Chuyên đề ôn tập hình học 9

Chuyên đề ôn tập Hình học 9 GIÁO VIÊN LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN http violet vnvanlonghanam CHUYÊN ĐỀ 1 1 Đường trung bình của tam giác, của hình thang 2 Đường trung tuyến của tam giác vuông Ví dụ 1 Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực tâm H M là điểm bất kỳ trên cạnh BC Gọi E, F thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC Gọi I là trung điểm của AM ID cắt EF tại K a) DEIF là hình gì? b) CM M, K, H thẳng hàng c) Xác định vị trí của M trên BC để EF đạt GTNN d) Tìm GTNN của SDEIF biết ta.

GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN CHUYÊN ĐỀ 1: Đường trung bình tam giác, hình thang Đường trung tuyến tam giác vng Ví dụ 1: Cho tam giác ABC đều, đường cao AD, trực tâm H M điểm cạnh BC Gọi E, F thứ tự hình chiếu M AB AC Gọi I trung điểm AM ID cắt EF K a) DEIF hình gì? b) CM: M, K, H thẳng hàng c) Xác định vị trí M BC để EF đạt GTNN d) Tìm GTNN SDEIF biết tam giác ABC có cạnh a Lời giải: Giã sử M nằm B D: a)  IED có:  A  IE  ID  AM   EID ฀  2.BAD ฀  600    IED tam giác (1) P Chứng minh tương tự ta  IFD tam giác (2) Từ I (1) (2) suy DEIF hình thoi F H b) Vì  ABC nên trực tâm K H củng trọng tâm Suy ra: E AH = 2.HD Gọi P trung điểm AH  AP = PH = HD Suy IP, B C D M KH thứ tự đường trung bình tam giác AMH DIP  MH // IP KH // IP, suy M, K, H thẳng hàng ฀ c) Vì  EDK vng K nên ta có: EF = 2.EK = ED sinKDE = DE Do EF đạt GTNN  DE đạt GTNN  DE  AB  M trùng với D ( Có thể dùng định lý pitago để tính EF theo DE ) d) SDEIF = DI EF Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD Gọi A/, B/, C/, D/ trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC CMR: AA/, BB/, CC/, DD/ đồng qui http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN Lời giải: A Gọi M, N, I trung điểm BD, AC B A/C Ta có: +) NI đường trung bình  AA/C  AA/ // NI N K M +)  MNI có A/ trung điểm MI AA/ // NI  K trung A/ điểm MN I Chứng minh tương tự C BB/, CC/, DD/ qua D trung điểm K MN  AA/, BB/, CC/, DD/ đồng qui K Bài tập: BT.1: CMR: Trọng tâm, trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm đường thẳng BT.2: Cho đoạn thẳng AC điểm B nằm A C Vẽ tam giác vuông cân ABD BCE nửa mặt phẳng bờ AC Gọi I trung điểm AC Tam giác IDE tam giác gì? Vì sao? -CHUYÊN ĐỀ 2: Định lí Talet hệ Tam giác đồng dạng Hệ thức lượng tam giác vuông * Những điểm lưu ý: 1- Định lý Talet tam giác đồng dạng đề cập tới tỉ số hai đối tượng loại ( độ dài, diện tích, …) A C 2- Đối với toán cần thực phép toán  ta thường dùng định lí B D A M C M/ Talet tính chất tam giác đồng dạng để biến đổi  ;  B N D N/ A C cho N = N/ Trong hình học ta thực phép nhân chéo  B D A.D  B.C  B.D http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN 3- Đối với tốn cần thực phép toán A C A M ta thường biến đổi  , B D B N C M/  / N = M/ D N 4- Đối với tốn cần chứng minh đẳng thức có dạng 1   ta cần tìm A B C M N P   lúc ta dùng định lí A B C Talet tính chất tam giác đồng dạng 5- Đối với toán cần chứng minh đẳng thức dạng a.b = c.d + e.f ta thường tách b = x +y chứng minh a.x = c.d b.y = e.f 6- Đối với toán cần chứng minh đẳng thức dạng a2 = c.d + e.f làm tương tự Ví dụ 1: Cho D, E, F nằm cạnh BC, AC, AB tam giác ABC cho AD, BE, CF đồng qui M Chứng minh A K I rằng: AM AE AF   DM CE BF đoạn thẳng M = N = P chứng minh F E * Định hướng: Cần chuyển tỉ số vế phải M mẫu Lời giải: Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BE CF I K Áp dụng B D định lí Talet ta có: AE AI AF AK   CE BC BF BC AE AF KI    (1) CE BF BC AM AI AK AI  AK KI     (2) Từ (1) (2) suy đpcm DM BD CD BD  CD BC C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Một đường thẳng qua trọng tâm G tam giác cắt tia BC cạnh CA, AB D, E, F CMR: 1   GD GE GF http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN Định hướng: ( xem lưu ý ) Lời giải: Vẽ CI // FE, BK // FE  CI = BK; MK = MI A.d định lí Talet ta có: AI  CI   GE AG (1)  MI  CI  (2)  GD MG   BK AK  GF  AG (3)  Cộng vế (1) B (2) (3) CI CI BK    GD GE GF  đpcm A F G E I M D C K Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Biết đường phân giác góc A cắt BC kéo dài E CMR: AE2 = EB EC – AB AC Phân tích: 1.Cần tách AE = x – y thỏa mãn: AE.x = EB EC X AE.y = AB AC Giã sử tồn M thuộc A EA để: EA EM = EB EC  EAC ฀ EBM  ฀ ฀ EMB  ECA Lời giải: Lấy M thuộc tia đối tia ฀ ฀  ECA AE cho EMB  EAC ฀ EBM suy E EA EM = EB EC (1) Lại có: EAC ฀ BAM  EA AM = AB AC (2) Lấy (1) – (2) ta có đpcm M C B Ví dụ 4: Cho điểm theo thứ tự E, B, D, C nằm đường thẳng thỏa DB EB  mãn: A điểm cho AE  AD CMR: AD AE thứ tự DC EC phân giác tam giác ABC http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN * Định hướng: - Chỉ cần chứng minh AD AE phân giác - Vẽ đường phụ đt song song để sử dụng (gt) DB EB  DC EC A N E D B C M Cách 1: Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD AE M N Theo định lí Talet ta có: DB BM   DB EB DC AC  )    BM  BN ( Vì EB BN  DC EC  EC AC  Tam giác AMN vng A có AB trung tuyến  AB = MB Suy ฀ ฀ ฀ ฀ BAM  BMA  BMA (1) Lại có CAM ( BM // AC ) (2) Do AD phân giác  ABC  AE phân giác ngồi ( AE  AD ) Cách 2: Qua C vẽ đt song song với AB cắt AD, AE M N Tương tự cách ta ฀ ฀ ฀ ฀  CMA  CMA chứng minh được: BAM CAM ฀  600 Một đường thẳng qua D khơng cắt Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có B hình thoi cắt đường thẳng AB, BC E, F Gọi M giao điểm AF CE CMR: a)  EAC đồng dạng với  ACF b) AD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp  MDF Lời giải: a) Ta có  EAD đồng dạng với  DCF  AE CD AE AC    (vì AD = AC AD CF AC CF = CD ) AE AC ฀ ฀ ACF  1200 Xét  EAC  ACF có: EAC ; suy ra:  AC CF http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN  EAC đồng dạng với  ACF (c.g.c) b) Chứng minh  ACM đồng dạng với  AFC  AC  AM AF mà AC = AD nên ta có AD  AM AF , suy AD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF B A C M F E D ฀  200 Kẻ phân giác BI Vẽ góc Ví dụ 6: Cho tam giác ABC vng A, có B ฀ ACH  300 phía tam giác CMR: HI song song với phân giác góc HCB Lời giải: Gọi CK phân giác góc HCB AI BA  (t.c IC BC đường phân giác) (1) Tam giác ACH vuông A có ฀ ACH  300 , suy ra: CH AH  Khi C Ta có: M I A H K B AH CH CB   CK phân giác góc HCB nên ta có: (2) HK HK BK Kẻ KM  BC , tam giác KCB cân K nên: CB = 2BM (3) Từ (2) (3) đồng thời kết hợp với  BMK đồng dạng với  BAC suy ra: http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN AH BM BA   (4) Từ (1) (4) suy điều phải chứng minh HK BK BC Bài tập: BT.1) Cho tam giác ABC, AD phân giác góc A ( D BC ) CMR: AD2 = AB.AC – DB.DC BT.2) Cho hình thang ABCD ( BC // AD ) Gọi M, N hai điểm AM CN hai cạnh AB CD cho Đường thẳng MN cắt AC BD lần  AB CD lượt E F CMR: EM = FN BT.3)Cho tam giác ABC Gọi D trung điểm cạnh BC E, F điểm ฀  600 thứ tự thuộc cạnh AB, AC cho EDF Chứng minh: a)  BDE đồng dạng với  CFD b) BE CF không đổi c) ED2 = EF EB d) EF tiếp xúc với đường trịn cố định Tìm vị trí điểm E, F để diện tích tam giác DEF đạt GTLN Tìm vị trí điểm E, F để diện tích tam giác AEF đạt GTLN -CHUYÊN ĐỀ 3: TỨ GIÁC NỘI TIẾP A B M D N C  Đối với tứ giác ABCD cho trước, khẳng định sau tương đương: ABCD tứ giác nội tiếp ฀ +C ฀ =B ฀ +D ฀ = 1800 A ฀ ฀ = ACD ABC MA.MC = MB MD ( M giao điểm AC BD ) NA.NB = NC.ND ( N giao điểm AB CD ) http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN A C S B  Cho tam giác ABC điểm S thuộc tia đối tia BC Khi khẳng định sau tương đương SA tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ฀ ฀ = BAS ACB SA2 = SB.SC Ví dụ 1:Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH ( H  BC ) Gọi I, J, K tâm đường tròn nội tiếp  ABC,  AHB  AHC CMR: a) AI  JK b) BJKC tứ giác nội tiếp Lời giải: A a) Dễ thấy ABHM tứ giác nội tiếp, suy BM  AK M Tương tự: CN  N I AJ Vậy I trực K tâm  AJK, suy J đpcm b) Ta có: C B ฀ C H ฀ JBC  45  ฀ ฀  HAB ฀  1C ฀ ) ฀  IAJ ฀  IAB ฀  JAB ฀  450  C ( JAB IKJ 2 Ví dụ 2: Cho đường trịn tâm O S cố định nằm (O) Một cát tuyến thay đổi qua S cắt (O) A B ( A khác B ) a) Đường thẳng d vng góc với OS S cắt tiếp tuyến với (O) A B C D Chứng minh: SC = SD b) Gọi E giao điểm tiếp tuyến với đường tròn A B CMR: Khi cát tuyến SAB thay đổi E ln nằm đường thẳng cố định; xác định đường thẳng http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN Lời giải: a) Từ tứ giác nội tiếp SOBD SAOC suy ฀  SCO ฀ , từ suy SC SDO = SD b) Vẽ EI  SO Dễ thấy SIKE tứ giác nội tiếp, suy ra: OI OS = OK OE (1) - Tam giác OBE vng B có đường cao BK, suy ra: OK OE = OB2 = R2 (2) Từ R2 (1) (2) suy ra: OI  , OS không đổi Vậy E nằm đường thẳng EI cố định ( hai phần đt nằm ngồi đường trịn ) D E B K A S O I C Ví dụ 3: Từ điểm K ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến KA, KC cát tuyến KBD với đường tròn ( A, C tiếp điểm; B nằm điểm OK AC CMR: a) AB CD = AD BC b) Tứ giác BMOD nội tiếp c) Tứ giác BMOE nội tiếp ( E giao AC đường thẳng qua O vng góc với BD ) d) BE tiếp tuyến (O) e) I, A, C thẳng hàng với I giao điểm tiếp tuyến B D f) AC qua điểm cố định K thay đổi BD cố định ( K B (O)) K Lời giải: AB KB  a)  KBA ฀  KAD  AD KA http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn K D ) Gọi M giao E A D O M C GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN CB KB  Mà CD KC AB CB  đpcm  KA = KC  AD CD b) CM KB KD = KM KO ฀ ฀ ฀ ; suy ra:  BDO  DBO c) Có BMK ฀ ฀  đpcm BME  BOE d) Suy từ (c) AMO  900 Lại có IBMOD e) Có ฀ nằm đường tròn nên ฀  IBO ฀  900  đpcm suy IMO f) Suy từ (e)  KBC ฀  KCD  I A D B O K M C Ví dụ 4: Từ điểm A ngồi đường trịn tâm O, vẽ tiếp tuyến AD, AE ( D, E tiếp điểm ) Tia AO cắt đường tròn tâm O B, C ( B A C ) Kẻ DH vng góc với CE H Gọi P trung điểm DH Tia CP cắt đường tròn tâm O Q ( Q  C ) Gọi giao điểm AC DE I CMR: a) DQIP tứ giác nội tiếp đường tròn b) AC tiếp tuyến đường tròn qua điểm A, D, Q D Q P A B I C O H E Lời giải: ฀ ฀ ฀ ( = DEC a) Ta có: DQP )  DIP ฀  900  DQI ฀  900 , suy ra: QIA ฀  QDI ฀ ( phụ với QID ฀ ) b) Vì DPI http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN ฀  QDI ฀  QIA ฀  QEA ฀ Mặt khác QEA nên tứ giác AQIE nội tiếp đường tròn Suy ฀  QEI ฀ ฀ QAI ADQ  đpcm ฀  600 , đường phân giác Ví dụ 5: Cho tam giác ABC ( AB < AC ) có BAC ฀ góc BAC cắt BC D Từ D kẻ tia Dx // AC, Dy // AB cắt AB, AC thứ tự M, N a) CMR: MN2 = MB NC b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MND cắt BD E ( E khác D ) Gọi giao điểm BN với CM F Chứng minh MBEF tứ giác nội tiếp c) Chứng minh tia EF qua trung điểm MN A Lời giải: a) Dễ thấy AMDN hình thoi MDN tam giác đều, suy ra: MN2 = MD ND (1) N Mặt khác hai tam giác I BMD DNC đồng dạng với nhau, đó: M MD ND = MB NC (2) Từ (1) (2) suy F đpcm b) Tứ giác MNDE nội tiếp suy ra: ฀ ฀ B C MEB  MND  600 (1) D E Từ (a) suy hai tam giác BMN MNC đồng dạng với nhau; suy ra: ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀ ฀  600 (2) MBN  NMC  MFB  MNB  NMC  MBN = MNB = 1800  BMN Từ (1) (2) suy đpcm ฀ EF  MBF ฀ ฀ EI  IMF ฀  IMF ฀ IEM M c) Vì MBEF nội tiếp nên ta có M  MI  IF.IE (1) Chứng minh tương tự NCEF tứ giác nội tiếp ta củng chứng minh được: NI2 = IF IE (2) Từ suy IM = IN Ví dụ 6: Cho đường trịn (O) đường thẳng d khơng cắt Điểm M thay đổi d, kẻ tiếp tuyến MT, MH với (O) ( T, H tiếp điểm ) a) Chứng minh TH qua điểm cố định M chạy d b) Tìm quỹ tích điểm N giao điểm OM TH c) Gọi A hình chiếu O d E, F, K thứ tự hình chiếu A MT, MH, TH CMR: E, F, K thẳng hàng d) CMR: EF qua điểm cố định M chạy d http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN T O N I H K F E J d A M Bài tập: 1) Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M CD lấy N cho ฀ MAN  450 Gọi I, K thứ tự giao điểm BD với AM AN; P giao điểm MK NI a) Chứng minh AP  MN KI b) Tính tỉ số MN c) Chứng tỏ MN tiếp xúc với đường tròn cố định 2) Cho tam giác nhọn ABC có BC cố định, ฀A  600 nội tiếp (O;R) cho trước Gọi K giao điểm đường phân giác tam giác a) Chứng minh B, K, O, C nằm đường tròn, xác định tâm đường tròn b) Xác định vị trí A để ( KB + KC ) đạt GTLN 3) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) cho hai đường thẳng AD BC cắt T Vẽ đường thẳng d vng góc với OT T a)Biết d cắt hai đường thẳng AC BD theo thứ tự M N CMR: TM = TN b)Biết d cắt hai đường thẳng AB CD theo thứ tự E F CMR: TE = TF 4) Cho góc vng xOy tam giác ABC vng A; A cố định nằm góc xOy; B chạy Ox; C chạy Oy Tìm quỹ tích hình chiếu vng góc A BC CHUN ĐỀ 4: KHAI THÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC ( SKKN: 08 – 09 ) http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN 1) Khai thác tốn dựa vào cấu trúc lơgic mệnh đề hình học: Ví dụ 1: ( Bài 30 – SGK – Trang 116 ) Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB M điểm thuộc nửa đường tròn; tiếp tuyến (O;R) M M cắt tiếp tuyến A B C D Chứng minh rằng: C o ฀ a) COD = 90 b) CD = AC + BD c) AC BD = R2 R O A D B Đây toán quen thuộc có SGK – Tốn hầu hết em giải Tuy nhiên HS thấy tương đương khẳng định sau: (1) CD tiếp tuyến ฀  90o (2) COD (3) CD = AC + BD (4) AC BD = R2 Thật vậy, kéo dài OD cắt AC E Dễ dàng chứng minh C OD = OE , AE = BD (*) ฀  90o từ (*) suy  CED cân C  +) Nếu COD CO phân giác góc ECD  O cách CD A khoảng OA ( = R )  CD tiếp tuyến (O;R) +) Nếu CD = AC + BD từ (*) suy CD = CE   CED cân C suy CD tiếp tuyến (O;R) +) Nếu AC BD = R2 từ (*)  AC AE = OA2  E ฀ ฀ ACO ฀ OCE (c.g.c)  COE  CAO  90   CED cân C suy CD tiếp tuyến (O;R) Dựa vào tương đương kết giáo viên thiết kế thành nhiều tốn khác để học sinh luyện tập Ví dụ 2: ( Bài 20 – SBT – Toán ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm cung nhỏ BC Trên MA lấy điểm D cho MD = MB a) Tam giác MBD tam giác ? b) So sánh hai tam giác BDA BMC http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn D M R B O A D O C B M GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN c) Chứng minh MA = MB + MC Đây toán quen thuộc , lời giải có SBT nhiều tài liệu khác, kết cụ thể là: a)  MBD tam giác b)  BDA =  BMC c) MA = MB + MC Nhận thấy xem: + ) Hình H là: “ Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC” + ) Tính chất T là: “ Trong ba đoạn MA , MB , MC có đoạn tổng hai đoạn cịn lại” Thì ta chứng minh được: 1) Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T ngược lại 2) Những điểm khơng thuộc hình H khơng có tính chất T ngược lại Do giáo viên cho HS tập sau: Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm không thuộc (O) Chứng minh ba đoạn thẳng MA , MB , MC độ dài ba cạnh tam giác A A D O B O M C D B M C Gợi ý: * Xét trường hợp điểm M nằm góc BAC ( trường hợp khác hồn tồn tương tự ) ฀  60o (1) Vẽ tam giác BMD  MB = MD BMD Dễ dàng chứng minh  BDA =  BMC (c.g.c )  MC = DA (2) ฀  60o (3) Từ (1), (2) (3) suy A, D , M khơng thẳng Vì M  (O) nên BMA hàng MA , MB , MC độ dài ba cạnh tam giác MAD Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc nửa mặt phẳng không chứa A bờ BC thỏa mãn MA = MB + MC Chứng minh ABMC tứ giác nội tiếp Gợi ý: Làm tương tự toán chứng minh MB = MD , MC = DA Suy ฀ ฀ ฀ ฀ , suy  BCA  BMD  600  BMA MB + MC = MA = MD + DA  D  MA  BMA ABMC tứ giác nội tiếp Bài tốn diễn đạt tập sau: http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN Bài 3: Cho tam giác ABC cố định điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) cho đoạn MA , MB , MC tồn đoạn tổng hai đoạn Chứng minh điểm M chạy đường tròn cố định Bài 4: Cho tam giác ABC cố định điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) Gọi x , y , z thứ tự khoảng cách từ M tới A , B C Biết ba số x , y , z ln có số tổng hai số cịn lại Tìm quỹ tích điểm M Gợi ý: - Vận dụng tốn để tìm hình H đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC - Vận dụng ví dụ để chứng minh phần đảo Qua số ví dụ ta thấy người dạy biết nắm bắt cấu trúc lơgic tốn sẻ tạo nhiều tốn , hình thành cho học sinh thói quen nhìn nhận tốn theo nhiều hướng khác Từ gúp HS phát huy lực giải tốn Bây ta lại tiếp cận ví dụ theo hướng sau: “Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm thuộc cung BC ( không chứa A ) Các khẳng định sau có tương đương với hay khơng ? (A): Tam giác ABC (B): MA = MB + MC.” Trong trường hợp nhiều HS ngộ nhận từ (B) A1 N suy (A) Điều A Thật , xét tam giác BCA1 ta có: MA1 = MB + MC ( theo vd.2 ) Lấy A đối xứng với A1 qua đường kính MN , suy A thuộc (O) MA = MA1 ( tính chất đối xứng ) Do với tam giác khơng B C ABC ta có MA = MB + MC M Để xây dựng tốn ngược lại tình giáo viên cần bổ sung thêm điều kiện để ràng buộc điểm A Chẳng hạn ta phát biểu toán sau: Bài 5: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn A (O); M điểm thuộc cung BC không chứa A Chứng minh MA = MB + MC (*) ABC tam giác Gợi ý: Vì tam giác ABC cân A nên MA phân giác góc BMC Do đó: I MB MA  MB AC  MA.BI (1) MBI ฀ MAC   B BI AC MC MA  MC AB  MA.CI (2) MCI ฀ MAB   CI AB Vì AB = AC nên từ (1) (2) suy ra: http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn M C GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN  MA  MB  AB  MA.BC  MA  MB  BC MA Kết hợp với (*) suy AB BC   AB  BC  đpcm AB ) Khai thác toán dựa kết toán cũ: Trong ví dụ , lấy kết “ MA = MB + MC ” làm tiền đề cho việc khai thác tốn ta có kết sau: Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định; M điểm thuộc cung nhỏ BC Xác định vị trí điểm M để: a) Chu vi tam giác MBC đạt giá trị lớn A b) Tổng ( MA + MB + MC ) đạt giá trị lớn Gợi ý: a) Chu vi  MBC đạt giá trị lớn  MB + MC lớn  MA lớn  MA đường kính O  M trung điểm cung nhỏ BC D b) Làm tương tự C Nếu kết hợp với BĐT – Cơ si ta có kết B quả: MA = MB + MB  MB.MC Dấu xảy M M nằm cung nhỏ BC MA đạt giá trị lớn Từ ta có tốn sau: Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) cố định; M điểm thuộc cung nhỏ BC Tìm giá trị lớn (MA.MB.MC) Nếu gọi E giao điểm MA BC ta nhận thấy: MB MA MB  MC   Suy ME MC MC MB  MC 1    Từ ta có tốn: ME MB.MC MB MC BME ฀ AMC  A Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA BC cắt E Chứng minh rằng: 1   ME MB MC Khai thác kết toán 7, ta nhận gọi F trung điểm cung BC ta có ฀ AF  BC , AMF  900 Suy ra: AM  AF,AE  AH Do ME = AM – AE  AF – AH = FH  E H M F 1  ( không đổi ) Dấu ME FH xảy  M  F Từ ta có toán sau: http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn B C GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN Bài 9: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA BC cắt E Xác định vị trí M 1  đạt giá trị nhỏ MB MC Ta lại thấy rầng M trùng với F đạt giá trị nhỏ Từ MA cung nhỏ BC để ta lại có thêm tốn hay khó sau: Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); M điểm thuộc cung nhỏ BC Các đoạn thẳng MA BC cắt E Xác định vị trí M cung nhỏ BC để 1 + đạt giá trị nhỏ  MA MB MC Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vng A Gọi H hình chiếu A BC; I K thứ tự trung điểm AH CK Chứng minh: BI  AK Gợi ý: B Ta có: KH  KC    IK đường trung bình tam giác AHC suy IH  IA  IK // AC  IK  AB Do I trực tâm tam giác ABK, suy BI  AK Từ kết tốn ta có nhận xét sau: - Những đường thẳng song song với AK vng góc với BI - Những đường thẳng song song với BI vng góc với AK Từ ta tạo toán sau: + Gọi D điểm đối xứng với C qua A  DH song song với AK , từ kết ví dụ suy BI  DH Từ ta có tốn: Bài 11: Cho tam giác BCD cân B; đường cao BA Gọi H hình chiếu A BC; I trung điểm AH Chứng minh DH  BI D H I K C A B H I A + Nếu tạo hình bình hành BDKI suy DK song song với BI DK vng góc với AK Từ ta có tốn sau: AC Gọi H hình chiếu A BC, K trung điểm HC Chứng minh DK  AK Bài 12: Cho hình thang vng ABDC ( A  B  900 ) BD = Gợi ý: Gọi I trung điểm AH.Theo ví dụ ta có BI  AK(1) http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn C GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Vì IK đường trung bình tam giác HAC nên suy IK  AC  BD Tứ giác BDKI có BD // KI BD = KI  BDKI hình bình hành; suy DK // BI (2) Từ (1) (2)  đpcm D B + Nếu lấy E đối xứng với B qua D tứ giác ABEC hình chử nhật từ ta có tốn sau: Bài 13: Cho hình chữ nhật ABEC Gọi H hình chiếu A BC; D K thứ tự trung điểm BE HC Chứng minh AK  DK H K I ( Giải tương tự 12 ) C A Xem xét kỹ ví dụ ta thấy kết tốn khơng thay đổi ta thay đường trung bình IK đường thẳng song song với AC Với cách tiếp cận ví dụ cịn khai thác theo hướng sau 3) Chuyển từ quan hệ sang quan hệ đồng dạng để có tốn mới: Với hướng ví dụ diễn đạt sau: Bài 14: Cho tam giác ABC vng A Gọi H hình chiếu B A BC; I K thứ tự hai điểm thuộc AH CK cho Gợi ý: HK HI  Chứng minh: BI  AK KC IA H HK HI   KI // AC ( Talet đảo ) mà AC  AB  KI  KC IA AB Suy I trực tâm tam giác ABK  BI  AK Vì Từ toán 11 , 12 , 13 giúp ta có thêm tốn sau: Bài 15: Cho tam giác nhọn BDC đường cao BA Gọi H I A hình chiếu A BC; I điểm thuộc đoạn AH cho Chứng minh Gợi ý: - Vẽ IK // AC  - Chứng minh định lý Talet đảo K C IH AD  IA AC DH  BI B BI  AK (1) DH // AK nhờ vào (2) H I K http://violet.vn/vanlonghanam D A DeThiMau.vn C GIÁO VIÊN: LẠI VĂN LONG TRƯỜNG THPT LÊ HỒN Bài 16: Cho hình thang vuông ABDC ( A  B  900 ) AC = m; BD = n Gọi H hình chiếu A BC, K thuộc đoạn HC cho DK  AK Gợi ý: Từ K vẽ KI // AC // BD  KI  AB; suy I trực tâm tam giác ABK  BI  AK (1) B HK n  Chứng minh HC m n D IK HK n BD     IK = BD Tứ AC HC m AC giác BDKI có BD = IK BD // IK  BDKI hình bình hành  DK // BI (2) Từ (1) (2)  DK  AK Vì IK // AC  H I Bài 17: Cho hình chử nhật ABEC Gọi H hình chiếu A BC; Trên đoạn BE HC lấy điểm D K cho BD HK  BE HC A K m Chứng minh AK  DK ( Giải tương tự 16 ) BÀI TẬP: ABC  ฀ ACB   Gọi D trung điểm cạnh BC; Cho tam giác ABC cố định có ฀ đường trịn (O) tiếp xúc với AB , AC thứ tự I K E , F thứ tự hai điểm thay đổi AB AC Xét mối quan hệ khẳng định sau để tạo toán tương tự ฀  (a) EDF (b) EF tiếp tuyến đường tròn (D;DI) (c) ED2 = EF EB (d) Chu vi  AEF ( AI + AK ) http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn C ... A cố định nằm góc xOy; B chạy Ox; C chạy Oy Tìm quỹ tích hình chiếu vng góc A BC CHUYÊN ĐỀ 4: KHAI THÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC ( SKKN: 08 – 09 ) http://violet.vn/vanlonghanam DeThiMau.vn GIÁO VIÊN:... -CHUYÊN ĐỀ 2: Định lí Talet hệ Tam giác đồng dạng Hệ thức lượng tam giác vuông * Những điểm lưu ý: 1- Định lý Talet tam giác đồng dạng đề cập tới tỉ số hai đối tượng... KI  BDKI hình bình hành; suy DK // BI (2) Từ (1) (2)  đpcm D B + Nếu lấy E đối xứng với B qua D tứ giác ABEC hình chử nhật từ ta có tốn sau: Bài 13: Cho hình chữ nhật ABEC Gọi H hình chiếu