Đề cương bài tập giải tích 2

Group: Ơn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ CHƯƠNG I: CỰC TRỊ HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Xác định cực trị hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Tìm cực trị tự hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 Tìm cực trị tự hàm số ∶ 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 Tìm cực trị tự hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥 Tìm cực trị hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑥 − 2𝑥 𝑦 + 𝑦 − 2𝑦 𝑇ì𝑚 𝑐ự𝑐 𝑡𝑟ị 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố ∶ 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 Tìm cực trị hàm số sau: 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 − 2𝑦 + 2𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 Tìm cực trị hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥𝑦 Tìm cực trị hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 𝑦 + 𝑦 − 2𝑦 10 Tìm cực trị hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 + 3𝑥 𝑦 + 9𝑥 − 6𝑥𝑦 − 18𝑥 11 Tìm cực trị hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦 12 Tìm cực trị hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 6𝑥𝑦 − 180𝑥 13 Tìm cực trị hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑦 + 14 Tìm cực trị hàm số: 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 − 5𝑦 Group: Ơn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ Chương 2: Tích phân Dạng 1: Tích phân bội hai ( tích phân kép) Tính tích phân sau: ∬ 𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐷 𝑙à 𝑚𝑖ề𝑛 𝑔𝑖ớ𝑖 ℎạ𝑛 𝑏ở𝑖 𝑐á𝑐 đườ𝑛𝑔 𝑦 = 0, 𝑦 = 2𝑥 𝑣à 𝑥 = 𝑎, 𝑎 > Cho miền D tam giác có đỉnh A( 0;1) ,B(2;1) ,C(0;3) mặt phẳng toạ độ Oxy Tính tích phân bội hai ∬(𝑥𝑦 + 1)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 Tính tích phân bội ∬𝐷(2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 đó: Miền D tam giác với ba đỉnh 𝐴(1; 1), 𝐵(3; 2), 𝐶(4; 1) Tính tích phân kép ∬𝐷(6𝑥 + 6𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 Trong đó: Miền D tam giác với ba đỉnh O(0;0), A(1;1), B(0;1) Tính tích phân sau: ∬(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥 + 𝑦 ≤ 1, ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 Group: Ôn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ Tính tích phân sau: ∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 Trong miền 𝐷 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 | 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑦, 𝑦 ≤ −𝑥} Tính tích phân sau: ∬ 𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝐷 Trong miền D nửa hình tròn: (𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 ≤ Group: Ơn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ Dạng 2: Tích phân bội ba Tính tích phân: 𝐼=∭ 𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 , 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 đó: (1 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 Miền V cho giới hạn: x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, x + y − z = Tính tích phân : 𝐼 = ∭ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 𝑥≥0 𝑦≥0 𝑉ớ𝑖 𝑉 𝑐ℎ𝑜 𝑏ở𝑖 ℎệ 𝑏ấ𝑡 𝑝ℎươ𝑛𝑔 𝑡𝑟ì𝑛ℎ: { 𝑥 +𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 10 Tính tích phân: 𝐼 = ∭(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑉 Trong miền V cho giới hạn mặt z = 0, 𝑎2 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑥 + 𝑦 = 𝑅2 , z ≥ 0, a > 11 Cho V miền giới hạn hai mặt cầu 𝑥 +𝑦 + 𝑧 = 𝑥 +𝑦 + 𝑧 = Tính 𝐼=∭ 𝑉 √𝑥 +𝑦 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Group: Ơn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ Chương : Tích phân đường tích phân mặt A Tích phân đường Dạng : Tích phân đường loại Tính tích phân : ∫ (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑠 𝐶 𝐶 đường trịn có phương trình : 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 Tính tích phân : ∫ 𝑦 𝑑𝑠 𝐶 𝐶 đường trịn có phương trình : { 𝑥 = 𝑎(𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡) , ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, 𝑎 > 𝑦 = 𝑎(𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡) Tính tích phân : ∫ √𝑥 + 𝑦 𝑑𝑠 𝐶 𝐶 đường trịn có phương trình : { 𝑥 = 𝑎(𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑡) , ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋, 𝑎 > 𝑦 = 𝑎(𝑠𝑖𝑛𝑡 − 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡) Group: Ôn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ Dạng : Tích phân đường loại hai Tính tích phân: 𝐼 = ∫ 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 𝐶 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐶 𝑙à 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑦 = 𝑥 đ𝑖 𝑡ừ 𝐴(1; 1) đế𝑛 𝑂(0; 0) Tính tích phân: 𝐼 = ∫ (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑥 − 𝑥𝑦𝑑𝑦 𝐿 𝑉ớ𝑖 𝐿 𝑙à 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑜𝑙 𝑦 = 𝑥 đ𝑖 𝑡ừ 𝐴(1; 1) đế𝑛 𝑂(0; 0) Tính tích phân: 𝐼 = ∫ 𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 𝐶 𝐶 𝑙à 𝑐𝑢𝑛𝑔 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 đ𝑖 𝑡ừ 𝑂(0; 0) đế𝑛 𝐴(1; 1) 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑐ℎ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖𝑚 đồ𝑛𝑔 ℎồ Tính tích phân 𝐼 = ∫ (𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 + 2𝑦𝑑𝑦 𝐶 Trong C biên tam giác OAB, với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ Tính tích phân đường loại hai −𝑦 𝑥 ∮ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 𝑥2 + 𝑦2 𝐿 𝑥 +𝑦 Với L cung đường tròn 𝑥 + 𝑦 = định hướng ngược chiều kim đồng hồ Group: Ôn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ B Tích phân mặt Dạng : Tích phân mặt loại Tính tích phân : ∬(𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑆 , 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)|𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , ≤ 𝑧 ≤ 1} 𝑆 Tính tích phân mặt ∬(𝑥 𝑦 𝑧)𝑑𝑆 𝑆 Trong 𝑆 phần mặt nón 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 mặt phẳng 𝑧 = Tính tích phân mặt ∬(𝑧 + 2𝑥 + 𝑥 𝑦 𝑆 𝑧 4𝑦 )𝑑𝑆 Trong 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) | + + = 1, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ≥ 0} Group: Ơn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ Dạng : Tích phân mặt loại hai Tính tích phân 𝐼 = ∫ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 2 𝑉ớ𝑖 𝑆 𝑚ặ𝑡 𝑐ầ𝑢 𝑥 +𝑦 + 𝑧 = ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 𝑇í𝑛ℎ 𝑡í𝑐ℎ 𝑝ℎâ𝑛 𝑚ặ𝑡 ∬(𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝑥 + 𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑧, 𝑆 𝑉ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑝ℎầ𝑛 𝑚ặ𝑡 𝑝ℎẳ𝑛𝑔 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑛ằ𝑚 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑟ụ 𝑥 + 𝑦 = Tính tích phân ∬ 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 𝑉ớ𝑖 𝑆 𝑙à 𝑚ặ𝑡 𝑐ầ𝑢 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = đị𝑛ℎ ℎướ𝑛𝑔 𝑟𝑎 𝑛𝑔𝑜à𝑖 Tính tích phân mặt loại hai 𝐼 = ∬ 𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑆 Trong S mặt elipxoit 𝑥 +𝑦 + 𝑧2 =1 Group: Ôn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A Phương trình vi phân tuyến tính cấp Dạng 1: Phương trình vi cấp có biến phân ly Tính ptvp: 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝑒 −𝑦 𝑑𝑦 = Tính ptvp: (x + 1)(y − 1)dx + 𝑦𝑑𝑦 = Tính ptvp: (1 − 𝑦 )dx + 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = Dạng 2: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Tính ptvp: y ′ + 4𝑦 𝑥 = 𝑥5 Tính ptvp: 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 Tính ptvp: 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 + 𝑥 Tính ptvp: 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑥 𝑥 Tính ptvp: 𝑦 ′ + 2𝑦 = 𝑥 − Tính ptvp: 𝑥𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑥 Group: Ơn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ B Phương trình vi phân tuyến tính cấp Tính ptvp: 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑒 2𝑥 Tính ptvp: 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 6𝑦 = 2𝑒 𝑥 Tính ptvp: 𝑦" − 4𝑦′ + 3𝑦 = 3𝑥 − Tính ptvp: 𝑦" − 6𝑦′ + 9𝑦 = −𝑥 + Tính ptvp: 𝑦" + 4𝑦′ + 5𝑦 = 10𝑒 𝑥 Tính ptvp: 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 4𝑒 𝑥 Tính ptvp: 𝑦 ′′ − 5𝑦 ′ + 5𝑦 = 2𝑒 𝑥 Hết 10 Group: Ơn Thi Giải Tích NUCE https://www.facebook.com/groups/ 11 ...