Chuyên đề Số nguyên tố Chuyªn ®Ò Sè nguyªn tè Ph¹m H÷u Tu©n – Trêng THCS Chu V¨n An §T 0978760769 1 Sè nguyªn tè I KiÕn thøc cÇn nhí 1 DÞnh nghÜa Sè nguyªn tè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1, chØ cã hai íc lµ 1 vµ chÝnh nã Hîp sè lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1, cã nhiÒu h¬n hai íc 2 TÝnh chÊt NÕu sè nguyªn tè p chia hÕt cho sè nguyªn tè q th× p = q NÕu tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× Ýt nhÊt mét thõa sè cña tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p NÕu a vµ b kh«ng chia hÕt cho sè nguyªn tè.
Chuyên đề: Số nguyên tố Số nguyên tố I Kiến thức cần nhớ: Dịnh nghĩa: * Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước * Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai íc TÝnh chÊt: * NÕu sè nguyªn tè p chia hết cho số nguyên tố q p = q * NÕu tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p th× Ýt nhÊt mét thõa sè cđa tÝch abc chia hÕt cho sè nguyªn tè p * NÕu a b không chia hết cho số nguyên tố p tích ab không chia hết cho số nguyên tố p Cách nhận biết số nguyên tố: a) Chia số cho số nguyên tố đà biết từ nhỏ đến lớn - Nếu có phép chia hết số số nguyên tố - Nếu chia lúc số thương nhỏ số chia mà phép chia số dư ssó số nguyên tè b) Mét sè cã íc sè lín h¬n số số nguyên tố Phân tích số thừa số nguyên tố: * Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số nguyên tố - Dạng phân tích thừa số nguyên tố số nguyên tố số - Mọi hợp số phân tích thừa số nguyên tố A a b .c Víi a, b, c số nguyên tố , , , N vµ , , , Sè ước số tổng ước số sè: Gi¶ sư A a b .c Với a, b, c số nguyên tố , , , N vµ , , , 1 Số ước số A là: (+1)(+1) ( +1) Tỉng c¸c íc sè cđa A lµ: a +1 b1 c 1 a 1 b 1 c 1 Sè nguyªn tè cïng nhau: * Hai sè nguyên tố hai số có ƯCLN Hai số a b nguyên tố ƯCLN(a, b) = Các số a, b, c nguyên tố ƯCLN(a, b, c) = Các số a, b, c đôi nguyên tố ¦CLN(a, b) = ¦CLN(b, c) = ¦CLN(c, a) =1 II C¸c vÝ dơ: VD1: Ta biÕt r»ng cã 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ HD: Phạm Hữu Tuân Trường THCS Chu Văn An - ĐT: 0978760769 DeThiMau.vn Chuyên đề: Số nguyên tố Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn VD2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố HD: Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhá nhÊt VËy sè nguyªn tè nhá nhÊt số nguyên tố VD3: Tổng số nguyên tố 2003 hay không? Vì sao? HD: Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số nguyên tố lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố VD4: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: Giả sử p số nguyên tè - NÕu p = th× p + = p + = số nguyên tố - Nếu p số nguyên tố p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + víi k N* +) NÕu p = 3k p = p + = vµ p + = số nguyên tố +) Nếu p = 3k +1 th× p + = 3k + = 3(k + 1) p + p + > Do p + hợp số +) Nếu p = 3k + th× p + = 3k + = 3(k + 2) p + p + > Do p + hợp số Vậy với p = p + p + số nguyên tố VD5: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + víi k N* - NÕu p = 3k + th× p + = 3k + = 3(k + 2) p + vµ p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - NÕu p = 3k + th× p + = 3k + = 3(k + 3) p + vµ p + > Do p + hợp số Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + p + hợp số VD6: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n HD: Mỗi số tự nhiên n chia cho có thĨ cã c¸c sè d: 0; 1; 2; Do số tự nhiên n viết dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + víi k N* - NÕu n = 4k n n hợp số - Nếu n = 4k + n n lµ hợp số Vậy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n với n N* VD7: Tìm ssó nguyên tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố HD: Phạm Hữu Tuân Trường THCS Chu Văn An - ĐT: 0978760769 DeThiMau.vn Chuyên đề: Số nguyên tố Giả sử a, b, c, d, e số nguyên tố d > e Theo bµi ra: a = b + c = d - e (*) Tõ (*) a > a số nguyên tố lẻ b + c d - e số lẻ Do b, d số nguyên tố b, d số lẻ c, e số chẵn c = e = (do c, e sè nguyªn tè) a = b + = d - d = b + VËy ta cần tìm số nguyên tố b cho b + b + số nguyên tố VD8: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: x2 – 6y2 = HD: Ta cã: x y x y ( x 1)( x 1) y Do y ( x 1)( x 1) Mµ x - + x + = 2x x - x + có tính chẵn lẻ x - vµ x + lµ hai sè chẵn liên tiếp ( x 1)( x 1)8 y 8 y y 2 y 2 y x VD9: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chøng minh r»ng p + HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nªn sè nguyªn tè p cã d¹ng: 3k + 1, 3k + víi k N* - NÕu p = 3k + th× p + = 3k + = 3(k + 1) p + vµ p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) (1) Do p số nguyên tố p > p lỴ k lỴ k + ch½n k + (2) Tõ (1) vµ (2) p + II Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + p + 10 b) p + 10 vµ p + 20 c) p + 10 vµ p + 14 d) p + 14 vµ p + 20 e) p + 2vµ p + f) p + vµ p + 14 g) p + vµ p + 10 h) p + p + 10 Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyªn tè: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16 Phạm Hữu Tuân Trường THCS Chu Văn An - ĐT: 0978760769 DeThiMau.vn Chuyên đề: Số nguyên tố Bài 3: a) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chøng minh r»ng: p + lµ hợp số b) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số c) Cho p 10p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 5p + hợp số d) Cho p p + số nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: p + hợp số e) Cho p 4p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp số f) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) Chøng minh r»ng: 10p + lµ hợp số g) Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - hợp số h) Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số i) Cho p 8p2 - số nguyªn tè (p > 3) Chøng minh r»ng: 8p2 + hợp số j) Cho p 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp số Bài 4: Chøng minh r»ng: a) NÕu p vµ q lµ hai số nguyên tố lớn p2 q2 24 b) NÕu a, a + k, a + 2k (a, k N*) số nguyên tố lớn k Bài 5: a) Mét sè nguyªn tè chia cho 42 cã sè d r hợp số Tìm số dư r b) Một sè nguyªn tè chia cho 30 cã sè d r Tìm số dư r biết r không số nguyên tố Bài 6: Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liªn tiÕp Chøng minh r»ng mét sè tù nhiªn lín nằm hai số nguyên tố sinh đôi chia hết cho Bài 7: Cho số nguyên tố lớn 3, số sau lớn số trước d đơn vị Chứng minh d chia hết cho Bài 8: Tìm số nguyên tè cã ba ch÷ sè, biÕt r»ng nÕu viÕt sè theo thứ tự ngược lại ta số lập phương số tự nhiên Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết dạng tích số nguyên tố liên tiếp Bài 10: Tìm số nguyên tố lẻ liên tiếp số nguyên tố Bài 11: Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p2 + q2 + r2 cịng lµ số nguyên tố Bài 12: Tìm tất ba sè nguyªn tè a, b, c cho a.b.c < a.b + b.c + c.a Bài 13: Tìm sè nguyªn tè p, q, r cho pq + qp = r Bài 14: Tìm số nguyên tố x, y, z tho¶ m·n xy + = z Bài 15: Tìm số nguyên tố abcd cho ab , ac số nguyên tố b cd b c Bài 16: Cho c¸c sè p = bc + a, q = ab + c, r = ca + b (a, b, c N*) số nguyên tố Chứng minh sè p, q, r cã Ýt nhÊt hai sè b»ng Bài 17: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: a) x2 – 12y2 = b) 3x2 + = 19y2 c) 5x2 – 11y2 = d) 7x2 – 3y2 = Ph¹m Hữu Tuân Trường THCS Chu Văn An - ĐT: 0978760769 DeThiMau.vn Chuyên đề: Số nguyên tố e) 13x2 y2 = f) x2 = 8y + Bµi 18: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Bài 19: Chứng minh điều kiện cần đủ để p 8p2 + số nguyên tố p = Bµi 20: Chøng minh r»ng: NÕu a2 – b2 số nguyên tố a2 b2 = a + b Bµi 21: Chøng minh r»ng mäi số nguyên tố lớn có dạng 6n + 6n Bài 22: Chứng minh tổng bình phương số nguyên tố lớn số nguyên tố Bài 23: Cho sè tù nhiªn n Gäi p1, p2, , pn số nguyên tố cho pn n + Đặt A = p1.p2 pn Chứng minh dÃy số số tự nhiên liªn tiÕp: A + 2, A + 3, , A + (n + 1) Không chứa số nguyên tố nµo Bµi 24: Chøng minh r»ng: NÕu p lµ sè nguyên tố 2.3.4 (p 3)(p 2) - p Bµi 25: Chøng minh r»ng: NÕu p số nguyên tố 2.3.4 (p 2)(p 1) + p Phạm Hữu Tuân Trường THCS Chu Văn An - ĐT: 0978760769 DeThiMau.vn .. .Chuyên đề: Số nguyên tố Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn VD2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ... nhỏ ba số nguyên tố HD: Vì tổng sè nguyªn tè b»ng 1012, nªn sè nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố VD3: Tổng số nguyên tố 2003... 2003, nªn số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số nguyên tố lại 2001 Do 2001 chia hÕt cho vµ 2001 > Suy 2001 số nguyên tố VD4: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: