DẠNG 7 CHỨNG MINH

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG SO SÁNH BIỂU THỨC RÚT GỌN VỚI MỘT SỐ THỰC I PHƯƠNG PHÁP + Tìm điều kiện xác định cần + Rút gọn biểu thức + Thực Phép trừ M  a - Nếu M  a   M  a - Nếu M  a   M  a - M  a  M  a (Hoặc dùng phương pháp Min, Max) + Kết luận II VÍ DỤ x  x 1 x 1 x 3 B   x 1 x 2 x 3 x  x 6 Ví dụ 1) Tính giá trị biểu thức A x  25 A B ( với x  ; x  ; x  ) x 1 x 3 2) Chứng minh biểu thức 3) Cho B  so sánh A với Lời giải: 1) ĐKXĐ: x  ; x  ; x  Thay x  25 (thỏa ĐKXĐ ) vào biểu thức A ta được: 25  25  25   21 A   25  1 21 A x  25 Vậy 2) Ta có: x 1 x 3   x 2 x  x  x  ( với x  ; x  ; x  ) x 1 x 3   x 2 x 3 x 2 x 3 B B    B B  x  2  x  1  x 1       x  2  x  3  x    x  3  x  3   x    x   x    x  3 x 3 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x 3 x 2  x 3  PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI B  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x 3 x  x 3 x 49 x 3    x  2  x 2  x 2  x  3  x 3 x 1    x 3 x  x 2  3) ĐKXĐ: x  ; x  ; x   x 1 0 x 3 Theo ta có: B   x   với x thuộc tập xác định (vì Xét hiệu: A      Vì  x  2 x 2 0  x 1 x  (đpcm)   x 3  x 3 0)  x  x   x 1 x  x 1 3  x 1 x 1 x  x 1 x  x  x   x 1 x 1 với x thỏa mãn điều kiện xác định   x 2  x 1 x   (chứng minh trên) 0 x 1 với x thuộc tập xác định  A    A  Vậy A  B    ( a  1)2 10  a B    a a a  a a   a   Ví dụ Cho biểu thức (với a  0; a  ) a) Rút gọn biểu thức B b) Đặt C  B.(a  a  1) So sánh C Lời giải: a) Với a  0; a  , ta có:  10  a  ( a  1)2 B     a  (a  1)( a  1)  a  B a (a  1)( a  1) a ( a  1)2 a  a Vậy b) Với a  0; a  , ta có: C 1  a a  a 1  ( a  1)2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN a  Vậy C  PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ Cho biểu thức: x2 x 1 A  B x x  x  x  x  với x  ; x  1) Tính giá trị B x  49 2) Rút gọn biểu thức S  A  B 3) So sánh S với Lời giải 1) Khi x  49 thỏa mãn ĐKXĐ nên thay vào B ta có 1   49   B 2) S AB  S x2 x 1   x x 1 x  x  x  với x  ; x  x2 x 1  x  x 1 x 1   x    x  1  x  1   x  S  x  1  x  x  1 S S   x 1 x  x  x   x 1  x  x 1    x 1 x  x 1   x  1   x  1  x  x  1 x  x x  x  x 1   x 1 x  x 1 x x 1 3) So sánh S với x x  x  x 1   S x  x 1 3 x  x 1 3= Ta có   Nên S x  x    x  x 1      x 1  x  x 1 0 với x  ; x  1 III BÀI TẬP VẬN DỤNG TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Câu Cho hai biểu thức: x A x 1  x2  x   x  1 x  x3 B x  Với x  , x  a) Tính giá trị B x  b) Rút gọi biểu thức A c) Cho S  A.B , chứng minh rằng: S Lời giải a) Thay x  (thỏa mãn điều kiện) vào x A x 1 b)  x    x2   x   x  1 x x2  Xét ⇒ x 1 x2 x3  x 1  x  2  x 1 23  1  S  x  1  x 1 x 1 x2 x3  x2 x3 S    x2    x3 3  x2  x2    x x2  0 S Ngoài ra: x2 2 Cách 2: x  x2 Dấu xảy Vậy 1  x 1     x  2  x  1  c) 3 x   x 1  x x 1 S  A.B  B MinS =  1  1  1  2 x2 x2   x x  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI A GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x x 1 x4 Câu Cho x 1 B  x2 x8 x  x với x  0, x  4, x  16 a) Tính giá trị A x  25 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho S  A.B So sánh S với Lời giải a) Tính giá trị A x  25 Thay x  25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta có A 25  25   31 25  Vậy A  31 x  25 b) Rút gọn biểu thức B x 1 B x2 x B B  x 8  x  x với x  0, x  4, x  16 x2   x 1 x4 x   x8 x x2 x2    x2    x x  x  x2  x2 x c) Cho S  A.B So sánh S với S  A.B  x x 1 x4 Ta có S  x x 1 Xét x 2 x4 x  x x 1 x x x 1 x Ta có:   1 x  x    x     x0  2    x0  x x 1 x   S   S  Vậy S  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x x x 1 B   x x 1 x  x  1 x Câu Cho hai biểu thức a) Tính giá trị biểu thức A x  A  x  0;x  1 x 1 B x x 1 b) Chứng minh B P A Chứng minh  P  c) Cho Lời giải a) Ta thấy x  (thỏa mãn điều kiện x  , x  ) 1 1   2 A Với x  ta có b) Với x  , x  ta có : B       x x   x x 1 x  x  1 x x   x 1 x  x   x x  x 1  x   x  x  x  x 1    x 1 x  x 1  x 1  x 1 x  1 1 x  x  1    x  1  x  1  x  x  1  x  1  x  x  1 x 1 x   x x     x  x 1   x 1 x  x 1  x 1 x  x 1  x 1 x  x 1 c) Với x  , x  ta có : P x 1 x x 1 : x 1  x  x 1 Với x   x  x     x x 1 0 P0 2  x  x   x  x  x   P2 Với Từ     suy  P  với x  , x  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN  1  2 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  x 2 x 2 x 2 4x   B x 2 x  x  x  với x  , x  Câu Cho hai biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức B x  2) Rút gọn biểu thức P  A : B 3) So sánh P P A Lời giải 1) Với x  thỏa mãn điều kiện xác định, thay vào biểu thức B ta có: B  92 2     2  20  20 32 2) Với x  , x  P  A:B   x 2 x 2 4x  x     : x 2 x4 x 2  x 2          x 2 x 2   x 2 x4 x 4 x 2 P 1       x 2 x 2   x 2   x4 x 4  x 2   x 2   4x x 2   4x x 2     x 2  x x 2  x 2 : x 2 x 2     x 2 : x 2 x 2     x  2  x  x   x  x   4x  x    : x 2 x  x      x  2 x  x  2 4x  x  :  x  x  x  x  x        4 3) Ta có     x 2  x x  x 2 2 1   x 2 x 2 x 2 Với x  , x  x   x    mà 2  Suy P 1  2   P 1 x 2 mà P  với x  , x   P  P  1   P  P   P  P  P  P Vậy với x  , x  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN P P PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   x   x P  1  Q  x 1 :   x 1 x 1   x 1  x  với x  , x      Câu Cho 1) Rút gọn P 2) Tìm x để P 3) Cho M  P.Q So sánh M M Lời Giải   x   x P  1  :   x 1 x 1   x 1      với x  , x  1)  P    P P   P x 1   x 1  x 1  2) Ta có   :   x 1  x 1   x x 1  :      x 1  x  x 1      x  x 1 x 1 x 1 x 1  x 1 x 1 x 1 Vậy P   x 1 x 1  x 1 x 1 x 1 x  x  0,x  1 x 1      4  2 x 1  x 1  x  (loại) Vậy khơng có x thỏa mãn để P x 1 x   x   x 1 x  0,x  1 c) Ta có: M  P.Q  M x 1 x 1 Điều kiện để  x 1 x 1 M M có nghĩa x 1 x 1 x 1   x   x  * Kết hợp với điều kiện x  , x  suy x    TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Xét GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x 1  x 1  x 1 x 1 x 1   1   x   x  x  x 1  M  M  M. M  1  M M  2 x 1 x 1   x2 x 1  x 1  x2  x 1   2 x     x20 M M 0   x 1   M2  M  M  M Vì x  nên    Vậy M  M  1  a 1 A   B  a   a a   a a Câu Với a  0, a  , cho hai biểu thức: a) Tính giá trị biểu thức B với a  A B P b) Rút gọn biểu thức c) Chứng minh P  Lời giải a) Tính giá trị biểu thức B với a  B Với a  ta có Vậy B  b) Rút gọn biểu thức P 1  1 1 1  2.3   A B Ta có A  B a a a  1   a 1 a 1  a 1 a a  a     a a   a 1  a 1  a   a 1 a 1  a 1 a 1  a 1 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Do A a1  : B a a 1  a1    a 1  a  a 1  a 1 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   a 1 a 1  a1 a c) Chứng minh P  Với a  0, a  , theo cau b) ta có a   Với a  1 a a 1 P a P 1   nên a   P    P  Vậy P  với a  0, a  x x 4    x với x  0; x  x 1 x 1 P Câu Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Tìm giá x để P  1 c) So sánh P với Lời giải P a) x   x 1 x 1 P b) P  1 x 4   x 1  x 1 x  x 3 x 36 x    x 1  x 1 P x 1 x 1  x 1  1  x    x 1  x         x  1  x  1 x 1  x  x 1   x 1 x 1  x     x 1   x 1  x 1   x 1  x 1  x 1   x 1  x   x   x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy với x  P  1 c) Ta có x   x  x   với x  0; x  x 1 1 x 1 x 2 x 6 x 3  B       x  x2 x x  x (với x  0, x  ) Câu Cho hai biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức A x  A 2) Rút gọn biểu thức B TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 3) So sánh P  A.B với P Lời giải x  ta có 1) Khi x 2 2 3    x 9   12 A 2) Với x  0, x  , ta có x 6 x 3   x2 x x  x ID1-10  B  x 6 = =  x  x 2 x 6 x 3  x x 2    x 3 x    x 2  x x 2  x 6 x 5 x 6 x x  x x  x  x 2 x 2   x 1 x 2  Vậy x 1 x  với x  0, x  B 3) Ta có P  A.B  P xác định x  x 1 x 1  x 9 x 2 x  với x  0, x  P0 x 1   x 1   x  x 9 Kết hợp với điều kiện  x  1; x  Xét hiệu: Vì: Mà:  1 P 1 P P   1 P  1 P  1 Suy Vậy  P  P  P  P  P x 1  x 9 x   x 1  x 9 10  x  1; x  x 9 P P0 P P P  P với x  1; x  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 11 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x  x 1 x 1 x  B  x  x  x x Câu Cho hai biểu thức a) Tính giá trị A x  25 b) Rút gọn biểu thức B A  x  0; x  4; x  16  c) Cho P  A.B So sánh P với Lời giải a) Tính giá trị A x  25 +) Ta thay x  25 (tmđk x  0; x  4; x  16 ) vào biểu thức A ta có: A 25  25  25   31    31 54 25  Vậy x  25 A  31 b) Rút gọn biểu thức B +) Ta có:   x 1 85 x   x 1 x x 2 x 1  x    x 1 x2 x   x 1 x   x 1 x  x B x  x 85 x    x x   x 2     x 2 4 x x 2 x    x 2 x 4 x 2     x 6 x 8 x x 2   x 2      x 1 x  x 85 x x 2  x 2 x 4 x 8 x  x 2   x 4 x x 4 x B Vậy c) Cho P  A.B So sánh P với +) Ta có P  A.B   x 1 x  x 1 x  x  x 1 x x      x 4 x x x x x x TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 12 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG +) Với x  0; x  4; x  16 , ta áp dụng bất đẳng thức Coossi cho hai số dương x x ta có:  x x 1  x 2 x x 1  x Hay P  Dấu "  " xảy Vậy P  x  x  (tmđk) x Câu 10 Cho hai biểu thức: x 1 M P x x 2 28 x   x 1 x 1  x với x  0; x  1; x  a) Tính giá trị M x  b) Chứng minh c) Đặt P Q  M.P  x 6 x 1 x 5 x Hãy so sánh Q với Lời giải a) Thay x  ( thỏa mãn điều kiện) vào M ta được: 1 1 2   M 3 Vậy x  M b) Ta có: P  x 2  x 1  28 x  x 1  x 1  x 3 x 228 x 2 x 2   x 1  x 1  x 1   x 2   x 1   x     x  1  x  1  x7 x 6  x 1   x 1 x 1  x  1  x 1    x  1 x 6 x 6 x 1 ID1- 10 ( điều phải chứng minh) Vậy P x 6 x 1 c) Ta có: Q  M.P  x 5  x x 1 x  x  x  x  x  x 1     x x 1 x x x x TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 13 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Q3  Xét x  x 1 x  x 1 3  x x   x 1 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x 0 với x  0; x  Do Q  Câu 11 Cho hai biểu thức x 1 x 3 B   x 9 x  x  3  x với x  ; x  A a) Tính giá trị biểu thức A với b) Rút gọn biểu thức B c) Cho P  B : A Tìm x để P x Lời giải x (thoả mãn điều kiện) a) Vậy b) Ta có:    A 3 A x x 3  x 3  x 3 x 3  x 3  x 3   x 3 x 3  x 3    x 3 x 3 x 3 x 6  x 3 x    x 3   x 3    x 3   x 3 x3 x x 3   x 3 x 3   x 3   x x 3  x x 1 :  x 3 x 3 5 x   x 1 c) Ta có: P  B : A    x x  với x  ; x  B P  x 3 x 3 Vậy Để 1 3  3 x 3   x 9 x  3  x với x  ; x  B  1  3 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x x 3 x  x  x 1 x 1 x x 5 x 5 3 x   0  0  0 x 1 x 1 x 1 14 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI  3 x   Vì  x GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 5 5 P 0 x  , x  ; x  mà khơng có x thỏa mãn 3 x  x 2 x 2 B   x  x 5 x 6 x   x với x  0, x  4, x  Câu 12 Cho a) Tính giá trị biểu thức A x  16 A 3 x  B    x 2 b) Chứng minh c) Với x  9,  đặt A B , so sánh P P Lời giải a) Thay x  16 (tmđk) vào b) B    c) 3 x  3.4    11 43 x 3 x 2 x 2   x 5 x 6 x 2 3 x  P A   x  2  x  2 x 3 x 2 x 3   x 2  x   x   3x  x  x   x 2  x 3  x   x   3x  x  x   x 2  x 3   3 x  1  x  3  x    x  3  x    x  3 3x  10 x    3 x  x 2 A 3 x  3 x  x  2    :  B x 3 x 2 x 1 Xét P 1  Với x  x  2   1  x 1 1 x 1 x 1  ⇔ P 1  ⇔ P  Câu 13 Cho hai biểu thức A 4 x 3 B  x4 x  (với x  ; x  ) x  a) Tính giá trị A x  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 15 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG b) Rút gọn biểu thức B c) So sánh P A B với x  Lời giải a) Với x  (thỏa mãn)  x  Thay x  A x  vào A ta x 3 33   x 4 94 Vậy với x  A 4  B  x 4 x 2 b)   P c) Ta có: 4 x 2  x 2 4     x 2 Xét hiệu x 2 x 2 x 2 A x 3  :  B x4 x 2  x 2   x 2  x 2    x 3 x 3 1  x 2 P 1   x 2  x 2 x 2     x 2  x 3 x 2  x 2  x 3 x 2   x 2 x 2 x 2 x 2 Ta có: x   x   x   ID1-10  0 x 2  P 1   P  Vậy P  Câu 14 Cho hai biểu thức: A x2 x2  x2 x2    x2 4x B x  x  với x  ; x  a) Tính giá trị B x  A b) Chứng minh rằng: c) Cho P x x2 A B So sánh P P Lời giải a) Thay x  (thỏa mãn điều kiện xác định) vào biểu thức B ta được: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 16 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI B  A x2 b)   x2 x   x  4x   x A Vậy  x2 4x   x  x   x2 x   x2     2  4.5  20 3  x  2  x2   x  2  x2  x  2  x2   4x x  2 x  x2  x  x   x  x   4x 4x  x x 4 x 2 x  92 2 Vậy B  20 x  x2 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   x2   x x2 x x2   x2  x x2  A x : P x2 x2 x2 x2 B   x x2 c) Với x  ; x  P  Xét  x  x x  2   1     x   x   x 2 x2  P2  P  P  P  1  x x  ; x  Vì  P2  P  x2 2 0 , x2 0 x  2    x2 x2  P2  P  P  P M Câu 15 Cho biểu thức x 1 x P a) Tính giá trị M x  P b) Chứng minh Q  M.P  c) Đặt x2 x 1  28 x  x 1  x với x  0; x  1;x  x6 x 1 x x Hãy so sánh Q với Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 17 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) Thay x  ( thỏa mãn điều kiện) vào M ta được: M 1  1 2  M 3 Vậy x  b) Ta có: P  x2  x 1  28 x  x 1  x 1  x 1 x x    x  x     x 1  x 1   x2   x 1   x    x 1     x  1  x  1  x x     x 1 x 1  x  1  x 1  x  1 ID1-1 x6 x6 x  0( điều phải chứng minh) P Vậy x6 x 1 c) Ta có: Q  M.P  x Q3  x  x 1 x x x 1 Xét x 3 x6 x 1  x x x x 1 x    x6 x  x 1 x  x x  x x 1 x 0 với x  0; x  Do Q   x   x2 x3 x2  P  1    :      x   x x x   x      với x  0;x  Câu 16 Cho biểu thức a) Rút gọn P b) So sánh P với Lời giải a) Với x  0;x   x   x2 x3 x2  P  1    :      x   x x x   x      TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 18 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  x 1 x  x  x 3 x2 :     x   x x x  x   x 1     x2 x3 x2    :     x 1 x3 2 x x x   x      x2 x 3 x2    :    x 1 x3 x2 x3 x             x 1 x 1  : : x2     x2   x  x  x   x3  x2   x3 x3      x3  x2 x2 x 1   x3  x2  x3 x2 x 1 Vậy với x  0;x  P 1  b) Xét hiệu x2 x 1 P x2 x 1 x   x 1 1  x 1  3 x 1 0 x  0; x  Suy P  1  x  x x  với x  4, x  Câu Cho biểu thức 1) Rút gọn biểu thức P 2) Chứng minh P < với x  4, x  P Lời giải Rút gọn biểu thức P P P x x   x 2    x 2 x 2 x 2  P Thu gọn ta x 2 x     x 2 x  x 2  1 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN  x x 2  x 2 19  PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Chứng minh P < với x  4, x  x  4, x     x x   0  x 0  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  x 2 0 x  4, x  Với ta có 1 P 0 x x 2 Mà 1  nên với x  4, x   Cho hai biểu thức: A  x x x 3 B  x x  1  x với x  0; x  1; x   x Tính giá trị biểu thức A x  36 Rút gọn biểu thức P  A.B So sánh P với TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 20 PHONE: 0983.265.289 ... GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x x x 1 B   x x 1 x  x  1 x Câu Cho hai biểu thức a) Tính giá trị biểu thức A x  A  x  0;x  1 x 1 B x x 1 b) Chứng minh B P A Chứng minh  P  ... GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Câu Cho hai biểu thức: x A x 1  x2  x   x  1 x  x3 B x  Với x  , x  a) Tính giá trị B x  b) Rút gọi biểu thức A c) Cho S  A.B , chứng minh rằng: S... HAI Do A a1  : B a a 1  a1    a 1  a  a 1  a 1 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   a 1 a 1  a1 a c) Chứng minh P  Với a  0, a  , theo cau b) ta có a   Với a  1 a a 1 P a