QUAN HỆ LIÊN HỢP TRONG MỘT NHÓM
2.1 Quan hệ liên hợp và các tính chất
Định nghĩa 2.1.1.[2] Cho một nhómX và a, x ∈ X. Phần tử xax−1 ∈ X, được gọi là liên hợp của a bởi phần tử x và kí hiệu ax = xax−1.
Trong nhóm X ta xác định một quan hệ hai ngôi ℜ như sau và được gọi là quan hệ liên hợp
a, b ∈ X, aℜb nếu ∃x ∈ X sao cho b = ax.
Mệnh đề 2.1.2.Quan hệ liên hợp được xác định như trên là một quan hệ tương đương trên nhóm X.
Chứng minh. i) e là phần tử trung lập, a = ae suy ra aℜa. Vậy ℜ có tính phản xạ . ii) ∀a, b ∈ X, aℜb ⇔ ∃x ∈ X : b = ax, suy ra bx−1 = ax.x−1 ⇔ bx−1 = a. Suy ra bℜa. Vậy ℜ có tính chất đối xứng. iii) ∀a, b, c ∈ X, aℜb ⇔ ∃x ∈ X : b = ax = xax−1 bℜc ⇔ ∃y ∈ X :c = by = yby−1 = yxax−1 y−1 = (yx)a(yx)−1, ⇒aℜc Vậy ℜ có tính bắc cầu.
Do đó ℜ quan hệ tương đương. Mệnh đề đã được chứng minh.
Lớp tương đương chứa phần tử a theo quan hệ liên hợp, ký hiệu là Ca, và gọi là lớp liên hợp chứa phần tử a.
Mệnh đề 2.1.3.Cho một nhóm X, a ∈ X. Khi đó: a ∈ Z (X) ⇔ Ca = {a}.
Chứng minh.
” ⇒” Giả sử a ∈ Z(X) ⇒ax = xa,∀x ∈ X
Ta có ax = xax−1 = xx−1a = a, suy ra Ca = {a}
” ⇐ ” Giả sử Ca = {a} ⇒ ax = a, ∀x ∈ X. Suy ra xax−1 = a, hay
xa = ax. Vậy a ∈ Z (X).
Mệnh đề đã được chứng minh.
Bổ đề 2.1.4.Cho X là một nhóm, và a ∈ X. Khi đó:
i) Tồn tại một song ánh từ X/CX(a) đến Ca.
ii) Z (X) ≤ CX(a). Hơn nữa nếu X là nhóm không giao hoán thì
Z (X) CX(a). Chứng minh. i) Xét tương ứng f : X/CX (a) −→ Ca g = gCX (a) 7−→ f (g) = gag−1 Chứng minh f là một ánh xạ
Giả sử g = h phải chứng minh f (g) = f(h)
Do g = h nên gCX(a) = hCX(a). Vậy g ∈ hCX(a).
Khi đó, h−1g ∈ CX(a) ⇒ h−1ga= ah−1g ⇒ hh−1ga = hah−1g
⇒ ga = hah−1g ⇒ gag−1 = hah−1gg−1, ⇒ gag−1 = hah−1
Suy ra f (g) =f(h).
Chứng minh f là một đơn ánh
Giả sử f (g) = f(h), phải chứng minh g = h
⇔ h−1g ∈ CX(a) ⇔ g ∈ hCX(a) =h ⇔ gCX (a) =hCX(a)
⇔ g = h ⇒f là một đơn ánh. Chứng minh f là toàn ánh
∀y ∈ Ca ⇒ ∃x ∈ X : y = ax = xax−1
⇒ y = f (x), với x ∈ X/CX(a)
Suy ra f là một toàn ánh và do đó f là một song ánh.
ii) Với X là một nhóm bất kỳ, a ∈ X . Từ định nghĩa tâm của một nhóm và định nghĩa CX(a) ta có Z (X) ≤ CX(a)
Nếu X là một nhóm không giao hoán thì Z(X) X
Nếu a ∈ Z(X) ⇒CX(a) =X ⇒ Z(X) CX(a)
Nếu a /∈ Z(X) ⇒Z (X) CX(a)
Vậy nếu X là một nhóm không giao hoán thì Z (X) CX(a).
Mệnh đề 2.1.5.[1] Cho một nhóm X hữu hạn. Với mọi a ∈ X, ta có:
i) |Ca| =
X : CX(a)
. ii) |Ca| ≤[X, X]. iii) |Ca| ≤X/Z(X).
Nếu nhóm X không giao hoán thì |Ca| < X/Z(X)
Chứng minh. i) Theo Bổ đề 2.1.4, X/CX (a) −→ Ca là một song ánh; suy ra X/CX(a) = |Ca|, đồng thời X/CX(a) = X : CX(a), nên ta có |Ca| = X : CX (a)
ii) Với mọi y ∈ Ca, ∃x ∈ X, y = ax = xax−1
= aa−1 xax−1 = a a, x−1 ∈ a[X, X]. Suy ra Ca ⊂ a[X, X], ⇒ |Ca| ≤[X, X] iii) Do Z (X) ≤ CX(a) nên X/CX(a) ≤ X/Z (X). Suy ra |Ca| ≤X/Z(X)
Nếu X không giao hoán, theo Bổ đề 2.1.4, ta có Ca X/Z (X). Suy ra |Ca| < X/Z (X).
Mệnh đề đã được chứng minh.
Hệ quả 2.1.6.[1] Giả sử X là p−nhóm hữu hạn, a ∈ X, |Ca| = pk, X/Z(X) = ph, [X, X] = pt. Lúc đó, ta có k ≤ h k ≤ t
Nếu X là một p−nhóm hữu hạn không giao hoán, thì k < h.