Nếu cần thiết ta giả sử các không gian cơ sở là compact Hausdorff hoặc paracompact Hausdorff và εn : X × Cn −→ X là phân thớ véctơ tầm thường phức n-chiều.. – Hình học và Tôpô – Hình học[r]
(1)PHÒNG SAU ĐẠI HỌC - - Tieåu luaän HAØM TỬ K(X) TRONG K-LYÙ THUYEÁT 22 Lê Anh Nhân , năm 2012 (2) Mục lục Đại cương phân thớ véctơ phức 1.1 Phân thớ véctơ phức 1.2 Phép toán trên phân thớ véctơ 1.3 Vị nhóm Abel VectC ( X ), VectC ( X ) e ( X ) Hàm tử K ( X ) và K 2.1 Đối xứng hóa monoid 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ 2.1.2 Cách xây dựng 2.1.3 Mô tả (S( M ), +) 2.2 Hàm tử K ( X ) 2.2.1 Cách xây dựng 2.2.2 Mô tả 2.2.3 Tính hàm tử K ( X ) e ( X ) 10 2.3 Hàm tử K 2.3.1 Xây dựng thông qua hạt nhân ánh xạ lấy chiều 10 2.3.2 Xây dựng thông qua phân thớ véctơ 10 2.4 Cấu trúc vành 11 2.5 Định lý tích 12 Tài liệu tham khảo 14 (3) HÀM TỬ K(X) TRONG K-LÝ THUYẾT Nguyễn Thành An∗– Lê Anh Nhân† Đại cương phân thớ véctơ phức 1.1 Phân thớ véctơ phức Định nghĩa 1.1 Cho E, X là không gian tôpô, Cn là trường số phức Bộ ba ξ = ( E, p, X ) gọi là phân thớ véctơ phức n-chiều trên X i) p : E −→ X là ánh xạ liên tục ii) ∀ x ∈ X, ∃Ux ⊂ X và đồng phôi theo thớ ϕ : Ux × Cn −→ p−1 (Ux ) iii) ϕ hạn chế trên thớ là đẳng cấu tuyến tính Nhận xét 1.1 • Từ định nghĩa trên, ta có số tên gọi sau 99K p gọi là phép chiếu và p toàn ánh 99K X gọi là không gian sở 99K E gọi là không gian toàn thể 99K Không gian véctơ p−1 ( x ) gọi là thớ phân thớ véctơ x ∈ X, ta ký hiệu Ex S • Với x ∈ X thì Ex ∼ Ex = Cn và E = x∈X • Nếu E = X × Cn thì ξ = ( X × Cn , p, X ) gọi là phân thớ véctơ phức tầm thường với p là phép chiếu tự nhiên lên thành phần thứ p : X × Cn −→ X ( x, v) 7−→ p( x, v) := x Để thuận tiện từ đây trở sau bài tiểu luận gọi "phân thớ véctơ" hiểu là "phân thớ véctơ phức" Nếu cần thiết ta giả sử các không gian sở là compact Hausdorff paracompact Hausdorff và εn : X × Cn −→ X là phân thớ véctơ tầm thường phức n-chiều ∗ K22 † K22 – Hình học và Tôpô – Hình học và Tôpô (4) 1.2 Phép toán trên phân thớ véctơ Định nghĩa 1.2 Giả sử ξ = ( E1 , p1 , X ) tạo thành 1-đối chu trình n o Uα , ϕ1αβ : Uα ∩ Uβ −→ GL(n1 , C) và ξ = ( E2 , p2 , X ) tạo thành 1-đối chu trình n o Uα , ϕ2αβ : Uα ∩ Uβ −→ GL(n2 , C) • Tổng Whitney ξ và ξ ký hiệu là ξ ⊕ ξ là phân thớ véctơ tạo thành từ 1-đối chu trình sau f := ϕ1αβ ⊕ ϕ2αβ : Uα ∩ Uβ −→ GL(n1 + n2 , C) " # ϕ1αβ ( x ) x 7−→ f ( x ) := ϕ2αβ ( x ) • Tích tenxơ của ξ và ξ ký hiệu là ξ ⊗ ξ là phân thớ véctơ tạo thành từ 1-đối chu trình sau g := ϕ1αβ ⊗ ϕ2αβ : Uα ∩ Uβ −→ GL(n1 n2 , C) x 7−→ g( x ) := ϕ1αβ ( x ) ⊗ ϕ2αβ ( x ) Tính chất 1.1 Phép toán tổng Whitney và tích tenxơ có các tính chất sau i) ξ ⊕ ξ ∼ = ξ2 ⊕ ξ1 ii) ξ ⊗ ξ ∼ = ξ2 ⊗ ξ1 iii) (ξ ⊕ ξ ) ⊕ ξ ∼ = ξ ⊕ (ξ ⊕ ξ ) iv) (ξ ⊗ ξ ) ⊗ ξ ∼ = ξ ⊗ (ξ ⊗ ξ ) v) (ξ ⊕ ξ ) ⊗ ξ ∼ = (ξ ⊗ ξ ) ⊕ (ξ ⊗ ξ ) vi) ξ ⊗ (ξ ⊕ ξ ) ∼ = (ξ ⊗ ξ ) ⊕ (ξ ⊗ ξ ) vii) ε1 ⊗ ξ ∼ = ξ ⊗ ε1 = ξ viii) εn ⊗ ξ ∼ = ξ ⊗ εn = ξ ⊕ ξ ⊕ · · · ⊕ ξ {z } | n lần (5) 1.3 Vị nhóm Abel VectC ( X ), VectC ( X ) Định nghĩa 1.3 Cho hai phân thớ ξ = ( E1 , p1 , X ) và ξ = ( E2 , p2 , X ) gọi là đẳng cấu ổn định, ký hiệu ξ ∼ =s ξ ξ ⊕ εn ∼ = ξ ⊕ εn Trong trường hợp khác ta ký hiệu ξ ∼ ξ ξ ⊕ εm ∼ = ξ ⊕ εn Nhận xét 1.2 ∼ =s và ∼ là các quan hệ tương đương Ta ký hiệu V ectC ( X ) := phạm trù các phân thớ véctơ trên X n o VectC ( X ) := tập các lớp đẳng cấu ổn định các phân thớ véctơ trên X VectC ( X ) := {tập các lớp tương đương theo quan hệ ∼ các phân thớ véctơ trên X} Khi đó, ánh xạ [ ]s : V ectC ( X ) −→ VectC ( X ) ξ 7−→ [ξ ]s lớp các phân thớ véctơ đẳng cấu ổn định với ξ Với ξ, η ∈ V ectC ( X ) thì [ξ ]s = [η ]s ⇔ ξ ∼ =s η Trên VectC ( X ) rõ ràng có phép toán + cảm sinh ⊕, cụ thể ta định nghĩa sau [ξ ]s + [η ]s := [ξ ⊕ η ]s Từ định nghĩa cho ta các tính chất sau i) [ξ ]s + [η ]s = [η ]s + [ξ ]s vì ξ ⊕ η ∼ =s η ⊕ ξ ii) ([ξ ]s + [η ]s ) + [θ ]s = [ξ ]s + ([η ]s + [θ ]s ) vì (ξ ⊕ η ) ⊕ θ ∼ =s ξ ⊕ (η ⊕ θ ) iii) [ξ ]s + ε0 = ε0 + [ξ ]s vì ξ ⊕ ε0 ∼ = s ε0 ⊕ ξ Khi đó (VectC ( X ), +) là vị nhóm Abel hay monoid Tương tự, ánh xạ [ ] : V ectC ( X ) −→ VectC ( X ) ξ 7−→ [ξ ] lớp các phân thớ véctơ tương đương theo quan hệ ∼ với ξ Với ξ, η ∈ V ectC ( X ) thì [ξ ] = [η ] ⇔ ξ ∼ η Trên VectC ( X ) rõ ràng có phép toán + cảm sinh ⊕, cụ thể ta định nghĩa sau [ξ ] + [η ] := [ξ ⊕ η ] Từ định nghĩa cho ta các tính chất sau (6) i) [ξ ] + [η ] = [η ] + [ξ ] vì ξ ⊕ η ∼ η ⊕ ξ ii) ([ξ ] + [η ]) + [θ ] = [ξ ] + ([η ] + [θ ]) vì (ξ ⊕ η ) ⊕ θ ∼ ξ ⊕ (η ⊕ θ ) iii) [ξ ] + ε0 = ε0 + [ξ ] vì ξ ⊕ ε0 ∼ ε0 ⊕ ξ Khi đó (VectC ( X ), +) là vị nhóm Abel hay monoid Ví dụ 1.1 Xét X ' {∗} (tức là X co rút được) Khi đó phân thớ véctơ trên X tầm thường Với [ξ ] ∈ VectC ( X ) đặc trưng số chiều nó, tức là dim ξ = dim η ⇒ ξ ∼ η Do đó ta có đẳng cấu vị nhóm dim : (VectC ( X ), +) −→ (N, +) [ξ ] 7−→ dim ξ Suy VectC ∼ = N, đặc biệt X = {∗} thì ta có VectC ({∗}) ∼ = N e ( X ) Hàm tử K ( X ) và K 2.1 Đối xứng hóa monoid 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 2.1 Cho ( M, +) là monoid Nhóm đối xứng hóa hay nhóm Grothendieck1 ( M, +) là cặp (S( M), s) gồm nhóm Abel (S( M), +) và đồng cấu monoid s : ( M, +) −→ (S( M ), +) thỏa mãn tính chất phổ dụng sau, tức là với nhóm Abel ( G, +) và đồng cấu vị nhóm f : ( M, +) −→ ( G, +) tồn đồng cấu nhóm s( f ) : (S( M ), +) −→ ( G, +) cho sơ đồ giao hoán, nghĩa là f = s( f ) ◦ s s ( M, +) ∃!s( f ) u u f zu u u u / u (S( M), +) u u u ( G, +) Grothendieck (28 - - 1928) là nhà toán học người Đức (7) Nhận xét 2.1 • Trong trường hợp tổng quát thì s không đơn cấu nên không thể đồng M với s ( M ) • Khi ( M, +) có luật giản ước, tức là m + n = m0 + n ⇒ m = m0 , ∀m, m0 , n, n0 ∈ M thì s đơn cấu Khi đó ta có thể đồng M ≡ s( M) ,−−−→ S( M) • Do tính chất phổ dụng nên (S( M), s) là nhất, sai kém đẳng cấu nhóm 2.1.2 Cách xây dựng Xét M × M := {(m, n)|m, n ∈ M } và ta định nghĩa quan hệ tương đương sau (m, n) ∼ g (m0 , n0 ) ⇔ ∃ p ∈ M : m + n0 + p = m0 + n + p Ta đặt S( M ) := M × M/ ∼ g với lớp tương đương (m, n) ký hiệu là (^ m, n) Khi đó, phép toán trên S( M) di truyền từ M, tức là (^ m, n) + (^ m0 , n0 ) := (m + ^ m0 , n + n0 ) Khi đó, phân thử trung hòa := (^ m, m) và phần tử đối −(^ m, n) := (^ n, m) Do đó, ta dễ kiểm tra (S( M), +) là nhóm Abel Ta có đồng cấu vị nhóm chính tắc sau s : ( M, +) −→ (S( M), +) m 7−→ s(m) = [m] := (^ m, 0) = (m^ + p, p) ∈ S( M) thỏa mãn tính chất phổ dụng nên cặp (S( M ), s) là nhóm Grothendieck nhóm ( M, +) 2.1.3 Mô tả (S( M ), +) Với m, n ∈ M ta luôn có m + n + + = m + n + nên (m + n, n) ∼ g (m, 0) ⇔ (^ m, n) + (] n, 0) = (^ m, 0) ⇔ (^ m, n) = (^ m, 0) − (] n, 0) Do S( M) := {[m] − [n] |m, n ∈ M }, đó • [m] − [n] = [m0 ] − [n0 ] ⇔ ∃ p ∈ M : m + n0 + p = m0 + n + p • ([m] − [n]) + ([m0 ] − [n0 ]) = [m + n0 ] − [m0 + n] • OS( M) = (^ m, m) • − ([m] − [n]) = [n] − [m] (8) Ví dụ 2.1 S(N, +) = (Z, +) vì phép cộng N có luật giản ước nên lúc này s = i : N −→ Z là phép nhúng Ví dụ 2.2 S(Z∗ , ·) = (Q∗ , ·) vì phép nhân Z∗ có luật giản ước nên lúc này s = i : Z∗ −→ Q∗ là phép nhúng Ví dụ 2.3 S(N, ·) = {1} là nhóm tầm thường vì với m, n ∈ N tồn p = cho m.n.0 = n.n.0 thì (m, n) ∼ g (n, n) ⇒ (^ m, n) = ^ (n, n) = 1S(N,·) 2.2 Hàm tử K ( X ) 2.2.1 Cách xây dựng Định nghĩa 2.2 K ( X ) := S (VectC ( X ), +) 2.2.2 Mô tả tập hợp K ( X ) :===== {[ξ ]s − [η ]s |ξ, η ∈ V ectC ( X )}, đây với ξ, η ∈ V ectC ( X ) [ξ ]s = [η ]s ⇔ ξ ∼ η 0 0 ([ξ ]s − [η ]s ) + ξ s − η s = ξ ⊕ ξ s − η ⊕ η s Khi đó, K ( X ) trở thành nhóm Abel với phần tử trung hòa và đối là := [ξ ]s − [ξ ]s và − ([ξ ]s − [η ]s ) = [η ]s − [ξ ]s Nhận xét 2.2 Nếu [ξ ]s − [η ]s ∈ K ( X ) thì ta có thể [ξ ]s − [η ]s = [ξ ⊕ θ ]s − [η ⊕ θ ]s cho η ⊕ θ ∼ = εn Khi đó K ( X ) := {[ξ ]s − εn |ξ ∈ V ectC ( X ), εn := [εn ]s } (9) 2.2.3 Tính hàm tử K ( X ) Định nghĩa 2.3 Cho ánh xạ liên tục f : X −→ Y, ta xác định ánh xạ f ∗ : V ectC (Y ) −→ V ectC ( X ) E 7−→ f ∗ ( E) và xây dựng sơ đồ giao hoán f ∗ ( E) _ _ _0 _ _ _/ E f pY pX X f /Y tức là f ◦ p X = pY ◦ f và đó f ∗ ( E) := E × X = {(e, x )| pY (e) = f ( x )} , p X (e, x ) := x, ∀(e, x ) ∈ f ∗ ( E) Khi đó f ∗ ( E) ∈ V ectC ( X ) gọi là cái kéo lại E f Tính chất 2.1 Cái kéo lại f ∗ ( E) có các tính chất sau i) E ∼ = F thì f ∗ ( E) ∼ = f ∗ ( F) ii) f ∗ ( E ⊕ F ) ∼ = f ∗ ( E) ⊕ f ∗ ( F ) iii) f ∗ ( E ⊗ F ) ∼ = f ∗ ( E) ⊗ f ∗ ( F ) Nhận xét 2.3 Ánh xạ f ∗ : V ectC (Y ) −→ V ectC ( X ) cảm sinh đồng cấu monoid mà ký hiệu là f ∗ : (VectC (Y ), +) −→ (VectC ( X ), +) Nhờ tính phổ dụng nhóm Grothendieck ta xác định đồng cấu nhóm mà ký hiệu là f ∗ : K (Y ) −→ K ( X ) [ξ ]s − εn 7−→ f ∗ ([ξ ]s − εn ) := [ f ∗ (ξ )]s − εn Khi đó K ( X ) trở thành hàm tử phản biến với cách mô tả sơ đồ sau K : Không giam compact −→ Abell X 7−→ K ( X ) Y 7−→ K (Y ) Ví dụ 2.4 Cho X = {∗} thì K ( X ) ∼ = Z Ví dụ 2.5 Cho X = { x1 , x2 , , xk } là không gian hữu hạn k điểm thì K(X) ∼ = Z⊕Z···⊕Z (10) e ( X ) 2.3 Hàm tử K 2.3.1 Xây dựng thông qua hạt nhân ánh xạ lấy chiều Xét không gian chấm điểm ( X, ∗) với X là compact Hausdoff, ∗ là điểm đánh dấu X Khi đó, ánh xạ nhúng i : {∗} ,−−−→ X xác định ánh xạ lấy chiều i∗ := dim : K ( X ) −→ K ({∗}) ∼ =Z [ξ ]s − εn 7−→ dim ξ − n Định nghĩa này là hợp lý, i∗ còn là toàn cấu e( X ) := Ker i∗ = {[ξ ] − εn ∈ K ( X )| dim ξ = n} Định nghĩa 2.4 K s e( X ) ⊕ Z Định lí 2.1 K ( X ) ∼ =K Chứng minh Xét ánh xạ c : {∗} −→ X Khi đó ta luôn có dãy khớp ngắn i∗ −→ Ker i∗ ,−−−→ K ( X ) −→ K ({∗}) −→ (2.1) Vì i∗ ◦ c∗ = (c ◦ i )∗ = idK ({∗}) nên dãy khớp là chẽ Khi đó e( X ) ⊕ K ({∗}) K(X) ∼ =K Vì K ({∗}) ∼ = Z nên e( X ) ⊕ Z K(X) ∼ =K 2.3.2 Xây dựng thông qua phân thớ véctơ Mệnh đề 2.1 (VectC ( X ), +) là nhóm Abell Chứng minh Ta cần chứng minh với [ξ ] ∈ VectC ( X ) có phần tử đối tức là với phân thớ véctơ ξ = ( E, p, X ) tồn phân thớ véctơ ξ = ( E0 , p0 , X ) cho ξ ⊕ ξ0 ∼ = εm Kết này suy từ mệnh đề 1.4 [Allen Hatcher - trang 13 nhóm 2] Do đó (VectC ( X ), +) là nhóm Abell e( X ) := (VectC ( X ), +) Định nghĩa 2.5 K 10 (11) e( X ) đồng cấu tự nhiên Nhận xét 2.4 Dễ thấy mối quan hệ K ( X ) và K e( X ) f : K ( X ) −→ K [ξ ]s − εn 7−→ [ξ ] Định nghĩa này hoàn toàn hợp lý vì [ξ ]s − εn = [η ]s − εm thì ξ ⊕ εm = η ⊕ εn Suy [ξ ] = [η ] Tại lại có Ker f := {[ξ ]s − εn ∈ K ( X )| [ξ ] = [0]} = {εm − εn ∈ K ( X )|m, n ∈ N∗ } ⊂ K ( X ) và Ker f ∼ =Z Vì K ({∗}) ∼ = Z nên Ker f ∼ = K ({∗}) Khi đó từ (2.1) cho ta dãy khớp ngắn chẽ f e( X ) −→ 0 −→ K ({∗}) ,−−−→ K ( X ) −→ K e( X ) −→ K ( X ) xác định g ([ξ ]) := [ξ ] − εn Do đó, ta có với g : K s e( X ) ⊕ Z K(X) ∼ =K 2.4 Cấu trúc vành Trên K ( X ) ta định nghĩa phép nhân sau ([ξ ]s − [η ]s ) 0 ξ s − η s = [ξ ]s ⊗ ξ s − [ξ ]s ⊗ η s − ξ s ⊗ [η ]s + ξ s ⊗ η s Khi đó (K ( X ), +, ) trở thành vành giao hoán có đơn vị với phần tử đơn vị là ε1 e( X ) = Ker i∗ nên K e( X ) là ideal và là Vì i∗ : K ( X ) −→ K ({∗}) là đồng cấu vành và K e( X ) không thiết có phần tử đơn vị vành Hơn nữa, vành K Nhận xét 2.5 e( X ) có thể coi là hàm tử X vì ánh xạ liên tục • Hai vành K ( X ), K f : X −→ Y cảm sinh ánh xạ f ∗ : K (Y ) −→ K ( X ) [ξ ]s − [η ]s 7−→ f ∗ ([ξ ]s ) − f ∗ ([η ]s ) 11 (12) là đồng cấu vành vì thỏa f ∗ ([ξ ]s ⊕ [η ]s ) ∼ = f ∗ ([ξ ]s ) ⊕ f ∗ ([η ]s ) f ∗ ([ξ ]s ⊗ [η ]s ) ∼ = f ∗ ([ξ ]s ) ⊗ f ∗ ([η ]s ) Vì f ' g nên f ∗ = g∗ Do đó, cho ta tính chất hàm tử ( f g)∗ = g∗ f ∗ và 1∗ = Tương tự, cảm sinh ánh xạ mà ký hiệu e(Y ) −→ K e( X ) f∗ : K là đồng cầu vành • Cho X, Y là hai không gian tôpô Khi đó ta luôn xây dựng để K ( X ), K (Y ) và K ( X × Y ) là vành Với hai ánh xạ chiếu p1 : X × Y −→ X và p2 : X × Y −→ Y Một tích ngoài là ánh xạ µ : K ( X ) ⊗ K (Y ) −→ K ( X × Y ) a ⊗ b 7−→ µ( a ⊗ b) := p1∗ ( a) p2∗ (b) Định nghĩa này hoàn toàn hợp lý theo định nghĩa tích tenxơ Do đó K ( X ) ⊗ K (Y ) là vành với phép nhân xác định sau ( a ⊗ b)(c ⊗ d) := ac ⊗ bd và dễ dàng kiểm tra µ là đồng cấu vành vì µ (( a ⊗ b)(c ⊗ d)) = µ( ac ⊗ bd) = p1∗ ( ac) p2∗ (bd) = p1∗ ( a) p1∗ (c) p2∗ (b) p2∗ (d) = p1∗ ( a) p1∗ (b) p2∗ (c) p2∗ (d) = µ( a ⊗ b)µ(c ⊗ d) 2.5 Định lý tích Cho H là phân thớ đường chính tắc trên S2 = CP1 ta có (H ⊗ H) ⊕ ∼ = H⊕H Nếu xét K (S2 ) thì H + = 2H ⇔ ( H − 1)2 = 12 (13) Khi đó cho ta đồng cấu vành Z [ H ] /( H − 1)2 −→ K (S2 ) Ta định nghĩa đồng cấu vành µ : K ( X ) ⊗ Z [ H ] /( H − 1)2 −→ K ( X ) ⊗ K (S2 ) −→ K ( X × S2 ) Định lí 2.2 (Định lý tích bản) Cho X là không gian compact Hausdoff Khi đó, đồng cấu µ : K ( X ) ⊗ Z [ H ] /( H − 1)2 −→ K ( X × S2 ) là đẳng cấu vành (Chứng minh định lý này phức tạp dài khoàng 10 trang a4, anh chị tham khảo Allen Hatcher trang 41 - 51) Hệ 2.1 Đồng cấu ϕ : Z [ H ] /( H − 1)2 −→ K (S2 ) là đẳng cấu vành Chứng minh Cho X = {∗} là không gian điểm Áp dụng định lý 2.3 cho ta ϕ : Z [ H ] /( H − 1)2 −→ K (S2 ) là đẳng cấu vành 13 (14) Tài liệu tham khảo [1] Lê Anh Vũ, Bài giảng nhập môn K-Lý thuyết, năm 2012 [2] Allen Hatcher, Vector bundles and K-Theory, Version 2.0, January 2003 [3] Johan Dupont, K-Theory, 2009 [4] Klaus Wirthmuller, Vector bundles and K-Theory, 2011 [5] Raoul Bott, Lectures on K(X), 1969 14 (15)