TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Khoa Toán TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN Giảng viên hướng dẫn TS Phan Văn Thiện Học viên thực hiện Trần Thị Nhã Trang Lớp Cao học Toán K20 Chuyên ngành Hình học và tôpô Huế, 4 2012 i MỤC LỤC Trang phụ bìa i MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 3 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1 1 Khái niệm Phạm trù 4 1 2 Phạm trù tích 5 1 3 Hàm tử, song hàm tử 5 1 3 1 Hàm tử 5 1 3 2 Song hàm tử 6 1 4 Phép biến đổi tự nhiên 6 2 BÀI TẬP VẬN DỤNG 7 KẾT LUẬN 10 TÀI L.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Khoa Toán TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ ĐỀ TÀI PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN Học viên thực Giảng viên hướng dẫn Trần Thị Nhã Trang TS Phan Văn Thiện Lớp Cao học Tốn K20 Chun ngành Hình học tôpô Huế, 4/ 2012 i MỤC LỤC Trang phụ bìa i MỤC LỤC MỞ ĐẦU CÁC KIẾN THỨC CHUẨN 1.1 Khái niệm Phạm trù 1.2 Phạm trù tích 1.3 Hàm tử, song hàm tử 1.3.1 Hàm tử 1.3.2 Song hàm tử 1.4 Phép biến đổi tự nhiên BỊ BÀI TẬP VẬN DỤNG 4 5 6 KẾT LUẬN 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO 11 MỞ ĐẦU Lý thuyết tập hợp G Cantor xây dựng từ năm 1874 đến 1895, với khái niệm nguyên thủy " tập hợp", "thuộc", "bằng nhau" Đến năm 1908, B Russel phát nghịch lí: Mọi tập hợp nói chung khơng tự chứa làm phần tử, ví dụ tập hợp số tự nhiên lại số tự nhiên Xét tập hợpM = {X | X ∈ / X} gồm tập hợp khơng tự chứa làm phần tử Nếu M ∈ M theo định nghĩa M, M ∈ / M Mâu thuẫn Nếu M, M ∈ / M theo định nghĩa M ∈ M Mâu thuẫn Để giải mâu thuẫn ta phải quan niệm M tập hợp mà lớp Năm 1940, Godel-Bernays xây dựng lại lý thuyết tiên đề tập hợp với khái niệm " lớp", "thuộc", "bằng nhau" khái niệm nguyên thủy Một lớp A tập hợp phần tử lớp B Chính điều kích thích mong muốn tìm hiểu học phần Lý thuyết phạm trù hàm tử Dưới hướng dẫn Thầy giáo TS Phan Văn Thiện, tơi chọn tìm hiểu đề tài "Phép biến đổi tự nhiên" Nội dung tiểu luận gồm có hai chương Chương trình bày kiến thức sở có liên quan đến đề tài Chương trình bày số tập Vì khả cịn hạn chế nên chắn tiểu luận không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp Thầy cô bạn đọc Huế, tháng năm 2012 Trần Thị Nhã Trang Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khái niệm Phạm trù Định nghĩa 1.1.1 Cho phạm trù C có nghĩa cho kiện sau Cho lớp ObC lớp M orC Lớp ObC gọi lớp vật, lớp M orC gọi lớp xạ (cấu xạ) Với hai vật A, B ∈ ObC, ta có tập hợp (có thể rỗng) HomC (A, B) nằm MorC, HomC (A, B) gọi tập hợp xạ từ A đến B Để f ∈ HomC (A, B), ta viết f : A −→ B hay f A /B Nếu khơng có nhầm lẫn, ta viết Hom(A, B) thay cho HomC (A, B) Với ba vật A, B, C ∈ ObC, ta có ánh xạ Hom(B, C) × Hom(A, B) −→ Hom(A, C) (g, f ) −→ gf gọi phép hợp thành xạ f g Các điều kiện sau phải thỏa mãn • Phép hợp thành có tính kết hợp Nếu A f /B g /C h /D xạ cho ta có h(gf ) = (hg)f • Với A ∈ ObC ta có xạ 1A ∈ Hom(A, A) gọi xạ đồng A cho với f ∈ Hom(A, B), với g ∈ Hom(C, A) ta có f 1A = f, 1A g = g • Nếu cặp (A, B), (A′ , B ′ ) khác Hom(a, b) ∩ Hom(A′ , B ′ ) = ∅ Chú ý Xạ đồng xác định vật A Ví dụ 1.1.1 Phạm trù R M od R-mơ đun có lớp vật tất R-mô đun, lớp xạ lớp tất đồng cấu R-mô đun Với M, N ∈ ObR M od, Hom(M, N ) tập tất đồng cấu R-mô đun từ M đến N 1.2 Phạm trù tích Định nghĩa 1.2.1 Cho C, C′ phạm trù, tích C × C′ chỳng c nh ngha ã Vt ca C ì C cặp vật (A, A′ ) với A ∈ ObC, A ObC ã Cu x ca C ì C′ cặp cấu xạ (f, f ′ ) với f : A −→ B ∈ M orC, f ′ : A′ −→ B ′ ∈ M orC′ Hợp thành hai cấu xạ (A (B f / B, A′ f′ / B′) g / C, B ′ g′ / C ′) gf / C, A′ g′ f ′ / C ′) (A kiểm chứng tiên đề phạm trù thỏa mãn Phạm trù C, C′ gọi phạm trù tích hai phạm trù C C′ 1.3 1.3.1 Hàm tử, song hàm tử Hàm tử Định nghĩa 1.3.1 Cho C, D phạm trù Hàm tử hiệp biến h từ C đến D cặp ánh xạ • Ánh xạ vật h h : ObC −→ ObD cho tương ứng vật A ∈ ObC với vật h(A) ∈ ObD • Ánh xạ cấu xạ h : M orC −→ M orD cho tương ứng cấu xạ f : A −→ B phạm trù C với cấu xạ h(f ) : h(A) −→ h(B) phạm trù D thỏa mãn điều kiện sau: i) h(1A ) = 1h(A) ii) h(gf ) = h(g)h(f ) Quy ước:Từ ta gọi hàm tử hiệp biến hàm tử 1.3.2 Song hàm tử Định nghĩa 1.3.2 Cho B, C, D phạm trù Hàm tử h : B × C −→ D gọi song hàm tử hai lần hiệp biến (song hàm tử) Như vậy, song hàm tử h : B × C −→ D cặp ánh xạ • ánh xạ vật (A, A′ ) −→ h(A, A′ ) • ánh xạ cấu xạ (f, f ′ ) −→ h(f, f ′ ) thỏa mãn i) h(1A , 1′A ) = (1h(A) , 1h(A′ ) ) ii) h(gf, g ′ f ′ ) = h(g, g ′ )h(f, f ′ ) 1.4 Phép biến đổi tự nhiên Định nghĩa 1.4.1 Cho h, k : C −→ D hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù D Một phép biến đổi tự nhiên φ từ h đến k lỔ ánh xạ cho tương ứng vật A ∈ ObC cấu xạ φ(A) : h(A) −→ k(A) D cho với cấu xạ f : A −→ B ta có biểu đồ sau giao hoán h(A) h(f )  h(B) φ(A) φ(B) / k(A)  k(f ) / k(B) tức k(f )φ(A) = φ(B)h(f ) Để diễn tả biểu đồ giao hốn ta nói φ(A) tự nhiên A Định nghĩa 1.4.2 Cho h, k, l : C −→ D hàm tử Cho φ : h −→ k phép biến đổi tự nhiên từ h đến k ψ : k −→ l phép biến đổi tự nhiên Với A ∈ ObC đặt (ψφ)(A) = ψ(A)φ(A) Khi ψφ phép biến đổi tự nhiên từ h đến l gọi phép hợp thành phép biến đổi tự nhiên φ ψ Chương BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho M R-mơ đun trái, nhóm cộng aben HomR (M, R) R-mô đun phải với phép nhân vô hướng (f r)(x) = f (x)r, ∀f ∈ HomR (M, R), ∀r ∈ R R-mô đun phải HomR (M, R) gọi đối ngẫu R-mô đun trái M , kí hiệu M ∗ Nếu φ : M −→ N đồng cấu R-mô đun trái ánh xạ φ∗ : N ∗ −→ M ∗ f −→ φ∗ (f ) = f (φ) đồng cấu, gọi đối ngẫu φ Trong trường hợp M R-mơ đun phải ta trang bị cho nhóm cộng aben HomR (M, R) thêm phép toán (rf )(x) = rf (x), ∀f ∈ HomR (M, R), ∀r ∈ R để có R-mô đun trái Xét hàm tử 1R M od , h :R M od −→ M 1R M od hàm tử đồng nhất, h hàm tử cho tương ứng R-mô đun trái M với song đối ngẫu M ∗∗ nó, đồng cấu f : M −→ N với song đối ngẫu f ∗∗ Có thể kiểm chứng ánh xạ φ : 1R M od −→ h tương ứng R-mô đun M với ánh xạ φ(M ) : 1R M od (M ) −→ h(M ) = M ∗∗ x −→ φ(M )(x) : N ∗ −→ R φ(M )(x)(f ) = f (x), ∀f ∈ M ∗ phép biến đổi tự nhiên Chứng minh Ta có Hàm tử đồng phạm trù R M od 1R M od(M ) :R M od −→R M od M −→ M, f : M −→ N −→ f : M −→ N Hàm tử h h :R M od −→ M M −→ M ∗∗ = HomR (M ∗ , R), f : M −→ N −→ f ∗∗ : M ∗∗ −→ N ∗∗ f ∗∗ : M ∗∗ −→ N ∗∗ g : M ∗ −→ R −→ f ∗∗ (g) = gf ∗ : N ∗ −→ R Ánh xạ φ : 1R M od −→ h cho tương ứng R-mô đun M với ánh xạ φ(M ) : 1R M od (M ) −→ h(M ) = M ∗∗ x −→ φ(M )(x) : M ∗ −→ R φ(M )(x)(f ) = f (x), ∀f ∈ M ∗ Để chứng minh φ phép biến đổi tự nhiên, ta chứng minh biểu đồ sau 1R M od (M ) 1R M od (f )  1R M od (N ) φ(M ) / h(M ) = M ∗∗ φ(N )  h(f ) / h(N ) = N ∗∗ giao hoán với f : M −→ N tức φ(N )1R M od (f ) = h(f )φ(M ) Với f : M −→ N, ∀x ∈ M, ∀g ∈ N ∗ ta có • h(f )φ(M )(x)(g) = f ∗∗ (φ(M )(x))(g) = φ(M )(x)f ∗ (g) = φ(M )(x)g(f ) = gf (x) • φ(N )1R M od (f )(x)(g) = φ(N )(f (x))g = gf (x) Vậy toán chứng minh Bài 2: Cho h, k : C × C′ −→ D song hàm tử từ phạm trù tích C × C′ đến phạm trù D Cho φ ánh xạ cho tương ứng cặp vật (A, A′ ) ∈ ObC × C′ cấu xạ φ(A, A′ ) : h(A, A′ ) −→ k(A, A′ ) D Chứng minh φ phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử h đến k φ(A, A′ ) tự nhiên A A′ cho φ(A, A′ ) tự nhiên A′ A cho Chứng minh Dễ dàng thấy φ phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử h đến k φ(A, A′ ) tự nhiên A A′ cho φ(A, A′ ) tự nhiên A′ A cho Ngược lại, giả sử φ(A, A′ ) tự nhiên A A′ cho φ(A, A′ ) tự nhiên A′ A cho Khi ta có biểu đồ sau giao hoán φ(A,A′ ) / k(A, A′ ) h(A, A′ ) h(f,1C′ )  ′ ′ φ(B,A )/ h(B, A ) với f : A −→ B k(f,1C′ )  k(B, A′ ) φ(A,A′ ) / k(A, A′ ) h(A, A′ ) h(1C ,f ′ )  φ(A,B ′ ) k(1C ,f ′ )  / k(A, B ′ ) h(A, B ′ ) với f ′ : A′ −→ B ′ Có nghĩa k(f, 1C′ ) ◦ φ(A, A′ ) = φ(B, A′ ) ◦ h(f, 1C′ ), k(1C , f ′ ) ◦ φ(A, A′ ) = φ(A, B ′ ) ◦ h(1C , f ′ ) Từ hai đẳng thức ta có k(f, f ′ ) ◦ φ(A, A′ ) = φ(B, B ′ ) ◦ h(f, f ′ ) tức biểu đồ sau giao hoán h(A, A′ ) h(f,f ′ )  φ(A,A′ ) / k(A, A′ ) φ(B,B ′ )  k(f,f ′ ) / k(B, B ′ ) h(B, B ′ ) Vậy φ phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử h đến k Bài toán kết thúc KẾT LUẬN Thông qua tiểu luận, tác giả hi vọng người đọc phát vài điều lí thú Tuy có nhiều cố gắng khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, TS Phan Văn Thiện tận tình giảng dạy học phần Lý thuyết Phạm trù hàm tử tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tiểu luận 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Văn Thiện, Bài giảng Lý thuyết Phạm trù hàm tử, ĐH Sư phạm Huế, 2012 11 ... (A kiểm chứng tiên đề phạm trù thỏa mãn Phạm trù C, C′ gọi phạm trù tích hai phạm trù C C′ 1.3 1.3.1 Hàm tử, song hàm tử Hàm tử Định nghĩa 1.3.1 Cho C, D phạm trù Hàm tử hiệp biến h từ C đến... giảng dạy học phần Lý thuyết Phạm trù hàm tử tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tiểu luận 10 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Văn Thiện, Bài giảng Lý thuyết Phạm trù hàm tử, ĐH Sư phạm Huế, 2012 11... LỤC MỞ ĐẦU CÁC KIẾN THỨC CHUẨN 1.1 Khái niệm Phạm trù 1.2 Phạm trù tích 1.3 Hàm tử, song hàm tử 1.3.1 Hàm tử 1.3.2 Song hàm tử 1.4 Phép biến đổi tự nhiên BỊ