Lí thuyết nhiễu loạn có điều tiết cho năng lượng exciton trung hòa trong từ trường đều

Exciton hai chiều trong từ trường là bài toán quan trọng cho việc trích xuất các thông tin cấu trúc vật liệu đơn lớp TMD (Transition Metal Dichalcogenides). Bài viết trình bày tổng quát lại lí thuyết nhiễu loạn. Sau đó, sự hội tụ của nghiệm bổ chính bậc cao được nghiên cứu với từ trường lên tới 120 Tesla.

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Tập 19, Số (2022): 399-410 ISSN: 2734-9918 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Vol 19, No (2022): 399-410 Website: http://journal.hcmue.edu.vn https://doi.org/10.54607/hcmue.js.19.3.3363(2022) Bài báo nghiên cứu * LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN CĨ ĐIỀU TIẾT CHO NĂNG LƯỢNG EXCITON TRUNG HÒA TRONG TỪ TRƯỜNG ĐỀU Lý Duy Nhất 1*, Huỳnh Nguyễn Thanh Trúc 2, Nguyễn Lục Hoàng Minh1, Nguyễn Nhật Quang1, Đoàn Phước Thiện1, Phan Ngọc Hưng Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam Trường THPT Marie Curie, Thành phố Hồ Chí Minh, Việt Nam * Tác giả liên hệ: Lý Duy Nhất – Email: nhatld@hcmue.edu.vn Ngày nhận bài: 08-02-2022; ngày nhận sửa: 22-3-2022; ngày duyệt đăng: 25-3-2022 TÓM TẮT Exciton hai chiều từ trường tốn quan trọng cho việc trích xuất thông tin cấu trúc vật liệu đơn lớp TMD (Transition Metal Dichalcogenides) Gần đây, phương pháp toán tử FK (Feranchuk-Komarov) sử dụng thành cơng để tính số phổ lượng cho hệ Trong cơng trình này, lí thuyết nhiễu loạn với điều tiết tham số tự sử dụng để tính lượng exciton từ trường với Keldysh Trước tiên, chúng tơi trình bày tổng qt lại lí thuyết nhiễu loạn Sau đó, hội tụ nghiệm bổ bậc cao nghiên cứu với từ trường lên tới 120 Tesla Các tính tốn số trình bày cho trạng thái bản, biểu thức tổng quát cho phép tính cho trạng thái kích thích Kết có độ xác đến bổ bậc hai cao, sai số 1% cho phép nghiên cứu tiếp vấn đề để có lời giải giải tích tường minh Từ khóa: tốn tử sinh hủy; hàm sở; phương pháp toán tử FK; exciton; chắn; hệ nguyên tử hai chiều Giới thiệu Phổ lượng exciton đơn lớp TMD (Transition metal dichalcogenide) toán quan trọng khảo sát hiệu ứng lượng tử, quang học vật lí bán dẫn khảo sát từ năm 30, 60 70 (Frenkel, 1931; Keldysh, 1979; Rytova, 1967; Wannier, 1937) ngày (Chernikov et al., 2014; Goryca et al., 2019; McDonnell, Viner, Rivera, Xu, & Smith, 2020; Nguyen, Ly, Le, Hoang, & Le, 2019; Raja et al., 2017; Stier et al., 2018) Bằng cách so sánh phổ lượng exciton lí thuyết thực nghiệm ta trích xuất thơng tin cấu trúc đơn lớp TMD số điện mơi trung bình, chiều dài chắn khối lượng rút gọn đơn lớp TMD Ý tưởng lần khởi xướng vào năm 2014 Chernikov cơng trình (Chernikov et al., 2014) để trích xuất chiều Cite this article as: Ly Duy Nhat, Huynh Nguyen Thanh Truc, Nguyen Luc Hoang Minh, Nguyen Nhat Quang, Đoan Phuoc Thien, & Phan Ngoc Hung (2022) Regulated perturbation theory for neutral exciton energy in a uniform magnetic field Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 19(3), 399-410 399 Tập 19, Số (2022): 399-410 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM dài chắn ý tưởng tiếp tục áp dụng cho cơng trình 2018, 2019 dựa phổ lượng exciton từ trường để trích xuất chiều dài chắn, hệ số điện môi hệ số nghịch từ (Goryca et al., 2019; Stier et al., 2018) Tuy nhiên, cơng trình này, để trích xuất thơng tin khối lượng rút gọn, tác giả sử dụng công thức lượng phụ thuộc tuyến tính vào từ trường Nên nghiên cứu biểu thức giải tích phù hợp cho vùng từ trường 90 Tesla để sử dụng thực nghiệm cần thiết Cũng năm 2019, chúng tơi áp dụng phương pháp tốn tử FK (Feranchuk, Ivanov, Le, & Ulyanenkov, 2015) để trích xuất chiều dài chắn khối lượng rút gọn đơn lớp TMD chất WSe2 (Nguyen et al., 2019) Phổ lượng thu cơng trình hội tụ đến 12 chữ số thập phân cho mức lượng tử s Việc giải số phổ lượng dựa mơ hình giải xác phương trình trị riêng, véc-tơ riêng cho phép sử dụng lại code FORTRAN đăng Tạp chí Computer Physics Communications năm 2019 (Cao, Ly, Hoang, & Le, 2019) Tuy nhiên để có biểu thức mô tả tường minh phụ thuộc lượng exciton vào từ trường cách giải số sử dụng Từ gợi ý cho thực nghiên cứu với mục tiêu nghiên cứu tính hội tụ độ xác bổ bậc thấp lí thuyết nhiễu loạn Trong nghiên cứu này, trước tiên trình bày cách hệ thống mơ hình lí thuyết nhiễu loạn áp dụng cách điều tiết tốc độ hội tụ tham số tự đưa phương pháp tốn tử FK Sau chúng tơi khảo sát tính hội tụ mơ hình áp dụng để tìm lượng mức exciton từ trường có cường độ lên đến 120 Tesla, gấp đơi từ trường phịng thí nghiệm (Stier et al., 2018) Chúng so sánh kết thu với mơ hình giải xác phương trình trị riêng, véc-tơ riêng đánh giá vai trò điều tiết tham số tự để có nghiệm hội tụ Ngồi chúng tơi đánh giá độ xác bổ đến bậc hai để sử dụng biểu thức giải tích lượng cho tốn vật lí Lí thuyết nhiễu loạn có điều tiết 2.1 Phương trình Schrưdinger Trước tiên, chúng tơi viết phương trình Schrưdinger cho exciton trung hòa đặt từ trường hệ đơn vị nguyên tử (Hartree atomic units) có đơn vị chiều dài bán kính Bohr hiệu dụng a0* = 4πε = / µ e , µ mh me / ( mh + me ) khối lượng rút gọn, đơn vị lượng Hartree hiệu dụng Eh* = µ e /16π 2ε 02  đơn vị từ trường B0 = µ Eh* / e Phương trình có dạng sau:   ∂  mα ex γ ∂2  γ 2 0, − + + ( x + y ) + Vh −e ( r ) + − E ψ ( x, y ) =   2    ∂x ∂y   đó, bán kính= r (1) x + y , m = 0, ± 1, ± 2, trị riêng toán tử moment động lượng 400 Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM  ∂ ∂  lˆz = −i  x − y  , ∂x   ∂y (2) tham số α ex =− ( mh me ) / ( mh + me ) Khối lượng hiệu dụng lỗ trống mh electron me ước lượng Bảng cơng trình (Kylänpää & Komsa, 2015) Thế tương tác Vh −e ( r ) electron lỗ trống đơn lớp TMD có dạng Keldysh (Keldysh, 1979) mô tả thông qua hàm Struve Bessel bậc không  κ r  π   κr  VK ( r , r0 , κ ) = −  H   − Y0    2r0   r0   r0   (3) Ở đây, κ số điện mơi trung bình, r0 độ dài chắn có liên quan tới độ phân cực χ 2D đơn lớp TMD, r0 = 2πχ D Chi tiết phương trình tham khảo cơng trình (Nguyen et al., 2019) Bây sử dụng phép biến đổi Levi- Civita (Levi-Civita, 1956) x= u − v2 , y = 2uv (4) để chuyển phương trình Schrưdinger (1) dạng dao động tử phi điều hòa hai chiều Bước chuyển thực cơng trình trước (Hoang-Do, Hoang, & Le, 2013; Hoang-Do, Pham, & Le, 2013; Nguyen et al., 2019) này, khơng trình bày lại tính tốn Kết cuối thu phương trình Schrưdinger khơng gian (u , v) sau ∂2    1 ∂  − + − E − mα ex γ  ( u + v )   2   ∂v     ∂u  (5)  + ( u + v ) + ( u + v ) VK ( u , v ) ψ ( u , v ) =  Bài tốn dao động tử phi điều hịa thuận tiện tính tốn phương pháp đại số qua biểu diễn toán tử sinh hủy, định nghĩa sau: γ2 2 2 ω ∂  ω ∂  ˆ ω ∂  ˆ+ ω ∂  + αˆ =  u + (6)  , αˆ =  u − , β = v + , β = v − ω ∂u ω ∂u ω ∂v ω ∂v          Chú ý giáo trình lượng tử, người ta sử dụng tần số góc dao động tử điều hịa định nghĩa tốn tử sinh, hủy, nghĩa người ta chọn cố định: ω = −8E + 4mα exγ Khi đó, thành phần dao động điều hịa phần thành phần phi điều hịa nhiễu loạn Phương pháp tốn tử trình bày chuyên khảo (Feranchuk et al., 2015) có ý tưởng xem ω tham số tự giúp điều chỉnh tốc độ hội tụ toán Điều thảo luận chuyên khảo nhắc lại cơng trình (Nguyen et al., 2019) 401 Tập 19, Số (2022): 399-410 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trong tốn này, để tận dụng tính chất bảo tồn moment động lượng, tốn tử sinh, hủy định nghĩa thơng qua toán tử (6) sau: 1 1 (7) aˆ = αˆ − i βˆ , aˆ + = αˆ + i βˆ , bˆ = αˆ + i βˆ , bˆ + = αˆ − i βˆ 2 2 Các toán tử sinh, hủy thỏa mãn tính chất giao hốn  aˆ= (8) , aˆ +  bˆ= , bˆ +  1, [= aˆ , aˆ ]  aˆ += , aˆ +  = bˆ, bˆ  bˆ += , bˆ +  ( ( ) ( ) ) ( ) Lúc này, toán tử moment động lượng chứa tốn tử trung hịa nˆa = aˆ + aˆ nˆb = bˆ + bˆ ( ) + Lˆ aˆ aˆ − bˆ + bˆ = Phương trình (5) viết lại dạng đại số sau Hˆ ψ = E Rˆ ψ , (9) (10) đó, E= E − mα ex γ / toán tử Hˆ , Rˆ biểu diễn qua toán tử sinh, hủy ˆ aˆ + aˆ + bˆ + bˆ + + ab ˆ ˆ + aˆ + bˆ + , R= (11) ω2 + γ2 ˆ ˆ − aˆ + bˆ + + Rˆ − ω VˆK = Hˆ aˆ aˆ + bˆ + bˆ + − ab 8ω Trong biểu thức (11), toán tử Vˆ mơ tả chắn Keldysh viết dạng tích phân ( ) K ∞ VˆK = − ∫ κ dq 1+ ω r q / κ 2 0 2 ˆ e − qR Rˆ (12) Để áp dụng mơ hình lí thuyết nhiễu loạn, phương trình (10) chúng tơi tách Hamiltonian Hˆ tốn tử bán kính Rˆ thành hai phần Một phần chứa tốn tử trung hịa Hˆ , Rˆ Đây tốn tử có yếu tố ma trận nằm đường chéo 0 khác yếu tố ma trận khác Phần thứ hai phần nhiễu loạn Vˆ , Sˆ chứa tốn tử khơng trung hịa nên thành phần đường chéo Ví dụ, ta tách tốn tử ˆ Rˆ + Sˆ , Rˆ chứa tốn tử trung hịa R = 0 + + Nˆ = aˆ aˆ + bˆ bˆ + 1, (13) Sˆ chứa tốn tử khơng trung hịa ˆ ˆ, Mˆ + = Sˆ = Mˆ + Mˆ + ; Mˆ = ab aˆ + bˆ + (14) Cuối viết lại dạng đại số phương trình (10) thành Hˆ + Vˆ ψ =E Rˆ + Sˆ ψ ( ) ( ) (15) Phương trình (15) bắt nguồn từ phương trình (5) có dạng phương trình cho dao động tử phi điều hòa Từ hàm sở dao động tử điều hòa hai chiều sử dụng Tận 402 Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM dụng tính chất bảo tồn moment động lượng nên hàm sở hai chiều số chạy n viết lại dạng đại số n−m n+m n, m = (16) ( aˆ + ) bˆ+ (ω ) , ( n + m )!( n − m )! ( ) đó, aˆ , aˆ + , bˆ, bˆ + toán tử sinh, hủy định nghĩa (Nguyen et al., 2019) viết lại (7) Bộ hàm sở (16) trực giao chuẩn hóa thỏa mãn điều kiện n ', m ' n, m = δ δ , aˆ= (ω ) bˆ= (ω ) n 'n m'm 2.2 Mơ hình lí thuyết nhiễu loạn Bây giờ, ta coi thành phần Vˆ , Sˆ phương trình (15) thành phần nhiễu loạn Đầu tiên ta viết Vˆ → βVˆ , Sˆ → β Sˆ , β tham số hình thức để xác định bậc nhiễu loạn bỏ sau xác định bổ lượng hệ số hàm sóng Ta viết lại phương trình Schrưdinger (15) thành (17) Hˆ + βVˆ ψ = E Rˆ + β Sˆ ψ ( ( ) ) Giả thuyết trị riêng Hˆ không suy biến hệ hàm riêng đủ trực chuẩn thỏa mãn phương trình Hˆ n = E ( 0) Rˆ n n { i } Hˆ đầy (18) Giải phương trình tìm lượng bậc phụ thuộc vào tham số tự ω bình phương cường độ từ trường γ (VK )nn γ H E n( ) = nn =ω + + ( 5n + 5n − 3m + 3) , 2n + 4ω Rnn (19) đó, yếu tố ma trận xác định X = n, m Xˆ k , m nk Để tìm nghiệm bậc ( s ) (17), trước tiên ta viết dạng khai triển hàm sở (16) ψ n= n + +∞ ∑ = k 0, k ≠ n Ck k (20) Ta ý toán xét hai chiều với hai số lượng tử hệ có tính bảo tồn moment động lượng nên hàm sở cố định số lượng tử từ m số chạy khai triển hàm sóng bên Thay (20) vào phương trình (17) ta thu 403 Tập 19, Số (2022): 399-410 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM ( Hˆ +∞ +∞ ˆ  n + ∑ C k  =  Rˆ + β Sˆ  n + ∑ C k  β V E + (21) k k n 0 k= k= 0,k ≠ n 0,k ≠ n     ( ) ) Tiếp theo, ta nhân trái n cho hai vế (21) ta thu E n( ) Rnn + β +∞    = + C V E R β Ck S nk  ∑ ∑ k nk n  nn k= k= 0, k ≠ n 0, k ≠ n   +∞ (22) Tương tự ta nhân trái j , j ≠ n cho hai vế (21) ta thu +∞    = + + β β C V E C R S Ck S jk  (23) ∑ ∑ k jk n j jj jn k= k= 0, k ≠ n 0, k ≠ n   Sau đó, ta tìm lượng E n hệ số khai triển C j dạng khai triển theo bậc E (j0)C j R jj + βV jn + β +∞ nhiễu loạn ( s ) +∞ +∞ s s E n =E n( ) + ∑ β s ∆En( ) , C j =∑ β s ∆C (j ) ( j ≠ n ), (24) =s =s đó, E n( ) lượng bổ bậc xác định biểu thức (19) hệ số khai triển bậc 0, Cn( ) = Cuối cùng, ta thay biểu thức (24) vào hệ phương trình (22) (23) để tìm bổ lượng hệ số khai triển hàm sóng Năng lượng bổ bậc ( s ) Để tìm lượng bổ ta thay (24) vào (22) Khai triển rút gọn ta +∞ +∞ +∞ ∑ β h+1= ∑ Vnk ∆Ck( h) En(0) ∑ β t +1 h= k= 0, k ≠ n +∞ ∑ +∞ S nk ∆Ck(t ) + Rnn ∑ β h ∆En( h ) t= k= 0, k ≠ n +∞ +∑ β ∆En (h) h = h +∞ ∑β h= +∞ ∑ t +1 =t = k 0, k ≠ n (25) (t ) S nk ∆Ck Xét bổ bậc 1, ta giữ lại số hạng có chứa β , β thu 1 En  Tiếp theo xét bổ bậc ( s − 1) , ta giữ lại số hạng có chứa từ β → β s −1 thu s −2 +∞ s −2 ∑ β h+1= ∑ Vnk ∆Ck( h) En(0) ∑ β t +1 0, k ≠ n h= k= +∞ ∑ s −1 S nk ∆Ck(t ) + Rnn ∑ β h ∆En( h ) 0, k ≠ n t= k= s −3 + ∑ β ∆En h (h) = h Tương tự xét bổ bậc ( s ) ta thu 404 s − 2− h ∑β =t 1 h= t +1 +∞ ∑ = k 0, k ≠ n (t ) S nk ∆Ck (26) Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM s −2 ∑ β h+1 +∞ ∑ Vnk ∆Ck( h ) + β s 0, k ≠ n h= k= = En( 0) s −2 ∑ β t +1 +∞ ∑ +∞ ∑ Vnk ∆Ck( s −1) 0, k ≠ n k= S nk ∆Ck( ) + ε n β s +∞ ∑ t 0, k ≠ n t= k= s −2 + β s ∑ ∆En( +∞ ∑ h) S nk ∆Ck( s −1) s −1 + Rnn β s ∆En( ) + Rnn ∑ β h ∆En( s 0, k ≠ n k= S nk ∆Ck( s −1− h ) h) (27) h= s −3 + ∑ β h ∆En( h) 0, k ≠ n = h h= k= s − 2− h ∑ β t +1 +∞ ∑ S nk ∆Ck(t ) = k 0, k ≠ n t= So sánh (26) (27), ta thu s −2 +∞  +∞ ( 0) ( s −1) ( h) ( s −1− h )   ∑ Vnk − En S nk ∆Ck − ∑ ∆En ∑ Snk ∆Ck  Rnn  k = 0, k ≠ n 0, k ≠ n h= k=  ( = ∆En( ) s ) (28) Hàm sóng bổ bậc ( s ) Ta tiếp tục tìm hệ số khai triển hàm sóng bậc ( s ) cách thay (24) vào (23) tiến hành rút gọn ( R jj E (j ) − En( ) 0) = β En( ) S jn + En( +∞ +∞ ∑ β h ∆C (jh) + βV jn + ∑ β t +1 = h 0) =t +∞ ∑ β h+1 +∞ ∑ +∞ ∑ ∆Ck( )V jk t = k 0, k ≠ n +∞ +∞ ∆Ck( ) S jk + R jj ∑ β t ∆En( ) ∑ β h ∆C (j h h= k= 0, k ≠ n t h) (29) t= h= +∞ +∞ +∞ =t =t = h + S jn ∑ β t +1∆En(t ) + ∑ β t +1∆En(t ) ∑ β h +∞ ∑ = k 0, k ≠ n ∆Ck( h ) S jk Tương tự bước tìm lượng bổ chính, ta lần lượng tìm hệ số khai triển bậc 1, ∆Ck( ) ; bậc ( s − 1) , ∆Ck( s −1) ; bậc ( s ) Sau so sánh hai biểu thức bậc ( s − 1) ( s ) , cuối ta thu S jn En( ) − V jn ∆C (j1) = , H jj − R jj En( 0) = ∆C (j ) s H jj − R jj En( ) (30)  +∞  s ( s −1) S E S jk En( ) − V jk ∆Ck( − ) + ∆ +  jn n ∑ k = 0,  k ≠n, j  ( ) (31)  s −1 s −2 +∞ t s −t t s −t −1  + ∑ ∆En( ) R jj ∆C (j ) + ∑ ∆En( ) ∑ S jk ∆Ck( )  k 0, =t =t =  k ≠n, j  Kết thảo luận 3.1 Khảo sát hội tụ lượng bổ Khi áp dụng mơ hình lí thuyết nhiễu loạn, điều cần quan tâm hội tụ lượng hàm sóng bậc ( s ) Để có hội tụ này, thành phần khơng trung hịa Vˆ phải đủ nhỏ so với Hˆ , nghĩa 405 Tập 19, Số (2022): 399-410 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Vˆ  Hˆ (32) ˆ Hˆ + Vˆ phụ = Từ biểu thức (11) cho thấy, yếu tố ma trận Hamiltonian H thuộc vào tham số tự ω nên ta chọn vùng giá trị thỏa mãn điều kiện hội tụ (32) Giá trị ω chọn cách cho ∂E / ∂ω = 0, với ý nghĩa lượng n không phụ thuộc tham số ω Tuy nhiên ta biểu thức giải tích lượng E mà có biểu thức lượng bổ bậc khơng E ( ) (Hoang-Do, n n Pham, et al., 2013) Nhưng nghiên cứu này, chúng tơi áp dụng mơ hình lí thuyết nhiễu loạn cho chắn Keldysh Từ biểu thức (19), ta thấy yếu tố ma trận phụ thuộc vào tham số ω dấu tích phân phức tạp có chứa thơng số cấu trúc nên phải khảo sát hội tụ tham số ω số Khi lượng hội tụ giá trị xác, bổ tiến không Trong phần này, khảo sát tham số tự ω để tìm vùng tối ưu để nghiệm số hội tụ nhanh Kết khảo sát ghi Bảng 1, trường hợp ví dụ cho đơn lớp TMD chất WSe2 với thông số cấu trúc số điện mơi trung bình κ = 4.5, tham số chắn r0 = 4.2088 nm khối lượng rút gọn µ = 4.2086me tương tác từ trường 60 Tesla, ứng với giá trị ω = 0.25 ω = 0.45 nghiệm số hội tụ số thập phân, lệch so với giá trị xác tới 0.5% lấy bậc bổ s = Đặc biệt, vùng= ω 0.35 ± 0.05 nghiệm số hội tụ chữ số thập phân lấy bậc bổ s = Kết hội tụ đủ khảo sát hiệu ứng từ phổ lượng exciton trung hịa mà phân tích phổ lượng thực nghiệm khoảng meV (Goryca et al., 2019) cơng trình lí thuyết sử dụng phương pháp biến phân có sai số 4% so với kết thực nghiệm (Goryca et al., 2019; Liu et al., 2019; Stier et al., 2018) Bảng Sự hội tụ lượng trạng thái ứng với thông số cấu trúc κ = 4.5, r0 = 4.2088 nm, µ = 4.2086me từ trường γ = 60 T Bậc gần ( s ) ω = 0.25 10 Chính xác -0.027442 -0.029572 -0.029136 - ω = 0.3 ω = 0.35 ω = 0.4 -0.028999 -0.029476 -0.028964 -0.029995 -0.030053 -0.030351 -0.029894 -0.030155 -0.030423 -0.030177 -0.030197 -0.030186 -0.030204 -0.030197 -0.030207 -0.030198 (Nguyen et al., 2019) ω = 0.45 -0.027524 -0.031509 -0.031192 - 3.2 Năng lượng mức exciton đơn lớp TMD chất WSe2 từ trường Trong phần này, khảo sát hội tụ lượng mức 1s vùng giới hạn từ trường lên tới 120 Tesla, gấp đôi từ trường tạo phịng thí nghiệm (Stier et al., 2018) Kết ghi Bảng với từ 406 Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM trường có cường độ 20, 40, 60, 80 120 Tesla Kết cho thấy, toàn miền từ trường từ yếu đến lớn nghiệm số hội tụ đến chữ số thập phân Với phép phân tích quang phổ phịng thí nghiệm meV (Goryca et al., 2019) mơ hình áp dụng cho tốn trích xuất thơng tin cấu trúc cách so sánh phổ thực nghiệm Chúng so sánh kết mơ hình nhiễu loạn với mơ hình giải xác phương trình trị riêng, véc-tơ riêng (Nguyen et al., 2019) Kết cho thấy, mơ hình nhiễu loạn áp dụng để tìm phổ lượng cho exciton đơn lớp TMD từ trường có cường độ đến 120 Tesla Từ đây, gợi ý cho chúng tơi áp dụng mơ hình để giải phương trình Schrưdinger với Hamiltonian dạng phức cho toán exciton đặt điện trường hay xét đến hiệu ứng nhiệt độ gây chuyển động khối tâm từ trường Bảng Mức lượng theo cường độ từ trường 20, 40, 60, 80, 120 Tesla ứng với thông số cấu trúc κ = 4.5, r0 = 4.2088 nm, µ = 4.2086me chọn giá trị tham số tự ω = 0.35 Bậc gần ( s ) γ = 20 γ = 40 γ = 60 γ = 80 γ = 120 14 Chính xác số (Nguyen et al., 2019) -0.029681 -0.030254 -0.030346 -0.030359 - -0.029604 -0.030177 -0.030275 -0.030298 - -0.029476 -0.030053 -0.030155 -0.030195 -0.030197 - -0.029297 -0.029887 -0.029988 -0.030055 -0.030054 -0.030058 -0.028784 -0.029446 -0.029513 -0.029675 -0.029648 -0.029699 -0.030359 -0.030298 -0.030198 -0.030059 -0.029676 Mơ hình lí thuyết nhiễu loạn tìm lượng bổ bậc dạng giải tích Để thực mục tiêu này, tách yếu tố ma trận Hamiltonian H kn thành hai phần: phần không chứa từ trường phần có chứa từ trường, cụ thể: H kk = Akk + Bkk γ , Vkn = Akn + Bknγ (33) Tiếp theo, ta thay biểu thức (33) (30) vào (28), sau lấy đến bậc bổ s = 2, cuối rút gọn biểu thức thu ∆En( 2) = − ( Rnn ) N max ∑ y (γ ), k =0 (34) kn đó, hàm số ykn ( x ) hệ số dấu tổng tính ykn ( x ) = akn x + bkn x + ckn d kn x + ekn akn = ( Akn Rnn − Ann S kn )( Bkn Rnn − Bnn S kn ) , ( Bkn Rnn − Bnn Skn ) , bkn = ckn = Bkk Rnn − Bnn Rkk , ekn = Akk Rnn − Ann Rkk ( Akn Rnn − Ann Skn ) , d kn = 407 (35) Tập 19, Số (2022): 399-410 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Trong tính tốn cụ thể, lượng bổ đến bậc hội tụ đến chữ số thập phân, sai số 0,4% cho từ trường nhỏ vùng từ trường lớn chữ số thập phân tương đương 0,7% Kết đủ để phân tích hiệu ứng từ phổ lượng exciton lí thuyết thực nghiệm Kết luận Trong nghiên cứu này, chúng tơi trình bày cách có hệ thống sơ sở lí thuyết nhiễu loạn để giải phương trình Schrưdinger dừng với điều tiết độ hội tụ nghiệm thông qua tham số tự đưa vào phương pháp toán tử FK Chúng tơi thu cơng thức tổng qt bổ lượng hàm sóng bậc ( s ) Chúng tơi khảo sát tính hội tụ mơ hình lí thuyết nhiễu loạn tìm vùng tham số tự tối ưu cho mức lượng exciton đơn lớp TMD chất WSe2 Chúng áp dụng mơ hình lí thuyết nhiễu loạn thành cơng cho mơ hình Keldysh mơ tả tương tác exciton từ trường đơn lớp TMD với cường độ lớn gấp hai lần cường độ tạo phòng thí nghiệm Chúng tơi viết biểu thức tính lượng bổ bậc giải tích theo cường độ từ trường Mặc dù, nghiên cứu khảo sát mức lượng sở quan trọng để phát triển mô hình nhằm giải tốn phức tạp hơn, ví dụ như: tốn exciton điện trường toán hiệu ứng nhiệt độ xét đến chuyển động nhiệt khối tâm electron lỗ trống từ trường Trong toán này, lượng dạng số phức mà chế gây hiệu ứng nhiệt hiệu ứng xuyên hầm khác với chế dựa chế phonon Sau nghiên cứu này, tiếp tục nghiên cứu lượng hàm sóng cho mức kích thích cơng bố cơng trình  Tuyên bố quyền lợi: Các tác giả xác nhận hồn tồn khơng có xung đột quyền lợi  Lời cảm ơn: Bài báo nghiên cứu tài trợ Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh qua đề tài trọng điểm cấp trường mã số CS.2019.19.44TĐ Các tác giả chân thành cám ơn GS TSKH Lê Văn Hoàng hướng dẫn, đặt vấn đề góp ý, chỉnh sửa cho báo TÀI LIỆU THAM KHẢO Cao, T X H., Ly, D N., Hoang, N T D., & Le, V H (2019) High-accuracy numerical calculations of the bound states of a hydrogen atom in a constant magnetic field with arbitrary strength Computer Physics Communications, 240, 138 Chernikov, A., Berkelbach, T C., Hill, H M., Rigosi, A., Li, Y., Aslan, O B.,… Heinz, T F (2014) Exciton Binding Energy and Nonhydrogenic Rydberg Series in Monolayer WS2 Physical Review Letters, 113(7), 076802 Feranchuk, I., Ivanov, A., Le, V H., & Ulyanenkov, A (2015) Non-perturbative Description of Quantum Systems (vol 894) Cham: Springer International Publishing 408 Lý Duy Nhất tgk Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Frenkel, J (1931) On the Transformation of light into Heat in Solids I Physical Review, 37(1), 17 Goryca, M., Li, J., Stier, A V., Taniguchi, T., Watanabe, K., Courtade, E.,… Crooker, S A (2019) Revealing exciton masses and dielectric properties of monolayer semiconductors with high magnetic fields Nature Communications, 10(1), 4172 Hoang-Do, N T., Hoang, V H., & Le, V H (2013) Analytical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in magnetic field of arbitrary strength Journal of Mathematical Physics, 54(5), 052105 Hoang-Do, N.-T., Pham, D L., & Le, V H (2013) Exact numerical solutions of the Schrödinger equation for a two-dimensional exciton in a constant magnetic field of arbitrary strength Physica B: Condensed Matter, 423, 31 Keldysh, L V (1979) Coulomb interaction in thin semiconductor and semimetal films JETP Lett., 29(11), 658 Kylänpää, I., & Komsa, H.-P (2015) Binding energies of exciton complexes in transition metal dichalcogenide monolayers and effect of dielectric environment Physical Review B, 92(20), 205418 Levi-Civita, T (1956) Opere Metematiche Memorie e Note Vol II: 1901 – 1907 Bologna: Nicola Zanichelli Editore Liu, E., van Baren, J., Taniguchi, T., Watanabe, K., Chang, Y C., & Lui, C H (2019) Magnetophotoluminescence of exciton Rydberg states in monolayer WSe2 Physical Review B, 99(20), 205420 McDonnell, L P., Viner, J J S., Rivera, P., Xu, X., & Smith, D C (2020) Observation of intravalley phonon scattering of 2s excitons in MoSe and WSe monolayers 2D Materials, 7(4), 045008 Nguyen, D A P., Ly, D N., Le, D N., Hoang, N T D., & Le, V H (2019) High-accuracy energy spectra of a two-dimensional exciton screened by reduced dimensionality with the presence of a constant magnetic field Physica E: Low-Dimensional Systems and Nanostructures, 113, 152 Raja, A., Chaves, A., Yu, J., Arefe, G., Hill, H M., Rigosi, A F.,… Chernikov, A (2017) Coulomb engineering of the bandgap and excitons in two-dimensional materials Nature Communications, 8(May), Rytova, N S (1967) The screened potential of a point charge in a thin film Vestnik Moskovskogo Universiteta Fizika, 22(3), 30-37 Stier, A V., Wilson, N P., Velizhanin, K A., Kono, J., Xu, X., & Crooker, S A (2018) Magnetooptics of Exciton Rydberg States in a Monolayer Semiconductor Physical Review Letters, 120(5), 057405 Wannier, G H (1937) The Structure of Electronic Excitation Levels in Insulating Crystals Physical Review, 52(3), 191 409 Tập 19, Số (2022): 399-410 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM REGULATED PERTURBATION THEORY FOR NEUTRAL EXCITON ENERGY IN A UNIFORM MAGNETIC FIELD 1* Ly Duy Nhat , Huynh Nguyen Thanh Truc 2, Nguyen Luc Hoang Minh1, Nguyen Nhat Quang1, Đoan Phuoc Thien1, Phan Ngoc Hung 1 Ho Chi Minh City University of Education, Vietnam Marie Curie High School, Ho Chi Minh City, Vietnam * Corresponding author: Ly Duy Nhat – Email: nhatld@hcmue.edu.vn Received: February 08, 2022; Revised: March 22, 2022; Accepted: March 25, 2022 ABSTRACT Two-dimensional excitons in magnetic fields is an important problem because of the latest achievements in the application of exciton energy spectroscopy to retrieve structural information of monolayer transition metal dichalcogenides (TMD) The Feranchuk-Komarov (FK) operator method has been successfully used to calculate the numerical energy spectra for this system In this work, the perturbation theory with the regulation of free parameter is used to calculate the neutral exciton energy in a uniform magnetic field with Keldysh potential We first discussed the perturbation theory with general formulas Then, the convergence of the solution taking into account the higher-order correction was studied with magnetic fields up to 120 Tesla Numerical calculations are presented for ground states, on the other hand, general expressions allow calculations for excited states The results are accurate with an error of less than 1% facilitating the further study of the problem to have an explicit analytical solution Keywords: annihilation and creation operators; basic set; FK operator method; exciton; Keldysh potential; two-dimensional atomic systems 410 ... thức giải tích lượng cho tốn vật lí Lí thuyết nhiễu loạn có điều tiết 2.1 Phương trình Schrưdinger Trước tiên, chúng tơi viết phương trình Schrưdinger cho exciton trung hịa đặt từ trường hệ đơn... ứng từ phổ lượng exciton lí thuyết thực nghiệm Kết luận Trong nghiên cứu này, chúng tơi trình bày cách có hệ thống sơ sở lí thuyết nhiễu loạn để giải phương trình Schrưdinger dừng với điều tiết. .. -0.031509 -0.031192 - 3.2 Năng lượng mức exciton đơn lớp TMD chất WSe2 từ trường Trong phần này, khảo sát hội tụ lượng mức 1s vùng giới hạn từ trường lên tới 120 Tesla, gấp đôi từ trường tạo phịng thí