Toán 11 chuyên đề giới hạn

GIỚI HẠN DÃY SỐ CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN I Lý thuyết +) Kí hiệu: lim u n +) Khi tính giới hạn biểu thức, dãy số, hàm số tức tính giá trị biểu thức, dãy số, hàm số x (hoặc n) tiến dần đến vô +) Công thức: lim n    lim   n lim q n    q  1 lim q n    q  1 lim c  c (c số) VD: lim n3  ; lim 0 n6 +) Tính chất: lim  un    lim un  lim +) Cách làm: x *) Khi biểu thức không thức không chứa mẫu  rút  có số mũ cao ngồi n Chú ý: lim  0; lim n    n x *) Nếu biểu thứ có dạng phân thức  chia tử mẫu cho  có số mũ cao n   lim a  Chú ý:  (a số bất kì, a  R )  lim a    x *) Nếu biểu thức có chứa lúy thừa với  số mũ  chia tử mẫu cho lũy thừa có số lớn n HDedu - Page 16 x *) Giới hạn chứa  rút  có số mũ cao ngồi (Nếu có thêm mẫu  chia cho bậc cao nhất) n  *) Dạng  Nhận dạng    f  x  Phương pháp: Sử dụng “Nhân liên hợp” A2  B   A  B  A  B  VD1: Tính giới hạn: a) lim  n  3n  1 b) lim   n3  4n  1 c) lim  n  1 n3  2n  3 Hướng dẫn giải: a) lim  n  3n  1    lim n 1     n n   lim n   b) lim  n  4n  1    lim n  1    n n    lim  n    c) lim  n  1 n  2n  3   3   lim n 1   n 1     n   n n   lim n   VD2: Tính giới hạn: 2n2  n  a) lim 3n  2n  n d) lim  n  1   n2  n  2n  c) lim 3n  2n  b) lim n  4n2  1  5n   n  5 e) lim 2 2n   4n8 Hướng dẫn giải: 2  2n  n  n n  lim  a) lim  lim 3n  2n  3 3  n n  2n  n n  lim  b) lim  lim n  4n  1  n n 1  3 n  2n  n  c) lim  lim n 3n   n n3 HDedu - Page 17 d) lim n n 1  lim  lim   2 1 2 n  n  2n   n  1   n     n n2 n3 n 1  5n   n  5 e) lim 2n   4n 1  5n   n  5 2  lim n6 n2  4 n n8 2   5n   n      5           n3   n  n   n   lim 25  25  lim   lim  4 4  4 n n8 VD3: Tính giới hạn: a) lim  3n 4.3n  b) lim  4n 3.2n 1 c) lim 4.3n  7n1 2.5n  7n Hướng dẫn giải: 1 n 1 1 a) lim n  lim  lim  4.3  4 4 n 1 n  4n b) lim  lim   n 3.2n 1 2   4 n n c) lim 4.3n  n 1 2.5n  n 3    n n 4.3  7.7 7  lim  lim   n  lim  n n 2.5  5    7 VD4: Tính giới hạn a) lim n  3n  c) lim 4n  1  3n b) lim 8n3  2n  n  d) lim  n   4n   Hướng dẫn giải: HDedu - Page 18   a) lim n  3n   lim n 1     lim n    lim n   n n  n n  3  b) lim 8n3  2n  n   lim n  8      lim 2n   n n n       n2    n4   4 n  4n  n  n  2   lim c) lim  lim  lim  1  3n  3n  3n 3 n     d ) lim n   4n   lim  n   n    lim n       lim 3n   n n  n n      VD5: Tính giới hạn: a) lim  n2  2n   n  1  b) lim  3n   2n 1  c) lim n   n2  Hướng dẫn giải: a) lim  n  2n   n  1   n  2n   n  1     n  2n   n  1  lim  n  2n   n  1   n  lim  2n    n  1 1  lim n  2n   n  1 n  2n   n  1 1 1 n  lim  lim  0 2 n 1  n 1 1 1 n n n b) lim   3n   2n   lim  3n   2n   3n   2n   3n   2n   3n  1   2n  1  lim n 3n   2n  3n   2n  1  lim  lim  3n  2n      n2 n2 n n2 n n2  lim c) lim  lim n2   n2   lim  n2   n2  n2   n2   n2   n2  n 2 n 4 n 2 n 4  lim  lim 2 2  n  2   n  4 2 2 1   1 2 n n   2 n HDedu - Page 19 BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN HÀM SỐ (PHẦN 1) CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN VD1: Tính giới hạn:   sin  x   4  b) lim  x x 3x   x x 1 a) lim x 1 Hướng dẫn giải:  1    1 3 3x   x a) lim  lim  x 1 x 1 x 1 1      sin  x   sin     4 4 b) lim   lim   :     x 2  x x 2 2 Dạng: 0 +) Nếu biểu thức khơng chứa tiến hành phân tích da thức thành nhân tử +) Nếu biểu thức chứa tiến hành nhân liên hợp A2  B   A  B  A  B  ; A3  B   A  B   A2  AB  B   rút gọn nhân tử mà tạo dạng 0 VD2: Tính giới hạn sau: a) lim x 2 x  3x  x2 x  3x  10 x 2 x  x  b) lim c) lim x 2 x3  x2  d) lim x 1 x3  x  x  x  3x  Hướng dẫn giải: a) lim x 2 x  3x  x2  x    x  1 Để phân tích nhân tử dùng máy tính tìm nghiệm của: x  3x      x    x    lim x 2  x  1 x  2  lim x   x  3x   lim   x 2 x 2 x2 x2 HDedu - Page 20  x   x  5  lim x    x  3x  10  lim x 2 x  x  x   x   x  1 x 2 x  b) lim c) lim x 2  x  2  x2  2x  4 x3  x  x  12  lim  lim  3 x 2 x  x2  x   x   x2  x  1 x  1  lim  x  1 x  1  x3  x  x  d ) lim  lim x 1 x 1  x  1 x   x 1 x  3x  x2 VD3: Tính: a) lim x 2 c) lim x 0 4x 1  x2  x   3x  x 1 b) lim x 1 x2  1 x  11  x  3x  d) lim x  16  x 2 Hướng dẫn giải: a) lim x 2  lim x 2  lim x 2 b) lim x 1 4x 1   lim x 2 x2  x  4x 1  x  x  1   4  x  2   4x 1  4x 1     4  lim x 2    4x 1  4x 1     x  2  x   x    4x 1    4.6 x   3x  x 1 +) Cách 1: Thêm bớt số  Tách thành giới hạn  Liên hợp +) Cách 2: Liên hợp trực tiếp lim x 1 x   3x   lim x 1 x 1  x   3x   x  1   lim x 1  1 x   3x    x   3x  x   3x   x     3x  1  lim x 1  x  1  x   3x   x1  x  1   lim   x 1 x   3x    1 HDedu - Page 21  x  1 x   1 x  16  4 c) lim  lim x  16   x  16  4 x   1 x  16  4  x   1  x  16    x  16  4    lim  lim  x  16  16   x   1  x   1 2 x2  1 x 0 x 0 2 x 0 2 2 x 0 2   x  11  x  11  d ) lim  lim x 2 x  x  x 2  x  3x   x 2  lim x 2  lim x 2  8 x  11 2  3 x  11    3 x  11    x  1  x  11  3 x  11   3 x  11  2  x  2  x  1 x   8 x  11    8x  11  8x  11  9 x  11  27  x  1 x   8 x  11  2  lim   27 VD4: Tính giới hạn: 1 x  1 x x a) lim x 0 b) lim x 2 x  11  x  x  3x  Hướng dẫn giải:        x 1    x 1 x  1 x 1 x 1 1 1 x a) lim  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x 0 x x x x  x 1 x A  lim  lim  x 0 x 0 x x 1 x 1  1  x  1 1 x 1 1  lim  lim  x 0 x 0 x 0 x   x  1  x  x   x  1  x  B  lim   1 x  1 x 1    x  lim x 0 x  11  x  b) lim  lim x 2 x2 x  3x     x  11    x  x  3x  2   lim x2 x  11  3 x   lim 2 x  x  3x  x  3x  HDedu - Page 22   x  11  x  11  A  lim  lim x 2 x  3x  x 2  x  3x    lim   lim  B  lim x 2  lim x 2  lim x 2  3 x  11  2  3 x  11      x   x  1   x7   lim x 2  3 x  11    lim x 2   x  2  x  1 x   8 x  11  3 x  11   27   x  7 3 x   lim 2 x  3x  x2  x  3x    x    x  2 2  x  1 8 x  11 x 2 8 x  11 x  11  27  x  1 x   8 x  11 x 2   8x  11  8x  11  9  1  x  1   x7   1 x  11  x  1    x  3x  27 54 VD5: Giới hạn lượng giác: a) lim x 0 sin 5x x Chú ý: lim x 0 b) lim x 0 tan x 3x c) lim x 0  cos x x2 sin x 1 x Hướng dẫn giải: sin x sin x  lim  5.1  x 0 x 0 x 5x tan x sin x sin x 2  sin x  b) lim  lim  : 3x   lim  lim  x 0 x  x  x  3x cos x.2 x 3  cos x   3x   cos x  a) lim   1  2sin  cos x c) lim  lim  x 0 x 0 x2 x2 x  2  x 2sin   2    lim x 0 x   2 HDedu - Page 23 BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN HÀM SỐ (Phần 2) CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN I Lý thuyết lim f  x   x 2 0 lim f  x  lim x    0 x lim x   *) Phương pháp: +) Kéo x có số mũ cao ngồi +) Chú ý:  x  x     , x | x |    x  x     x3  x ; x4  x2 VD1: Tính giới hạn: x3  3x  x   x  x3 x3  x  x  x2  a) lim  x  3  x   lim 50 x   x  1 20 d) b) lim 30 e) lim x  x2  x  3x5  x3  c) lim 5x 1 3x  x  Hướng dẫn giải: a) TH1: x   1  x3 1    x  3x  x x  1 lim  lim   x   x  x x  6  3 x    6 x x  TH2: x   1  x3 1    x  3x  x x  1 lim  lim   x   x  x x  6  3 x    6 x x  b) TH1: x    5 x3 1    x  2x  x x  lim  lim   lim x   x  x  x   x 1 2 x 1    x  HDedu - Page 24 TH2: x    5 x3 1    x  2x  x x  lim  lim   lim x   x  x  x   x 1 2 x 1    x  2  x 1   x 2  x   lim   lim c) lim x  x  x  x   x 3x3  x5     x x   20  x  3  x   lim 50 x   x  1 20 d) 30 20        x   x   x   x        lim  50 x      x   x     30 30 3 2   x    x30    30 220.330 330   x x    lim  50  30    50 x  2 2 1 50  x 2  x  20 e) lim x  5x 1 3x  x   lim x  5x 1   3x  x    x    lim x  5x 1 3x  | x |  x2 1  x5   5x  x   lim  lim 1 x  x   1  3x  x  x3   x x   Chú ý: Nếu x   thì: lim x  5x 1 3x  x   lim 5x 1 x   lim 5x 1 1  x  3x | x |  3x  x    x x   1  x5   5x 1 x   lim  lim 5 x  x   1  3x  x  x3   x x   VD2: Tính giới hạn: a) lim x   x2 1  x  b) lim x   x2  x   x2  x  c) lim  x  1  x  x   x    HDedu - Page 25 Hướng dẫn giải: a) TH1: lim x   x 1  x    lim x2 1  x  x   x2 1  x x 1  x    lim  x 1  x x  x 1  x  lim x  1 1  lim 0 x  2x x 1  x x TH2: lim x   b) lim x         1 x   x  lim  | x |   x   lim   x   x   lim x     1  lim  2 x    x  x  x  x  x x x        x  4x 1  x  9x 2  x  lim x   x  1   x  x  x2  4x   x2  x 5x  x  | x | 1   | x | 1 x x x  lim 1  x5   x   TH1 x   :  lim x   9 x  1   1  x x x  1  x5   5 x   TH2 x   :  lim x   9 x       x x x   x  1   x  x  3 2  x    lim  lim  x  x  1  x  x  x 2x 1 x   c) lim  x  1  x x   x x2 0 *) Giới hạn bên: lim f  x   x  xo    x  xo x  x0  : lớn x0 (gần sát) x  x0  : nhỏ x0 (gần sát) x  x0  : Thay x0 vào f(x) a   (a: số) VD: Tính HDedu - Page 26 a) lim x 4 x2  x  x 3 b) lim x 2 x  15 x2 c) lim x 3  3x  x x 3 Hướng dẫn giải: x2  x  2  2 x 4 x 3 x  15 b) lim x 2 x  ) lim  x  15   13 a ) lim x 2 ) lim  x    0 x 2 x  2  x   x   x  15  lim   x 2 x   3x  x c) lim x 3 x 3   +) Xét lim  3x  x2  8 x 3 +) Xét lim  x  3 x 3 Vì x  3  x   x    lim x 3  3x  x   x 3 HDedu - Page 27 ...  1 8 x  11? ?? x 2 8 x  11? ?? x  11  27  x  1 x   8 x  11? ?? x 2   8x  11? ??  8x  11  9  1  x  1   x7   1 x  11  x  1    x  3x  27 54 VD5: Giới hạn lượng giác:... 2   x  11  x  11  d ) lim  lim x 2 x  x  x 2  x  3x   x 2  lim x 2  lim x 2  8 x  11? ?? 2  3 x  11    3 x  11    x  1  x  11? ??  3 x  11   3 x  11  2  x...  1 x   8 x  11? ??    8x  11? ??  8x  11  9 x  11  27  x  1 x   8 x  11? ??  2  lim   27 VD4: Tính giới hạn: 1 x  1 x x a) lim x 0 b) lim x 2 x  11  x  x  3x  Hướng