Phương pháp nghiên cứu
Thu thập và phân tích tài liệu liên quan đến đề tài luận văn là rất quan trọng, đặc biệt là các tài liệu về nhóm lũy linh và nhóm con giao hoán tử bậc cao Những tài liệu này cung cấp kiến thức cần thiết và ứng dụng thực tiễn để hỗ trợ việc thực hiện luận văn một cách hiệu quả.
- Dự xemina, trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của người hướng dẫn và các chuyên gia.
Cấu trúc của luận văn
Nhóm và p - nhóm
Một nhóm được định nghĩa là một cặp (G, •), trong đó G là một tập hợp không rỗng và "•" là phép toán hai ngôi trên G Phép toán này phải thỏa mãn ba điều kiện cơ bản, trong đó điều kiện đầu tiên là tính chất kết hợp, tức là phép toán "•" phải có tính chất kết hợp.
Trong nhóm G, phép toán có tính chất kết hợp, nghĩa là (a•b)•c = a•(b•c) với mọi a, b, c thuộc G Ngoài ra, tồn tại một phần tử trung lập e trong G, thỏa mãn a•e = e•a = a cho mọi a trong G Cuối cùng, với mỗi phần tử a trong G, có một phần tử nghịch đảo a 0 cũng thuộc G, sao cho a•a 0 = a 0 •a = e.
Nếu phép toán hai ngôi của nhóm G có tính chất giao hoán thì ta nói
G là một nhóm giao hoán hay nhóm aben.
Nếu G là tập hợp hữu hạn, ta nói G là nhóm hữu hạn; nếu G là tập hợp vô hạn, ta nói G là nhóm vô hạn.
Cấp của một nhóm G, ký hiệu |G|, là số phần tử của G nếu G là nhóm hữu hạn, và bằng ∞ nếu G là nhóm vô hạn.
Một nhóm có cấp là một lũy thừa của một số nguyên tố p được gọi là một p - nhóm hữu hạn.
Từ đây về sau, nếu không nói gì khác ta quy ước phép toán trong một nhóm được nói đến được ký hiệu là phép toán nhân. Định nghĩa 1.1.2.
Một tập hợp con ổn định A (nghĩa là ∀a, b ∈ A, ab ∈ A) của một nhóm
G được gọi là nhóm con của G nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm, ký hiệu A ≤ G.
Một nhóm H được xem là một p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G nếu H là một p-nhóm con của G và kích thước của H, ký hiệu là |H|, bằng p^n, trong đó p^n là lũy thừa cao nhất của p mà chia hết cho |G|.
Giả sử U là một tập con không rỗng của nhóm G Nhóm con nhỏ nhất của G chứa U, được gọi là nhóm con sinh bởi U, ký hiệu là hUi.
Nếu U = {a 1 , a 2 , , a n }thì nhóm con sinh ra bởi U, còn được ký hiệu là ha 1 , a 2 , , a n i.
Nếu G= hUi thì U gọi là một hệ sinh của G hay G được sinh bởi U. Định nghĩa 1.1.4.
Một nhóm G được gọi là xyclic nếu G được sinh bởi chỉ một phần tử a ∈ G Phần tử a được gọi là phần tử sinh của G.
Nhóm xyclic cấp n được ký hiệu là Cn. hai = {a n /n ∈ Z}
Rõ ràng, một nhóm xyclic là nhóm giao hoán. Định nghĩa 1.1.5.
Giả sử G là một nhóm Một nhóm con M của G được gọi là nhóm con cực đại của G nếu M 6= G và với H là một nhóm con của G mà
Trong một nhóm G với đơn vị e, nếu a ∈ G và a^m ≠ e cho mọi số nguyên m > 0, thì a được gọi là có cấp vô hạn Ngược lại, nếu tồn tại một số nguyên dương nhỏ nhất m sao cho a^m = e, thì m được xác định là cấp của a.
Ký hiệu cấp của phần tử a là ord (a).
Nếu ord (a) = m thì hai = a 0 = 1, a 1 , , a m−1 và ta còn viết ha | a m = ei. ord (a) = 1 khi và chỉ khi a = e. Định lý 1.1.1 (Định lý Lagrange)[2]
Cấp của một nhóm hữu hạn G là bội của cấp của mọi nhóm con của nó.
Từ Định lý trên , ta có hệ quả sau.
Nếu G là một nhóm hữu hạn, thì với mọi phần tử a thuộc G, bậc của a chia hết cho cấp của nhóm G Ngoài ra, mọi nhóm có cấp là một số nguyên tố đều là nhóm cyclic, được sinh ra bởi bất kỳ phần tử nào khác phần tử trung lập của nhóm.
Mọi nhóm có cấp nhỏ hơn hoặc bằng 5 đều là nhóm giao hoán. Định nghĩa 1.1.7.
Giả sử S là một nhóm con của nhóm G Với a ∈ G, các tập hợp aS = { as: s ∈ S} và Sa = { sa : s ∈ S} được gọi lần lượt là lớp kề trái và lớp kề phải của S bởi phần tử a Lực lượng của tập G/S, bao gồm các lớp kề trái của S trong G, được gọi là chỉ số của nhóm con S trong nhóm G, ký hiệu là [G : S].
Một nhóm con S của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G, ký hiệu S E G , nếu
Giả sử S ≤ G Hai mệnh đề sau là tương đương i) S E G. ii) ∀x ∈ G, xS = Sx.
Theo Định lý trên, khi S E G thì xS = Sx, với x ∈ G, nên ta chỉ gọi là lớp kề thay cho lớp kề trái, kề phải.
Giả sử A, B là hai tập con của một nhóm G.
Giả sử A, B là hai nhóm con của nhóm G, khi đó: i) Nếu B E G, thì AB ≤ G. ii)Nếu A E G và B E G, thì AB E G.
Giả sử S là một nhóm con của nhóm G Nếu [G : S] = 2 thì S E G. Giả sử G là một nhóm và S ≤ G, ký hiệu
Nhóm con N G (S) được xác định là nhóm con chuẩn hóa của S trong G, trong khi Z(G) được gọi là nhóm con tâm của G Cả hai nhóm này đều là những thành phần quan trọng trong lý thuyết nhóm, với N G (S) là một nhóm con của G và Z(G) là nhóm con chuẩn tắc của G.
Ví dụ 1.1.10. i) Xét nhóm dihedral
D n là nhóm không giao hoán cấp 2n, n ≥3 ( Xem [2])
Từ (ab) 2 = 1, bằng quy nạp ta có a r b = ba −r , 0 ≤ r ≤n−1.
Nếu n : lẻ, thì Z(D n ) = {1}. ii) Xét nhóm quaternion
Q 8 = {1, a, a 2 , a 3 , b, ab, a 2 b, a 3 b} là nhóm không giao hoán cấp 8
Nếu G là một p - nhóm, |G| > 1, thì |Z(G)| > 1. Định lý 1.1.8 [9]
Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và S là một p - nhóm con Sylow của H Khi đó G = N G (S)H.
Giả sử G là một nhóm và S là một tập con của G, khi đó có hai điều quan trọng: Thứ nhất, quy tắc tương ứng cặp (aS, bS) với lớp ghép abS tạo thành một ánh xạ từ G/S × G/S đến G/S Thứ hai, tập G/S cùng với phép toán aS.bS = abS cấu thành một nhóm.
Nhóm G/S được gọi là nhóm thương của G theo nhóm con chuẩn tắc
Giả sử G và H là hai nhóm Một ánh xạ f : G → H được gọi là một đồng cấu nhóm nếu f(ab) = f(a)f(b),∀a, b ∈ G
Nếu G= H thì đồng cấu f gọi là một tự đồng cấu của nhóm G.
Một đồng cấu nhóm f, với f là một đơn ánh (toàn ánh, song ánh), được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Tự đồng cấu mà là song ánh được gọi là tự đẳng cấu.
Nếu có một đẳng cấu từ nhóm G đến nhóm H thì ta nói hai nhóm G và H đẳng cấu với nhau, ký hiệu G∼= H.
Giả sử A, B là hai nhóm và A×B = {(a, b)/a ∈ A, b ∈ B}
Trên tập A×B ta định nghĩa một phép toán hai ngôi như sau
Dễ kiểm tra được tập A×B cùng với phép toán ở trên lập thành một nhóm. Định nghĩa 1.1.13.
Nhóm A×B được xác định như trên được gọi là tích trực tiếp của hai nhóm A và B.
Nhóm tích trực tiếp A×B còn được gọi là tổng trực tiếp của hai nhóm
A và B, và ký hiệu A⊕B Các khái niệm tích trực tiếp và tổng trực tiếp chỉ khác nhau khi chúng được áp dụng cho một họ vô hạn nhóm ( Xem
Nhóm con giao hoán tử
Cho G là một nhóm và a, b ∈ G Phần tử ký hiệu [a, b] = a −1 b −1 ab được gọi là giao hoán tử của phần tử a với phần tử b. Định nghĩa 1.2.2.
Giả sử H và K là hai nhóm con của nhóm G, nhóm con giao hoán tử của H và K được định nghĩa là nhóm con sinh ra từ tất cả các giao hoán tử [h, k], với h thuộc H và k thuộc K Nhóm này được ký hiệu là [H, K].
[H, K] = h[h, k] | h ∈ H, k ∈ Ki Nếu H = K = G, thì nhóm con [G, G] được gọi là nhóm con giao hoán tử của nhóm G.
Nhóm G có những đặc điểm quan trọng: i) Nhóm con giao hoán tử [G, G] là một nhóm con chuẩn tắc của G ii) Nhóm thương G/[G, G] là nhóm giao hoán iii) Đối với mọi phần tử A thuộc G, G/A là nhóm giao hoán khi và chỉ khi [G, G] nằm trong A.
Ví dụ 1.2.3. i) Xét nhóm D n = a, b | a n = 1 = b 2 ,(ab) 2 = 1 , n > 2
D n = {1, a, a 2 , , b, ab, a 2 b, , a n−1 b} : nhóm không aben cấp 2n. Khi đó : [D n , D n ] = a 2
Hơn nữa, ∀x ∈ Dn,∀y ∈ a 2 , ta có x −1 yx ∈ a 2
Trong cả hai trường hợp thì Dn/ a 2 là nhóm aben
Q 8 = {1, x, x 2 , x 3 , y, xy, x 2 y, x 3 y} : nhóm không aben cấp 8.
⇒ [Q 8 , Q 8 ] = x 2 , vì Q 8 không giao hoán và x 2 E Q 8
Nhóm giải được
Nhóm G được gọi là giải được nếu nó có một dãy nhóm con
{1} = G 0 ⊂ G 1 ⊂ ã ã ã ⊂G n = G sao cho G i E G i+1 và G i+1 /G i là nhóm abel, i = 0,1, , n−1.
Ví dụ 1.3.2. i) Các nhóm dihedral D n , n ≥ 3, đều là nhóm giải được
⇒ D n có dãy nhóm con sau
{1} E hai E D n với Dn/hai là nhóm xyclic cấp 2.
Vậy Dn, n ≥ 3, là nhóm giải được. ii) Nhóm đối xứng S3 là giải được vì có dãy nhóm con
{1} E A 3 E S 3 , trong đó nhóm thay phiênA 3 là nhóm xyclic cấp 3, và nhóm thươngS 3 /A 3 là nhóm xyclic cấp 2. iii) Nhóm đối xứng trên n phần tử S n , n ≥ 5, là nhóm không giải được(Xem [4]).
Quan hệ đồng chất
Cho G là một nhóm, kí hiệu G 0 = [G, G], G = G/Z(G), và cho ánh xạ fG : G×G −→G 0
Hai nhóm G và H được gọi là đồng chất nếu tồn tại hai đẳng cấu ϕ :G → H và ψ :G 0 →H 0 sao cho biểu đồ sau giao hoán hay f H ◦(ϕ×ϕ) =ψ◦f G
Nếu nhóm G quan hệ đồng chất với nhóm H, ta kí hiệu G ∼H.
Quan hệ đồng chất trên tập các nhóm là một quan hệ tương đương.
(i) Cho G là một nhóm Xét hai đẳng cấu đồng nhất
Ta có fG◦(1 G ×1 G ) = 1G 0 ◦fG, thỏa mãn các điều kiện của Định nghĩa 1.4.1, điều này chứng tỏ rằng nhóm G có quan hệ đồng chất với chính nó Do đó, quan hệ đồng chất trên tập hợp các nhóm có tính chất phản xạ.
(ii) Cho 2 nhóm G và H Giả sử G ∼ H Khi đó, tồn tại hai đẳng cấu ϕ :G → H và ψ :G 0 →H 0 sao cho f H ◦(ϕ×ϕ) = ψ◦f G
Suy ra tồn tại hai đẳng cấu ngược ϕ −1 : H →G và ψ −1 : H 0 →G 0 Sử dụng định nghĩa đẳng cấu và quan hệ đồng chất ta có f G ◦ ϕ −1 ×ϕ −1 = ψ −1 ◦f H
Suy ra H ∼ G Do đó, quan hệ đồng chất trên tập các nhóm có tính đối xứng.
(iii) Cho ba nhóm G, H và K Giả sử G ∼ H và H ∼ K Khi đó, tồn tại hai đẳng cấu ϕ: G →H và ψ : G 0 → H 0 sao cho f H ◦(ϕ×ϕ) =ψ◦f G , và hai đẳng cấu γ : H → K và η : H 0 →K 0 sao cho f K ◦(γ×γ) =η◦f H
Suy ra G ∼ H Do đó, quan hệ đồng chất trên tập các nhóm có tính bắc cầu.
Từ i), ii) và iii) ta có quan hệ đồng chất trên tập các nhóm là một quan hệ tương đương.
Mỗi lớp tương đương theo quan hệ đồng chất được gọi là một lớp đồng chất ( hay một họ đồng chất).
Mọi nhóm giao hoán đều thuộc cùng một lớp đồng chất.
Ví dụ 1.4.2. i) Hai nhóm D4 và Q8 đồng chất nhau.
Q 8 = Q 8 /Z(Q 8 ) = Dx, y | x 2 = y 2 = [x, y] = eE ∼= C 2 ×C 2 Suy ra D 4 ∼= Q 8 và [D 4 , D 4 ] ∼= [Q 8 , Q 8 ].
Mặt khác, ta có biểu đồ sau giao hoán
Thật vậy, xét hai đẳng cấu: ϕ: D 4 −→ Q 8 a 7−→ x b 7−→ y ψ : [D4, D4] −→[Q8, Q8]
[a, b] 7−→[x, y] và hai đồng cấu fD 4 : D4 ×D4 −→ [D4, D4]
Do đó, hai nhóm D 4 và Q 8 đồng chất với nhau. ii) Hai nhóm D 8 và Q 16 đồng chất nhau.
Theo Ví dụ 1.1.10, ta có Z (D 8 ) = a 4 ,[D 8 , D 8 ] = a 6 , và ta cũng tính được Z (Q 16 ) = x 4 ,[Q 16 , Q 16 ] = x 6
Tương tự như ví dụ i), ta cũng có hai đẳng cấu ϕ : D8 −→ Q16, với ϕ(a) = x và ϕ(b) = y ψ : [D 8 , D 8 ] −→ [Q 16 , Q 16 ], với ψ([a, b]) = [x, y]
Hai đẳng cấu ϕ và ψ này thỏa mãn điều kiện để D 8 và Q 16 đồng chất nhau.
Nhóm lũy linh
Với một nhóm G bất kỳ, ta định nghĩa các nhóm con chuẩn tắc Z i (G), i = 0,1,2, như sau ( để cho gọn ta ký hiệu Z i = Z i (G)).
Z 0 = {1} và với i > 0, Z i là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho
{1} = Z 0 ⊂ Z 1 ⊂ Z 2 ⊂ được gọi là dãy tâm tăng của nhóm G Nhóm con Z i = Z i (G) được gọi là tâm thứ i của nhóm G.
Ví dụ 2.1.2. i) Xét nhóm Q 8 = x, y | x 4 = 1, x 2 = y 2 , xyx = y
⇒ Q 8 /Z 1 là nhóm giao hoán ( Xem Mệnh đề 1.1.3)
Vậy dãy tâm tăng của nhóm Q 8 là
Vậy nhóm D 4 có dãy tâm là
G/Z = {1, a, a 2 , b, ab, a 2 b} là nhóm không giao hoán cấp 6
Vậy dãy tâm tăng của D 6 là
G/Z1 = G/Z = {1, a, a 2 , a 3 , b, ab, a 2 b, a 3 b} là nhóm không giao hoán cấp 8
|G/Z 2 | = 4 ⇒G/Z 2 : giao hoán ( Xem Mệnh đề 1.1.3)
Vậy dãy tâm tăng của nhóm D 8 là :
{1} = Z 0 ≤ Z 1 = a 4 ≤Z 2 = a 2 ≤ Z 3 = G v) Giả sử G là một nhóm, G6= {1} và có Z(G) = 1, khi đó
Tương tự ta có : {1} = Z 2 = Z 3 = Z 4 = , và Z n 6= G,∀n ∈ N.
Vậy dãy tâm tăng của nhóm G là
Một nhóm G được gọi là lũy linh, nếu có một số tự nhiên n sao cho
Zn(G) = G Số tự nhiên nhỏ nhất m mà Zm(G) = G được gọi là lớp lũy linh của nhóm lũy linh G.
Từ định nghĩa trên ta có:
- Nhóm {1} là nhóm lũy linh duy nhất có lớp 0.
- Các nhóm giao hoán khác {1} là nhóm lũy linh lớp 1.
- Các nhóm G không giao hoán sao cho G/Z(G) giao hoán là các nhóm lũy linh lớp 2.
Theo ví dụ 2.1.2, nhóm G6 = {1} có Z(G) = {1} không phải là nhóm lũy linh, do đó, với n là số nguyên lẻ lớn hơn 2, nhóm Dn cũng không lũy linh Ngoài ra, nhóm D4 và Q8 được xác định là nhóm lũy linh lớp 2.
D6 không lũy linh, còn nhóm D8 là nhóm lũy linh lớp 3.
Mọi p -nhóm hữu hạn đều là nhóm lũy linh.
Giả sử G là một p - nhóm hữu hạn.
• Nếu G = {1} thì G là nhóm lũy linh lớp 0.
Nếu G 6= Z(G) thì G/Z(G) cũng là một p− nhóm khác {1}, và do đó
Gọi Z 2 (G) là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho
Nếu Z 2 6= G thì G/Z 2 cũng là p - nhóm khác {1} và do đó
Gọi Z 3 (G) là nhóm con chuẩn tắc của G sao cho
Tương tự, nếu Z 3 6= G thì Z(G/Z 3 ) 6= {1} tiếp tục như trên thì sẽ
∃m ∈ N sao cho Z m (G) = G ( vì G là nhóm hữu hạn) Do đó ta có dãy tâm tăng của p - nhóm G như sau
Vậy p - nhóm G là một nhóm lũy linh.
Mệnh đề đã được chứng minh.
Mọi nhóm Dn với n là một lũy thừa của 2 đều là nhóm lũy linh.
Mọi nhóm lũy linh đều là nhóm giải được.
Giả sử G là một nhóm lũy linh có dãy tâm tăng như sau
Theo định nghĩa của dãy tâm tăng ta có
Vậy G là nhóm giải được Mệnh đề đã được chứng minh.
Mệnh đề đảo của mệnh đề 2.1.3 là không đúng, chẳng hạn các nhóm
D n , n > 2 là nhóm giải được ( Xem Ví dụ(1.3.2)) nhưng với n lẻ thì D n không phải là nhóm lũy linh ( Ví dụ 2.1.2 (i) ).
Từ định nghĩa nhóm lũy linh, mệnh đề 2.1.3 và nhận xét 2.1.5, ta có sự liên hệ giữa một số cấu trúc nhóm như sau:
Nhóm lũy linh có những đặc điểm quan trọng trong lý thuyết nhóm Theo Định lý 2.1.4, nhóm con của một nhóm lũy linh cũng là nhóm lũy linh, nhóm thương của một nhóm lũy linh vẫn giữ tính chất lũy linh, và tích trực tiếp của hai nhóm lũy linh cũng tạo ra một nhóm lũy linh Những tính chất này khẳng định vai trò quan trọng của nhóm lũy linh trong cấu trúc toán học.
Giả sử G là một nhóm lũy linh có dãy tâm tăng như sau:
{1} = Z0 ⊂ Z1 ⊂ ⊂Zn = G (∗) i) Giả sử N ≤ G, khi đó dãy nhóm con sau :
{1}= Z 0 ∩N ⊂ Z 1 ∩N ⊂ ⊂ Z n ∩N = N là dãy tâm tăng của nhóm N.
Thật vậy: Rõ ràngZ i ∩NN;i = 0, n Hơn nữa∀x ∈ Z i ∩N, ∀y ∈ N, ta có
Vậy N là nhóm lũy linh. ii) N G ⇒ N ZiN,∀i = 0, n
Xét dãy các nhóm con
Khi đó ∀z i k ∈ ZiN, i = 0, n, k ∈ N ; ∀x ∈ G, ta có :
⇒ Dãy các nhóm con ở trên là dãy tâm tăng của nhóm G/N.
Vậy G/N là nhóm lũy linh. iii) Với dãy tâm tăng (*) của nhóm lũy linh G , ta có dãy nhóm con sau cũng là dãy tâm tăng của G
Do đó với hai nhóm lũy linh ta có thể giả sử hai dãy tâm tăng của chúng có độ dài bằng nhau.
Giả sử Gvà H là hai nhóm lũy linh với hai dãy tâm tương ứng lần lượt là
Khi đó dãy nhóm con sau là dãy tâm tăng của nhóm G
Vậy G×H là nhóm lũy linh
Giả sử G là một nhóm, thì G được gọi là nhóm lũy linh lớp m > 0 nếu và chỉ nếu G/Z(G) là nhóm lũy linh lớp m−1 Định lý này cung cấp những đặc trưng quan trọng về nhóm lũy linh.
Các khẳng định sau về một nhóm hữu hạn G là tương đương: G là nhóm lũy linh; nếu H là nhóm con của G thì H là nhóm con chuẩn tắc của G; mọi nhóm con cực đại của G đều chuẩn tắc trong G; mọi nhóm con Sylow của G đều chuẩn tắc trong G; và G là tích trực tiếp của các p - nhóm con Sylow của nó.
Chứng minh: i) ⇒ ii) Giả sử G là một nhóm lũy linh có dãy tâm tăng
Giả sử H G, khi đó ∃k ∈ N : Z k−1 ⊂ H và Z k * H
Giả sử x ∈ Z k , y ∈ G, ta có [x, y] ∈ Z k−1 , vì
Trong bài viết này, chúng ta xem xét mối quan hệ giữa các nhóm và các nhóm con cực đại Đầu tiên, ta có Zk ≤ NG(H) và Zk * H, dẫn đến việc H là một nhóm con của NG(H) Tiếp theo, giả sử khẳng định ii) đúng và H là một nhóm con cực đại của G, từ đó suy ra rằng N G(H) = H, tức là H là một phần của G Cuối cùng, giả sử khẳng định iii) đúng, và P là một p-nhóm con Sylow của G.
Giả sử P không chuẩn tắc trong G Khi đó P ≤ N G (P) G do đó
∃M là một nhóm con cực đại của G sao cho P ≤ N G (P) ≤ M Vì P là p - nhóm con Sylow của M và M G, nên theo Định lý 1.1.8 , ta có
G= N G (P)M ≤M, điều này mâu thuẩn Vậy P G. iv) ⇒ v) Giả sử mọi p - nhóm con Sylow của G đều chuẩn tắc trong
Giả sử |G| = n = p m 1 1 p m 2 2 p m k k , với p i ,∀i = 1, k, là k số nguyên tố đôi một phân biệt, và mi ∈ N ∗
Gọi P i ,∀i = 1, k, là p i - nhóm con Sylow cấp p m i i của G Theo giả thiết
P i G, suy ra P 1 P 2 P k G Đồng thời do các số P i ,∀i = 1, k, đôi một khác nhau, nên P i ∩(P 1 P i−1 P i+1 P k ) = {1}, do đó
Vậy G= P 1 ×P 2 × ×P k v)⇒ i) Giả sử G= P 1 ×P 2 × ×P k , với P i ,∀i = 1, k, là p i - nhóm con Sylow của G Theo Mệnh đề 2.1.1 , các nhóm P i đều là nhóm lũy linh, và do đó theo Định lý 2.1.4, G là nhóm lũy linh.
Nhóm con giao hoán tử bậc cao
Cho một nhóm G Một dãy các nhóm con của G
H 1 = G ⊃H 2 ⊃ ⊃ H n = {1} được gọi là một dãy tâm của G nếu thỏa mãn
Cho Glà một nhóm Ta gọi các nhóm con giao hoán tử bậc cao của G, ký hiệu Ci(G), được định nghĩa một cách quy nạp như sau:
Ci+1(G) = [Ci(G), G], i = 1,2, Dãy giảm các nhóm con C i (G), i = 1,2,
C 1 (G) = G⊃ C 2 (G) ⊃ C 3 (G) ⊃ được gọi là dãy tâm giảm của nhóm G.
Nếu dãy tâm giảm của nhóm Ggiảm đến{1}qua một số hữu hạn nhóm con, thì nó là dãy tâm theo Định nghĩa 2.2.1.
Ví dụ 2.2.3. i) Nếu G = {1}, thì C i (G) = {1}, ∀i ∈ N ∗ ii) Với nhóm aben G 6= {1}, ta có
Vậy dãy tâm giảm của nhóm G là
C 1 (G) =G ⊃ C 2 (G) = [G, G] = {1} iii) Giả sử Glà một nhóm không giao hoán sao cho [G, G] ⊂Z(G) Khi đó : C 2 (G) = [G, G] 6= {1}, C 3 (G) = [C 2 (G), G] = {1}, C i (G) = {1},
Vậy dãy tâm giảm của nhóm G là:
C 1 (G) = G ⊃C 2 (G) = [G, G]! C 3 (G) ={1} iv) Nếu G 6= {1} là một nhóm có Z(G) = {1}, thì Ci(G) 6= {1},
∀i ∈ N ∗ Thật vậy, vì nếu C i (G) = {1} thì C i−1 (G) ⊂ Z(G), suy ra
C i−1 (G) ={1}, ⇒C i (G) = G= {1} vô lý. v) Xét nhóm quaternion Q 8
Ta có : C 1 (Q 8 ) = Q 8 , C 2 (Q 8 ) = [Q 8 , Q 8 ] = x 2 ( Xem Ví dụ 1.2.3 (ii))
C 3 (Q 8 ) = [ x 2 , Q 8 ] = {1}, vì Z(Q 8 ) = x 2 ( Xem Ví dụ 1.1.10 (ii))
Vậy dãy tâm giảm của nhóm Q 8 là
Ta có : C 1 (D 4 ) =D 4 , C 2 (D 4 ) = [D 4 , D 4 ] = a 2 ( Xem Ví dụ 1.2.3 (i))
Vậy dãy tâm giảm của nhóm D 4 là
Ta có : C 1 (D 6 ) =D 6 , C 2 (D 6 ) = [D 6 , D 6 ] = a 2 ( Xem Ví dụ 1.2.3 (i)) [a 2 , b] = a 4 ba 2 b = a 4 a 4 = a 2 ∈ C 3 (D 6 )
Vậy nhóm D6 có dãy tâm giảm là
Dễ kiểm tra được ∀x ∈ D 8 ,∀y ∈ a 6 thì x −1 yx ∈ a 6
⇒ D 8 / a 6 là nhóm giao hoán, và do đó [D 8 , D 8 ] ⊂ a 6
Tương tự như trên, cũng chứng minh được a 4 E D 8 và C 3 (D 8 ) = [C 2 (D 8 ), D 8 ] = a 4
Vậy nhóm D8 có dãy tâm giảm là
Tương tự như nhóm D 8 ở trên, ta cũng tính được dãy tâm giảm của nhóm Q 16 như sau:
Giả sử N E G và H ≤ G Khi đó hai mệnh đề sau là tương đương : i) [H, G]⊂ N ii) HN/N ⊂Z(G/N)
Chứng minh h ∈ H, g ∈ G,[h, g] ∈ N ⇔ [hN, gN] = 1.N ⇔ HN/N ⊂Z(G/N) Mệnh đề đã được chứng minh
Nếu dãy tâm tăng của nhóm G đạt đến G qua một số hữu hạn nhóm con, thì dãy tâm tăng của G sẽ được xác định theo Định nghĩa 2.2.1.
Giả sử G là một nhóm có một dãy tâm
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các nhóm con chuẩn tắc H i trong dãy (H), trong đó nhóm thương H i−1 /H i là nhóm aben và nằm trong Z(G/H i) Đối với mỗi i từ 1 đến n, nhóm con giao hoán tử bậc cao thứ i của G, ký hiệu là C i (G), luôn chứa trong H i Hơn nữa, với mỗi j từ 0 đến n−1, nhóm H n−j nằm trong tâm thứ j của nhóm G, được ký hiệu là Z j (G).
Giả sử G là một nhóm, ba mệnh đề sau đây là tương đương: Thứ nhất, G được gọi là nhóm lũy linh Thứ hai, trong nhóm G tồn tại ít nhất một dãy tâm Cuối cùng, dãy tâm giảm của nhóm G sẽ tiến đến {1} sau một số hữu hạn số hạng, tức là có một số tự nhiên m sao cho C m (G) = {1}.
Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử G là một nhóm lũy linh, nghĩa là G có một dãy tâm tăng như sau
Từ định nghĩa của nhóm Z i (G) ( viết tắt là Z i ) ta có
Khi đó theo Mệnh đề 2.2.1, [Zi, G]⊂ Z i−1
Vậy (1) là một dãy tâm của nhóm G. ii) ⇒ iii) Giả sử nhóm G có một dãy tâm
Khi đó theo Mệnh đề 2.2.2 ii), ta có C n (G) ⊂ H n = {1}
⇒ iii) đúng. iii) ⇒ i) Giả sử dãy tâm giảm của G có C m (G) = {1}, khi đó dãy tâm giảm của G cũng là dãy tâm ( Định nghĩa 2.2.1).
Theo Mệnh đề 2.2.2 iii) ta có
⇒ Z m−1 (G) =G Vậy G là nhóm lũy linh. Định lý đã được chứng minh. Định lý 2.2.4 [9]
Giả sử G là một nhóm lũy linh lớp m, ta có các đặc điểm sau: i) Z m (G) = G, và nếu m khác 0 thì Z m−1 (G) không bằng G ii) C m+1 (G) = {1}, trong khi nếu m khác 0 thì C m (G) không chỉ chứa {1} iii) Mọi dãy tâm của nhóm G có ít nhất m+1 nhóm con H i, và tồn tại một dãy tâm có đúng m+1 nhóm con.
Chứng minh i) Hiển nhiên theo định nghĩa lớp lũy linh. ii) Theo Mệnh đề 2.2.2 ii), ta có C m+1 (G) ⊂ Z 0 (G) ={1}
⇒ Dãy tâm giảm của G có ít nhất m+ 1 nhóm con Ci(G)
⇒ Nếu m > 0 thì Cm(G) 6= {1}. iii) Giả sử H1 = G⊃ H2 ⊃ ã ã ã ⊃Hn = {1} là một dãy tâm của nhóm G Khi đó theo Mệnh đề 2.2.2 iii) ta có
Theo định lý đã chứng minh, với điều kiện m ≤ n−1, mọi dãy tâm của G sẽ có ít nhất m+1 nhóm con H i, và dãy tâm tăng của G sẽ có đúng m+1 nhóm con H i Từ đó, chúng ta có thể rút ra hệ quả là định nghĩa tương đương của khái niệm lớp lũy linh.
Lớp lũy linh m của một nhóm lũy linh G là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho Cm+1(G) = {1}.
Theo ví dụ 2.2.3, ta có i) Nhóm D 4 có dãy tâm giảm là
⇒ Nhóm D4 có lớp lũy linh bằng 2.
Tương tự nhóm Q 8 có lớp lũy linh bằng 2. ii) Nhóm D8 có dãy tâm giảm là
⇒ Nhóm D 8 có lớp lũy linh bằng 3. iii) Nhóm D 6 có dãy tâm giảm là
⇒ Nhóm D 6 không phải là nhóm lũy linh.
Ứng dụng của các nhóm con giao hoán tử bậc cao trong phân loại đồng chất các nhóm
cao trong phân loại đồng chất các nhóm. Định lý 2.3.1 [9]
Giả sử G và H là hai nhóm đồng chất với nhau, khi đó
Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo i.
+ Nếu i = 2, theo định nghĩa quan hệ đồng chất, ta có
C 2 (G) = [G, G] ∼= [H, H] = C 2 (H) + Giả sử Định lý đúng với i = k, nghĩa là
+ Ta sẽ chứng minh Định lý đúng với i = k + 1
Theo định nghĩa quan hệ đồng chất, ta có G ∼ H ⇒ tồn tại hai đẳng cấu ϕ : G →H và ψ : G 0 → H 0 sao cho biểu đồ sau giao hoán
Lập luận tương tự, ta cũng có ψ −1 (C k+1 (H)) ⊂ C k+1 (G).
Suy ra Ck+1(G) ∼= Ck+1(H), vì ψ là một đẳng cấu. Định lý đã được chứng minh.
Giả sử G và H là hai nhóm đồng chất nhau, khi đó: G là nhóm lũy linh lớp m khi và chỉ khi H là nhóm lũy linh lớp m.
Ví dụ 2.3.1. i) Xét hai nhóm D 4 và Q 8
Theo Ví dụ 1.4.2 i) hai nhóm D 4 và Q 8 đồng chất nhau.
Theo Ví dụ 2.2.3 v) và vi) ta có
Do đó hai nhóm D4 và Q8 đều có lớp lũy linh bằng 2. ii) Xét hai nhóm D8 và Q16
Theo Ví dụ 1.4.2 ii) hai nhóm D 8 và Q 16 đồng chất nhau.
Theo Ví dụ 2.2.3 viii) ta có
Do đó hai nhóm D8 và Q16 đều có lớp lũy linh bằng 3.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét ứng dụng của các nhóm con giao hoán tử bậc cao trong việc phân loại đồng chất các nhóm, cụ thể là hai nhóm D4 và Q16.
Vậy hai nhóm D 4 và Q 16 không đồng chất nhau.
Luận văn " Nhóm lũy linh và nhóm con giao hoán tử bậc cao" đã thực hiện được mục đích đề ra, cụ thể là các nội dung sau.
1 Tìm hiểu về nhóm lũy linh, mối quan hệ giữa nhóm lũy linh với một số cấu trúc nhóm khác.
2 Khảo sát những đặc trưng của nhóm lũy linh, đặc biệt là thông qua dãy tâm tăng, dãy tâm giảm của một nhóm.
3 Tìm hiểu quan hệ đồng chất trên tập các nhóm
4 Khảo sát các nhóm con giao hoán tử bậc cao, từ đó cho một ứng dụng của các nhóm con giao hoán tử bậc cao trong phân loại đồng chất các nhóm.
Luận văn sẽ tiếp tục được hoàn thiện và mở rộng để làm rõ vai trò của nhóm lũy linh trong lý thuyết nhóm Bên cạnh đó, nội dung của luận văn cũng sẽ trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên quan tâm đến nhóm lũy linh và mối quan hệ đồng chất trong tập hợp các nhóm.
[1] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Bài tập Đại số và số học, NXB Giáo dục.
[2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục.
[3] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục.
[4] Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường và lý thuyết Galois, NXB Giáo dục.
[5] B.Baumslag and B.Chandler (1968), Theory and problems of group theory, Mc.Graw hill book company.
[6] D.S Dummit, R.M.Foote (2003), Abstract algebra , John Wiley & Sons, Inc.
[7] D Gorenstein (1980), Finite group, Chelsea Publishing Company.
[8] W.Ledermann and A.J.Weir (1996), Introduction to group theory, Addison Wesley Longman.
[9] M.Suzuki (1986), Group theory, Springer – Verlag , NewYork.