Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
20
Dung lượng
366,07 KB
Nội dung
LƯ SĨ PHÁP § § LSP GV-Trường THPT Tuy Phong ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com LỜI NÓI ĐẦU Quý đọc giả, quý thầy cô em học sinh thân mến! Nhằm giúp em học sinh có tài liệu tự học mơn Tốn, tơi biên soạn giải tốn trọng tâm lớp 11 Nội dung tài liệu bám sát chương trình chuẩn chương trình nâng cao mơn Tốn Bộ Giáo dục Đào tạo quy định NỘI DUNG Lí thuyết cần nắm học Bài tập có hướng dẫn giải tập tự luyện Trắc nghiệm Cuốn tài liệu xây dựng cịn có khiếm khuyết Rất mong nhận góp ý, đóng góp quý đồng nghiệp em học sinh để lần sau tập hồn chỉnh Mọi góp ý xin gọi số 01655.334.679 – 0916 620 899 Email: lsp02071980@gmail.com Chân thành cảm ơn Lư Sỹ Pháp GV_ Trường THPT Tuy Phong ThuVienDeThi.com MỤC LỤC §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 01 - 15 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 16 – 33 §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 34 – 42 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 43 – 51 TRẮC NGHIỆM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 52 – 55 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 55 – 60 HÀM SỐ LIÊN TỤC 60 – 62 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 62 – 69 ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM 69 – 71 ThuVienDeThi.com GV Lư Sĩ Pháp Tốn 11 Chương IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẤN NẮM Giới hạn hữu hạn dãy số = nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở →+∞ →+∞ = ⇔ − →+∞ = Dãy số (un) có giới hạn dãy số Giới hạn vô cực = +∞ lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng →+∞ = +∞ trở Kí hiệu: Dãy số ( Nhận xét: → +∞ → +∞ → +∞ ) gọi có giới hạn −∞ = +∞ ⇔ →+∞ Lưu ý: Thay cho viết = →+∞ ( ) có giới hạn →+∞ − = −∞ ; = −∞ ⇔ →+∞ = ±∞ , ta viết →+∞ − = = +∞ →+∞ − = +∞ = ±∞ Các giới hạn đặc biệt a) = ; b) = , c) = ; d) = < ; = , thì: = + = + − = − = − = = = ( với c số) (nếu ≠ ) = ≥ = Nếu với n = +∞ Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực a) Quy tắc Nếu = ±∞ BT ĐS> 11 lim(c un) = climun, với c số, ∈ ℕ > + = Nếu = +∞ q > = , Định lí giới hạn hữu hạn Định lí Nếu = Định lí Giả sử = +∞ , với k nguyên dương = ; ≥ = = = = ±∞ ( ThuVienDeThi.com ) cho bảng: Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 ( +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ = ≠ = ±∞ b) Quy tắc Nếu ( ) Dấu L +∞ +∞ −∞ −∞ = ≠ +∞ −∞ −∞ +∞ cho bảng: ( ) +∞ −∞ −∞ +∞ + − + − c) Quy tắc Nếu ) = > < cho bảng: Dấu L + + − − = Chú ý Nếu +∞ −∞ −∞ +∞ Dấu + − + − > = ±∞ = Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân lùi vơ hạn cấp số nhân có cơng bội q thỏa mãn < Cơng thức tính tổng S cấp số nhân lùi vô hạn (un) = + + + + + = − < hay = + Định lí kẹp giới hạn dãy số Cho ba dãy số (un), (vn) ,(wn) số thực L Nếu ≤ ≤ số (vn) có giới hạn lim = L Lưu ý a) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn b) Dãy số giảm bị chặn có giới hạn c) Nếu limun = a limun + = a + + + − + = − < với n lim un = lim wn = L dãy + Phương pháp tìm giới hạn dãy số - Vận dụng nội dung định nghĩa - Tìm giới hạn dãy số ta thường đưa giới hạn dạng đặc biệt áp dụng định lí giới hạn định lí giới hạn vơ cực: + Nếu biểu thức có dạng phân thức mà mẫu tử chứa lũy thừa n, chia tử mẫu cho nk, với k số mũ cao + Nếu biểu thức có chứa n dấu căn, nhân tử số mẫu số với biểu thức liên hợp 10 Phương pháp tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn - Nhận dạng xem dãy số cho có phải cấp số nhân lùi vơ hạn khơng Sau áp dụng cơng thức tính tổng biết d) Số e: BT ĐS> 11 = →+∞ ThuVienDeThi.com Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp - Tốn 11 Cách tìm cấp số nhân lùi vô hạn biết số điều kiện: Dùng công thức tính tổng để tìm cơng bội số hạng đầu Cách viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số cho dạng tổng số nhân lùi vơ hạn tính tổng B BÀI TẬP + ≤ Bài 1.1 Biết dãy số (un) thỏa mãn với n Chứng minh lim un = HD Giải Đặt + = + = Ta có + = ý kể từ số hạng trở (1) ≤ ≤ Mặt khác, theo giả thiết ta có = Do đó, nhỏ số dương bé tùy (2) nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng trở đi, nghĩa Từ (1) (2) suy lim un = π + − Bài 1.2 Bằng định nghĩa tính giới hạn π + − + − = Ta có HD Giải π π Mặt khác, ta lại có ≤ = = = nên nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng trở π nhỏ số dương bé tùy ý kể từ số hạng trở Từ suy π π π = Vậy Nghĩa = + − = Bài 1.3 Cho biết dãy số (un) thỏa mãn un > n2 với n Chứng minh + − = +∞ HD Giải = +∞ (giới hạn đặt biệt), nên n lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng Vì trở Mặt khác, theo giả thiết un > n2 với n, nên un lớn số dương tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy = +∞ BT ĐS> 11 ThuVienDeThi.com Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 − < Bài 1.4 Biết dãy số (un) thỏa mãn = với n Chứng minh HD Giải = Ta có khác, ta có nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt nên − < − Từ suy = với n nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi, nghĩ lim(un – 1) = Do limun = a) Tìm số n cho − + + = Bài 1.5 Cho dãy số (un) xác định < b) Chứng minh với n > 2007 số hạng dãy số (un) nằm khoảng (1,998; 2,001) HD Giải + − a) Ta có Khi − < ⇔ < ⇔ > − = − = = + + + + b) Khi ⇔ > ⇔ + > < ⇔ − − ⇔ < + < < + ⇔ Bài 1.6 Tính giới hạn sau − − − a) b) + + < < + − + c) − − d) + HD Giải − = + − = + a) − = b) + + − = + c) d) Bài 1.7 Tính giới hạn sau: + a) b) + − − + + + + c) + + − − − = + − − + − = + − = + =− − d) − + HD Giải a) + + = BT ĐS> 11 + + = + = + ThuVienDeThi.com Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp − + b) − + + c) Toán 11 = + + + + = + − + + = Bài 1.8 Tính giới hạn − = d) + + a) = + b) − − + − + − c) d) + + + HD Giải + + a) − + b) + = − + − + = − d) + + = + c) ( b) ( − − BT ĐS> 11 − + − − ) + − = − + = = = + − = = + + + + + + + − + = − + − + − + − + − − Bài 1.9 Tính giới hạn sau ( ( + = − = c) a) + ) = = ( ) ) ( b) d) ( − − HD Giải ( + − − )( + + + + + − − + + )( − + − − + ) − − − + ) ) − = )= − ThuVienDeThi.com − + =− Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp ( c) + ( Toán 11 )= + − − − + )= + + + ( − − + − + + − + ) − + ) + =− b) + + + + = + )( + − + + − c) + − + Bài 1.10 Tính giới hạn sau: ( + = + = a) + − + − d) + + − HD Giải a) +∞ b) c) + + + − = + − Bài 1.11 Tính giới hạn sau d) ( a) ( c) a) ( = + ( = + − + + − )= ( + BT ĐS> 11 + + )( − ( − + + + )+ − ) + + ) + − + = + + − ) ( − − − − + − HD Giải + − − = d) ( )= + b) ) + = + − = ) − + − − + + ( ) + − − + + − = − + ThuVienDeThi.com =− + − + Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp ( c) Toán 11 + − + + = ( ( )= − − ( − + ( = − + )=− − − ( ) + + + + − ) − + = − − ( c) a) +∞ ; c) ( ) − + − + = d) + + + − − + = )( = = )( + + − + − ) ) ) − + HD Giải b) −∞ = + = +∞ − − + = với n Vì ( ) > Ngồi + + + + + c) c) − + − d) Bài 1.13 Tính giới hạn sau: a) − + b) + =− = nên = +∞ − + = +∞ Do a) + ( b) ) ( ) + + )( + − + )( + − − Bài 1.12 Tính giới hạn sau: a) − + + + + + + + BT ĐS> 11 + + − = + = + − + = + − + + + + + − + = +∞ + − = −∞ + + = + + + HD Giải d) − + − b) + + = + + + ThuVienDeThi.com = Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 + + + + + + Bài 1.14 Tìm giới hạn sau a) ( + b) Ta có Vậy ) + = +∞ , Ta có − + + c) + − + + + + + + + = + + + + − + = + + + − + ) = −∞ + − − + Ta có = +∞ , − + = > Do = + + + + , chia tử mẫu cho 3n, − + = > ∀ + = = = Bài 1.15 Tính giới hạn a) + + + + BT ĐS> 11 ( < Vậy f) + − =− − + + + + + − + f) = Vậy + = − + d) Chia tử mẫu cho 4n, lưu ý c) + + + + + HD Giải − + = − + = − < Do − + =− < ; + − + = −∞ + = − − + = + b) c) Chia tử mẫu cho 3n, ta e) Xét − e) + − + + + ( + + + + ) + − d) a) + − − = + + d) + + + b) d) − + = +∞ + + HD Giải + + ThuVienDeThi.com + + + + − + + + Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 + + + + b) Ta có + + + + a) Nên + + c) = + + + + d) Vì < Do + = + + + + − = + + + + + + + + ≤ + a) = c) = + + + + + + + + + + − + + = + = + + nên suy + + − = + − < + + + + + Bài 1.16 Tìm giới hạn dãy số (un) sau, biết = Mà + + ∈ℕ với + − = + = − + − + = + = + + + − + ≤ + + + + + = + + b) = d) = + + + + + HD Giải a) Ta có + + Do đó: ≤ + ≤ = + b) Ta có ≥ + + Mà = +∞ Vậy Do Vậy d) Ta có + + ≤ + = + + + BT ĐS> 11 Mà + + + = Mà + ≤ + + + + + = = + ≤ + + + + + ∀ ∈ℕ + ∀ ∈ℕ + + + = + + = + ≤ + + + + ≤ + = + ≤ + + Vậy c) Ta có + + ≤ = +∞ + + + = = + + + + ∀ ∈ℕ + = + ∀ ∈ ℕ Mà + = ThuVienDeThi.com Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 = Vậy Bài 1.17 Tính tổng + + = = − + − + − HD Giải − Dãy số vơ hạn Vì =− Do − = = − < =− nên dãy số cấp số nhân lùi vô hạn + − + − = = + + =− + Bài 1.18 Tính tổng =− cấp số nhân với công bội − + − + − + HD Giải Dãy số − Vì =− Do − − = cấp số nhân với công bội − =− < nên dãy số cấp số nhân lùi vô hạn =− + − + + − − + = − −− =− Bài 1.19 Tìm tổng cấp số nhân HD Giải Dãy số Do cấp số nhân lùi vô hạn với = + + + + + = = = = − Bài 1.20 Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,777…dưới dạng phân số HD Giải Ta có = + + + Đây tổng cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu Do đo = + + + = = = = − Bài 1.21 Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn 0,313131…dưới dạng phân số HD Giải BT ĐS> 11 10 ThuVienDeThi.com Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 = + + + = = − Bài 1.22 Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn a = 1,020 202… (chu kì 02), b = 2,131313 …(chu kì 13) c = 2,131131131…( chu kì 131) Hãy viết a, b, c dạng phân số HD Giải Ta có = = + + + + + = + = + = − (vì Ta có cấp số nhân lùi vơ hạn, cơng bội = = + + + + + = = + ) = + = − Ta có = = + + + + + = + = + = − Bài 1.23 a) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn , tổng ba số hạng Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số b) Tìm số hạng tổng qt cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng công bội = HD Giải a) Gọi u1 q số hạng đầu công bội cấp số Theo đề bài, ta có = − − = − Thay (1) vào (2), ta ( − ( ) )= ⇔ = thay vào (1), ta = − b) = Bài 1.24 Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết tổng cấp số nhân 12, hiệu số hạng đầu số hạng thứ hai số hạng đầu số dương HD Giải Gọi u1 số hạng đầu, q công bội S tổng cấp số nhân cho BT ĐS> 11 11 ThuVienDeThi.com Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Khi = Tốn 11 = − ( − )= > Theo giả thiết, ta có − Nhân (1) với (2), ta có = ⇔ > = ⇒ = = Vậy = Bài 1.25 Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân lùi vô hạn, biết số hạng thứ hai tổng cấp số nhân 15 HD Giải Gọi u1 q số hạng đầu công bội cấp số Theo đề bài, ta có = = = ⇔ = = = − Bài 1.26 a) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 10, tổng năm số hạng Tìm số hạng đầu cơng bội cấp số b) Tính tổng = + + + + + − HD Giải a) Gọi u1 q số hạng đầu cơng bội cấp số Theo đề bài, ta có = − − = − ( − Thay (1) vào (2), ta b) Vì + = ⇔ = thay vào (1), ta = cấp số nhân lùi vô hạn, có − = + + + ) − + = = = nên : = − Bài 1.27 Giải phương trình + + + + + = , < HD Giải Vì < , nên với BT ĐS> 11 = = Ta có = − = + + + 12 ThuVienDeThi.com + = − Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp + + Do đó: Tốn 11 + + + = + ⇔ Bài 1.28 Cho dãy số (un) xác định giới hạn + − = − + = − ⇔ = + = + = ⇒ = Biết (un) có giới hạn ≥ → +∞ , tìm HD Giải Đặt limun = a Ta có = + + ⇒ + = + ⇒ = + ⇒ =− − − = ⇒ = = ≥ Vậy limun = Vì un > nên = Bài 1.29 Cho dãy số (un) xác định công thức truy hồi + = ≥ − Dãy số (un) có giới hạn hay khơng → +∞ ? Nếu có, tìm giới hạn HD Giải = Ta có = = = = Từ ta dự đốn + Chứng minh dự đốn qui nạp: = = (đúng) - n = 1, ta có - Giả sử đẳng thức (1) với n = k ( ≥ ), nghĩa + - Vậy = = − = + = − + = + Khi ta có + , nghĩa đẳng thức (1) với n = k + + + ∀ ∈ ℕ Từ ta có = + = = + = Bài 1.30 Cho dãy số (un) xác định công thức truy hồi + ≥ + = Chứng minh (un) có giới hạn hữu hạn → +∞ Tìm giới hạn HD Giải − + = ∀ ∈ℕ Ta có = = = = = Từ dự đốn − Chứng minh dự đốn qui nạp (tự chứng minh) − − + + Từ đó, = = = + = − Bài 1.31 Cho dãy số (un) xác định công thức truy hồi BT ĐS> 11 13 ThuVienDeThi.com = = + = + + ≥ Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 a) Chứng minh un > với n b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn HD Giải a) Chứng minh quy nạp: un > với n (1) - Với n =1, ta có u1 = > - Giả sử (1) với n = k ( ≥ ), nghĩa uk > 0, ta cần chứng minh (1) với n = k + Ta + + có + = Vì uk > nên + = > + + Vậy: un > với n + + + Đặt limun = a Ta có + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =± + + + + = = ≥ Từ suy Vì un > với n, nên =− Bài 1.32 Cho dãy số (un) xác định − + = Gọi (vn) dãy số xác định = un + 18 a) Chứng minh (vn) cấp số nhân lùi vơ hạn b) Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn (vn) tìm HD Giải a) Ta có + = + + = − + = + Thay un = – 18 vào đẳng thức trên, ta được: + ( = − )+ = Điều chứng tỏ, dãy số (vn) cấp số nhân lùi vô hạn với công bội b) Gọi S tổng CSN lùi vơ hạn (vn) Khi = Vì nên = − = = = − =− C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1.33 Tính giới hạn sau − a) b) + + Bài 1.34 Tìm limun với a) − = + b) − Bài 1.35 Tính giới hạn sau: − + − a) + + c) BT ĐS> 11 + + + = − − c) + + + c) b) d) 14 ThuVienDeThi.com − = + d) − d) − − − + + + = + + − + Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 ( ( + e) − − + − ) ) f) Bài 1.36 Tính giới hạn sau − + a) − c) ( + ( − + − ) ( − + ) ) + + + + + + b) + − − d) + − + + − − e) f) + + + + + + Bài 1.37 Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a) 0,444… b) 0,212121… c) 0,32111111… d) 0,51111… e) 0,393939… f) 0,27323232… Bài 1.38 + + − a) Tìm tổng cấp số nhân b) Tính tổng = + + + − + Bài 1.39 Cho dãy số (un) xác định a) Tìm số n cho − + + = − − + + + − < b) Chứng minh với n > 999 số hạng dãy số (un) nằm khoảng (2,999; 3,001) BT ĐS> 11 15 ThuVienDeThi.com Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CẦN NẮM Giới hạn hữu hạn − Cho khoảng K, với dãy số − < − → > − ∈ →+∞ − → b) c) d) → → → ± = = ) → − ( +∞ ) = với dãy số ( ) bất kì, = với dãy số ( ) bất kì, →+∞ = với dãy số ( ) bất kì, = với dãy số ( ) bất kì, ) →−∞ ) →+∞ = −∞ với dãy số ( ) bất xác định K (hoặc { } ∈ → →+∞ { } ) → = +∞ = +∞ = Khi = ∈ℝ (nếu ≠ ± → = → ( = →+∞ = −∞ Định lí vể giới hạn hữu hạn Định lí Giả sử = + = −∞ →+∞ hàm số ( ) bất kì, = +∞ ⇔ → = →+∞ → +∞ Cho khoảng K, a) → xác định khoảng ( −∞ →+∞ = →+∞ → −∞ với dãy số − ) xác định khoảng ( −∞ Giới hạn vô cực − Cho hàm số kì, ( = = →+∞ xác định khoảng Cho hàm số → = →+∞ → +∞ < xác định khoảng Cho hàm số > − → < → xác định khoảng Cho hàm số < { } ∈ { } ) xác định K (hoặc hàm số ( ) bất kì, Cho hàm số < − ∈ = → = ≠ ) → → e) Nếu ≥ → = ≥ → = Các tính chất → +∞ → −∞ Định lí (Định lí giới hạn bên) = = − = + → → → Các giới hạn đặc biệt BT ĐS> 11 16 ThuVienDeThi.com Chương IV Giới hạn ... Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dạng phân số a) 0,444… b) 0,212121… c) 0,3 2111 111? ?? d) 0, 5111 1… e) 0,393939… f) 0,27323232… Bài 1.38 + + − a) Tìm tổng cấp số nhân b) Tính tổng = +... hồi BT ĐS> 11 13 ThuVienDeThi.com = = + = + + ≥ Chương IV Giới hạn GV Lư Sĩ Pháp Toán 11 a) Chứng minh un > với n b) Biết (un) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn HD Giải... Tốn 11 Chương IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A KIẾN THỨC CẤN NẮM Giới hạn hữu hạn dãy số = nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở →+∞ →+∞ = ⇔ − →+∞ = Dãy số (un) có giới hạn dãy số Giới