Giới hạn dãy số, hàm số CHƯƠNG IV GIỚI HẠN I Giới hạn của dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1 Giới hạn đặc biệt 1 lim 0 n n ; 1 lim 0 ( ) k n k n lim 0 ( 1) n n q q ; lim.
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN I Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: 1 lim ; lim (k ) n n n n k Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: lim n n ) lim qn (q 1) n lim q ( q 1) ; lim C C n lim nk (k n n n Định lí: Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b u a lim n (nếu b 0) b a)Nếu lim un lim 0 un b) Nếu lim un = a, lim = lim c) Nếu lim un =a 0, lim = un a.vn lim = b) Nếu un 0, n lim un= a a lim a.vn un a d) Nếu lim un = +, lim = a un =0 neáu a neáu a c) Nếu un ,n lim = lim(un.vn) = lim un = d) Nếu lim un = a lim un a * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 , – , 0. phải tìm cách khử dạng vô định q 1 S = u1 + u1q + u1q + … = 1 q Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n 1 n 1 n 1 lim VD: a) lim 2n 2 n 3 n 1 2 n c) lim(n2 4n 1) lim n2 n n2 Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức n2 n 3n lim b) lim 2n a b a b a b; VD: lim n2 3n n = lim 1 a b a2 ab b2 a b n2 3n n n2 3n n n2 3n n = lim 3n n2 3n n = , Dùng định lí kẹp: Nếu un ,n lim = VD: a) Tính lim lim un = sin n n sin n 1 sin n lim nên lim 0 n n n n 3sin n cos n b) Tính lim 2n2 Vì Vì 3sin n cos n (32 42 )(sin2 n cos2 n) nên 3sin n cos n 2n 3sin n cos n Mà lim nên lim 0 2n 2n2 2n Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn Nếu bậc tử bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung tử, mẫu riêng) Bài 1: Tính giới hạn sau: 1) lim(n2 n + 1) 2) lim(n2 + n + 1) 3) lim 2n 3n 4) lim 2n n 5) lim(2n + cosn) 3n 6) lim( n2 3sin2n + 5) 7) lim 2n lim 2n 3n 2n 9) lim n3 n n2 10) lim 2n n n2 11) lim 2n n 8) 12) lim 2n2 n 3n2 2n Bài 2: Tính giới hạn sau: 1) lim 3n 3n 13) lim 3n3 2n2 n 14) lim n3 n4 (n 1)(2 n)(n2 1) – n2 + n – 15) lim 2n2 – 4n – 16) lim n+1 2n 17) lim n 2n 18) lim 19) lim 2n n2 3n3 2n2 3n3 2n2 n n2 4n2 2n 20) lim 3n 2) lim 4.3n 7n1 2.5n 7n 3) lim 4) lim 4n1 6n2 5) lim 5n 8n 2n 5n1 6) lim 5n 2.3n 7n 5n 2.7n 2.3n 6n 2n (3n1 5) Bài 3: Tính giới hạn sau: k k Chú ý: n k có mũ ; n k có mũ 4n2 2n 1) lim n2 4n n n2 n 2) lim 3) lim n2 n n2 n6 4n2 2n 4) lim 5) lim n2 4n n (2n n 1)( n 3) (n 1)(n 2) n2 4n 4n2 6) lim 3n2 n n n2 Bài 4: Tính giới hạn sau: 1) lim( n2 3n n) 2) lim( n2 2n n 2013) 3) lim n n n 4) lim( n2 n 5) 5) lim( n 2013 n 5) 6) lim n2 2n n 1 7) lim n2 n n2 8) lim 2n n3 n 1 Baøi 5: Tính giới hạn sau: 1) lim cos n2 n2 (1)n sin(3n n2 ) 3n Bài 6: Tính giới hạn sau: 1 1) lim (2n 1)(2n 1) 1.3 3.5 2) lim 1 2) lim n(n 2) 1.3 2.4 1 3) lim 22 32 n2 1 4) lim n(n 1) 1.2 2.3 9) lim n2 n4 3n n2 4n 4n2 10) lim 3n2 n 11) lim n2 n2 4n2 2n 12) lim 13) lim n2 4n n 3) lim 4) lim 5) lim 6) lim n2 n6 n n2 3sin6 n 5cos2 (n 1) n2 3sin2 (n3 2) n2 3n2 n n2 3n 22 2n 32 3n Baøi 7: a) Chứng minh: (n N*) n n (n 1) n n n 1 1 b) Rút gọn: un = 2 3 n n (n 1) n c) Tìm lim un u1 Bài 8: Cho dãy số (un) xác định bởi: un1 un n (n 1) a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un II Giới hạn hàm số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x x0 ; x x0 lim c c (c: số) x x0 Định lí: lim f ( x ) L x x0 a) Nếu lim g( x ) M x x0 thì: * lim f ( x ) g( x ) L M x x0 * lim f ( x ) g( x ) L M x x0 * lim f ( x ).g( x ) L.M x x0 f ( x) L (nếu M 0) x x0 g( x ) M f(x) b) Nếu lim f ( x ) L x x0 * lim * L * lim x x0 f ( x) L c) Nếu lim f ( x ) L x x0 lim f ( x ) L x x0 Giới hạn bên: lim f ( x ) L x x0 lim f ( x) lim f ( x) L x x0 x x0 Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: k chẵn lim x k ; lim x k x x k lẻ c lim c c ; lim 0 x x k x 1 lim ; lim x 0 x x 0 x 1 lim lim x 0 x x 0 x Định lí: lim f ( x ) L x x0 a) Nếu thì: lim g( x ) x x0 neáu L lim g( x ) x x0 * lim f ( x )g( x ) neá u L lim g( x ) x x0 x x0 f ( x) 0 x x0 g( x ) lim f ( x ) L x x0 b) Nếu thì: lim g( x ) x x0 f ( x ) neáu L.g( x ) lim neáu L.g( x ) x x0 g( x ) * lim Khi tính giới hạn có dạng vơ định: 0. phải tìm cách khử dạng vơ định , , – , Một số phương pháp khử dạng vô định: Dạng P( x ) a) L = lim với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0)= x x0 Q( x ) Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn x3 ( x 2)( x x 4) x x 12 lim lim 3 x 2 x x 2 x 2 ( x 2)( x 2) x2 VD: lim P( x ) với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc x x0 Q( x ) Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu b) L = lim x x 2 4 x 1 lim lim x 0 x 0 x 0 x x x 2 x P( x ) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêu thức chứa không đồng bậc x x0 Q( x ) VD: lim Giả sử: P(x) = m u( x ) n Ta phân tích P(x) = v( x) với m u( x 0) n v( x0 ) a m u(x) a a n v(x) x 1 1 1 1 x x 1 1 x lim x 0 x 0 x x x 1 1 = lim x 0 3 x ( x 1) x P( x ) Dạng : L = lim với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa x Q( x ) – Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp 2 2 x 5x x x2 VD: a) lim lim 2 x x x x 1 x x2 VD: lim b) lim x 2x x2 x lim x 2 1 1 x2 Dạng – : Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu VD: lim x x x lim 1 x 1 x x x x 1 x x x lim x 1 x x Dạng 0.: Ta thường sử dụng phương pháp dạng VD: lim ( x 2) x 2 x x 4 lim x 2 Bài 1: Tìm giới hạn sau: x x x2 0 0 1) lim (x2 + x) x 3 7) x x 1 x 2) lim 8) 3x x x 1 x 1 sin x 4 lim x x 9) 1 x x x x 0 1 x 3) lim lim 4) 5) lim x 2 x2 2x x 1 x 1 x 8 3 lim x 1 x 2 lim 3x 3x x 2 x 1 11) lim x sin x 0 10) lim x 1 lim 6) x2 x x 1 x4 x Bài 2: Tìm giới hạn sau: x 1 x2 1 x 1 x 1 2) lim x x0 x 1) lim x 8 12) lim x2 3x2 4x 4) lim x 1 x 1 x 2 13) 2x 3x x2 14) 15) 5) lim x 2 6) lim x 16 x3 x2 x3 x2 x x 2 7) lim x 3x x 3x 5x 8) lim x 1 x 1 x x x3 9) lim x 1 1 x x 5x 3x 10) lim x 3 x 8x x5 11) lim x 1 x Bài 3: Tìm giới hạn sau: ( x 1 1) lim x 2 4x x2 x2 2) lim x 0 x 3) lim x 4 4) lim x 9 x 5 3 4x x 3 9x x (1 x )2 x 5x x lim x 1 x 1 lim x 1 x x 1 lim x 1 x x x2 x4 lim x 1 x 5x 3(x 3x 2) x 1 3) lim x 5x x 16) x1992 x x 1 x1990 x (1 x )(1 x )(1 3x ) 18) lim x 0 x 17) lim x x x n n x 1 x 1 n x nx n 20) lim x 1 (x 1)2 19) lim 2 x 3 x 7 x 49 5) lim 2x x x 4x x 3x 7) lim x 1 x 1 x x 3x 8) lim x 1 x 1 6) lim x 1 Bài 4: Tìm giới hạn sau: 1 x 1 x 1) lim x 0 x x 1 2) lim x 1 x3 2 3) lim x x x 2 4x x 2 2 4) lim x 7 3 x 2 2x 5) lim 2 x3 x2 x 6) lim ĐS:3 x 1 x 1 x 1 7) lim x ĐS:-1/3 1 x x 4 x 3x x 1 8) lim x 1 Bài 5: Tìm giới hạn sau: 4x x 2 x2 2x 2) lim x 1 x 1 x5 x3 1) lim 4) lim x 1 5) lim x 0 x 3) lim 1 x 1 x 0 6) lim x 1 x 1 1 x 1 x2 x 1 4x Bài 6: Tìm giới hạn sau: 1 x 1 x x 1) lim x 0 2) lim 2x x x0 3) x 1 x 1 1 x 1 lim 1 4x 1 6x x 0 x 10 x x 8) lim x 2 x2 7) lim 9) lim 8x 11 x x 2 x 3x x 1 8x2 x2 1 x x 10) lim 4) lim x 0 x 0 x2 x 3 8x 11 x x4 x 5) lim 11) lim x x 5x x 2 x 5x 2x 10 x 6) lim x 3 x2 Bài 7: Tìm giới hạn sau: (giống giới hạn dãy số chia cho mũ cao nhất, nhân liên hợp,Đặt nhân tử, dấu giá trị tuyệt đối) x 0 1) lim x x4 x 2x x4 x4 7) lim x x x x 2x x 1 2x x2 2) lim x 3) lim x 4) lim x 10 x 3x x 3x x x 3x x 4x x 5) xlim x 5 6) lim x x x3 2x 7x 12 | x | 17 8) lim x 9) lim x x2 x3 2x2 x x 2x 2 x 2x 21) lim x 2 x x 10) lim 2x 11) lim x 1 (x 1)2 2x x 1 (x 1)(x 3x 2) 1 13) lim x0 x x 12) lim x lim 18) x3 x2 x x 1 x2 2x 4x lim 19) 4x2 x x x 3x x x4 1 14) lim 2x2 x x 2 2x2 lim 17) 15) lim x 2 x x 16) x 1 lim 2x x Baøi 8: Tìm giới hạn sau: 1) lim x x x x 13) lim ( x 3x x 2) x 14) lim ( x 3x x 2) 2) lim ( x x x) x x 15) lim ( x 3x x 1) 3) lim ( x 3x x) x x 16) lim 4) lim ( x 3x x) x x 5) lim x x 1 x 7) lim ( x x ) x 9) lim x 19) x x2 x x 2x x 20) 11) lim x lim x 1 x x 5 Baøi 11: Tìm giới hạn sau: x 15 1) lim x 2 x x 15 2) lim x 2 x 3x x x 3 x 3 4) lim lim x 2 x2 x 2 x2 x x x x 6x x 23) lim x x x x lim ( x 2x) c Baøi 10: Tìm giới hạn sau có 3) 3x x x x x 1 x b lim x 22) lim 12) lim x x x x Bài 9: Tìm giới hạn sau: a 2x 2x 1 x 10) lim x( x x ) 2x x x x lim 21) lim x lim x x x 18) lim x x x x x x lim x 17) 6) lim ( x x x ) 8) x 3x x x x 4x2 2x x lim 20) a lim x 2 lim x 1 x x 1 d | 3x | x2 5) 6) b lim x 2 lim lim x x 1 lim | 3x | x2 x 1 x 2 2 x 2 x 5x 2 x x 5x x2 2x 7) lim x 2 x 3x 8) lim x 2 x 2 e lim x 1 1 x x 1 x2 x3 | 3x | c lim x 2 x 9) lim x 1 14) lim x 1 x 1 10) lim x 1 x x x 1 11) 12) lim x0 lim x x 2x 2x 15) 16) lim x 1 x 3x x2 x x 3x x 5x 1 x lim x x x0 x2 x2 4x x 17) lim x 1 x 1 x 3x 13) lim x x x Bài 12: Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: x2 1) f ( x ) x x taïi x 1 x x x2 2x x x3 2) f ( x ) taïi x x 16 x x x 3x x 3) f ( x ) x taïi x x x 1 x 1 x 4) f ( x ) x taïi x 3 x Bài 13: Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra: x3 1) f ( x ) x x taïi x mx x x m x f ( x ) x 100 x taïi x x 2) x 3 x 3m x 1 f ( x) taïi x 1 x x m x 1 3) x0 x f ( x) x x taïi x m2 x 3mx x 4) III Hàm số liên tục Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 lim f ( x ) f ( x0 ) x x0 Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f ( x ) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim f ( x ) , lim f ( x ) ) x x0 x x0 x x0 B3: So sánh lim f ( x ) với f(x0) rút kết luận x x0 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục khoảng lim f ( x ) f (a), lim f ( x) f (b) x a (a; b) x b Hàm số đa thức liên tục R Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f (x) Hàm số y = liên tục x0 g(x0) g( x ) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = f ( x ) ,M = max f ( x ) Khi với T (m; M) tồn a;b a;b số c (a; b) cho f(c) = T Bài 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra: x 3 1) f ( x ) x x taïi x 1 x2 x 1 x 7) f(x) = x xo = x 3 2 x 1 2x khix 2) f ( x ) x taïi x 1 x x x 8) f(x) = xo = x3 x x 1 1 x x x 3) f(x) = x x xo = 11 x x 5 x 9) f ( x ) x taïi x 1 2x ( x 5)2 x x 4) f(x) = x xo = 1 cos x x 1 x 10) f ( x ) taïi x x 1 x x 5x x x taïi x x 1 5) f ( x ) x x 3x 11) f ( x ) x taïi x 1 x 2 x x x 3x x 6) f(x) = xo = x 2x Bài 2: Tìm m, n,a để hàm số liên tục điểm ra: x3 x2 x 1) f ( x ) x 1 3x m x taïi x x x 2x x 2) f(x) = x a x x0 = x taïi x 3) f ( x ) x 2mx x 3x 2x x 4) f(x) = x0 = x 2x a 1 x 1 x x x 5) f(x)= xo= x a x x 3x x 6) f(x)= x x0 = ax + x Bài 3: Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng: x2 x 3x x 2 1) f(x) = x 5) f ( x ) x x 2 1 x 2 x x 3x x x 3x 10 2) f ( x ) 5 x x x 2 x x2 2x x3 x 6) f(x)= x x 1 x2 x 3) f ( x ) x 3x 4 x 1 x 4 x 2 4) f ( x ) x x 2 4 Bài 4: Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: x2 x x3 x x x 1) f ( x ) x x 3) f ( x ) x 1 x x m 3x m x x x x 4) f ( x ) x 2) f ( x ) 2 x 2mx x mx x Baøi 5: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x3 – 2x – = b) x5 + x3 – = c) x3 + x2 + x + 2/3 = d) x5 + 9x2 + x + = e) cosx – x + = f) x 3x g) x x h) x x3 3x x Baøi 6: Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: 1) x3 3x 2) x3 x 9x 3) x x Baøi 7: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số: 1) m( x 1)3 ( x 2) x 2) x mx 2mx ĐS:f(0).f(2)