Bài viết trình bày việc sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt trong Vật lý thống kê, trong đó sẽ tập trung nhiều vào các phương pháp Kubo-Mori để nghiên cứu độ dẫn điện và hệ số hấp thụ sóng điện từ do tương tác electron-phonon trong chấm lượng tử. Biểu thức giải tích thu được tường minh cho hệ số hấp thụ sóng điện từ trong chấm lượng tử với các dạng thế giam giữ khác nhau.
ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ DO TƯƠNG TÁC ELECTRON - PHONON TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ - BÙI CAO DIỄM SƯƠNG Khoa Vật Lý Tóm tắt: Trong báo này, sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt Vật lý thống kê, tập trung nhiều vào phương pháp Kubo-Mori để nghiên cứu độ dẫn điện hệ số hấp thụ sóng điện từ tương tác electron-phonon chấm lượng tử Biểu thức giải tích thu tường minh cho hệ số hấp thụ sóng điện từ chấm lượng tử với dạng giam giữ khác Từ khóa: Chấm lượng tử, phương trình Liouville lượng tử, phản ứng tuyến tính, cơng thức Kubo-Mori, hệ số hấp thụ sóng điện từ GIỚI THIỆU Độ dẫn điện hấp thụ sóng điện từ bán dẫn thấp chiều tác dụng trường laser cao tần hiệu ứng cao tần quan tâm nghiên cứu Các hiệu ứng xảy tương tác hệ electron phonon Vì tương tác electron-phonon chấm lượng tử bán dẫn xảy khác biệt so với bán dẫn khối bán dẫn thấp chiều khác nên hiệu ứng mang đặc tính Vấn đề nghiên cứu bán dẫn khối bán dẫn hai chiều, bán dẫn chiều, chấm lượng tử cịn Hiện tượng chuyển tải nói chung hệ số hấp thụ sóng điện từ nói riêng bán dẫn thấp chiều tác dụng trường điện từ cao tần nhà vật lý Việt Nam nghiên cứu kể từ năm 1995, với nhóm nghiên cứu lớn Viện Vật lý, Đại học quốc gia Hà Nội, Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Đại học Sư phạm – Đại học Huế Nghiên cứu tượng chuyển tải hệ bán dẫn thấp chiều thuộc nhóm GS TS Nguyễn Quang Báu [1], GS TS Trần Công Phong [2] PGS TS Lê Đình [3] chủ yếu tập trung giếng lượng tử, siêu mạng dây lượng tử với loại giam giữ khác Gần đây, Trường ĐHSP Huế có số đề tài nghiên cứu khoa học, khoá luận luận văn tốt nghiệp nghiên cứu vấn đề giếng lượng tử, siêu mạng dây lượng tử, chẳng hạn [4, 5, 6, 7, 8] Tiếp nối cơng trình trên, báo đề cập đến độ dẫn điện hệ số hấp thụ sóng điện từ tương tác electron-phonon chấm lượng tử, nội dung chủ yếu thành lập biểu thức độ dẫn điện phương Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Sinh viên năm học 2016-2017 Trường Đại học Sư phạm Huế, tháng 12/2016: tr 420-428 421 ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SĨNG ĐIỆN TỪ pháp Kubo-Mori PHƯƠNG TRÌNH LIOUVILLE LƯỢNG TỬ CHO CÁC Q TRÌNH KHƠNG CÂN BẰNG Giả sử Hamiltorian hệ gồm hai phần; phần không phụ thuộc thời gian H phần phụ thuộc thời gian Ht1 : H(t) = H + Ht1 , (2.1) = Hamiltorian Ht1 mơ tả Ht phải thỏa mãn điều kiện đoạn nhiệt: Ht1 t=−∞ P tương tác hệ hạt với trường ngồi viết dạng: Ht1 = − j BjF j(t), Fj (t) lực ngồi, Bj tốn tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian Nếu nhiễu loạn đưa vào cách đoạn nhiệt thì: X Ht1 = e∆t−iΩt BΩ , (2.2) Ω ∆ số dương vơ bé, BΩ tốn tử không phụ thuộc tường minh vào thời + = BΩ Toán tử ma trận mật độ ρ gian Từ tính chất Hermite tốn tử ta suy ra: BΩ thỏa mãn phương trình Liouville lượng tử: ∂ρ = [H(t), ρ] ∂t (2.3) ∂ρ = H + Ht1 , ρ ∂t (2.4) i~ Thay (2.1) vào (2.3), ta được: i~ Trong trường hợp Hamiltorian hệ phụ thuộc thời gian tốn tử ma trận mật độ ρ phụ thuộc vào thời gian điều kiện ban đầu trường hợp − H ρ ≡ ρ0 = Z −1 e kB T , (2.5) t=−∞ Z số chuẩn hóa; kB = 1, 38.10−23 (J/K) số Boltzmann; T nhiệt i i độ hệ Với Hamiltiorian (2.1), ta đặt biến mới: ρ˜ = e ~ Ht ρe− ~ Ht , đó, ρ˜ ma trận i i mật độ biểu diễn Dirac Nhân e− ~ Ht vào bên trái nhân e ~ Ht vào bên phải hai vế ρ˜ ta được: i i ρ = e− ~ Ht ρ˜e ~ Ht (2.6) Đạo hàm (2.6) theo t nhân i~ vào hai vế ta được: ∂ρ ˜ i Ht − ~i Ht ∂ ρ i~ = [H, ρ] + (i~) e e~ , ∂t ∂t (2.7) Từ (2.4) (2.7), ta có: H+ Ht1 , ρ = [H, ρ] + (i~) e ˜ − ~i Ht ∂ ρ ∂t e i Ht ~ , (2.8) 422 LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ - BÙI CAO DIỄM SƯƠNG Mặt khác H + Ht1 , ρ = [Ht1 , ρ] + [H, ρ] (2.9) Đồng (2.8) (2.9) ta thu được: ˜ i Ht − ~i Ht ∂ ρ ~ = [Ht1 , ρ] (i~) e e ∂t i (2.10) i Nhân e ~ Ht e− ~ Ht vào hai vế (2.10), ta i~ i ∂ ρ˜ = Ht1 (t), ρ˜ , ∂t (2.11) i Ht1 (t) = e ~ Ht Ht1 e− ~ Ht toán tử nhiễu loạn ngồi Biểu thức(2.11) phương trình Liouville lượng tử cho toán tử ma trận phụ thuộc vào thời gian ρ˜ ρ˜ LÝ THUYẾT PHẢN ỨNG TUYẾN TÍNH Lấy tích phân hai vế phương trình (2.11) từ −∞ đến t ý điều kiện ≡ ρ˜0 = ρ0 ta tìm dạng ρ˜: t=−∞ Z t ρ˜(t) = ρ0 + −∞ Ht0 (t ), ρ˜(t0 ) dt0 i~ (3.1) i i Thay ρ˜(t) = e ~ Ht ρ(t)e− ~ Ht vào (3.1) i i e ~ Ht ρ(t)e− ~ Ht = ρ0 + Z t i Ht0 − i Ht0 e~ Ht (t ), ρ e ~ dt i~ −∞ i Trong phương trình ta sử dụng điều kiện giao hoán Ht (t1 ) e± ~ Ht1 Nhân i i e− ~ Ht vào bên trái nhân e ~ Ht vào bên phải hai vế biểu thức trên, ta được: Z t i i H(t−t0 ) 0 ρ˜(t) = ρ0 + e~ Ht0 (t ), ρ(t0 ) e− ~ H(t−t ) dt0 , i~ −∞ với ρ0 = ρ(t) hàm phân bố cân Nếu nhiễu loạn nhỏ nghiệm t=t0 →∞ phương trình thu phép gần lặp Thay ρ(t) → ρ0 số hạng thứ hai với ý nghĩa gần bậc nhất: Z t Ht0 (t − t), ρ0 dt0 (3.2) ρ(t) = ρ0 + −∞ i~ Sử dụng đẳng thức Kubo cho toán tử A để biến đổi phương trình Z h i −βH −βH A, e = −e β eλH [A, H]e−λH dλ 423 ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ Ta có ρ0 = Z −1 eβH với β = Ht10 (t0 kB T nên: β Z eλH Ht10 (t0 − t), H e−λH dλ − t), ρ0 = −ρ0 Thay vào (3.2), ta được: t Z β Z ρ(t) = ρ0 − e −∞ λH −λH ˜ Ht0 (t − t)e dλdt , (3.3) ˜ 10 (t0 − t) = H 10 (t0 − t), H Từ biểu thức (3.2) ta tính giá trị H t t i~ trung bình đại lượng vật lí A gần tuyến tính theo Ht1 : Z t TR Ht10 (t0 − t), ρ0 A dt0 hAi = TR (ρ0 A) + −∞ i~ Sử dụng phép hốn vị vịng quanh dấu TR ( ) ta được: Z t TR ρ A(t), Ht10 (t0 ) dt0 , hAi = TR (ρ0 A) + −∞ i~ i i với A = e ~ Ht Ae− ~ Ht , hay Z hAi = hAi0 + t A(t), Ht10 (t0 ) dt0 , i~ −∞ (3.4) kí hiệu h i0 = TR (ρ0 ) lấy trung bình theo tốn tử ma trận mật độ cân ρ0 Thay (3.3) vào (3.4), ta được: Z β Z t D E ˜ 10 (t0 )e−λH A(t) dt0 (3.5) hAi = hAi0 − dλ eλH H t −∞ ˜ 10 = H 10 (t0 ), H vào (3.5) ta được: Thay H t t i~ Z β Z t hAi = hAi0 − dλ dt0 eλH Ht0 (t ), H e−λH A(t) i~ −∞ (3.6) Sử dụng phép hoán vị vòng quanh biến đổi, ta được: ˜ Ht0 (t ), H A(t) = Ht10 (t0 )A(t), i~ ˜ = với A(t) i~ (3.7) [A(t), H] Thay (3.7) vào (3.6), ta được: Z hAi = hAi0 + β Z t dλ −∞ D E ˜ dt0 eλH Ht10 e−λH A(t) Ta viết lại (3.8) sau: Z hAi = hAi0 + β Z t dλ −∞ D E ˜ dt0 Ht10 (t0 − i~λ)A(t) (3.8) 424 LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ - BÙI CAO DIỄM SƯƠNG Đối với nhiễu loạn ngồi có dạng Ht1 = − hAi = hAi0 − j Bj Fj (t) thì: > Fj (t0 )dt0 −∞ j = hAi0 + ∞ XZ P ∞ XZ dt −∞ j β Z D E dλ eλH Bj (t0 )e−λH A(t) Fj (t0 ) (3.9) 0 Công thức (3.9) cơng thức Kubo cho phản ứng tuyến tính hệ lượng tử CƠNG THỨC KUBO CHO TENXƠ ĐỘ DẪN Xét ảnh hưởng điện trường biến thiên dạng: o n ~0 ~ ~ cos ωte∆t = Re e−iωt+∆t E E(t) =E (4.1) Khi tốn tử Ht1 có dạng: Ht1 = − X ~ , ~ri cos ωte∆t ei E i ~ , P~ cos ωte∆t , = − E (4.2) P ei điện tích i, ~ri bán kính vectơ vị trí hạt thứ i, P~ = i ei~ri hạt thứ ~ P~ = P3 E0ν Pν , nên ta viết lại biểu thức H sau: vectơ phân cực Vì E t ν Ht1 = − X E0ν Pν cos ωte∆t (4.3) ν Dưới ảnh hưởng điện trường dạng (4.1) hệ xuất dịng điện với giá trị trung bình mật độ dịng tính theo cơng thức (3.5): β Z hJµ i = hJµ i0 − Z t −∞ D E ˜ 10 (t0 )e−λH Jµ (t) dλdt0 , eλH H t (4.4) Jµ thành phần thứ µ tốn tử mật độ dịng điện, Jµ (t) biểu diễn Heisenberg Jµ Do hJµ i0 = t → −∞ nên: hJµ i = − i~ Z β Z t dλ −∞ E D i i dt0 eλH e ~ H(t−t ) Ht10 , H e− ~ H(t−t ) e−λH Jµ (4.5) Thay (4.3) vào (4.5) ta được: X hJµ i = i~ ν=1 Z β Z t dλ −∞ D E i i 0 dt0 eλH e ~ H(t−t ) [Pν , H] e− ~ H(t−t ) e−λH Jµ × E0ν cos ωt0 e∆t (4.6) 425 ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ Thay [Pν , H] = − ~i Jν vào (4.6) ta ) ( Z Z β D E X t 0 dλ eλH Jν (t0 − t)eλH Jµ E0ν e−iωt +λt , hJµ i = Re dt0 ν=1 −∞ i 0 i Jν (t0 − t) = e ~ H(t−t ) Jν e− ~ H(t−t ) Thực biến đổi biến số t” = t − t0 (4.7) trở thành ) ( Z Z β D E X ∞ iωt”−∆t” λH −λH , hJµ i = Re dt” dλ e Jν (−t”)e Jµ E0ν e ν=1 (4.7) 0 (4.8) ta đặt E0ν (t) = E0ν e−iωt+∆t Do không dùng đến biến t’ cũ nên ta viết (4.8) sau: ( Z ) Z β D E X ∞ λH −λH iωt0 −∆t0 hJµ i = Re dt dλ e Jν e Jµ (t ) E0ν e (4.9) ν=1 0 Theo biểu thức tổng quát định luật Ohm viết dạng tenxơ ( ) X hJµ i = Re σµν (ω)E0ν (t) (4.10) ν=1 So sánh (4.9) (4.10) suy Z ∞ Z σµν (ω) = dt β D E 0 dλ eλH Jν e−λH Jµ (t0 ) eiωt −∆t 0 (4.11) Khi ∆ → +0 ta viết lại sau: ∞ Z σµν (ω) = lim ∆→+0 0 dteiωt −∆t (Jν , Jµ (t)) , (4.12) (Jν , Jµ (t)) hàm tương quan thời gian hai toán tử Jν Jµ (t): Z (Jν , Jµ (t)) = β D eλH Jµ (t)e−λH E dλ Cơng thức (4.12) cơng thức Kubo cho tenxo độ dẫn CƠNG THỨC KUBO-MORI CHO TENXƠ ĐỘ DẪN Theo cơng thức Kubo (4.12) để tính tenxơ độ dẫn ta phải khai triển hàm tương quan dòng - dòng cho tích phân (4.12) hội tụ Để thực điều Mori đề nghị biểu diễn hàm tương quan dạng liên phân số vô hạn liên tục Ưu điểm phương pháp hàm số biểu diễn dạng liên phân số vô hạn liên tục hội tụ nhanh biểu diễn dạng chuỗi lũy thừa Chúng ta sử dụng điều để ngắt liên phân 426 LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ - BÙI CAO DIỄM SƯƠNG số gần bậc hai với giả thuyết tương tác electron-phonon nhỏ Xét hai toán tử A(t) B(t) mơ tả phương trình Louiville: dA(t) dt dB(t) dt = = i [H, A(t)] = iLA(t) ~ i [H, B(t)] = iLB(t), ~ (5.1) L tốn tử Liouville Dựa cách tính Mori ta chứng minh được: −1 Z ∞ Z ∞ −∆t −zt dte (A, B(t)) = (A, B) ∆ − iη + dte F (t) , (5.2) ˙ B)(A, B)−1 với A˙ đạo hàm toán tử A theo thời gian, F(t) iη = −(A, hàm tương quan thời gian hai toán tử A, B, z = ∆ − iω: Z θD E (A, B) = eλH Ae−λH B dλ, θ= kB T Ta kí hiệu: A ≡ A(t) = A(0), B ≡ B(t) = B(0) t=0 t=0 Qua q trình tính tốn, ta biểu thức sau: Z Z ∞ −∆t −1 e (A, B(t))dt = (A, B) ∆ − iη + (A, B) ∞ e −∆t −1 F (t)dt , (5.3) 0 ˙ B)(A, B)−1 = − i Ta có iη = −(A, ~ DR β o E dλeλH [H, A]e−λH B (A, B)−1 Sử dụng đồng công thức Kubo: Z [A, eβH ] = e−βH β eλH [A, H]e−λH dλ, ta viết lại: i iη = ~ −βH [A, e ] e−βH B (A, B)−1 = i h[A, B]i (A, B)−1 ~ Vậy ~η = h[A, B]i (A, B)−1 Trong biểu thức (5.2) ảnh Laplace hàm tương quan F (t) biểu diễn dạng biểu thức tương tự Để đưa biểu thức gần giả thiết Hamiltonian hệ biểu diễn dạng: H = H0 + U , H0 lượng khơng tương tác hệ điện tử tâm tán xạ; U phần tử tạo thành hệ coi nhiễu loạn nhỏ Trong toán mà hiệu ứng xảy với chế tán xạ điện tử-phonon U lượng tương tác hệ điện tử-phonon Khi tốn tử Louiville tách thành hai thành phần tương ứng với hai thành phần toán tử Hamiltonian: L = L(0) + L(1) Trong gần bậc hai, ta có: (0) t R(t) = Rei(1−P2 )Lt ≈ Rei(1−P2 )L với Q = (1 − P1 )iLA, R = (1 − P2 )iLA Ta viết lại sau: (0) t (Q, R(t)) = (Q, Rei(1−P2 )L ) , ĐỘ DẪN ĐIỆN VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ (0) (1 − P1 )iLA, (1 − P2 )iLBei(1−P2 )L t i i (0) = (1 − P1 ) [H, A], (1 − P2 ) [H, B]ei(1−P2 )L t ~ ~ = 427 (5.4) Nếu có đẳng thức sau: [H0 , A] = ConstantA [H0 , B] = ConstantB biểu thức (5.4) viết lại dạng: 2 i i i (Q, R(t)) ≈ [U, A], e ~ H0 t [H, B]e ~ ~ 2 i ([U, A], [U, B]I ) , ≈ ~ (5.5) : [U, B]I biểu diễn tương tác [U, B] Thay (5.5) vào (5.3), ta được: Z ( ∞ e −∆t (A, B(t))dt = (A, B) ∆ − iη + (A, B) −1 )−1 2 Z ∞ i −∆t e ([U, A], [U, B]I ) dt ~ Để tính tenxơ độ dẫn ta thay tốn tử A, B Jµ , Jν (t), ta được: Z ∞ σµν (ω) = lim eiωt−∆t (Jµ , Jν (t))dt ∆→+0 ( )−1 2 Z ∞ i ⇔ σµν (ω) = lim (Jµ , Jν ) ∆ − iη + (5.6) e−∆t ([U, Jµ ], [U, Jν ]I ) dt ∆→+0 ~ Công thức (5.6) xây dựng sở phương pháp Kubo-Mori ngắt chuỗi liên phân số gần bậc hai tương tác Công thức sử dụng để tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu electron tự bán dẫn KẾT LUẬN Trong báo này, thiết lập công thức Kubo Kubo-Mori cho tenxơ độ dẫn Từ biểu thức tổng quát ta khảo sát độ dẫn điện hệ số hấp thụ sóng điện từ tương tác electron-phonon chấm lượng tử với giam giữ có dạng xác định TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2004), “Lý thuyết bán dẫn”, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Quang Báu, Lê Đình Trần Cơng Phong (2007), “Absorption Coefficient of Weak Electron Wave caused by Confined Electrons in Quantum Wires”, Journal of the Korean Physical Society , Vol 51, No 4, 1325 428 LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ - BÙI CAO DIỄM SƯƠNG [3] Lê Đình (2008), Một số hiệu ứng cao tần tương tác electron – phonon dây lượng tử bán dẫn, Luận án tiến sĩ vật lý, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội E.M Epstein, Radio [4] Nguyễn Thị Thu Thủy (2008), “Tìm hiểu phương pháp toán tử chiếu Mori ứng dụng”, Khoá luận tốt nghiệp đại học, Trường ĐHSP Huế [5] Lê Quốc Anh (2008), “Độ dẫn điện hệ số hấp thụ sóng điện từ dây lượng tử hình trụ”, Khoá luận tốt nghiệp đại học, Trường ĐHSP Huế [6] Nguyễn Thị Thu Hằng (2009), Hệ số hấp thụ sóng điện từ tương tác electronphonon dây lượng tử hình chữ nhật, Khố luận tốt nghiệp đại học, Trường ĐHSP Huế [7] Nguyễn Thị Minh Tâm (2013), Nghiên cứu hấp thụ sóng điện từ giếng lượng tử tam giác phương pháp Kubo- Mori, Khoá luận tốt nghiệp đại học, Trường ĐHSP Huế [8] Cui H L and Horing N J M (1989), “Dynamical conductivity of a quantum-wire superlattics”, Phys Rev B 40, 2956 LÊ NGỌC QUỲNH NHƯ BÙI CAO DIỄM SƯƠNG SV lớp VLTT 4, khoa Vật lý, trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế ĐT: 0120 348 2495, Email: quynhnhu250295@gmail.com ... (2009), Hệ số hấp thụ sóng điện từ tương tác electronphonon dây lượng tử hình chữ nhật, Khoá luận tốt nghiệp đại học, Trường ĐHSP Huế [7] Nguyễn Thị Minh Tâm (2013), Nghiên cứu hấp thụ sóng điện từ. .. Kubo-Mori cho tenxơ độ dẫn Từ biểu thức tổng quát ta khảo sát độ dẫn điện hệ số hấp thụ sóng điện từ tương tác electron- phonon chấm lượng tử với giam giữ có dạng xác định TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn... tác hệ điện tử tâm tán xạ; U phần tử tạo thành hệ coi nhiễu loạn nhỏ Trong toán mà hiệu ứng xảy với chế tán xạ điện tử -phonon U lượng tương tác hệ điện tử -phonon Khi tốn tử Louiville tách thành