2 NHÓM LŨY LINH, NHÓM CON GIAO HOÁN TỬ BẬC
2.3Ứng dụng của các nhóm con giao hoán tử bậc cao trong
cao trong phân loại đồng chất các nhóm.
Định lý 2.3.1. [9]
Giả sử G và H là hai nhóm đồng chất với nhau, khi đó
Ci(G) ∼= C
i(H), ∀i = 2,3, . . .
Chứng minh:
Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo i.
+ Nếu i = 2, theo định nghĩa quan hệ đồng chất, ta có
C2(G) = [G, G] ∼= [H, H] = C
2(H)
+ Giả sử Định lý đúng với i = k, nghĩa là
Ck(G) ∼= C
k(H), k ≥ 2
+ Ta sẽ chứng minh Định lý đúng với i = k + 1
Theo định nghĩa quan hệ đồng chất, ta có G ∼ H ⇒ tồn tại hai đẳng cấu ϕ : G →H và ψ : G0 → H0 sao cho biểu đồ sau giao hoán
Ck(G) = [Ck−1(G), G]
∀x ∈ Ck−1(G); ∀y, z ∈ G; [x, y] ∈ Ck(G)
⇒ψ(Ck+1(G)) ⊂ Ck+1(H) Lập luận tương tự, ta cũng có ψ−1(Ck+1(H)) ⊂ Ck+1(G). Vậy ψ−1(Ck+1(H)) = Ck+1(G) Suy ra Ck+1(G) ∼= C k+1(H), vì ψ là một đẳng cấu. Định lý đã được chứng minh. Hệ quả 2.3.2.
Giả sử G và H là hai nhóm đồng chất nhau, khi đó: G là nhóm lũy linh lớp m khi và chỉ khi H là nhóm lũy linh lớp m.
Ví dụ 2.3.1.
i) Xét hai nhóm D4 và Q8
Theo Ví dụ 1.4.2 i) hai nhóm D4 và Q8 đồng chất nhau. Theo Ví dụ 2.2.3 v) và vi) ta có
C2(D4) = a2 ∼=
x2 = C2(Q8)
Ci(D4) = {1D4} ∼= {1Q8} = Ci(Q8), i = 3,4, . . .
Do đó hai nhóm D4 và Q8 đều có lớp lũy linh bằng 2. ii) Xét hai nhóm D8 và Q16
Theo Ví dụ 1.4.2 ii) hai nhóm D8 và Q16 đồng chất nhau. Theo Ví dụ 2.2.3 viii) ta có
C2(D8) =a6 ∼=
C3(D8) =a4 ∼=
x4 = C3(Q16)
Ci(D8) ={1D8} ∼= {1Q16} = Ci(Q16), i = 4,5, . . .
Do đó hai nhóm D8 và Q16 đều có lớp lũy linh bằng 3.
Thí dụ sau đây là một ứng dụng của các nhóm con giao hoán tử bậc cao trong phân loại đồng chất các nhóm.
iii) Xét hai nhóm D4 và Q16, ta có
C2(D4) = a2 là nhóm xyclic cấp 2.
C2(Q16) = x6 là nhóm xyclic cấp 4.
⇒ C2(D4) C2(Q16)
KẾT LUẬN
Luận văn " Nhóm lũy linh và nhóm con giao hoán tử bậc cao" đã thực hiện được mục đích đề ra, cụ thể là các nội dung sau.
1. Tìm hiểu về nhóm lũy linh, mối quan hệ giữa nhóm lũy linh với một số cấu trúc nhóm khác.
2. Khảo sát những đặc trưng của nhóm lũy linh, đặc biệt là thông qua dãy tâm tăng, dãy tâm giảm của một nhóm.
3. Tìm hiểu quan hệ đồng chất trên tập các nhóm .
4. Khảo sát các nhóm con giao hoán tử bậc cao, từ đó cho một ứng dụng của các nhóm con giao hoán tử bậc cao trong phân loại đồng chất các nhóm.
Nội dung của luận văn sẽ còn được tiếp tục hoàn thiện và mở rộng hơn nữa nhằm thể hiện vai trò của nhóm lũy linh trong lý thuyết nhóm. Đồng thời nội dung của luận văn còn có thể là một tài liệu tham khảo cho các sinh viên quan tâm đến nhóm lũy linh và quan hệ đồng chất trên tập các nhóm.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Bùi Huy Hiền, Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan (1985), Bài tập Đại số và số học, NXB Giáo dục.
[2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), Đại số đại cương, NXB Giáo dục. [3] Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục.
[4] Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường và lý thuyết Galois, NXB Giáo dục.
Tiếng Anh
[5] B.Baumslag and B.Chandler (1968), Theory and problems of group theory, Mc.Graw hill book company.
[6] D.S Dummit, R.M.Foote (2003), Abstract algebra , John Wiley & Sons, Inc.
[7] D. Gorenstein (1980), Finite group, Chelsea Publishing Company. [8] W.Ledermann and A.J.Weir (1996), Introduction to group theory, Addison Wesley Longman.