểm BC MK / / BC Mà BC / / AD  MK / / AD  K   MAD  VABCD A' B 'C ' D'  13   1  A ' A  MB  AB   Ta có   3 S A ' MBA   2 1 Nên VD A ' ABM  S A ' MBA AD   3 4 VB.MKD BM BK 1    Dễ thấy VB.CB'D BB ' BC 2 Suy ra: 1 1 1 1 1 VB.MKD  VB CB'D  S DBC BB '  DC.BC.BB '  1.1.1  4 4 24 VA ' B 'C ' D '.MKCD VABCD A' B'C ' D'  VD A ' ABM  VB.MKD    Vậy 24  17  VABCD A' B'C ' D' VABCD A' B'C 'D' 24 Câu 43 Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D Gọi N trung điểm BC  , P đối xứng với B qua B Khi mặt phẳng  PAC  chia khối hộp thành hai phần Tính tỉ số thể tích phần lớn phần bé A B 17 C 25 D 25 14 Lời giải Chọn B Người làm: Ngọc Duy, FB: Nguyễn Ngọc Duy Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng  ACM  chia khối hộp chữ nhật thành hai phần hình vẽ Gọi thể tích khối hộp chữ nhật ban đầu V , phần chứa điểm B tích V1 phần cịn lại tích V2 Ta có PB  PN PM MB      PB PC PA AB 1 1 Thể tích khối chóp P ACB VP ACB  PB.S ABC  2.BB AB.BC  V 3 Ta lại có VP MNB PB PN PM   VP ACB PB PC PA 7  1 Do V1  VP ACB  VP MNB    .VP ACB  VP ACB  VABCD ABC   V 8 24  8 V1 V   Vậy V2 V  V1 7V   24  V  V  24    17 uuur uuur uuu r uuur Câu 44 Cho khối chóp S.ABC có M  SA, N  SB cho MA  2 MS , NS  2 NB Mặt phẳng  qua hai điểm M , N song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện, tích V1 , V2 với V1  V2 Tỉ số A B V1 V2 C D Lời giải Người làm: Lưu Thị Minh; Fb: Lưu Thị Minh Phản biện Thanh Vũ; Fb: Thanh Vũ Phản biện Nguyễn Tuấn Anh; Fb:Anh Tuấn Nguyễn Chọn D Ta có mặt phẳng    cắt mặt phẳng  SAC  theo giao tuyến MQ P SC (Q  AC ) cắt mặt phẳng  SBC  theo giao tuyến NP P SC ( P  BC ) Thiết diện tạo mặt phẳng    với hình chóp hình thang MNPQ Gọi V  VS ABC S  S ABC QC PC 2  ,  nên SPQC  S AC BC 3 Suy ra: SABPQ  S  SPQC  S Ta có: 1 7 VN ABPQ  d  N ,  ABC   S ABPQ  d  S ,  ABC   S  V 3 27 Mặt khác: MA QA  ,  nên SAMQ  SASC SA CA 1 VN AMQ  d  N ,  SAC   S AMQ  d  B,  SAC   S ASC  V 3 27 Vậy VMNABPQ  VN ABPQ  VN AMQ  V  VSMNPQC  V 9 Suy VSMNPQC VMNABPQ  Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành tích V  Gọi M , N , P , Q trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA Gọi O điểm mặt V V 27 D phẳng đáy  ABCD  Biết thể tích khối chóp O.MNPQ V Tính tỉ số A 27 B 27 C Lời giải Người làm: Vũ Thị Thành; Fb: Thanh Vu Phản biện1: Nguyễn Thị Lan; Fb: Nguyen Lan Phản biện2: Nguyễn Tuấn Anh; Fb: Anh Tuấn Nguyễn Chọn A Gọi E , F , G , K trung điểm AB, BC , CD, DA Vì M , N trọng tâm tam giác SAB, SBC nên  1 Chứng minh tương tự ta có SM SN   Suy MN P FE SE SF PQ P KG   Vì E , F trung điểm AB, BC nên FE P AC  3 Chứng minh tương tự ta có KG P AC   Từ  1 ,   ,  3 ,   suy MN P PQ Suy điểm M , N , P , Q đồng phẳng có  MNPQ  //  ABCD  ; Ta SM   d  S ,  MNPQ    2.d   MNPQ  ,  ABCD   ME  2.d  O,  MNPQ    VS.MNPQ  2VO.MNPQ  2V + VS MNQ VS EFK  SM SN SQ 2 8        VS MNQ  VS EFK SE SF SK 3 27 27 + VS.NPQ VS.FGK  SN SP SQ 2 8    VS NPQ  VS FGK SF SG SK 3 27 27  VS.MNQ  VS.NPQ  8 VS.EFK  VS.FGK  VS.MNPQ  VS.EFGK 27 27 27 27 27 VS.MNPQ  V (1) · BE.BF sin EBF SEBF 1    S EBF  S ABC  S ABCD Ta có S ABC BA.BC.sin ·ABC 4 Chứng minh tương tự ta có SFCG  SGDK  SKAE  SABCD  VS.EFGK  SEFGK  SABCD   SEBF  SFCG  SGDK  SKAE   SABCD  4SEBF  SABCD VS.EFGK 3.d S, EFGK   SEFGK    VS.ABCD  2.VS.EFGK (2) Suy VS ABCD 1.d S, ABCD S    ABCD  27 V  27  Từ (1) (2) suy VS ABCD  V hay V 2 CƠNG THỨC TÍNH NHANH: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành SA SB  x,  y, Mặt phẳng cắt cạnh SA , SB , SC , SD M , N , P , Q cho SM SN Khi SD SC t  z, SQ SP Khi đó: VS MNPQ VS ABCD  x y  z t xyzt Áp dụng vào toán ta được:  VS MNPQ VS EFGK  V  S MNPQ  27 VS ABCD 27 VS.MNPQ  2VO.MNPQ  VO.MNPQ VS ABCD  V  27   27 V Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD Gọi C  trung điểm SC Mặt phẳng  P  qua AC  vng góc SC cắt SB , SD B , D Gọi V1 , V2 thể tích hai khối chóp S ABC D S ABCD Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 V1 V2 C V1  V2 D V1  V2 Lời giải Người làm: Nguyễn Thị Lan; Fb: Nguyen Lan Phản biện 1: Nguyễn Bá Long; Fb: Nguyễn Bá Long Phản biện 2: Nguyễn Tuấn Anh; Fb:Anh Tuấn Nguyễn Chọn D Do S ABCD hình chóp tứ giác nên hình chiếu S lên mặt phẳng  ABCD  trùng với tâm H hình vng ABCD Vì C  trung điểm SC H trung điểm AC nên I  AC   SH trọng tâm SAC  SI  SH Ta có: BD  AC , BD  SH  BD   SAC   BD  SC mà BD   P  ;  P   SC  BD //  P  Vì BD   SBD  ;  SBD    P   BD BD //  P  suy BD // BD Mặt khác:  P    SBD   BD , Do đó: I  AC    P  , I  SH   SBD   I  BD SB SD SI    SB SD SH Ta có: V1 VS ABC D VS ABC   VS AC D VS ABC VS AC D SA SB SC  SA SC  SD             V2 VS ABCD VS ABCD 2VS ABC 2VS ACD SA SB SC SA SC SD 1  1       2 3 Vậy V1  V2 CÔNG THỨC TÍNH NHANH: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng cắt cạnh SA , SB , SC , SD M , N , P , Q cho SA SB  x,  y, SM SN SD SC t  z, SQ SP Ta có: VS MNPQ VS ABCD  x y  zt xyzt SA SD SC SB 3 V1 VS ABC D SA  SD '  SC '  SB '        Áp dụng vào tốn ta có SA SD SC SB 3 V2 VS ABCD     2   SA SD ' SC ' SB ' 2 Câu 47 Cho tứ diện SABC có G trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB , SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số A B VS AMN VS ABC C D Lời giải Người làm: Nguyễn Bá Long; Fb: Nguyễn Bá Long Phản biện 1:Nguyễn Tuấn Anh; Fb: Anh Tuấn Nguyễn Phản biện 2: Vũ Thị Thành; FB: Thanh Vũ Chọn A Gọi E , F trung điểm BC , SA trung điểm G EF trọng tâm tứ diện SABC Điểm I giao điểm AG SE Qua I dựng đường thẳng cắt cạnh SB , SC M , N Suy  AMN  mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu toán Dựng GK //SE ,  K  SA  suy K trung điểm FS  KG AK KG SI   Mà    SI AS SE SE Cách 1: Dựng BP //MN , CQ //MN ,  P, Q  SE  Ta có: SM SI SN SI   ; SB SP SC SQ Ta có: BP //QC , E  PQ  BC EB  EC  BEP  CEQ  E trung điểm PQ  SP  SQ  2SE (đúng trường hợp P  Q  E ) VS AMN SI SI SA SM SN   Ta có: VS ABC SP SQ SA SB SC AM GM SI   SP  SQ  2  SI   SI   SE  SE  Dấu "  " xảy SP  SQ  SE Hay P  Q  E  MN //BC Vậy tỉ số nhỏ Cách 2: SB SC y  x;  , với x  , y  SM SN r uuu r r uur uur uur uuu uuur x uuur y uuu Ta có: SI  SE  SB  SC  x.SM  y.SN  SM  SN 3 3 Đặt   Do I , M , N thẳng hàng nên   x y  1  x  y  3 VS AMN SA SM SN   Ta có: VS ABC SA SB SC xy AM GM   x  y  4 Dấu "  " xảy x  y   MN //BC Vậy tỉ số nhỏ Câu 48 Cho tứ diện ABCD , cạnh BC , BD , AC lấy điểm M , N , P cho BC  3BM , BD  BN , AC  AP Mặt phẳng  MNP  chia khối tứ diện ABCD thành hai phần tích V1 , V2 với V1  V2 Tính tỉ số T  A T  26 13 B T  26 19 V2 V1 C T  26 21 D T  26 15 Lời giải Người làm:Nguyễn Tuấn Anh; Fb:Anh Tuấn Nguyễn Phản biện 1:Dũng Phương Giang;Pb:Dũng Phương Giang Phản biện 2: Thanh Vũ; Fb: Thanh Vũ Chọn B Gọi VABCD  V , I  MN  CD , Q  IP  AD suy Q  AD   MNP  Thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng  MNP  tứ giác MNQP NB MC PC AP BN   ; BC  3BM   AC  AP  1 ;  ND MB PA AC Áp dụng định lí Menelaus tam giác BCD ACD ta có: NB ID MC ID ID   .2    ND IC MB IC IC ID PC QA QA QA AQ   1  4   Và IC PA QD QD QD AD Áp dụng tốn tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác ta có: VANCD ND 1    VANCD  V VCBNA  V VABCD BD 3 VANPQ AN AP AQ 2 2     VANPQ  VANCD  V Suy VN PQDC  V  V VANCD AN AC AD 5 15 15 Có BD   V VCMNP CM CN CP 1     VCMNP  VCBNA  V VCBNA CB CN CA 3 19 Suy thể tích phần thứ là: V1  VN PQDC  VCMNP  V  V  V 45 26 Do thể tích phần cịn lại là: V2  V  V1  V 45 V2 26  Vậy T  V1 19 Câu 49 Cho tứ diện ABCD tích V , M trung điểm AB ; N , P điểm thuộc đoạn AD , DC cho AD  y AN CD  x.PD , với x , y số thực dương Biết thể tích tứ diện BMNP A B V , tích x y 12 C D 12 Lời giải Người làm: Trần Giang; Fb: Dũng Phương Giang Phản biện 1:Trần Lê Cường; Phản biện 2: Lưu Thị Minh Chọn B Ta có: điểm P thuộc đoạn CD thỏa mãn CD  x.PD nên d  P,  BMN    d  P,  ABD    PD d  C ,  ABD    d  C ,  ABD   CD x Và SABD  y.SABN  y.SBMN  S BMN  S ABD 2y 1 1 Khi đó: VPBMN  d  P,  BMN   S BMN  d  C ,  ABD   S ABD x 2y 1  d  C ,  ABD   SABD  V xy xy Vậy để thể tích tứ diện VBMNP  V xy  12 Câu 50 Cho khối chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a , O tâm đáy Gọi  P  3a 10 Mặt phẳng  P  10 chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích mặt phẳng qua S , song song với BD cách A khoảng V V1 khối đa diện lại tích V2 Biết mặt phẳng  P  cắt đoạn OC I Tỉ số V2 bằng: A Chọn C B C D Lời giải Người làm: Trần Lê Cường; Fb: Thầy Trần Lê Cường Phản biện: Lưu Thị Minh Ta có SO   ABCD   SO  BD Đáy ABCD hình vuông  AC  BD , từ suy BD   SAC    P    SAC  Mà  P  // BD Mặt khác  P   AC  I , suy   P    SAC   SI Gọi H hình chiếu vng góc A SI  AH   P   AH  d  A ,  P    3a 10 10 Ta có AO  AC a a (áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông SOA )   SO  2   a a  x a 2 Đặt AI  x ,  AO  AI  AC   OI  x   2    SI  a  x  ax (áp dụng Pi-ta-go cho tam giác vuông SOI ) · Dễ thấy tam giác vng SOI AHI đồng dạng (chung góc OIH ) AH AI AH SI x    AI  SO SI SO 3a 10 a  x  ax 10  x  9a x  9a  a 2  3a x  3a a  (do x  x  a )  3a x   3a a Dễ thấy CI   CI  AC  AI  CO 4 Từ I kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC , CD M N  AI   CM CN MN CI 1      CMN đồng dạng với CBD theo tỉ số CB CD BD CO 2 1 S ABCD S 1  S ABCD Vậy CMN      SCMN  SCBD  SCBD   4 3 8 Khi V2  VS CMN  SO.SCMN  SO S ABCD  VS ABCD Suy V1  VS ABCD  V2  VS ABCD Vậy V1  V2 HẾT - ...    chứa đường thẳng MN song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện Tính tỉ số thể tích khối đa diện chứa đỉnh A khối đa diện lại A 11 18 B 18 C 11 D 11 Câu 37 Cho hình... Mặt phẳng  P  10 chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, khối đa diện chứa đỉnh A tích mặt phẳng qua S , song song với BD cách A khoảng V V1 khối đa diện cịn lại tích V2 Biết mặt phẳng... C qua B, N trung điểm A cạnh SC Mặt phẳng ( MDN ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Tỉ số thể tích khối đa diện chứa đỉnh S khối chóp S ABCD A Câu 31 B 12 C 12 D Cho hình chóp