Bao gồm: Phần giảng lý thuyết môn Giải tích chương 3 và ví dụ cụ thể; Bài tập môn Giải tích chương 3. Đề cương tự học môn Giải tích; Bài giảng và luyện tập môn Giải tích... Đề cương, bài giảng môn Giải tích giành cho sinh viên học tập tại các trường Đại học, Cao đẳng. Bài giảng có thể có thiếu sót nên mong đọc giả bỏ qua hoặc gửi góp ý qua phần tin nhắn.
Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM CHƯƠNG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 Nguyên hàm tích phân bất định 3.1.1 Nguyên hàm (antiderivative) Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định khoảng (a, b) Nếu tồn hàm số F ( x) thỏa mãn F / ( x) f ( x), x (a, b) F ( x) gọi nguyên hàm hàm f ( x) khoảng (a, b) Cách thức để tìm lại hàm F ( x) từ đạo hàm f ( x) gọi phép tính tích phân (antidifferentiation) Chúng ta sử dụng chữ in hoa F để ký hiệu nguyên hàm hàm f , G để nguyên hàm g , Định lý: Nếu F nguyên hàm hàm f khoảng (a, b) nguyên hàm tổng quát f (a, b) F ( x) C , với C số tùy ý Như nguyên hàm tổng quát f (a, b) họ hàm F ( x) C mà đồ thị hàm tịnh tiến theo phương thẳng đứng hàm khác Chúng ta chọn nguyên hàm đặc biệt từ họ cách cho C giá trị cụ thể Ví dụ 3.1 Tìm ngun hàm f ( x) x mà thỏa mãn F (1) 1 Giải Nguyên hàm tổng quát f ( x) F ( x) x3 C F (1) 1 C 2 Vậy: F ( x) x3 Hình 3.1 Họ đường cong y x3 C Trang 113 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM Chú ý giá trị C lựa chọn đường cong cụ thể từ họ đường cong y x3 C mà qua điểm (1, 1) mặt phẳng, hình 3.1 3.1.2 Tích phân bất định (indefinite integral) Định nghĩa: Tập hợp tất nguyên hàm f gọi tích phân bất định f với ẩn x , ký hiệu là: f ( x)dx Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) khoảng (a, b) tích phân bất định f ( x) khoảng (a, b) là: f ( x) dx F ( x) C , với C số tùy ý Các quy tắc tích phân bất định: 1) k f ( x)dx k f ( x)dx , với k số 2) f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx Bảng tích phân bất định hàm số thường gặp 1) dx x C x 1 C 1 2) x dx 3) x dx ln | x | C 4) x 5) 10) tan x dx ln | cos x | C 11) cot x dx ln | sin x | C dx 12) cos dx C x 13) sin dx x C x 14) 6) e x dx e x C 7) a x dx Trang 114 ax C ln a x tan x C dx x dx x2 dx cot x C arcsin x C x arcsin C a a x dx arctan x C 16) x2 15) 2 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM 8) sin x dx cos x C 17) x 9) cos x dx sin x C 18) dx x arctan C a a a dx ln x x m C x m Ví dụ 3.2 Tính tích phân bất định sau: a) 3x x 3sin x dx x5 x b) 4e x dx x Giải a) 3x x 3sin x dx 3 x dx xdx dx 3 sin x dx x3 x x 3cos x C b) x x5 x x 1/ 4e x dx 4 e dx 5 x dx x dx x1/ C 4e x x x C 1/ Ví dụ 3.3 Tìm hàm f ( x) trường hợp sau: 4e x x a) f / ( x) e x 20(1 x ) 1 thỏa mãn f (0) 2 b) f // ( x) 12 x x thỏa mãn f (0) 4, f (1) Giải a) Ta có: 20 f ( x) f / ( x)dx C e x dx C x2 e x 20 arctan x C f (0) 2 20 arctan C 2 C 3 Vậy f ( x) e x 20 arctan x b) Ta có: f / ( x) f // ( x)dx C1 12 x x dx C1 x 3x x C1 Trang 115 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM f ( x) f / ( x)dx C2 x x x C1 dx C2 x x x C1 x C2 C 3 f (0) C2 f (1) C1 C2 C2 Vậy f ( x) x x x 3x 3.1.3 Các phương pháp tính tích phân bất định a) Phương pháp (Substitution Method): Nếu u g ( x) hàm khả vi có miền giá trị khoảng (a, b) f liên tục (a, b) ta có: du g / ( x)dx / f g ( x) g ( x) dx f (u ) du Lưu ý: Từ phương pháp thế, có tính chất sau: Nếu f ( x) dx F ( x) C f ax b dx a F ax b C Ví dụ 3.4 Tính tích phân sau: dx a) e5x dx b) 2x dx d) e) 5x dx (3 x 1) (với a ) c) x Trang 116 e 5x dx 4x f) cos x dx dx e5 x C dx b) ln | x | C 2x dx dx arctan( x 2) C c) x 4x ( x 2) Giải a) Giải tích – Chương d) Trường ĐH GTVT TP.HCM dx (3 x 1) 3 4 (3 x 1) dx C C (3x 1)4 3 9(3 x 1)3 e) x dx (3 x) dx f) cos x dx (3 x)6 / C (3 x) C 5.(6 / 5) 1 (1 cos x) dx x sin x C 2 Ví dụ 3.5 Tính tích phân sau: a) x(3x 7)9 dx b) x x5 dx x4 d) dx x 1 Giải a) Đặt u x du xdx xdx du 9 x(3x 7) dx (3x 7) ( xdx) u du u10 (3 x 7)10 C C 60 60 sin x dx c) cos 2 x b) Đặt u x x u 1; xdx udu x x dx x x xdx u (u 1) udu u 2u u du u u u C (1 x )7 / (1 x )5 / (1 x )3/ C c) Đặt u cos x du cos x.(2sin x)dx 2sin x dx sin x dx du 1 ln | u | C ln(4 cos 2 x) C 2x u 2 cos x4 x4 ( x x 1) x x2 d) Ta có: x ( x )3 ( x 1)( x x 1) x ( x ) Trang 117 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM x4 dx d ( x3 ) dx x6 x ( x3 )2 arctan x arctan( x ) C b) Phương pháp tích phân phần (integration by parts method) u dv uv v du Ví dụ 3.6 Tính tích phân sau: x xe dx c) lnxdx a) b) ( x 1) sin x dx d) x cos xdx u x du dx Giải a) Đặt x x dv e dx v e x x x xe dx xe e dx xe x e x C ( x 1)e x C u x du dx b) Đặt dv sin x dx v cos x ( x 1) sin x dx ( x 1) cos x cos x dx ( x 1) cos x sin x C dx u ln x du c) Đặt x dv dx v x ln x dx x ln x dx x ln x x C u x du x dx d) Đặt dv cos x dx v sin x x cos xdx x sin x x sin x dx u x du dx Đặt dv1 sin x dx v1 cos x Trang 118 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM x sin x dx x cos x cos xdx x cos x sin x C x cos xdx x sin x 2( x cos x sin x C ) 2 ( x 2) sin x x cos x C Ví dụ 3.7 Tính tích phân sau: arcsin x x dx a) b) dx cos x 1 x c) sin(ln x) dx d) e2 x cos(3 x) dx Giải u x du dx a) Đặt dx dx dv cos x v cos x tan x x dx sin x cos2 x x tan x cos x dx d (cos x) x tan x x tan x ln | cos x | C cos x u arcsin x du dx b) Đặt x2 dx dv x v x arcsin x dx x dx x arcsin x 2 x d (1 x) x arcsin x x arcsin x x C 1 x u sin(ln x) du (1/ x) cos(ln x) dx c) Đặt dv dx v x sin(ln x) dx x sin(ln x) cos(ln x) dx (1) u1 cos(ln x) du1 sin(ln x) dx Đặt x dv1 dx v1 x Trang 119 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM cos(ln x) dx x cos(ln x) sin(ln x) dx C (2) Thay (2) vào (1), ta được: sin(ln x) dx x sin(ln x) x cos(ln x) sin(ln x) dx C 1 x sin(ln x) cos(ln x) C u e2 x du 2e x dx d) Đặt dv cos(3 x)dx v (1/ 3) sin(3x) 2x 2x 2x (1) e cos(3x) dx e sin(3x) e sin(3x) dx u1 e x du1 2e x dx Đặt dv1 sin(3x)dx v1 (1/ 3) cos(3 x) 2x 2x 2x (2) e sin(3x) dx e cos(3x) e cos(3x) dx C1 Thay (2) vào (1), ta được: 2x 2x 2x 2x e cos(3x) dx e sin(3x) e cos(3x) e cos(3x) dx C1 13 2 e x cos(3 x) dx e x sin(3x) e x cos(3 x) C1 9 3 e x cos(3 x) dx e x sin(3 x) e x cos(3x) C 13 13 2x e e x cos(3 x) dx 3sin(3x) cos(3x) C 13 c) Phương pháp tính nhanh tích phân phần: sin(ln x) dx Đối với tích phân có dạng sau: 1) 2) Trang 120 ax b P ( x)e dx P ( x) sin(ax b)dx n n 4) e ax b cos(cx d )dx Giải tích – Chương 3) P ( x) cos(ax b)dx n Trường ĐH GTVT TP.HCM 5) e ax b sin(cx d )dx Trong Pn ( x) đa thức bậc n , phải tính tích phân phần liên tiếp n lần Điều nhiều thời gian dễ dẫn đến sai sót Đối với dạng 4) 5) ta phải tính tích phân phần lần Phương pháp sau cho phép ta tính nhanh tích phân có dạng Ví dụ 3.8 Tính tích phân sau: 2x b) ( x3 x) sin xdx d) e2 x cos(3 x) dx x e dx c) x cos xdx a) Giải Đối với phương pháp tích phân phần cho ba dạng tốn 1), 2) 3), ta ln đặt u Pn ( x) , phần lại dv Do u đa thức bậc n nên đạo hàm từ cấp n trở Việc tính tích phân phần u dv liên tiếp n lần trình bày x e2 x sơ đồ sau a) 2x x e dx 2x 2x 2x 2x x e x e xe e C 4 3 3 1 x3 x x e2 x C 4 8 2 Nhân đường chéo cộng lại, ta kết tích phân 2x e 2x e 2x e 2x e 16 3x 6x u x 3x 3x dv sin x cos x 6x sin x cos x sin x b) (x x) sin xdx ( x x) cos x (3 x 3) sin x x cos x 6sin x C (9 x x ) cos x (3 x 9) sin x C Trang 121 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM u x5 c) x cos xdx x sin x x cos x 20 x sin x 60 x cos x 120 x sin x 120cos x C ( x5 20 x3 120 x)sin x (5 x 60 x 120) cos x C dv cos x 5x4 sin x 20 x 60 x 120 x 120 cos x sin x cos x sin x cos x d) u dv 2x 2x x e cos(3 x) e cos(3x) dx e sin(3x) e cos(3x) 2e x sin(3 x) e x cos(3x) dx C1 e2 x 2x 4e x cos(3 x) e cos(3 x ) dx 3sin(3 x ) 2cos(3 x ) C 13 Lưu ý: Nếu nhân chéo khơng chứa dấu tích phân, cịn nhân ngang chứa dấu tích phân 2x 3.1.4 Tích phân hàm phân thức Xét tích phân Pn ( x) dx , Pn ( x), Qm ( x) tương ứng ( x ) m Q đa thức bậc n, m Phương pháp giải: Phân tích phân thức Pn ( x) thành tổng đa thức Qm ( x) phân thức tối giản có dạng: A1 A2 B x C1 B2 x C2 qk ( x), , , , 21 , , ax b (ax b) ax bx c (ax bx c) Trong tam thức bậc hai ax bx c khơng có nghiệm thực Tìm hệ số A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , phương pháp hệ số bất định phương pháp chọn giá trị thích hợp biến x Trang 122 Giải tích – Chương Tích phân Trường ĐH GTVT TP.HCM x e dx hội tụ, suy tích phân e x2 dx hội tụ theo tiêu chuẩn sánh trực tiếp Vậy tích phân cho hội tụ b) Ta có e x , x x x Tích phân x dx ln x lim ln x ln1 x 1 dx phân kỳ, suy tích phân x e x 1 x dx phân kỳ theo tiêu chuẩn so trực tiếp c) Ta có: x ( x 1) / 15 ( x 1) / ( x 1) / với x Suy ra: 1 , x (1; 2] 2/3 x ( x 1) ( x 1) / Tích phân nên tích phân dx 2 / 1/ 3 1 ( x 1)2 / 1 ( x 1) dx 3( x 1) hội tụ dx x ( x 1) 2/3 hội tụ theo tiêu chuẩn so trực tiếp Định lý 2: (Tiêu chuẩn so sánh giới hạn - limit Comparison Test) a) Cho f g hai hàm số dương liên tục [a, ) Giả sử lim x f ( x) L với L g ( x) Khi tích phân suy rộng f ( x)dx a g ( x)dx hội tụ a phân kỳ b) Cho f g hai hàm số dương liên tục [a, b) lim f ( x) , lim g ( x) x b Trang 180 x b Giải tích – Chương Giả sử lim x b Trường ĐH GTVT TP.HCM f ( x) L với L g ( x) b Khi tích phân suy rộng b f ( x)dx a g ( x)dx hội tụ a phân kỳ Các dạng cịn lại tích phân suy rộng loại loại phát biểu tương tự Lưu ý: Trong trình áp dụng Tiêu chuẩn so sánh giới hạn, người ta thường sử dụng vô bé vô lớn tương đương: f ( x) g ( x), x x0 , nghĩa f ( x), g ( x) hai vô bé hai vô lớn x x0 lim x x0 f ( x) Ở x0 đối g ( x) với tích phân suy rộng loại x0 điểm không bị chặn hàm số tích phân suy rộng loại Giá trị L tiêu chuẩn so sánh giới hạn nên hai tích phân hội tụ phân kỳ Ví dụ 3.53 Áp dụng tiêu chuẩn so sánh giới hạn, xét hội tụ tích phân suy rộng sau : a) 1 1 x dx 2 x b) e2 x x dx c) e x dx x3/2 1 x x x , x 2 x x Giải a) Ta có: f ( x) Tích phân x dx 4 x tích phân lim 4 x phân kỳ nên x x x dx phân kỳ theo tiêu chuẩn so giới hạn b) Xét hàm số dương f ( x) e2 x g ( x) (; 1] x x Trang 181 Giải tích – Chương Ta có: lim x Trường ĐH GTVT TP.HCM f ( x) lim 1 e x g ( x) x 1 Tích phân 1 tích phân 1 1 g ( x)dx 2x dx 1 hội tụ nên x x xlim x 1 e dx hội tụ theo tiêu chuẩn so giới hạn x2 3/ x 3/ , x 0 x x 3/ 1/ , x 0 Suy ra: f ( x) x3 / x e 1 x c) Ta có: e x Tích phân dx 1/ 0 x1/ x hội tụ nên tích phân e x.dx x3 / 1 hội tụ theo tiêu chuẩn so giới hạn Định lý 3: (Định lý hội tụ tuyệt đối) Nếu phân suy rộng f ( x) dx hội tụ tích phân suy rộng a f ( x)dx hội tụ Khi ta nói tích phân suy rộng a f ( x)dx hội a tụ tuyệt đối (absolutely convergent) Các dạng tích phân suy rộng lại phát biểu tương tự Ví dụ 3.54 Xét hội tụ tích phân suy rộng sau: a) x cos x dx x4 10 b) sin( x ) dx 1 ( x 3) 10 x x cos x , ta có: x4 | x cos x | x | cos x | x f ( x) với x 4 1 x 1 x x x Giải a) Đặt f ( x) Trang 182 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM dx 2 1 x lim 1 hội tụ nên tích x 2 x x | f ( x) | dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh trực tiếp, suy tích Tích phân phân phân f ( x)dx hội tụ tuyệt đối sin( x ) b) Đặt f ( x) , ta có: ( x 3) 10 x f ( x) | sin( x ) | ( x 3) 10 x (10 x) 1/5 , x [1,10) (1 3) 10 x 10 Tích phân 5 94 / / 10 (10 x ) dx (10 x ) hội tụ nên 1 4 tích phân | f ( x) | dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh trực tiếp, suy tích phân f ( x)dx hội tụ tuyệt đối Trang 183 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM BÀI TẬP CHƯƠNG 3.1 Tính tích phân sau phương pháp (phương pháp đổi biến): x x dx 5dx a) b) c) dx ( x 9) x( x 4) x2 x 1 x5 dx ( x 1)3 g) dx ( x 2)5 d) e) h) x x3 dx x11 dx f) i) x x 1 sin x x4 dx x3 x 2dx sin x cos x dx arc sin x k) dx dx l) cos x x2 cos x 3.2 Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần: a) ln( x x )dx b) x ln x dx c) x e x dx j) d) x cos x dx e) e 2 x sin xdx ln x h) x dx dx x2 3.3 Tính tích phân hàm phân thức sau: (t 3)dt ( x 1) dx a) b) t t 2t 4x 4x 1 g) d) x dx ( x 1)( x 1)2 e) x2 x x 3x 4dx x x5 x dx g) dx h) x 1 x 1 3.4 Tính tích phân hàm lượng giác sau: dx dt a) b) sin x sin t cos t d) cos (2 x)dx e) sin t dt g) 8sin Trang 184 (2 x) dx h) tan xdx f) arcsin x dx i) x c) (x f) x5 3x x3 x dx i) x c) 3sin t cos t cos x sin x dx tan xdx f) i) arctan xdx dx 1) 2 dx x3 cos tdt 5 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM sin x cot x l) dx cos2 x cos4 xdx dx dx dx m) n) o) sin x cos x sin x cos x sin x cos x 3.5 Áp dụng phép lượng giác phép thích hợp, tính tích phân sau: j) cos3x cos xdx x2 x dx dx d) , x 1 x x2 1 dx g) , x 1 ( x 1)3/ k) y 4dy x dx c) , y y ( x 1)3/ dx 8dw e) f) 2 x x 1 w w2 dx h) x x dx i) 3/ x x a) b) x dx j) , x 1 ( x 1)5 / v dv k) (1 v )5/ l) (x dx 1)3 (1 x )1/ (9 x )3/ w2 dx dx n) o) x4 x6 w2 dw 3.6 Phối hợp phương pháp, tính tích phân sau: m) xe x dx a) d) sin cos y dy y sin y g) arcsin( x )dx x3 b) x e e) x dx dx 4x h) arctan( y )dy c) cos xdx arc sin x dx x2 arctan x i) dx x2 f) x3 x x2 k) dx l) x xdx ( x 1)2 dx x 1 3.7 Chứng minh hàm số sau khả tích đoạn [a, b] ra: j) sin x [0; ] x c) f ( x) x ln x [0;1] a) f ( x) cos x ; 1/ ( x) 2 d) f ( x) x 2 e 1/ x [0;ln 2] b) f ( x) Trang 185 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM 3.8 Tính tích phân xác định sau phương pháp (đổi biến): 1/ 2dt t (1 4t ) a) 1/12 ex d) x dx e x2 b) ln x3 dx c) (1 x )3 et dt e2t /2 e ln x dx e) x ln x f) sin x dx cos x /3 3.9 Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần: /2 a) /2 sin 2 d b) t cos 2tdt c) d) e x 1dx x dx f) 0 /2 x cos x dx g) / sin x ln xdx /6 arcsin e) 1/ 2 x e 2x cos xdx 1 1 x h) cos( x)dx i) 3x ( x x)dx 3.10 Tính tích phân hàm phân thức sau: a) x dx 0 x x ( x 1) dx d) ( x 1)3 ( x 3) b) 3t t dt t3 t c) 2 dx e) x 8 dx ( x 1)( x f) 1) dx (4 x 2 ) 3.11 Tính tích phân hàm lượng giác sau: /2 a) /2 d) 8sin y cos y dy /2 e) cos3 x cos5 x dx / sin x sin x c) f) cos (3x)dx /2 h) dx sin x /6 d cos /2 g) /2 dx dx b) 2sin x cos x / cos x 2sin x 3cos x dx 4sin x 5cos x 3.12 Áp dụng phép lượng giác phép thích hợp, tính tích phân sau: Trang 186 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM a) x dx b) 1/ dt (t 1)7 / e) d) g) 1 3/2 x dx h) dx 0 (4 x )3/ (r 1)3/ 1 r dr c) 3/2 dy (1 y )5/ f) x dx (1 x )3/ x3 dx x2 1 i) dx x x2 3.13 Tính tích phân sau phương pháp chia khoảng tích phân: /4 a) cos 4x dx b) cos 2xdx c) 3 / d) 3 / sin 2xdx /2 e) sin x dx (1 cos t) 3/ dt f) x 1 cos x dx 3.14 Phối hợp phương pháp, tính tích phân sau: ln 1/ x arc sin x arc sin x dx a) dx b) c) e3 x dx 2 1 x (1 x ) 0 /4 tan x 3 arc sin x dx dx d) e) f) sin x dx x sin x 1/ 3.15 Dùng tổng Riemann để tính giới hạn sau: n n n a) lim b) lim 2 n n k 1 k 1 n k k n2 n 1 n k c) lim cos n 2n 2n k 0 n 10 2 2k d) lim n n k 1 n n k k f) lim ln n tan n n n 4n k 1 4n k 1 3.16 Tìm cơng thức liên hệ I n I n 1 I n I n Từ tính I , I10 , I15 , biết : e) lim xn a) I n dx x 1 b) I n x n e x dx Trang 187 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM /2 c) I n e cos n x dx d) I n (ln x) n dx /2 e) I n /2 x n cos x dx f) I n x n sin x dx d y dy hàm số sau: dx dx 3.17 Tính đạo hàm x a) y tan x cos t dt b) y sin(t )dt c) y x x d) y x cos( s )ds dt e) y cos x 1 t2 tan x x u3 g) y du 1 u2 x 1 x f) y et dt 0 5x h) y arctan t dt 0 cos(u cos x )du i) y 1/ x (1 t )10 dt sin x 3.18 Tìm hàm số y y ( x) trường hợp sau: dy a) ( x x 2) ; x 2, y (3) dx dy b) (3 x x 1) ; y (1) / dx dy c) x x ; x 2, y (2) dx dy d) ( x 1) x 1; x 1, y (0) dx dy e) ( x 1) x ; y (0) dx / f) y 12 x(3 x 1)3 ; y (1) g) y // 4sin x , y (0) 1, y / (0) 2 3.19 Tính giá trị trung bình f ave hàm số f ( x) đoạn [a, b] sau đây, tìm giá trị c [a, b] f (c) f ave Vẽ đồ Trang 188 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM thị cho trường hợp a) f ( x) x [0, 3] b) f ( x) x [0; 4] c) f ( x) 3x [0;1] d) f ( x) x [1;3] e) f ( x) ( x 3) [2;5] f) f ( x) x x [2;1] 3.20 Nhiệt độ T ( F ) phòng thời điểm t phút cho hàm T 85 25 t với t 25 a) Tìm nhiệt độ phòng thời điểm t 0, t 16 t 25 b) Tìm nhiệt độ trung bình phịng khoảng thời gian t 25 3.21 Nhiệt dung riêng chất khí Cv nhiệt lượng cần thiết để nâng nhiệt độ chất khí cho trước với thể tích khơng đổi lên 10 C , đo đơn vị cal/deg-mol (calo gram phân tử) Nhiệt dung riêng oxy phụ thuộc vào nhiệt độ T thỏa mãn cơng thức: Cv 8, 27 105 (26T 1,87T ) Tìm giá trị trung bình Cv với 20 C T 675 C nhiệt độ tương ứng đạt giá trị trung bình 3.22 Chiều cao H ( ft ) cọ thời kỳ tăng trưởng t năm cho hàm H t 5t1/3 với t a) Tìm chiều cao t t b) Tìm chiều cao trung bình khoảng thời gian 0 t 8 3.23 Vận tốc hạt di chuyển qua lại đường thẳng ds v(t ) 6sin 2t (m / s ) với t Biết s (0) dt a) Tính s ( / 2) b) Tìm độ dịch chuyển hạt khoảng thời gian t c) Tìm quãng đường hạt khoảng thời gian 0t 3.24 Gia tốc hạt di chuyển qua lại đường thẳng Trang 189 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM d 2s cos t , t ( m / s ) Nếu s v 8(m / s ) dt t , Tìm s t giây 3.25 Giải toán tích phân sau: a a) Chứng minh giá trị tích phân sin( x )dx khơng thể có giá trị b) Cho f hàm số liên tục nhận giá trị dương đoạn [0, a ] , a tìm giá trị tích phân I f ( x)dx f ( x) f (a x) c) Tìm số b cho giá trị trung bình f ( x) x x đoạn [0; b] b b b d) Chứng minh f (t )dt dx ( x a ) f ( x)dx a x a x f (sin x) dx f (sin x) dx 3.26 (*) Chứng minh : 0 Áp dụng tính tích phân sau: a) x sin x dx 0 1 cos x cos2 x b) cos x cos x /4 3.27 (*) Chứng minh rằng: x | sin(2 x) | cos x dx /4 ln(cos x) dx ln cos x dx /4 Áp dụng tính tích phân : ln(1 tan x) dx 3.28 Cho hai hàm số f , g liên tục đoạn [a, b] Chứng minh b b b f ( x ) g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x)dx a a a Trang 190 (1) Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM Bất đẳng thức (1) gọi bất đẳng thức Cauchy tích phân 3.29 Chứng minh bất đẳng thức tích phân sau: 1 1 a) x dx b) x dx 3/ 3 0 3.30 Tính diện tích miền phẳng (phần tơ màu) có hình vẽ sau Hình 3.28 Hình 3.27 Hình 3.29 Hình 3.30 3.31 Tính diện tích miền kín giới hạn đường thẳng đường cong cho sau x2 y a) y e x , y ln x, x e b) a b c) x sin y cos y , x 0, y e) y cos x, y sin x, x d) y x x , y f) x y 0,3 x y Trang 191 Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM 3.32 Tính thể tích vật thể, biết đáy vật thể đĩa x y Các mặt cắt vuông góc với trục y nằm y 1 y tam giác vuông cân với cạnh góc vng nội tiếp đĩa (hình 3.31) Hình 3.31 3.33 Tìm thể tích vật thể sinh cách xoay miền giới hạn đường thẳng đường cong quanh trục 0x a) y x x , y b) y x , y 0, y x c) y x , y 2, x d) y x 1, y x 3.34 Tìm thể tích vật thể sinh cách xoay miền giới hạn đường thẳng đường cong quanh trục y a) x y , x 0, y b) y ln x, y 1, y 2, x , x 0, y d) y x , y 0, y x y 1 3.35 Tìm thể tích vật thể sinh cách xoay miền giới hạn đường thẳng đường cong quanh trục 0x ; quanh trục y c) x a) x y 3, y 2, x b) y x, x y 3.36 Tính chiều dài cung đường cong có phương trình sau Vẽ đồ thị đường cong chương trình Mathematica a) x 3/ y y1/ ,1 y b) x y4 , 1 y 8y c) y 43 23 x x 5, x 8 d) x y ( y 3),1 y x e) y x 3t 1dt , x 1 2 x3 1/ g) y x x ,0 x x 1 Trang 192 f) y t 1dt ,1 x 16 y 5/ 2 h) x ,1 y 10 y Giải tích – Chương Trường ĐH GTVT TP.HCM 3.37 Tìm diện tích mặt sinh cách xoay đường cong cho sau quanh trục cho ( x 2)3/2 a) y x x , x , trục 0x b) y , x , 0x 2 y 3/ 15 c) x y , y , trục y d) x y , y , y 3.38 Tính tích phân suy rộng loại sau: dx dx ln y a) b) c) dy 3 (1 x ) x x y 1 dx (1 x 6)5 d) e) g) h) xe dx e x e x dx k) t dt e t2 x2 i) dx l) e) dx x x2 x 0 e x dx | x| e x s in2xdx 3.39 Tính tích phân suy rộng loại sau: ( s 1)ds dx a) b) 4s 4x x2 f) 2x d) d 0 e j) x 1 dx x2 x5 x2 c) dx dx (2 x) f) x 1 x xdx 2 x dx ln x dx h) ln x dx i) ( x 1) 1 | x | 3 3.40 Áp dụng định lý so sánh trực tiếp để xét hội tụ hay phân kỳ tích phân suy rộng g) a) cos x dx x2 b) e x dx x c) et 0 t1/2 dt Trang 193 Giải tích – Chương d) dt t sin t g) e) dx Trường ĐH GTVT TP.HCM h) cos x dx x f) sin x dx x2 ln x dx x 1 i) dx ln x ex x 3.41 Áp dụng định lý so sánh giới hạn để xét hội tụ hay phân kỳ tích phân suy rộng 1 a) x3 dx 3 x11 x 1 d) x 1 1 dx x2 5 b) x 0 esin x dx e) x3 x4 1 ln(1 e x ) c) dx ( x 2) 1 dx f) g) x2 x dx x4 x h) cos x 0 x dx ln(1 x ) 0 esin x dx i) e x ln( x 2)dx ( x 1)3/ 1 3.42 Áp dụng định lý hội tụ tuyệt đối để xét hội tụ tích phân suy rộng sau: a) d) cos x.ln x dx x2 sin x b) dx x 1 x x sin x dx e2 x e) c) 1 cos( x ) x dx x sin(7 x)dx x5 1 f) e x cos x x dx 3.43 Xét hội tụ hay phân kỳ tích phân suy rộng sau: a) x dx x ( x 1)( x 3) 2 b) ( x 1)dx (4 x ) x c) x 3e x dx x2 3.44 Tìm điều kiện tham số để tích phân sau hội tụ a) 1 x 1 cos dx x Trang 194 x sin x dx b) x c) dx x(ln x)