Quan hệ liên hợp và ứng dụng trong nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HÀ NHI QUAN HỆ LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG TRONG NHÓM HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ HÀ NHI QUAN HỆ LIÊN HỢP VÀ ỨNG DỤNG TRONG NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU Đà Nẵng - 2020 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Ngọc Châu, tơi xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Tiến sĩ Nhân xin gửi lời cảm on đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, Phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Toán quý giảng viên giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho lớp cao học Đại số lý thuyết số Đà Nẵng khóa 36 (2017-2019) Cuối cùng, muốn ghi nhận cảm ơn động viên, khích lệ gia đình, người thân bạn bè dành cho suốt thời gian học tập thực luận văn Tác giả Nguyễn Thị Hà Nhi LỜI CAM ĐOAN Toàn nội dung trình bày luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan tơi, hồn thành hướng dẫn TS.Nguyễn Ngọc Châu Những khái niệm kết luận văn tổng hợp từ tài liệu khoa học đáng tin cậy, rõ nguồn gốc trích dẫn Đóng góp tổng hợp tài liệu, chứng minh số kết mà tài liệu trích dẫn phát biểu (không chứng minh) Tôi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Nguyễn Thị Hà Nhi INFORMATION PAGE OF MAS TER THESIS Name of thesis: The conjugacy relation and applications of inite g roups Major: Algebra and Number theory Full name of Master student: Ng uyen Thi Ha Nhi Supervisor: Dr Ng uyen Ngoc Chau i Training institution: The University of Education - University of Da Nang Abstract: The thesis "The conjugacy relation and applications of finite groups" has completed the purpose and research task Specifically, the thesis has achieved some following results: 1) Presenting homogenous relations on a set of groups and representations of a finite groups 2) Presenting conjugate relations in a group and its related properties Find conjugacy classes of some finite groups 3) Apply the conjugacy classes to find the character table of the quaternion group Qs and the character table of the alternating groups A4 4) Apply the conjugacy classes to prove that two groups D4 x C2 and Q15 are not homogenous Key words: conjugacy classes, homogenous, finite groups, character table Supervisor's conirmation Student Dr Ng uyen Ng oc Chau Ng uyen Thi Ha Nhi MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mở đầu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm cấu trúc nhóm 1.2 Quan hệ đồng chất tập nhóm 11 1.3 Biểu diễn nhóm hữu hạn 14 Chương QUAN HỆ LIÊN HỢP TRONG MỘT NHĨM 19 2.1 Quan hệ liên hợp tính chất 19 2.2 Lớp liên hợp số nhóm 22 Chương ỨNG DỤNG CỦA LỚP LIÊN HỢP TRONG NHÓM HỮU HẠN 30 3.1 Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn 30 3.2 Ứng dụng lớp liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Quyết định giao đề tài MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cấu trúc nhóm cấu trúc đại số bản, đóng vai trị quan trọng khơng tốn học mà cịn nhiều ứng dụng ngành khoa học khác Để hiểu biết nhóm, ta cần tìm hiểu nhiều vấn đề liên quan đến nhóm đó, chẳng hạn: cấp nhóm, cấp phần tử nhóm, lớp liên hợp, nhóm con, nhóm thương, Cho a, b hai phần tử nhóm G Ta nói phần tử b liên hợp với phần tử a tồn phần tử x ∈ G cho b = xax−1 Quan hệ liên hợp quan hệ tương đương nhóm G, có nhiều ứng dụng lý thuyết nhóm, đặc biệt p−nhóm hữu hạn Nhằm tìm hiểu quan hệ liên hợp nhóm ứng dụng nó, tơi chọn đề tài cho luận văn Thạc sĩ là: “ Quan hệ liên hợp ứng dụng nhóm hữu hạn.” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu lý thuyết nhóm hữu hạn, p−nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm - Ứng dụng lớp liên hợp lý thuyết nhóm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết nhóm hữu hạn, p−nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp nhóm hữu hạn - Quan hệ đồng chất tập nhóm hữu hạn - Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn, quan hệ đồng chất tập nhóm Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách chuyên khảo, giáo trình báo khoa học có nội dung liên quan đến đề tài luận văn - Phương pháp tiếp cận: Tổng hợp, hệ thống, phân tích tài liệu thu thập để thực luận văn - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn chuyên gia Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại số kiến thức cấu trúc nhóm, quan hệ đồng chất lý thuyết biểu diễn nhóm nhằm tạo tiền đề cho chương sau 1.1 Một số khái niệm kết lý thuyết nhóm 1.2 Quan hệ đồng chất tập nhóm 1.3 Biểu diễn nhóm hữu hạn Chương Quan hệ liên hợp nhóm Chương trình bày quan hệ liên hợp nhóm tính lớp liên hợp số nhóm 2.1 Định nghĩa quan hệ liên hợp tính chất 2.2 Lớp liên hợp số nhóm Chương Ứng dụng lớp liên hợp nhóm hữu hạn Chương trình bày số ứng dụng lớp liên hợp nhóm hữu hạn 3.1 Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn 3.2 Ứng dụng lớp liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số kiến thức cấu trúc nhóm, quan hệ đồng chất lý thuyết biểu diễn nhóm nhằm tạo tiền đề cho chương sau Các chi tiết liên quan xem [1] , [2] , [3] , [4] 1.1 Một số khái niệm cấu trúc nhóm Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X 6= ∅ Một phép tốn hai ngơi tập C ánh xạ từ X × X đến X f : X × X −→ X (x, y) 7−→ f (x, y) Phần tử f (x, y) gọi hợp thành phần tử x với phần tử y phép tốn ký hiệu cách viết x, y theo thứ tự đặt vào dấu đặc trưng cho phép toán, chẳng hạn xT y, x⊥y, x ◦ y Trong ký hiệu mà người ta hay dùng nhiều dấu + dấu , dấu thường quy ước bỏ Một phép tốn hai ngơi ký hiệu dấu “ +” gọi phép toán cộng, hợp thành x + y gọi tổng x y Một phép tốn hai ngơi ký hiệu dấu “ ” gọi phép toán nhân, hợp thành x.y gọi tích x y Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi nhóm cặp (X, ◦), X tập hợp khác tập rỗng “ ◦” phép tốn hai ngơi X thỏa mãn ba điều kiện sau: i) Phép toán ” ◦ ” kết hợp, tức là: (x ◦ y) ◦ z = x ◦ (y ◦ z) , ∀x, y, z ∈ X ii) Có phần tử e ∈ X gọi phần tử trung lập, có tính chất: = Z (Q8 ) = Nếu Z (Q8 ) = 4, theo Hệ 1.1.19, suy Q8 /Z (Q8 ) nhóm cyclic cấp Khi đó, Q8 giao hốn (vơ lý), |Z(Q8 )| = Suy Z (Q8 ) = 2, ⇒ Q8 /Z (Q8 ) : nhóm có cấp Theo mệnh đề 1.1.25 Q8 /Z (Q8 ) nhóm giao hốn Theo mệnh đề 1.1.28 ⇒ [Q8 , Q8 ] ≤ Z [Q8 ] Đồng thời [a, b] = a−1 b−1 ab = a3 b3 ab = a3 b2 bab = a3 a2 bab = a4 abab = b2 = a2 aba = b ⇒ b−1 abaa−1 = b−1 ba−1 ⇔ (b−1 ab)2 = (a−1 )2 ⇔ (b−1 ab)(b−1 ab) = a−1 a−1 ⇔ b−1 a2 b = a−2 ⇔ b2 = a−2 ⇔ a2 = a−2 ⇔ a4 = a2 a2 = e  Suy [Q8 , Q8 ] = Z(Q8 ) = e, a2 Mệnh đề chứng minh  Mệnh đề 1.1.41 [D4 , D4 ] = Z (D4 ) = e, x2 Chứng minh Theo Định nghĩa 1.1.37, với n = 4, ta có nhóm D4 nhóm khơng giao hốn có cấp có biểu diễn sau: D4 = x, y| x4 = e, y = e, (xy)2 = e Theo Mệnh đề 1.1.23, ... - Lý thuyết nhóm hữu hạn, p? ?nhóm hữu hạn - Quan hệ liên hợp nhóm hữu hạn - Quan hệ đồng chất tập nhóm hữu hạn - Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn, quan hệ đồng chất tập nhóm Phương... Quan hệ liên hợp nhóm Chương trình bày quan hệ liên hợp nhóm tính lớp liên hợp số nhóm 2.1 Định nghĩa quan hệ liên hợp tính chất 2.2 Lớp liên hợp số nhóm Chương Ứng dụng lớp liên hợp nhóm hữu hạn. .. nhóm 22 Chương ỨNG DỤNG CỦA LỚP LIÊN HỢP TRONG NHÓM HỮU HẠN 30 3.1 Ứng dụng lớp liên hợp biểu diễn nhóm hữu hạn 30 3.2 Ứng dụng lớp liên hợp quan hệ đồng chất tập nhóm 39 Kết