Chuyên đề tổ hợp xác suất ôn thi học sinh giỏi GVBD: THẦY HẠNH A.LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN NẮM I.QUY TẮC ĐẾM Quy tắc cộng Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m n cách thực Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m n cách hồn thành cơng việc II– HỐN VỊ Định nghĩa Cho tập A gồm n phần tử n Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Định lí Số hốn vị n phần tử, kí hiệu Pn n! n n n 3.2.1 II – CHỈNH HỢP Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử n Kết việc lấy k k n phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho Định lí Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử Ank n! n k ! Một số qui ước 0! 1, An0 1, Ann n! Pn III – TỔ HỢP Định nghĩa Giả sử tập A có n phần tử n Mỗi tập gồm k k n phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Định lí n! k ! n k ! Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử C nk Một số quy ước Cn0 n! k ! n k ! với qui ước ta có C nk Tính chất Tính chất Cnk Cnn k Tính chất Cnk 11 Cnk =Cnk IV.NHỊ THỨC NIU TƠN Nhị thức Niu-tơn k 1, Cnn với số nguyên dương k thỏa k n n k n a b n C n0 a n C n1a n 1b C nn 1ab n C nnb n n C nk a n k b k k Hệ Với a b , ta có 2n Với a 1; b C n0 , ta có 0n C n1 Cn0 C nn Cn1 C nn k n Cnk Chú ý Trong biểu thức vế phải khai triển a b Cnn n Số hạng tử n 1; Các hạng tử có số mũ a giảm dần từ n đến ; số mũ b tăng dần từ đến n , tổng số mũ a b hạng tử n (quy ước a0 b0 ); Các hệ số cặp hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối VI.BIẾN CỐ & XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I – Biến cố Phép thử không gian mẫu Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử ) thí nghiệm hay hành động mà: Kết khơng đốn trước Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Tập hợp kết phép thử T gọi không gian mẫu T kí hiệu Số phần tử khơng gian mẫu kí hiệu n hay Biến cố Biến cố A liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay không xảy A tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy gọi kết thuận lợi cho A Tập hợp kết thuận lợi cho A kí hiệu A II – Xác suất Giả sử phép thử T có không gian mẫu tập hữu hạn kết T đồng khả Nếu A biến cố liên quan với phép thử T A tập hợp kết thuận lợi cho A xác suất A số , kí hiệu P ( A) , xác định công thức P A Từ định nghĩa, suy P A 1, P 1, P A n A n B BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: Các tốn đếm – Tính xác suất chữ số thoả mãn điều kiện cho trước Loại 1: Liên quan đến tính chất chia hết Câu 1: ( Đề thi học sinh giỏi Quảng Ngãi Lớp 11 năm 2015-2016) Từ chữ số 1,3,4,8 lập sô tự nhiên có sáu chữ số, chữ ố có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt úng lần Trong số tạo thành nói trên, chon ngẫu nhiên số Tính xác suất dể số chọn chia hết cho ? ĐS: 1/15 Câu 2: ( Đề thi HSG Vĩnh Phúc lớp 11 năm 2010 -2011) Gọi A ập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiện thuộc vào tập A Tính xác suất ể chọn số thuộc A số chia hết cho Đs: 11/27 Câu 3: ( Đề thi HSG tỉnh Thanh hoá 16-17) Gọi S l tập hợp ước số nguyên dương số: 43200 Lấy ngẫu nhiên hai phần tử thuộc S Tính xác suất lấy hai phần tử hai số không chia hết cho Đs: 9/38 Câu 4: ( Lạng Giang lớp 11 năm 12-13) Cho tập hợp A ={0;1;2;3;4;5;6;7} Từ tập A cso thể lập số tự nhiên có chữ số khác đôi cho số số lẻ chữ số đứng vị trí thứ ln chia hết cho 6? ĐS: 2640 số Câu 5: (Bình Định lớp 12 năm 17-18) Trong tập hợp số tự nhiên có chữ số ta chọn ngẫu nhiên số Tính xác suất để số chọn chia hết cho có chữ số hàng ơn vị Câu 6: ( Vĩnh Phúc lớp 11 năm 11-12) Gọi A tập hợp tất số ự nhiên c chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A, tính xác suất để chọn dược số chia hết cho chữ số hàng đơn vị Đs: 1286/90000 =0,015 Câu 7: (Vĩnh long lớp 11 năm 14-15) Từ chữ số 0;1;2;3;4;5 lập số tự nhiên có ba chữ số đôi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số không chia hết cho Đs: 6/10 Câu 8: (Hà Nam lớp 11 năm 16-17) Từ số 1,2,3,4,5,6,7,8 lập cá số tự nhiên có chữ số khác Trong số lập được, chọn ngẫu nhiên s Tính xác suất để số chọn chia hết cho 1111 Đs:1/105 Câu 9: ( Cẩm xuyên lớp 11 năm học 16-17) Một hộp đựng 20 viên bi khác đánh số từ đến 20 Lẫy ba viên bi từ hộp cộng số ghi lại Hỏi có cách lấy để kết thu số chia hết cho Đs: 384 Câu 10: (Thái nguyên lớp 11 năm học 17-18) Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập S Tính xác suất ddeer chọn số thuộc S số chia hết cho Đs: 1/9 Câu 11: (Quảng Nam 15-16) Gọi X tập hợp số tự nhiên chẵn có chữ số đơi khác lập từ chữ số 0;2;3;4;5;7;8 Chọn ngẫu nhiên số tập X Tính xác suất để số đợc chọn chia hết cho Đs: 53/105 Câu 12: (Hà Nam lớp 11 năm 17-18) Gọi X tập hợp số tự nhiên có chữ số khác mà tổng chữ số 18 Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp X Tính xác suất để số chọn số chẵn Đs: 43/75 Câu 13: ( Vũng Tàu lớp 12 năm 17-18) Từ chữ số 1;2;3;4;5;5;6;7;8;9 lập số tự nhin có chữ số đơi khác cho tổng ba chữ số hàng chục nghìn, hàng nghìn hàng trăm 9? Câu 14 (Cao lớp 12 năm 17-18) Một hộp chứa 11 cầu đánh số theo thứ t từ đến 11, lấy ngẫu nhin cầu tính xác suất để tổng số ghi cầu số lẻ Câu 15: (Thanh Hố dự bị lớp 12 năm học 14-15) Một hộp đựng chín cầu giống đánh số từ đến Hỏi phải lấy cầu để xác suất có ghi số chia hết cho phải lớn 5/6 Đs: Loại 2: Số lần xuất chữ số Câu 16: (Quảng Nam lớp 11 năm học 16-17) Từ 10 chữ số 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 lập số tự nhiên thoả mãn : số có chữ số, c chữ số lẻ khác chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt lần Đs: 428400 số Câu 17: (Thanh Hoá lớp 12 năm học 13-14) Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số đề khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Đs: 1400/6561 Câu 18: (Bắc Giang lớp 11 năm học 12-13) Có số tự nhiên có chữ sơ cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số lại xuất không lần Đs: 3888 Câu 19: (Nam Định lớp 11 năm học 15-16 ) chọn ngẫu nhiên ba số đôi khác từ tập hợp A{1;2;3…;20} Tính xác suất để ba số chọn khơng có hai số tự nhiên liên tiếp Đs: 68/95 Câu 20 (Thanh Hoá lớp 12 năm học 2008-2009) Có số tự nhiên có chữ số đơi khác mà có chữ số lẻ ? Đs:3000 số Câu 21 (Nam Định lớp 12 năm học 13-14) Từ số 0;1;2;3;4;5;6 thành lập số ự nhiên, số có chữ số khác nhau, ln có mặt chữ số Đs: Câu 22: (Diễn Châu Nghệ An lớp 11 năm học 16-17) Gọi X tập hợp số tự nhiên gồm sáu chữ ssooss đôi khác đơợc tạo thành từ số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp X Tính xác suất để số chọn chứa ba chữ số lẻ Đs: 30/63 Câu 23: (Từ tập hợp tất số tự nhiên có năm chữ số mà chữ số khác 0, lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Loại : Liên quan đến vị trí Câu 24: ( Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 17-18) Có số tụ nhiên gồm chữ số khác hai chữ số kề khơng số lẻ ? Đs: 37.800 số Câu 25: (Vĩnh Long lớp 11 năm học 15-16) Có số tự nhiên có chữ số khác đơi một, chữ số đứng liền giũa hai số Đs: 7.440 số Câu 26: (Thái Nguyen lớp 12 năm học 11-12) Cho chữ số 0;1;2;3;4;5 Có số gồm có chữ số khác thành lập từ chữ số cho, hai số khơng dứng cạnh ? Câu 27: (Quảng Nam lớp 12 năm học 15-16) Từ chữ số: 1;2;3;4;5;6 lập số tự nhiên gồm chữ số cho số có ba chữ số 1, chữ số cịn lại đơi khác hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau? Đs: 2400 Câu 28 (Thanh Hoá lớp 12 năm học 14-15) Từ chữ số: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 ta lập số tự nhiên có chữ số, mà chữ số đơi khác hai chữ số kề không số lẻ ? Đs: 37.800 số Câu 29 ( Lào Cai lớp 11 năm học 17-18) Với chữ số 1;2;3;4;5;6 Có thể lập số gồm bảy chữ số khác cho ba chữ số lẻ không đứng cạnh Đs: 2.736 Câu 30 ( Đông Anh Hà Nội lớp 11 năm học 17-18) Từ chữ số thiết lập đơợc số tự nhiên có 10 chữ số cho số tạo thành khơng có số có hai chữ số cạnh Câu 31 ( Lạng Sơn lớp 11 năm 15-16) Trong hộp chứa thẻ ghi dãy số gồm chữ số khác Tính xacsc suất để bốc thẻ có ghi chữ số 1,2,3,4 chữ số 1, không đứng cạnh chữ số 3,4 không đứng cạnh Đs: 248/315 Câu 32 (Nam định lớp 12 năm học 12-13) Từ chữ số 0;1;2;3;4;5;6 lập số tự nhiên có chữ số khác không lớn 2503 ? Câu 33 (Thanh Hoá lớp 12 năm học 11-12) Từ chữ số: 0;1;2;3;4 lập số chẵn có chữ số đội khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy đượợc số l 2012 Đs: 7/10 Câu 34 (Vĩnh Phúc lớp 11 năm học 14-15) Gọi M tập hợp tất số tự nhiên có sau chữ số đơi khác có dạng: abcdef chọn ngẫu nhiên số từ tập M Tính xác suất để số chọn số chẵn, đồng thời thoả mãn a>b>c>d>e>f Đs: 37/34.020 Câu 35( Nam Định lớp 12 năm học 14-15) Từ chữ số 0;1;2;3;4;5 lập tất số tự nhiên có bốn chữ số đơi khác Chọn ngẫu nhiên hai số số lập Tính xác suất để hai số chọn có nhât smootj số lớn 2015 ? Đs: Câu 36: (Triệu sơn lớp 11 năm học 17-18) Cho tập A=Ơ0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Có cách chọn số phân biệt A ( khơng tính thứ tự) để hiệu số số có giá trị tuyệt đối khơng nhỏ Đs: 56 Câu 37 (Hải Phòng lớp 12 năm học 17-18) Người ta dùng 18 sách bao gồm sách Toán, sách Vật lý sách Hó học ( Các sách loại giống hoàn toàn ) để làm phần thưởng cho học sinh ( có hai học sinh A B) Tính xác suất để hai học sinh A B nhận phần thưởng giống Câu 38: (Vĩnh Phúc lớp 11 năm hcoj 15-16) Một trượng học có 25 giáo viên nam 15 giáo viên nữ có cặp vợ chồng Nhà trường chọn ngẫu nhiên người số 40 giáo viên cơng tác Tính xác suất cho người chọn có cặp vợ chồng Đs: Câu 39 ( Càu Mau lớp 12 năm học 17-18) Chi đoàn lớp 12 A gồm 40 đồn viên, có người tên An người tên Bình Ban chấp hành chi đồn bao gồm bí thư, phó bí thư n uỷ viên bầu từ 40 đoàn viên chi đồn Có thể lập đơợc ban chấp hành chi đoàn 12A với số uỷ viên n=7, cịn An Bình người giữ chức vụ bí thư phó bí thư? Một ban chấp hành chi đoàn 12A gọi đạt chuẩn A0 An Bình uỷ viên ban chấp hành, đồng thời không giữ vụ bí thư phó bí thư Xác định giá trị n, biết xác xuất lấy ngẫu nhiên ban chấp hành đạt chuẩn A0 1/78 Câu 40 (Nam Định lớp 12 năm học 17-18) Một đề thi có 10 câu trắc nghiệm, câu có bốn phương án trả lời, phương án trả lời đôi khác nhau, có phương án đúng, ba phương án sai, trả lời cầu đơợc 1,0 điểm, trả lời sai không điểm không bị trừ điểm Một thí sinh làm 10 câu, câu chọn phwuowng án cách ngẫu nhiên Tính xác suất để thí sinh đạt từ 7,0 trở lên Câu 41(Quảng Ninh lớp 12 năm học 16-17) Một học sinh tham dự kỳ thi mơn tốn Học sinh phải làm đề thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu Mỗi câu có đáp án khác nhau, có đáp án Học sinh chấm đỗ trả lời câu Vì học sinh khơng học nên chọn ngẫu nhiên đáp án 10 câu hỏi Tính xác suất để học sinh thi đỗ Câu 42 (Thanh Hoá lớp 12 năm học 15-16) Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp trương, trường THPT dùng sách tham khảo môn Tốn, sách tham khảo mơn Vật lý, sách tham khảo mơn Hố học để làm phần thưởng cho học sinh có kết cao Các sách thể loại: Toán, Vật lý, Hoá học giống Mỗi học sinh nhận thưởng sách khác thể loại Trong số học sinh có hai hcoj sinh tên An Bình Tìm xác suất để hai học sinh An Bình có phần thưởng giống Câu 43 (Bắc Giang lớp 12 năm học 15-16) Một công ty nhận 30 hồ sơ 30 người muốn xin việc vào cơng ty, có 15 người biết tiếng Anh, người biết tiếng Pháp 14 người biết tiếng Anh tiếng Pháp Công ty cần tuyển người biết tiếng Anh tiếng Pháp Tính xác xuất để người đơợc chọn có người biết tiếng Anh tiếng Pháp Đs: 5/18 Câu 44 ( Nghệ An lớp 11 năm học 16-17) Thầy X có 15 sách gồm sách văn, sách Sử, sách Ddianj Các sách đôi khác thầy X chọn ngẫu nhiên sách để làm phần thưởng cho học sinh Tính xác suất để số sách cịn lại thầy X có đủ mơn ĐS: 5949/6435 Câu 45 (Bắc Giang lớp 11 năm học 13-14) Một đoàn tàu có toa chở khách với toa cịn chỗ trống Trên san ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để hành khách lên tàu có tao có khách lên, hai toa có khách lên toa khơng có khách lên tàu Đs: 15/64 Câu 46 (Đề thi học sinh giỏi Phú Thọ lớp 12 năm học 15-16) Một dãy phố có cửa hàng quần áo Có người khách đến mua quần áo, người khách vào ngẫu nhiên năm cửa hàng Tính xác suất để có cửa hàng có nhiều người khách vào Đs: 181/625 ĐỀ HSG CÀ MAU 2020-2021 Câu 47 (Bắc Giang lớp 12 năm học 14-15) Cho đa giác (H) có n đỉnh ( n số tự nhiên lớn 4) Tìn n biết số tam giác có ba đỉnh đỉnh (H) khơng có cạnh cạnh (H) gấp lần số tam giác có ba đỉnh đỉnh (H) có cạnh cạnh (H) Đs: n=35 Câu 48 (Cho đa giác lồi có 14 đỉnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên X tam giác Tính xác suất để tam giác đơợc chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho Đs: 15/26 Câu 49: (Cho (H) đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O (n số tự nhiên lớn 2) Gọi S tập hợp tam giác có đỉnh đa giác (H) chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập S Biết xác suất chọn tam giác vuông tập S 1/13 Tìm n Đs: n=20 Câu 50: ( Vĩnh Phúc lớp 12 năm học 15-16) Cho đa giác có 15 đỉnh Gọi M tập tất tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên tam giác thuộc tập M, Tính xác suất để tam giác chọn tam giác cân tam giác ... năm học 1 3-1 4) Một đồn tàu có toa chở khách với toa cịn chỗ trống Trên san ga có hành khách chuẩn bị lên tàu Tính xác suất để hành khách lên tàu có tao có khách lên, hai toa có khách lên toa khơng... 1 7-1 8) Từ chữ số thiết lập đơợc số tự nhiên có 10 chữ số cho số tạo thành khơng có số có hai chữ số cạnh Câu 31 ( Lạng Sơn lớp 11 năm 1 5-1 6) Trong hộp chứa thẻ ghi dãy số gồm chữ số khác Tính xacsc... lớp 11 năm 1 4-1 5) Từ chữ số 0;1;2;3;4;5 lập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số không chia hết cho Đs: 6/10 Câu 8: (Hà Nam lớp 11 năm 1 6-1 7) Từ số