chuyên đề số nguyên tố

TRƯỜNG THCS VÂN HỘI CHUYÊN ĐỀ SỐ NGUYÊN TỐ Người thực hiện: Trần Thị Tuyết Tổ: KH Tự nhiên PHẦN I MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ I/ Định nghĩa 1) Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có ước số Ví dụ: 2, 3, 5, 11, 13,17, 19 2) Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ước Ví dụ: có ước số: ; nên hợp số 3) Các số số nguyên tố hợp số 4) Bất kỳ số tự nhiên lớn có ước số nguyên tố II/ Một số định lý - Dãy số nguyên tố dãy số vô hạn - Mọi số tự nhiên lớn phân tích thừa số nguyên tố cách - Nếu số nguyên tố p chia hết chia hết cho số nguyên tố q p = q - Nếu số nguyên tố p chia hết cho tích a.b.c p Ma p Mb p Mc - Nếu số nguyên tố p khơng chia hết cho a b p khơng chia hết cho tích ab III/ Cách nhận biết số nguyên tố Cách 1: Chia số cho nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; Nếu có phép chia hết số khơng ngun tố Nếu thực phép chia lúc thương số nhỏ số chia mà phép chia có số dư số nguyên tố Cách 2: Một số có hai ước số lớn số khơng phải số nguyên tố Ước số nguyên tố nhỏ hợp số A số không vượt A Đặc biệt: Với dãy 25 số nguyên tố nhỏ 100 nên cho học sinh học thuộc, nhiên găp số a (a < 100) muốn xét xem a số nguyên tố hay hợp số ta thử a có chia hết cho 2; 3; 5; hay không + Nếu a chia hết cho số a hợp số + Nếu a không chia hết cho số số a số ngun tố Với quy tắc khoản thời gian ngắn, với dấu hiệu chia hết học sinh nhanh chóng trả lời số có hai chữ số ngun tố hay khơng Hệ quả: Nếu có số A > khơng có ước số nguyên tố từ đến A A nguyên tố IV/ Số ước số tổng ước số số: Giả sử: A = p1X1 p2X2 pnXn Trong đó: pi �P ; xi � N ; i = 1, n a) Số ước số A tính cơng thức: T(A) = (x1 + 1)(x2 + 1) .(xn + 1) Ví dụ: 30 = 2.3.5 T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = Thật vậy: Ư(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30 Ư(30) có phân tử V/ Hai số nguyên tố nhau: 1- Hai số tự nhiên gọi nguyên tố chúng có ước chung lớn (ƯCLN) a, b nguyên tố (a,b) = a,b �N 2- Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố 3- Hai số nguyên tố khác nguyên tố 4- Các số a,b,c nguyên tố (a,b,c) = 5- Các số a,b,c nguyên tố sánh chúng đôi nguyên tố a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = PHẦN II MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ DẠNG TÌM SỐ NGUYÊN TỐ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Bài 1: Tìm tất giá trị số nguyên tố p để: p + 10 p + 14 số nguyên tố Giải: + Nếu p = p + 10 = + 10 = 13 p + 14 = + 14 = 17 số nguyên tố  p = giá trị cần tìm + Nếu p  => p có dạng 3k + dạng 3k – * Nếu p = 3k + p + 14 = 3k + 15 = 3(k + 5) : * Nếu p = 3k – p + 10 = 3k + = 3(k + 3) : Vậy p  p + 10 p + 14 hợp số => không thỏa mãn Do đó: giá trị cần tìm là: p = Bài 2: Tìm số nguyên tố p để p + 2; p + 6; p + 18 số nguyên tố Giải: Bằng cách giải tương tự tập số 1, học sinh dễ dàng tìm p = thoả mãn Xong không chứng minh p = giá trị dễ dàng thấy p = 11 thoả mãn Vậy với tập này, học sinh cần vài giá trị p thoả mãn đủ Bài 3: Tìm tất số nguyên tố p để: 2p + p2 số nguyên tố Giải: Xét hai trường hợp: +) p  p = p = * Nếu p = => 2p + p2 = 22 + 22 =  P * Nếu p = => 2p + p2 = 22 + 32 = 17 �P +) p > ta có 2p + p2=(p2 – 1) + (2p + 1) p lẻ => (2p + 1) M3 p2 – = (p + 1)(p – 1) M3 => 2p + p2  P Vậy: Có giá trị p = thoả mãn Bài 4: Tìm số nguyên tố p để 2p + lập phương số tự nhiên Giải Đặt 2p + = a3 (a nguyên dương) Vì 2p + số lẻ nên a lẻ Đặt a = 2k + (k nguyên dương) Khi 2p + = (2k + 1)3 = 8k3 + 12k2 + 6k + = 2k(4k3 + 6k2 +3k) + � p = k(4k3 + 6k2 +3k) mà p số nguyên tố nên k = 1, p = 13 2p + = 27 = 33 (thoả mãn) Vậy số nguyên tố cần tìm 13 Bài 5: Tìm tất số nguyên tố p để p vừa tổng, vừa hiệu hai số tự nhiên Giải Giả sử tồn số nguyên tố p thoả mãn đề (p > 2), p lẻ p = p1 + p2 = p3 – p4 (p1, p2, p3, p4 số nguyên tố) Vì p lẻ nên hai số nguyên tố p1 p2, p3 p4 phải có số chẵn, số lẻ, số chẵn (p1>p2, p3>p4) Như p = p1 + = p3 – 2, p, p 1, p3 vừa ba số lẻ liên tiếp, vừa số nguyên tố, có ba số 3; 5; thoả mãn đề P = = + = – Bài 6: Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r để p2 + q2 + r2 số nguyên tố? Giải Vì p, q, r số nguyên tố nên p2 + q > p2 + q2 + r2 số nguyên tố p2 + q2 + r2 phải số lẻ, p2, q2, r2 số lẻ Suy p, q, r số lẻ Trong sơ p, q, r có số chia hết cho 3, ngược lại bình phương số chia dư suy p2 + q2 + r2 chia hết cho (mâu thuẫn) Nếu p số nguyên tố, lại chia hết p = 3, số nguyên tố liên tiếp Khi p2 + q2 + r2 = 73 số nguyên tố DẠNG BÀI TẬP LIÊN QUAN GIỮA SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ Bài 1: Biết p 8p – số nguyên tố Chứng minh 8p + hợp số Giải: +) Nếu p = => 8p -1 = 15 �P (p = không thỏa mãn) +) Nếu p = => 8p – = 23 �P , 8p + = 25  P (thỏa mãn) +) Nếu p > 3, p co dạng 3k+1 3k + (k�N) Nếu p = 3k + 8p – hợp số nên p phải có dạng 3k + 8p + = 24k + hợp số Vậy với p 8p – số nguyên tố thif8p + hợp số Bài 2: Nếu p < 2p + số nguyên tố 4p + nguyên tố hay hợp số Giải: Xét số tự nhiên liên tiếp: 4p; 4p + 1; 4p + Trong số có số bội Mà p < 5, p �P nên p có dạng 3k + 3k + +) Nếu p = 3k + 4p = 4(3k + 1) 3q + = p 4p + = 4(3k + 1) + p = 3.q : Mặt khác: 4p + = 2(2p +1) = 3q nên 3q : => 2(2p + 1) : 3; (2;3) = nên (2p + 1) : (trái với giả thiết) +) Nếu p có dạng 3k + Khi 4p + = 4(3k + 2) + = 12k + = 3M : => 4p + hợp số Vậy số có số bội Bài 3: Cho p1 > p2 hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng tỏ p1  p2 hợp số Giải p1  p2 số tự nhiên p p Mặt khác p1 > p2 nên p1 > p1 + p2 > 2p2 hay p1 > > p2 p p Suy hợp số Theo đề p1 + p2 số chẵn nên Bài 4: p số nguyên tố lớn Chứng minh p8n + 3p4n – chia hết cho Giải Ta có p8n + 3p4n – = [(p8)n – 1] + 3[(p4)n – 1] = (p8 – 1)[(p8)n-1 + (p8)n-2 + + 1] + 3(p4 -1)[(p4)n-1 + (p4)n-2 + + 1] = (p4-1)[(p4+1).B + 3C] Vì p số nguyên tố lớn nên p = 5k � p = 5k �2 (k nguyên dương) - Nếu p = 5k � p2 – = 25k2 � 10k chia hết cho - Nếu p = 5k � 2thì p2 + = 25k2 � 20k + chia hết cho Vậy p số nguyên tố lớn p8n + 3p4n – chia hết cho DẠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ Bài 1: Cho m m2 + hai số nguyên tố Chứng minh m3 + số nguyên tố Giải Vì m m2 + số nguyên tố nên m = 3, m2 + = 11 Khi m3 + = 29 số nguyên tố Vậy m m2 + hai số nguyên tố m3 + số nguyên tố Bài 2: Cho 2m – số nguyên tố Chứng minh m số nguyên tố Giải: Giả sử m hợp số => m = p.q ( p, q � N; p, q > 1) Khi đó: 2m – = 2p,q - = (2p)q – = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) p > (giả thiết) điều giả sử => 2p – > (2p(q-1) + 2p(q-2) + .+ 1) > Dẫn đến 2m – hợp số (trái với giả thiết 2m –1 số nguyên tố)  Điều giả sử xảy Vậy m phải số nguyên tố (điều phải chứng minh) Bài 3: Chứng minh rằng: 1994! – có ước số nguyên tố lớn 1994 Giải: (Chứng minh phương pháp phản chứng) Gọi p ước số nguyên tố (1994! – 1) Giả sử p 1994 => 1994 1993 : p 1994! : p mà (1994! – 1) : p => : p (vô lý) Vậy: p nhỏ 1994 hay p > 1994 (điều phải chứng minh) Bài 4: Chứng minh rằng: n > n n! có số ngun tố (từ suy có vơ số số ngun tố) Giải: Vì n > nên k = n! – > 1, k có ước số nguyên tố p Ta chứng minh p > n Thật vậy: p  n n! : p Mà k : p => (n! – 1) : p.Do đó: 1:p (vơ lý) Vậy: p > n=>n < p < n! – < n! (Điều phải chứng minh) Bài 5: Tìm số nguyên tố cho tích chúng gấp lần tổng chúng Giải: Gọi số nguyên tố phải tìm là; a, b, c ta có: a.b.c = 5(a+b+c) => abc M5 Vì a, b, c có vai trị bình đẳng Giả sử: a M5, a �P => a = Khi đó: 5bc = 5(5+b+c) 5+b+c = bc bc-b-c +1 = b(c-1) – (c-1) = (c-1)(b-1) = Do vậy: b-1 = => b = Và c-1 = c=7 b-1 = => b = (loại c =  P) c-1 = c=4 Vai trị a, b, c, bình đẳng Vậy số (a ;b ;c) cần tìm (2 ;5 ;7) Bài 6: Tìm p, q �P cho p2 = 8q + Giải: Ta có: p2 = 8q + => 8q = p2 – 8q = (p+1)(p-1) (1) Do p2 = 8q + lẻ => p2 lẻ => p lẻ Đặt p = 2k + (2) Thay (2) vào (1) ta có: 8q = 2k(2k + 2) 2q = k(k + 1) (3) Nếu q = => = k(k+1) => khơng tìm k Vậy q  2, q �P , q  => (2,q) = Từ (3) ta có: k = q = k + => k = q = Thay kết vào (2) ta có: p = 2.2 + = Hoặc q = k = k + q=1  (không thoả mãn) k=1 Vậy cặp số (q,p) (5;3) cặp số cần tìm BÀI TẬP I Bài tập có hướng dẫn Bài 1: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số nguyên tố cịn lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số ngun tố HD: Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số ngun tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 3: Tổng số ngun tố 2003 hay khơng? Vì sao? HD: Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số ngun tố cịn lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố Bài 4: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: Giả sử p số nguyên tố - Nếu p = p + = p + = số nguyên tố - Nếu p �3 số nguyên tố p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + với k �N* +) Nếu p = 3k � p = � p + = p + = số nguyên tố +) Nếu p = 3k +1 p + = 3k + = 3(k + 1) � p + M3 p + > Do p + hợp số +) Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) � p + M3 p + > Do p + hợp số Vậy với p = p + p + số nguyên tố Bài 5: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k �N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) � p + M3 p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 3) � p + M3 p + > Do p + hợp số Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + p + hợp số Bài 6: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n +1 4n – HD: Mỗi số tự nhiên n chia cho có số dư: 0; 1; 2; Do số tự nhiên n viết dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2,4k +3 với k �N* - Nếu n = 4k � n M4 � n hợp số - Nếu n = 4k + � n M2 � n hợp số Vậy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k – Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n – với n �N* Bài 7: Tìm số nguyên tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố HD: Gi�s�a, b, c, d, e l�c� c s�nguy� n t�v�d >e Theo b� i ra: a =b +c =d - e (*) T�(*) � a >2 � a l�s�nguy� n t�l� � b +c v�d - e l�s�l� Do b, d l�c� c s�nguy� n t�� b, d l�s�l�� c, e l�s�ch� n � c =e =2 (do c, e l�c� c s�nguy� n t� ) � a =b +2 =d - � d =b +4 V� y ta c� n t� m s�nguy� n t�b cho b +2 v�b +4 c� ng l�c� c s�nguy� n t� Bài 8: Tìm tất số nguyên tố x, y cho: x2 – 6y2 = HD: Ta c� : x2  6y2  1� x2   6y2 � (x  1)(x  1)  6y2 Do 6y2 M2 � (x  1)(x  1)M2 M�x - +x +1 =2x � x - v�x +1 c�c� ng t� nh ch� n l� � x - v�x +1 l�hai s�ch� n li� n ti� p � (x  1)(x  1)M � 6y2 M8 � 3y2 M4 � y2 M2 � yM2 � y  � x  Bài 9: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + M6 HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k �N* 10 - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) � p + M3 p + > Do p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) (1) Do p số nguyên tố p > � p lẻ � k lẻ � k + chẵn � k + M2 (2) Từ (1) (2) � p + M6 II Bài tập vận dụng: Bài 1: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + p + 10 b) p + 10 p + 20 c) p + 10 p + 14 d) p + 14 p + 20 e) p + 2và p + f) p + p + 14 g) p + p + 10 h) p + p + 10 Bài 2: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14 e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24 f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16 Bài 3: a) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số b) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số c) Cho p 10p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 5p + hợp số d) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số e) Cho p 4p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp số f) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) C minh rằng: 10p + hợp số g) Cho p 8p2 - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + hợp số h) Cho p 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp số 11 12 ... nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 3: Tổng số nguyên tố 2003 hay khơng? Vì sao? HD: Vì tổng số ngun tố 2003, nên số nguyên tố. .. chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số ngun tố cịn lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố HD: Vì tổng số ngun tố 1012, nên số nguyên. .. tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số nguyên tố lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố Bài 4: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: Giả sử p số nguyên tố