Phan dang va cac phuong phap giai toan chuyen de gioi han

LUỤ ộ THI Vủ GIA S CH T L ộG CAỚ Ộ4ộ TỚỦộ SĐT: ĐC: ớhòng , dãy T p thể xã t c.Tớ HU Biên so n: Ths Tr n Đình C Bài giảng Giải tích11 Chương IV TÀI LIỆU THÂN TẶNG CÁC EM HỌC SINH LỚP TOÁN 11-THẦY CƯ HUẾ, NGÀY 4/1/2017 Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT: ng IV: Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l ng cao Ộẫn Toán, Tớ Hu MỤC LỤC CH ộG IV GI I H N .2 BÀI GI I H N C A DÃY S Dạng Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn dãy số Dạng Sử dụng định lí để tìm giới hạn dãy số .4 Dạng Sử dụng giới hạn đặc biệt định lý để giải tốn tìm giới hạn dãy Dạng Sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu thị số thập phân vơ hạn tuần hồn thành phân số Dạng Tìm giới hạn vơ dãy định nghĩa Dạng Tìm giới hạn dãy cách sử dụng định lý, quy tắc tìm giới hạn vơ cực 10 M TS D NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh o} .12 BÀI GI I H N HÀM S 20 Dạng Dùng định nghĩa để tìm giới hạn 23 Dạng Tìm giới hạn hàm số công thức 26 Dạng Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn bên .27 Dạng Sử dụng định lý cơng thức tìm giới hạn bên 27 Dạng Tính giới hạn vơ cực 29 Dạng Tìm giới hạn hàm số thuộc dạng vô định Dạng Dạng vô định 29  31  Dạng Dạng vô định   ;0. .32 M TS D NG TOÁN NÂNG CAO {Tham kh o} .35 BÀI HÀM S LIÊN T C 38 Dạng Xét tính liên tục hàm số f(x) điểm x0 38 Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm 41 Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng K .43 Dạng Tìm điểm gián đoạn hàm số f(x) .45 Dạng Chứng minh phương trình f x = có nghiệm 45 M TS BÀI T P LÝ THUY T {Tham kh o} 51 ÔN T CH ộG 53 Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT: CH ng IV: Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l ng cao Ộẫn Toán, Tớ Hu ộG IV GI I H N BÀI GI I H N C A DÃY S A KI N TH C C B NC NN M Định nghĩa dãy s có gi i h n Dãy (un ) có giới hạn n dần đến dương vô cực, số dương bé tùy ý cho trước, số Kí hi u: lim  un   hay lim un  hoaëc un  hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, |un| nhỏ số dương lim un     0, n0  , n  n0  un   (Kí hiệu "lim un  0" viết "lim un  0" , đọc dãy số (un ) có giới hạn n dần đến dương vô n cực) Nh n xét: Từ định nghĩa ta suy   có giới hạn a) Dãy số (un ) có giới hạn dãy số un b) Dãy số không đổi (un ) , với un  có giới hạn * Định lí 1: Cho hai dãy số  un    Nếu un  với n lim  lim un  Các định lí * Định lí 2: Nếu q  lim qn  * Định nghĩa : Ta nói dãy (vn ) có giới hạn số L ( hay v n dần tới L) lim v n  L   Định nghĩa dãy có gi i h n hữu h n n Kí hi u: lim  L hay  L Ngồi ta c)ng có thêm định nghĩa sau Ngôn ngữ  ): lim  L    0, n0  , n  n   L   M t s định lí * Định lí 1: Giả sử lim un  L Khi   lim un  L lim un  L Nếu un  với n L  lim un  L * Định lí 2: Giả sử lim un  L vaø lim  M  0, c số Ta có: lim  un    a  b; lim  cun   cL; lim un  lim un lim ; lim un  a  ; lim b lim un Tổng c a c p s nhân lùi vô h n  Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q thỗ mãn q   Cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S  u1  u2   un   Dãy có gi i h n  u1 1 q Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , với số dương tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, lớn số dương Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT: ng IV: Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l Kí hi u: lim un   hay un   Dãy có gi i h n  ng cao Ộẫn Toán, Tớ Hu lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M Định nghĩa: Ta nói dãy số (un ) có giới hạn  , với số âm tùy ý cho trước, số hạng dãy số, kể từ số hạng trở đi, nhỏ số dương Kí hi u: lim un   un   lim un    M  0, n0  , n  n0  un  M Chú ý: Các dãy số có giới hạn   gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vô cực M t vài quy t c tính gi i h n vơ cực a)Nếu lim un  a lim   lim un 0 b)Neáu lim un  a  lim   với n lim Tương tự ta lập luận trường hợp lại c) Nếu lim un   lim  a  lim un   Tương tự ta lập luận trường hợp lại B PHÂN LO I Vủ ớH un   ộG ớHỦớ GI I BÀI T P Dạng Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn dãy số ớh ng pháp: lim un  |un| nhỏ số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng trở Ví d Biết dãy số (un) thoã mãn un  Đặt  n 1 n2 n 1 n2 với n Chứng minh lim un  Gi i Ta coù lim  lim n 1  Do đó, v n nhỏ số dương tùy ý kể từ số hạng trở (1) n2 Mặt khác, theo giả thiết ta có u n  v n  v n (2) Từ (1) (2) suy u n nhỏ số dương tùy ý kể từ số hạng trở đi, nghóa lim u n  Ví d Biết dãy số (un) có giới hạn Giải thích dãy số (vn) với vn=|un| c)ng có giới hạn Chiều ngược lại có khơng? H ng d n Vì (un ) có giới hạn nên un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt khác,  un  un Do đó, nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy (un ) nhoe số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy (vn ) có giới hạn (Chứng minh tương tự, ta có chiều ngược lại đúng) Ví d Vì dãy (un ) với un   1 khơng thể có giới hạn n   ? n Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT: ng IV: Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l Ví d Sử dụng đỉnh nghĩa chứng minh lim H ng cao Ộẫn Toán, Tớ Hu sin n 0 n ng d n Ta có un   sin n 1     n  ,n  Khi đó: n n  >0,n  : n  n  un    Vaäy :lim un  Dạng Sử dụng định lí để tìm giới hạn dãy số ớh ng pháp: Ta dụng định lí và số giới hạn thường gặp   A   hay lim   n n   1  lim  ; lim  với k nguyên dương nk n  lim q n  neáu q   lim Ví d a) Cho hai dãy số (un ) vaø (vn ) Chứng minh lim  vaø un  với n lim un  b) Áp dụng kết câu a để tính giới hạn dãy số có số hạng tổng quát sau a) un  n! d)un  (0,99)n cosn Ví d Tình giới hạn sau: a) lim 3n 1  2n 1 3n  2n ; b)lim 5n  5n  ; (1) 2n  e) un  5n  cos n  b) un  c)lim 4.3n  7n 1 2.5n  7n a) b)1 c)7 d)  n(1)n  2n2  2   3n d)lim n 1  2   3n1 n ; ng d n đáp s : Sử dụng công thức lim q n  0, q  H c) un  ng pháp: lim  a  lim   a   Dạng Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn hữu hạn ớh n n Ví d Sử dụng định nghĩa chứng minh lim 3n  3 n 1 H un   ng d n 1 1     n  ; choïn n  ,n  Khi đó:   n 1 n >0,n  : n  n  un    Vaäy :lim un   (1)n  Ví d Sử dụng định nghĩa chứng minh lim    1  n   Ví d Cho dãy (un xác định bởi: un  a) Tìm số n cho un   3n  n 1 1000 Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT: ng IV: Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l ng cao Ộẫn Toán, Tớ Hu b) Chứng minh với n > 999 số hạng dãy (un nằm khoảng (2,999;3,001) H a) un   ng d n 1   n  999 n  1000 1  3  un    2,999  un  3,001 b) Khi n  999  un   1000 1000 1000 BTTT: Cho dãy (un xác định bởi: un  a) Tìm số n cho un   2n  n2 100 b) Chứng minh với n > 2007 số hạng dãy (un nằm khoảng (1,998;2,001) Dạng Sử dụng giới hạn đặc biệt định lý để giải tốn tìm giới hạn dãy ớh ng pháp    Ta thường sử dụng: lim A A   lim   ; lim    lim  n n vn Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số mẫu số chứa luỹ thừa n chia tử mẫu cho nk với k m) cao bậc mẫu Nếu biểu thức chứa thức cần nhân lượng liên hiệp để đưa dạng AB lượng liên hiệp là: A  B A B lượng liên hiệp là: A  B A  B lượng liên hiệp là: A  B 3 A B lượng liên hiệp là:  A  B3 A  B2    3  2 A B lượng liên hiệp là:  A  B A  B    Ví d Tính lim 3n3  5n2  2n3  6n2  4n  3  n n3  lim  lim 2n3  6n2  4n  n    n n n3 3n3  5n2  Ví d Tính lim 2n2   5n  3n2 Gi i Gi i lim 2n2   5n  3n2 1  2 n n n  lim  0 3 3 n2 Ví d Tính lim  n2   n2     Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT: ng IV: Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l ng cao Ộẫn Toán, Tớ Hu Gi i n2   n2  lim  n2   n2    lim  lim 0   n2   n2  n2   n2  Ví d Tính lim  n2  3n  n2    Gi i 3n 3 lim  n2  3n  n2   lim  lim    n2  3n  n2 1  n BÀI T P ÁP D NG Bài Tính giới hạn sau: a)lim 4n2  n   2n b)lim Tổng quát: Tính giới haïn: lim n    c)lim  n   n 1 2n   m m 1   am 1n  am a0 n  a1n n2  n  b0 n p  b1n p1   b p1n  b p  Xét p  m Hướng Dẫn:  Xét n  p Chia tử mẫu cho n p ,p bậc cao mẫu  Xét n  p  Tính giới hạn sau: 2  3n   n  1  2n  n2  d) lim e) lim  4n5    2n n n     Đáp s : a)  Bài Tính giới hạn: 2n4  n2  2n2  n  a)lim c)   b)0 ; b) 1 Bài Tính giới hạn sau:  n 1  n  a)0 27 c) lim n 3n2  14  n  2n2 ; d)lim 2n3  n n2 d) c)0 b)lim  n  3n  n     4n2   2n  e)lim n2  2n  n d)lim  n2  n  n    g) lim  n  n3  n     H e) 3n2   n2  b)lim ; n Đáp s : a) a)lim d)  c) l im  n3  2n  n    f)lim n  n   n     ng d n đáp s : Nhân lượng liên hiệp b) c)  d) e)1 f) g)3 Dạng Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn, tìm giới hạn, biểu thị số thập phân vơ hạn tuần hoàn thành phân số ớh ng pháp: Cấp số nhân lùi vô hạn cấp số nhân vô hạn có cơng bội |q|2 neáu x  neáu x  2x2  Bài Xét tính liên tục hàm số sau: f(x)  5 3x   neáu x  neáu x  neáu x  Dạng Xét tính liên tục hàm số khoảng K ớh ng pháp Để xét tính liên tục xác định giá trị tham số để hàm số liên tục khoảng K, thực theo bước sau:  B  B  B c 1: Xét tính liên tục hàm số khoảng đơn c 2: Xét tính liên tục hàm số điểm giao c 3: Kết luận I Các ví d m u Ví d Chứng minh hàm số sau liên tục R:  xcos x  f(x)   x2  Khi x  0 Hàm số f(x) liên tục với x  Xét tính liên f(x) x=0 Ta có: 1 x.cos  x cos x x x2  1    x  x.cos  x  lim  x.cos   x  x x2   Mặt khác f(0)=0 Do đó, lim f(x)  f(0)  Hàm số liên tục x  Gi i x 0 Vậy hàm số liên tục toàn trục số Ví d Xét tính liên tục hàm số toàn trục số:  f(x)  x  x ax  neáu x  neáu x  H ng d n Hàm số xác định với x Khi x 1 Hàm số liên tục Khi x =1  a=1: Hàm liên tục x=1 43 Bài gi ng Gi i tích Ch Ths Tr n Đình C SĐT: ng IV: Gi i h n hàm s Luy n thi gia s ch t l  a  : Hàm số gián đoạn x=1 ng cao Ộẫn Toán, Tớ Hu Kết luận:   a  , hàm số liên tục  ;1 1;   gián đoạn x=1 a=1: Hàm số liên tục toàn trục số II Bài t p rèn luy n  1 x  neáu x  Bài Cho hàm số y  f(x)    x  Xét liên tục hàm số   2x neá u x  H ng d n đáp s - Với x1 Hàm số liên tục - Xét x=1: Hàm số liên tục Vậy hàm số liên tục R Bài Xét tính liên tục hàm số sau tập xác đinh chúng:  1 x , neáu x   b) g(x)   x  2   3 neáu x    x2   , neáu x  a) f(x)   x  2 neáu x   Đáp s b) y=g(x) liên tục  ;2  vaø  2;   gián đoạn x=2 a) y=f(x) liên tục R  x 1  Bài Tìm giá trị tham số m để hàm số f(x)   x2  neáu x  liên tục  0;  m neáu x   Đáp s : m   Bài x2  x   a) Cho hàm số f(x)   x   x 3   7;    1 b) Cho hàm số f(x)  ax  b  3 neáu x  neáu -  x  neáu x  neáu  x  Tìm a b để hàm số liên tục, vẽ đồ thị hàm số neáu x  a) x>2: hàm số liên tục khoảng  2;  H -71 hay f(b)