TIỂU LUẬN Phạm trù và Hàm tử (Hàm tử và Song hàm tử)

Tiểu luận Môn Phạm trù và Hàm tử Học viên ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành ðại số và Lý thuyết số K20 1 ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN TI ỂU LUẬN Phạm trù và Hàm tử (Hàm tử và Song hàm tử) Giáo viên hướng dẫn Học viên ðoàn Văn Tiến TS Phan Văn Thiện Lớp Toán K20 (2011 2013) Huế, tháng 04 2012 Tiểu luận Môn Phạm trù và Hàm tử Học viên ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành ðại số và Lý thuyết số K20 1 LỜI NÓI ðẦU Năm 1944, S Eilenberg và S Maclane ñã ñưa vào toán học các khái niệm phạm trù và hàm tử.

1 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử ðẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN TIỂU LUẬN Phạm trù Hàm tử (Hàm tử Song hàm tử) Giáo viên hướng dẫn : Học viên : ðồn Văn Tiến TS Phan Văn Thiện Lớp Tốn K20 (2011-2013) Huế, tháng 04 -2012 Học viên : ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử LỜI NĨI ðẦU Năm 1944, S.Eilenberg S.Maclane ñưa vào toán học khái niệm phạm trù hàm tử gắn liền với việc tiên đề hóa lí thuyết nhóm đồng điều đối đồng điều khơng gian tơpơ Lí thuyết phạm trù đời tạo nên bước ngoặt phát triển ñại số nói riêng tốn học nói chung, vai trị lí thuyết tập hợp xuất kỷ XIX Trong tiểu luận này, tập trung nghiên cứu số kết liên quan ñến khái niệm Hàm tử Song hàm tử Tiểu luận ñược chia làm phần, phần I phần lí thuyết trình bày số khái niệm bản, phần II phần chứng minh số tập nhỏ tính chất liên quan Do hạn chế thời gian lực thân nên tiểu luận khơng thể tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý thầy bạn ðể hồn thành tiểu luận, tơi xin chân thành cảm ơn TS Phan Văn Thiện tận tình giảng dạy học phần Phạm trù Hàm tử hướng dẫn làm đề tài Tơi xin chân thành cám ơn học viên Cao học Tốn khóa XX – ðHSP Huế nhiệt tình giúp đỡ động viên tơi trình làm tiểu luận Huế, tháng 04/2012 Học viên : ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử PHẦN I LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ ðịnh nghĩa 1.1 Ta nói cho phạm trù C : (I) Cho lớp ObC phần tử gọi vật, (II) Với cặp thứ tự vật ( A, B) cho tập hợp [ A, B ]C (có thể rỗng), α gọi tập hợp cấu xạ, α ∈ [ A, B ]C kí hiệu α : A → B hay A  →B, A gọi nguồn, B gọi đích cấu xạ α , cho lớp tất cấu xạ C MorC = ∪ ( A, B )∈ObC xObD [ A, B ]C (III) Với ba vật ( A, B, C ) C cho ánh xạ : [ B, C ]C x [ A, B ]C → [ A, C ]C , (β , α ) ֏ βα (hay β α ) Gọi phép hợp thành α β , cho thỏa tính chất sau : (i) Với vật B ∈ ObC tồn cấu xạ Id B : B → B , gọi cấu xạ ñồng hay cấu xạ ñơn vị vật B , cho với cấu xạ α : A → B β : B → C , ta có : Id Bα = α , β Id B = β tạo thành dãy (ii) Nếu cấu xạ α , β , γ ∈ C α β γ A  → B  → C  → D hợp thành chúng kết hợp : γ ( βα ) = (γβ )α ðịnh nghĩa 1.2(ñơn xạ) Cấu xạ β : B → C ∈ MorC gọi ñơn xạ với X ∈ ObC với cặp α , α ' ∈ [ X , B ]C ta có : ( β , α ) ֏ βα = βα ' ⇒ α = α ' nghĩa β giản ước ñược bên trái ðịnh nghĩa 1.3(toàn xạ) Một cấu xạ α : A → B ∈ MorC gọi toàn xạ, với vật Y với cặp cấu xạ β , β ' : B → Y ta có βα = β 'α ⇒ β = β ' , nghĩa α giản ước ñược bên phải ðịnh nghĩa 1.4(song xạ) Một cấu xạ α : A → B ∈ MorC vừa đơn xạ vừa tồn xạ, ñược gọi song xạ ðịnh nghĩa 1.5(ñẳng xạ) Một cấu xạ α : A → B ∈ MorC gọi khả nghịch hay ñẳng xạ tồn cấu xạ β : B → A ∈ MorC cho βα = 1A , αβ = 1B Khi A gọi đẳng xạ hay tương đương với B , kí hiệu A ≅ B Học viên : ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử ðịnh nghĩa 1.6(hạt nhân) Giả sử C phạm trù có vật không, α : A → B cấu xạ Ta gọi hạt nhân (kernel) α cấu xạ u : K → A cho : α u = Với cấu xạ u ' : K ' → A thỏa mãn ñiều kiện α u ' = tồn cấu xạ λ : K ' → K cho: uλ = u ' Kí hiệu u = ker(α ) có viết K = ker(α ) ðịnh nghĩa 1.7(ñối hạt nhân) Ta gọi ñối hạt nhân (cokernel) cấu xạ α : A → B cấu xạ v : B → K * cho vα = Với cấu xạ v ' : B → K '* nghiệm ñúng v 'α = tồn cấu xạ µ : K * → K '* để v ' = µ v Kí hiệu v = co ker(α ) có viết K * = co ker(α ) HÀM TỬ ðịnh nghĩa 2.1 Cho C , D phạm trù Hàm tử hiệp biến h từ phạm trù C ñến phạm trù D cặp ánh xạ : Ánh xạ vật h : obC → obD cho tương ứng vật A ∈ obC với vật h( A) ∈ obD Ánh xạ cấu xạ h : MorC → MorD cho tương ứng cấu xạ f : A → B phạm trù C với cấu xạ h( f ) : h( A) → h( B ) phạm trù D thỏa mãn ñiều kiện sau : i) h(1A ) = 1h ( A) ii) h( gf ) = h( g )h( f ) Suy ra, hàm tử hiệp biến bảo tồn đẳng xạ ðịnh nghĩa 2.2 Giả sử h : B → C k : C → D hàm tử hiệp biến kh : B → D , A ֏ k (h( A)) , f ֏ k (h( f )) , xác ñịnh hàm tử hiệp biến h( gf ) = h( f )h( g ) , gọi hợp thành hàm tử h k Hàm tử h : C → D gọi ñẳng xạ phạm trù tồn hàm tử k : D → C cho kh = 1C hk = 1D Hàm tử h : C → D ñẳng xạ phạm trù ánh xạ vật h : obC → obD ánh xạ cấu xạ h : MorC → MorD song ánh ðịnh nghĩa 2.3 Cho hàm tử h, k : C → Set từ phạm trù C ñến phạm trù tập hợp Hàm tử h ñược gọi hàm tử hàm tử k : Học viên : ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử Với A ∈ obC , h( A) tập k ( A) Với cấu xạ f ∈ MorC , h( f ) thu hẹp k ( f ) ðịnh nghĩa 2.4 Cho C , D phạm trù Hàm tử phản biến h từ phạm trù C ñến phạm trù D cặp ánh xạ : Ánh xạ vật h : obC → obD cho tương ứng vật A ∈ obC với vật h( A) ∈ obD Ánh xạ cấu xạ h : MorC → MorD cho tương ứng cấu xạ f : A → B phạm trù C với cấu xạ h( f ) : h( A) → h( B ) phạm trù D thỏa mãn ñiều kiện sau : i) h(1A ) = 1h ( A) ii) h( gf ) = h( f )h( g ) Hàm tử hàm tử phản biến ñược ñịnh nghĩa hoàn toàn tương tự hàm tử hàm tử hiệp biến Từ ñây trở đi, khơng có nói thêm, ta qui ước hàm tử hàm tử hiệp biến ðịnh nghĩa 2.5 Cho C , D phạm trù có vật không Hàm tử h : C → D gọi bảo tồn vật khơng h chuyển vật khơng C thành vật không D h : C → D bảo tồn vật khơng h chuyển cấu xạ không thành cấu xạ không ðịnh nghĩa 2.6 Hàm tử h : C → D gọi bảo toàn hạt nhân với cấu xạ f , u = Kerf h(u ) = Kerh(f ) Hàm tử bảo toàn hạt nhân phải bảo tồn vật khơng (do vật khơng hạt nhân ñẳng xạ) ðịnh nghĩa 2.7 Cho C , D phạm trù khớp Hàm tử h : C → D gọi khớp h chuyển dãy khớp C thành dãy khớp D ðịnh nghĩa 2.8 Hàm tử h : C → D gọi trung thành cặp vật A, B C ta có : h : Mor( A, B) → Mor(h( A), h( B)) ñơn ánh, tức chuyển cặp cấu xạ phân biệt thành cặp cấu xạ phân biệt Hàm tử h : C → D gọi trung thành ñầy ñủ cặp vật A, B C ta có : h : Mor( A, B) → Mor(h( A), h( B)) song ánh Hàm tử h : C → D trung thành ñầy ñủ cho với vật B ∈ ObD ñẳng xạ với vật h( A) , A ∈ ObC , h gọi phép tương đương phạm trù Học viên : ðồn Văn Tiến Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử PHẦN II BÀI TẬP Bài Cho C , D phạm trù khớp, h : C → D hàm tử Chứng minh h bảo tồn đối hạt nhân với dãy khớp ngắn C : A→ B→C →0 ta có dãy khớp ngắn D : h( A) → h( B ) → h(C ) → Chứng minh : " ⇒ " Giả sử h bảo tồn đối hạt nhân dãy A → B → C → khớp Khi C → đối hạt nhân B → C Suy h(C ) → ñối hạt nhân h( B ) → h(C ) , h( B ) → h(C ) toàn xạ Do A → B → C khớp nên C ñối hạt nhân A → B Do h bảo tồn đối hạt nhân nên h(C ) ñối hạt nhân h( A) → h( B ) Theo trên, h( B) → h(C ) toàn xạ nên h(C ) ñối ảnh h( B) → h(C ) Vậy, h( A) → h( B ) → h(C ) → dãy khớp " ⇐ " Xét cấu xạ f : A1 → A2 Trong phạm trù khớp, f có phân tích qua ảnh I sau : A1 → I → A2 Gọi A2 → K ñối hạt nhân I → A2 (cũng ñối hạt nhân f ) Ta chứng minh h( A2 ) → h( K ) ñối hạt nhân h( f ) : h( A1 ) → h( K ) Gọi J → A1 hạt nhân A1 → I Khi ñó ta có hai dãy khớp ngắn : I → A2 → K → , J → A1 → I → Theo giả thiết, ta có dãy khớp sau : h( I ) → h( A2 ) → h( K ) → h( J ) → h( A1 ) → h( I ) → Do đó, h( A2 ) → h( K ) tồn xạ, đối hạt nhân h( I ) → h( A2 ) h( A1 ) → h( I ) toàn xạ Suy ra, h( A2 ) → h( K ) ñối hạt nhân h( A1 ) → h( I ) → h( A2 ) = h( A1 ) → h( A2 ) (ñiều phải chứng minh) Bài Chứng minh hảm tử h : C → D ñẳng xạ phạm trù ánh xạ vật h : obC → obD ánh xạ cấu xạ h : MorC → MorD song ánh Chứng minh : " ⇒ " Giả sử h : C → D đẳng xạ phạm trù Khi đó, tồn hàm tử k : D → C cho kh = 1C hk = 1D *Xét h : obC → obD Cho A, B ∈ C , giả sử h( A) = h( B) , : k (h( A)) = k (h( B )) ⇔ (kh)( A) = (kh)( B ) ⇔ 1C ( A) = 1C ( B ) suy A = B h : obC → obD ñơn ánh (1) Học viên : ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử Với B ∈ obD ta có B = 1D ( B) = (hk )( B) = h(k ( B)) , tồn A = k ( B ) ∈ obC ñể B = h( A) , h : obC → obD toàn ánh (2) Từ (1) (2) suy h : obC → obD song ánh * Xét h : MorC → Mor D Giả sử h(α ) = h(α ') (với α , α ' ∈ MorC ) Khi ñó, k (h(α )) = k (h(α ')) ⇔ (kh)(α ) = (kh)(α ') ⇔ 1C (α ) = 1C (α ') suy α = α ' , h : MorC → Mor D ñơn ánh (3) Với β ∈ Mor D , ta có β = 1D ( β ) = (hk )( β ) = h(k ( β )) , vậy, tồn α = k ( β ) , ñể h(α ) = h( β ) , h : MorC → Mor D toàn ánh (4) Từ (3) (4), suy h : MorC → Mor D song ánh Bài Cho h : C → D hàm tử Cho M tập hợp cấu xạ phạm trù C , h( M ) tập hợp cấu xạ h( f ) , f ∈ M Ta nói hàm tử h phản ánh tính chất M h( M ) có tính chất M có tính chất a Cho h hàm tử trung thành Chứng minh h phản ánh ñơn xạ, tồn xạ, biểu đồ giao hốn vật khơng (nếu phạm trù có vật khơng) b Cho C , D hai phạm trù khớp, h hàm tử trung thành bảo tồn vật khơng Chứng minh h phản ánh dãy khớp Chứng minh : a α ,α ' β * Cho X  → B  → C β ñơn xạ h (α ), h (α ') h( β ) Giử sử h( X )  → h( B )  → h(C ) thỏa mãn ñiều kiện : h( β )h(α ) = h( β )h(α ') ñiều tương ñương h( βα ) = h( βα ') , h trung thành nên suy βα = βα ' , β đơn xạ nên α = α ' , đó, h(α ) = h(α ') , hay h( β ) ñơn xạ α β ,β ' * Cho A  → B  → Y α tồn xạ h (α ) h ( β ), h ( β ') Giả sử A  → B → Y thỏa mãn ñiều kiện : h( β )h(α ) = h( β ')h(α ) ñiều tương ñương h( βα ) = h( β 'α ) , h trung thành nên suy βα = β 'α , α toàn xạ nên β = β ' , h( β ) = h( β ') , hay h(α ) ñơn xạ * B (1) α β h(B) h( α ) h( β ) (2) γ A C Học viên : ðoàn Văn Tiến h(A) h (γ ) h(C) Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử Giả sử biều ñồ (2) giao hoán, tức là, h(γ ) = h( β )h(α ) suy h(γ ) = h( βα ) , h trung thành nên ta có γ = βα , hay biểu (1) giao hốn * Việc chứng minh hình vng giao hốn hồn tồn tương tự Học viên : ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ngô Thúc Lanh : ðại số (Giáo trình sau đại học) [2] Sze-Tsen Hu : Nhập mơn ðại số đồng điều [3] Berry Mitchell : Theory of Categories Học viên : ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 ... = 1D Hàm tử h : C → D ñẳng xạ phạm trù ánh xạ vật h : obC → obD ánh xạ cấu xạ h : MorC → MorD song ánh ðịnh nghĩa 2.3 Cho hàm tử h, k : C → Set từ phạm trù C ñến phạm trù tập hợp Hàm tử h ñược... D hàm tử hiệp biến kh : B → D , A ֏ k (h( A)) , f ֏ k (h( f )) , xác ñịnh hàm tử hiệp biến h( gf ) = h( f )h( g ) , gọi hợp thành hàm tử h k Hàm tử h : C → D gọi ñẳng xạ phạm trù tồn hàm tử. .. làm tiểu luận Huế, tháng 04/2012 Học viên : ðoàn Văn Tiến Chuyên ngành: ðại số Lý thuyết số- K20 Tiểu luận : Môn Phạm trù Hàm tử PHẦN I LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ ðịnh nghĩa 1.1 Ta nói cho phạm trù C