PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN TIỂU LUẬN BỘ MÔN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NGỌC THẮNG CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC VÀ TÔPÔ KHÓA 20 PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN TIỂU LUẬN BỘ MÔN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHAN VĂN THIỆN HUẾ, THÁNG 5 2012 Tóm tắt Tiểu luận này trình bày một số tính chất về hàm tử hiệp biến, phép biến đổi tự nhiên, phần tử độc xạ, phép tương đương tự nhiên, được thể hiện trong Bài tập 1, Bài tập 2 và Bài tập 3 Học viên xin gửi lời chân thành cảm ơn đến TS Phan Văn Thiện, Thầy đã tận tình truyền đạt nhữ.

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN NGỌC THẮNG CHUN NGÀNH HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ KHĨA 20 PHÉP BIẾN ĐỔI TỰ NHIÊN TIỂU LUẬN BỘ MÔN LÝ THUYẾT PHẠM TRÙ VÀ HÀM TỬ GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHAN VĂN THIỆN HUẾ, THÁNG 5-2012 Tóm tắt Tiểu luận trình bày số tính chất hàm tử hiệp biến, phép biến đổi tự nhiên, phần tử độc xạ, phép tương đương tự nhiên, thể Bài tập 1, Bài tập Bài tập Học viên xin gửi lời chân thành cảm ơn đến TS Phan Văn Thiện, Thầy tận tình truyền đạt kiến thức học phần Lý thuyết Phạm trù Hàm tử cho học viên hội tiếp cận tính chất liên quan đến phép biến đổi tự nhiên Định nghĩa Cho phạm trù C cho kiện sau: • Một lớp vật ObC, phần tử A, B, C, ∈ ObC gọi vật phạm trù C; lớp xạ MorC • Với hai vật A, B C cho tập hợp nằm MorC, kí hiệu HomC (A, B ) gọi tập hợp xạ từ A tới B Để f ∈ HomC (A, B ) ta viết f f : A −→ B hay A −→ B • Với ba vật A, B, C C có ánh xạ HomC (B, C ) × HomC (A, B ) −→ HomC (A, C ) (g, f ) −→ gf gọi phép hợp thành xạ f g Các kiện phải thỏa mãn: – Phép hợp thành có tính kết hợp: A f / B g / C h / D xạ cho, ta có h(gf ) = (hg )f – Với vật A C, tồn xạ 1A : A −→ A, gọi xạ đồng vật A, cho với xạ f : A −→ B, với xạ g : C −→ A, ta có f 1A = f, 1A g = g – Nếu cặp vật (A, B ), (A′ , B ′ ) khác HomC (A, B )∩HomC (A′ , B ′ ) = ∅ Nhận xét Xạ đồng 1A xác định vật A Thật vậy, 1A 1′A xạ đồng vật A ta có 1A = 1A 1′A = 1′A Đảo lại, A xác định 1A tập xạ đơi khơng giao Ví dụ Phạm trù Set tập hợp gồm: • Lớp vật Ob S et = {tất tập hợp} • Lớp xạ Mor Set = {tất ánh xạ tập hợp} • Phép hợp thành tích ánh xạ • Với vật A Set, ta có ánh xạ đồng 1B = IdB Định nghĩa Xạ f : A −→ B gọi đơn xạ với xạ k : X −→ A, l : X −→ A cho f k = f l ta có k = l Định nghĩa Xạ g : B −→ C gọi toàn xạ với xạ k : C −→ Y, l : C −→ Y cho kg = lg ta có k = l Định nghĩa Xạ f gọi song xạ f đồng thời đơn xạ toàn xạ Nhận xét • Nếu f : A −→ B g : B −→ C đơn xạ gf : A −→ C đơn xạ • Nếu gf đơn xạ f đơn xạ • Nếu f : A −→ B g : B −→ C tồn xạ gf : A −→ C tồn xạ • Nếu gf tồn xạ g tồn xạ • Nếu f : A −→ B g : B −→ C song xạ gf : A −→ C song xạ • Nếu gf song xạ f đơn xạ g tồn xạ Định nghĩa Một xạ f : A −→ B phạm trù C gọi đẳng xạ hay khả nghịch tồn xạ g : B −→ A cho gf = 1A f g = 1B Khi đó, ta kí hiệu g = f −1 , gọi xạ nghịch đảo f Hai vật A, B phạm trù C gọi đẳng xạ hay tương đương tồn ∼ B đẳng xạ f : A −→ B, kí hiệu A = Nhận xét • Nếu xạ g tồn Thật vậy, g ′ : B −→ A xạ cho: g ′ f = 1A f g ′ = 1B ta có g = 1A g = (g ′ f )g = g ′ (f g ) = g ′ 1B = g ′ • Nếu f : A −→ B g : B −→ C đẳng xạ hợp thành chúng gf : A −→ C đẳng xạ, ta có (gf )−1 = f −1 g −1 Thật vậy, ta có (f −1 g −1 )(gf ) = 1A , (gf )(f −1 g −1 ) = 1C • Mọi xạ đồng đẳng xạ xạ nghịch đảo • Mọi đẳng xạ song xạ, điều ngược lại không Định nghĩa 10 Cho C D hai phạm trù Một hàm tử hiệp biến H hay gọi tắt, hàm tử H từ phạm trù C đến phạm trù D H : C −→ D cặp ánh xạ • Ánh xạ - vật H : ObC −→ ObD cho tương ứng vật A phạm trù C với vật H(A) phạm trù D • Ánh xạ - xạ H : MorC −→ MorD cho tương ứng cấu xạ f : A −→ B phạm trù C với cấu xạ H(f ) : H(A) −→ H(B ) phạm trù D Các ánh xạ thỏa mãn điều kiện sau – H(1A ) = 1H(A) với vật A C – H(gf ) = H(g )H(f ) với hợp thành gf xác định C Nhận xét 11 Một hàm tử hiệp biến bảo toàn xạ đồng hợp thành xạ Do đó, bảo tồn đẳng xạ Định nghĩa 12 Giả sử H : B −→ C K : C −→ D hàm tử hiệp biến Khi KH : B −→ D A −→ K(H(A)) f −→ K(H(f )) xác định hàm tử hiệp biến, gọi hợp thành hàm tử H K Định nghĩa 13 Cho hai phạm trù C, C ′ Ta gọi tích hai phạm trù C C ′ , kí hiệu C × C ′ , phạm trù gm ã Ob(C ì C ) = {(C, C ′ )|C ∈ Ob(C ), C ′ ∈ Ob(C ′ )} ã HomCìC ((A, A ), (B, B )) = {(f, f ′ )|f ∈ HomC (A, B ), f ′ ∈ HomC ′ (A′ , B ′ )} ã Vi (f, f ) HomCìC ((A, A′ ), (B, B ′ )), (g, g ′ ) ∈ HomC×C ′ ((B, B ′ ), (C, C ′ )), ta có hợp thành (g, g ′ ) ◦ (f, f ′ ) = (gf, g ′ f ′ ) ∈ HomC×C ′ ((A, A′ ), (C, C ′ )) Định nghĩa 14 Cho phạm trù C, C ′ , D Một hàm tử H : C × C ′ −→ D từ phạm trù tích C × C ′ vào phạm trù D gọi song hàm tử (hai lần hiệp biến) Như theo định nghĩa, song hàm tử H : C × C ′ −→ D cặp ánh xạ • Ánh xạ - vật: (A, A′ ) −→ H(A, A′ ), • Ánh xạ - xạ: (f, f ′ ) −→ H(f, f ′ ) thỏa mãn – H(1A , 1′A ) = 1H(A,A′ ) , – H(gf, g ′ f ′ ) = H(g, g ′ )H(f, f ′ ) Định nghĩa 15 Cho H, K : C −→ D hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù D Một phép biến đổi tự nhiên φ từ H đến K ánh xạ φ : ObC −→ MorD A −→ H(A) −→ K(A) cho với xạ f : A −→ B C, biểu đồ sau giao hoán H(A)  φ(A) H(f ) / K(A) H(B ) φ(B) /  K(f ) K(B ) Để diễn tả kiện biểu đồ giao hốn, ta thường nói φ(A) tự nhiên A Định nghĩa 16 Cho H, K : C −→ D hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù D Một phép biến đổi tự nhiên φ từ H đến K gọi đẳng xạ tự nhiên hay tương đương tự nhiên, hay đẳng xạ hàm tử với vật A C, φ(A) ∼ K đẳng xạ Khi đó, ta viết H = Định nghĩa 17 Hàm tử H : C −→ D gọi trung thành cặp vật A, B phạm trù C, ta có H : HomC (A, B ) −→ HomD (H(A), H(B )) đơn ánh, tức H chuyễn cặp cấu xạ phân biệt thành cặp cấu xạ phân biệt Hàm tử H : C −→ D gọi trung thành đầy đủ cặp vật A, B phạm trù C, ta có H : HomC (A, B ) −→ HomD (H(A), H(B )) song ánh Hàm tử H : C −→ D trung thành đầy đủ cho với vật B phạm trù D đẳng xạ với vật H(A), A ∈ ObC H gọi phép tương đương phạm trù Bài tập Chứng minh hàm tử H : C −→ D phép tương đương tồn hàm tử K : D −→ C cho HK tương đương tự nhiên với 1D , hàm tử đồng D, KH tương đương tự nhiên với 1C , hàm tử đồng C Lời giải ⇐) Giả sử có hàm tử K : D −→ C cho HK tương đương tự nhiên với 1D , KH tương đương tự nhiên với 1C Khi đó, có xạ φ : 1D −→ HK cho với vật ∼ H(K(B )) B phạm trù D, φ(B ) đẳng xạ, suy B = Ta có đẳng xạ tự nhiên ψ : KH −→ 1C Khi đó, với xạ A −→ A′ HomC (A, A′ ), biểu đồ sau giao hoán ψ(A) / KH(A)  ψ(B) KH(A′ ) / A  A′ Suy H hàm tử trung thành Tương tự, K hàm tử trung thành Với xạ β : H(A) −→ H(A′ ) phạm trù D, cảm sinh xạ α : A −→ A′ nhờ biểu đồ giao hoán ta có K(β ) = K(H(α)) Vì K hàm tử trung thành nên β = H(α) Suy hàm tử H : C −→ D phép tương đương phạm trù ⇒) Giả sử H phép tương đương phạm trù Khi với vật B phạm trù D ta tìm vật K(B ) phạm trù C đẳng cấu φB : B −→ HK(B ) Mỗi xạ β : B −→ B ′ phạm trù D cảm sinh xạ φB , βφ−1 B : HK(B ) −→ HK(B ) Vì H trung thành đầy đủ nên có xạ K(B ) −→ K(B ′ ) cho φB , βφ−1 B = H(K(β )), nói cách khác, cho biểu đồ sau giao hoán B φB β  B′ φ′B / / HK(B )  HK(β) HK(B ′ ) Khi K hàm tử Từ biểu đồ trên, ta thấy φ phép biển đổi tự nhiên Với vật A phạm trù C, ta có đẳng cấu φH(A) : H(A) −→ HKH(A) H trung thành đầy đủ nên có đẳng cấu ψA : KH(A) −→ A cho h(ψA ) = φ−1 H(A) Để chứng minh ψ phép biến đổi tự nhiên, ta cần chứng minh với xạ A −→ A′ , biểu đồ phần chứng minh trước giao hoán Tác động H vào biểu đồ dùng h(ψA ) = φ−1 H(A) ta biểu đồ giao hốn nhờ tính tự nhiên φ Vì H trung thành nên biểu đồ giao hốn Ta có hệ thức Hψ = (φH)−1 h(ψA ) = φ−1 H(A) −1 Ta phải chứng minh K(φB ) = ψK(B) với vật B phạm trù D Vì H −1 trung thành nên cần chứng minh HK(φB ) = H(ψK(B) ) Dùng h(ψA ) = φ−1 H(A) −1 ta có H(ψK(B) ) = φHK(B) Thay β φB biểu đồ ta có điều phải chứng minh Bài tập Cho HK : C × C ′ −→ D song hàm tử từ phạm trù tích C × C ′ đến phạm trù D Cho φ ánh xạ φ : Ob(C × C ′ ) −→ MorD A × A′ −→ H(A, A′ ) −→ K(A, A′ ) Chứng minh φ phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K φ(A, A′ ) tự nhiên A A′ cho φ(A, A′ ) tự nhiên A′ A cho Lời giải ⇒) Xét φ phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K Khi đó, với xạ phạm trù tích C × C ′ , tức cặp xạ f : A −→ B C f ′ : A′ −→ B ′ C ′ , biểu đồ sau giao hoán φ(A,A′ ) H(A, A′ )  K(A, A′ ) / H(f,f ′ )  φ(B,B ′ ) H(B, B′ ) K(f,f ′ ) K(B, B′ ) / Nói riêng, biểu đồ sau giao hốn φ(A,A′ ) H(A, A′ ) K(A, A′ ) /  H(f,A′ )  φ(B,A′ ) H(B, A′ ) K(f,A′ ) K(B, A′ ) / ′ ′ φ(B,A / ) H(B, A ) K(B, A′ )  H(B,f ′ ) ′ φ(B,B ) H(B, B′ ) /  K(B,f ′ ) K(B, B′ ) Vậy φ(A, A′ ) tự nhiên A A′ cho φ(A, A′ ) tự nhiên A′ A cho ⇐) Đảo lại, biểu đồ thứ hai thứ ba giao hốn suy biểu đồ sau giao hốn φ(A,A′ ) H(A, A′ ) / K(A, A′ ) H(f,A′ )  ′  φ(B,A ) H(B, A′ )  / K(B, A′ ) H(B,f ′ ) ′  φ(B,B ) H(B, B′ ) / K(f,A′ ) K(B,f ′ ) K (B, B′ ) Vậy φ phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K Định nghĩa 18 Cho H : C −→ Set hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù tập hợp Set Một phần tử độc xạ H cặp (u, R) gồm vật R C phần tử u ∈ H(R) thỏa mãn tính chất: với vật X C phần tử v ∈ H(X), tồn xạ f : R −→ X cho H(f)(u) = v ∈ u H(R)  ∈ v R ∃! f H(f)  H(X) X Định nghĩa 19 Cho R quan hệ tương đương tập A Nếu ta cho ứng với phần tử x A với lớp tương đương [x]R mà xác định, rõ ràng ta toàn ánh từ A lên tập thương A|R tnR : A −→ A|R x −→ [x]R Ánh xạ gọi ánh xạ tự nhiên từ tập A lên tập thương A|R, kí hiệu tnR Định lí 20 Tính chất độc xạ tập thương Cho R quan hệ tương đương tập A φ : A −→ X ánh xạ cho (a, b) ∈ R ⇒ φ(a) = φ(b) Khi đó, tồn ánh xạ f : A|R −→ X cho φ = f tnR, tức cho biểu đồ sau giao hoán A|R A {= tnR{{{ {{ {{ ∃!f φ / ! X Bài tập Cho A tập hợp R quan hệ tương đương A A a) Chứng minh HR : Set −→ Set xác định sau – với X ∈ ObSet, A HR (X ) = {φ : A −→ X| (a, b) ∈ R =⇒ φ(a) = φ(b)} – với ánh xạ f : X −→ Y , A A A HR (f ) : HR (X ) −→ HR (Y ) φ −→ fφ hàm tử hiệp biến A b) Hãy tìm phần tử độc xạ HR Lời giải a) A A – Xét ánh xạ f : X −→ Y , φ ∈ HR (X ), ta kiểm chứng HR (f )(φ) = f φ ∈ A HR (Y ) Thật vậy, với (a, b) ∈ R, ta có φ(a) = φ(b) ⇒ f (φ(a)) = f (φ(b)) ⇒ (f φ)(a) = (f φ)(b) A A Vậy HR (f )(φ) ∈ HR (Y ) A – Với xạ đồng 1X Set, ta có HR (1X ) = 1HRA (X) Thật vậy, với A φ ∈ HR (X ), ta có A (1X )(φ) = 1X ◦ φ = φ HR – Với ánh xạ f, g Set cho hợp thành gf có nghĩa, ta có A A A HR (g ) ◦ HR (f ) = HR (gf ) A Thật vậy, với φ ∈ HR (X ), ta có A A A A (HR (g ) ◦ HR (f ))(φ) = HR (g )(HR (f )(φ)) A A =HR (g )(f φ) = g (f φ) = (gf )φ = HR (gf )(φ) A Vậy HR hàm tử hiệp biến A b) Theo định nghĩa, phần tử độc xạ HR cặp (u, R), R A vật Set, tức tập hợp, u phần tử HR (R), tức ánh xạ u : A −→ R cho (a, b) ∈ R ⇒ u(a) = u(b) Cặp (u, R) phải thỏa mãn tính chất độc xạ sau: tập hợp X phần tử v ∈ HXA , tức ánh xạ v : A −→ X cho (a, b) ∈ R ⇒ v (a) = v (b), tồn ánh xạ f : R −→ X cho v = HXA (f )(u) = f u Theo tính chất độc xạ tập thương Định lý 20, cặp (u = tnR, R = A|R) thỏa mãn tính chất Tài liệu tham khảo [1] I Bucur, A Deleanu, Introduction to the theory of cateories and functors, 1968 [2] N T Lanh, Đại số, NXBGD, 1985 [3] B Mitchell, Theory of Categories, Academit Press, 1965 Email address: ngocthangpro@gmail.com Tel: +841695377526 Typed by TEX ... φ(A) tự nhiên A Định nghĩa 16 Cho H, K : C −→ D hai hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù D Một phép biến đổi tự nhiên φ từ H đến K gọi đẳng xạ tự nhiên hay tương đương tự nhiên, hay đẳng xạ hàm tử. .. Vậy φ phép biến đổi tự nhiên từ song hàm tử H đến song hàm tử K Định nghĩa 18 Cho H : C −→ Set hàm tử từ phạm trù C đến phạm trù tập hợp Set Một phần tử độc xạ H cặp (u, R) gồm vật R C phần tử u... minh hàm tử H : C −→ D phép tương đương tồn hàm tử K : D −→ C cho HK tương đương tự nhiên với 1D , hàm tử đồng D, KH tương đương tự nhiên với 1C , hàm tử đồng C Lời giải ⇐) Giả sử có hàm tử K