Đang tải... (xem toàn văn)
Trong cuộc sống, bài toán cực trị có ứng dụng ở nhiều lĩnh vực khác nhau: tài chính, nông nghiệp, khoa học… Vì vậy, không thể bỏ qua được tầm quan trọng của bài toán cực trị trong kinh tế. Liệu việc vân dụng các bài toán cực trị sẽ giúp doanh nghiệp, người mua, người bán tối đa hóa sản lượng, lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí hay đưa ra những lựa chọn tiêu dùng tối ưu nhất trên thị trường không?
BÀI THẢO LUẬN Đề tài 4: Bài toán cực trị giải số vấn đề Kinh tế Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thu Thủy Nhóm thực hiện: nhóm 12 Lớp học phần: 20106AMAT1011 Danh sách thành viên nhóm 12 STT 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 Mã sinh viên 20D100258 20D100259 20D100271 20D100201 20D100202 20D100272 20D100203 20D100273 20D100204 20D100274 Họ tên Đinh Anh Tuấn Tùng Nguyễn Thị Hồng Tươi Lò Văn Ương Phạm Tú Uyên Trần Thị Thảo Vi Nguyễn Quang Vinh Phạm Quốc Vương Nguyễn Thị Thảo Vy Nghiêm Thị Hải Yến Phạm Thị Yến Đánh giá Mục lục Lời mở đầu Ⅰ Cơ sở lí thuyết Định nghĩa cực trị Điều kiện cần cực trị Điều kiện tăng, giảm, không đổi hàm Điều kiện đủ cực trị Giá trị lớn nhất, bé Cực trị hàm nhiều biến Ⅱ Ứng dụng thực tiễn Ví dụ Ví dụ Lời mở đầu Trong sống, tốn cực trị có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhau: tài chính, nơng nghiệp, khoa học… Vì vậy, bỏ qua tầm quan trọng toán cực trị kinh tế Liệu việc vân dụng toán cực trị giúp doanh nghiệp, người mua, người bán tối đa hóa sản lượng, lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí hay đưa lựa chọn tiêu dùng tối ưu thị trường không? Ⅰ CƠ SỞ LÍ THUYẾT Định nghĩa cực trị Nói hàm số y = f(x) đạt cực đại điểm x tồn lân cận x cho f(x) f(x0) với x thuộc lân cận Nói hàm số đạt cực tiểu x bất đẳng thức có chiều ngược lại: f(x) f(x0) với x thuộc lân cận Giá trị hàm điểm cực đại (cực tiểu) gọi giá trị cực đại (cực tiểu) kí hiệu () Giá trị cực đại hay cực tiểu có tên chung cực trị, kí hiệu Điều kiện cần cực trị Định lí (Fermat): Nếu hàm f(x) có cực trị x0 có đạo hàm f’(x0) = Điều ngược lại định lí khơng đúng, tức f’(x 0) = chưa kết luận hàm có cực trị x0 Điểm nghi ngờ: Định lí cho phép ta cần tìm cực trị điểm, gọi điểm nghi ngờ sau đây: 1) Tập điểm nghi ngờ loại 1: {x | f’(x) = 0} 2) Tập điểm nghi ngờ loại 2: {x tập xác định | f’(x) không tồn tại} Điều kiện tăng, giảm, không đổi hàm Định lí 2: Giả sử hàm f(x) khả vi (a;b) liên tục [a,b] Khi đó, nếu: • f’(x) > 0, f(x) tăng [a;b], • f’(x) < 0, f(x) giảm [a;b], • f’(x) 0, f(x) khơng đổi [a;b] Ví dụ: Hàm y = x liên tục R, có đạo hàm dương () (0,) Hàm số tăng (] [0,) Nghĩa là, hàm số tăng trục R f’(0) = Điều kiện đủ cực trị Điều kiện đủ thứ Định lí: Giả sử x0 điểm nghi ngờ y = f(x) hàm số liên tục x Khi đó: • Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f(x) đạt cực đại x0 • Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x f(x) đạt cực tiểu x0 • Nếu f’(x) giữ nguyên dấu dương dấu âm x qua x f(x) khơng có cực trị x0 Điều kiện đủ thứ hai Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm bậc nhất, bậc hai khoảng (a;b) chứa điểm x0 f’(x0) = Khi đó: • Nếu f’’(x0) < y = f(x) đạt cực đại x0 • Nếu f’’(x0) > y = f(x) đạt cực tiểu x0 Giá trị lớn nhất, bé Giá trị cực đại hay cực tiểu nói mang tính địa phương, nghĩa chúng giá trị lớn hay nhỏ lân cận đủ nhỏ điểm cực trị Trong nhiều trường hợp ta tính giá trị lớn hay nhỏ tập E cho trước (gọi tập ràng buộc) Giá trị lớn hay nhỏ mang tính chất tồn cục E, chúng ký hiệu y max;ymin Sau ta nêu kết luận cách tìm giá trị lớn nhỏ hàm liên tục tập đóng, giới nội Định lí: Nếu hàm y = f(x) liên tục đoạn [a,b] chắn hàm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lần đoạn Giá trị lớn [a,b], kí hiệu ymax xác định sau ymax = max{y(a);y(b);yctr} yctr kí hiệu giá trị cực trị hàm số [a,b] Tương tự ymin = min{y(a);y(b);yctr} Cực trị hàm nhiều biến Bài tốn tối đa hóa lợi nhuận cho doanh nghiệp sản xuất nhiều mặt hàng điều kiện cạnh tranh hoàn hảo Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa điều kiện cạnh tranh hồn hảo với mức giá P1, P2, , Pn Hàm chi phí C = C(, , …, ) với (i=) mức sản lượng thứ I mà doanh nghiệp sản xuất Tìm mức sản lượng,, …, mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại Phương pháp giải Gọi, , …, mức sản lượng cần tìm Doanh thu: Chi phí: ) Lợi nhuận: Bài tốn trở thành tìm để hàm đạt cực đại Ⅱ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Ví dụ 1: Doanh nghiệp sản xuất mặt hàng bút chì bút bi điều kiện cạnh tranh hồn hảo với giá bút chì = 5000VNĐ/bút, với giá bút bi = 3000VNĐ/bút Hàm chi phí C= Tìm mức sản lượng , để doanh nghiệp sản xuất đạt lợi nhuận cực đại Giải pháp: Gọi , mức sản lượng cần tìm bút bi bút chì Doanh thu: R== 5000+3000 Chi phí: C= Lợi nhuận: = R-C = 5000+3000 = 5000 = 3000 Điểm dừng nghiệm hệ: Hàm số có điểm dừng M (1000, 1000) ma trận H= = >0 Hàm số đạt cực đại M (1000, 1000), Vậy doanh nghiệp sản xuất để đạt lợi nhuận cực đại sản xuất 1000 bút chì 1000 bút bi Ví dụ 2: Nước Hà Nội (theo số liệu thống kê năm 2019) Q (lượng sử dụng) – 10m3 10m3 – 20m3 20m3 – 30m3 30m3 trở lên P (giá) 5793 7055 8760 15990 Để đơn giản hóa tập: 30m3 đầu 30m3 trở lên 7263 15990 (nguồn: https://nuocsachsinhhoat.com/gia-nuoc-sach-tai-ha-noi/? fbclid=IwAR0io08iBim6q5S3FYbLYtudTvLxm8ubJZVa_24QWDIQsQakfIqcEyL MiEc) Doanh nghiệp muốn đạt tối đa lợi nhuận số tiêu dùng nước nào? Giải pháp: Gọi Q1, Q2 số tiêu dùng nước Doanh thu: R= Chi phí: C= Lợi nhuận: Điểm dừng nghiệm hệ: Hàm số có điểm dừng M (1866, 3531) Ma trận H = Hàm số đạt cực đại M (1866, 3531) Vậy doanh nghiệp muốn đạt lợi nhuận tối đa số dùng nước người dân 30m3: 1866 (sản lượng), 30m3 3531 (sản lượng) 10 ... trị hàm điểm cực đại (cực tiểu) gọi giá trị cực đại (cực tiểu) kí hiệu () Giá trị cực đại hay cực tiểu có tên chung cực trị, kí hiệu Điều kiện cần cực trị Định lí (Fermat): Nếu hàm f(x) có cực. .. nghĩa cực trị Điều kiện cần cực trị Điều kiện tăng, giảm, không đổi hàm Điều kiện đủ cực trị Giá trị lớn nhất, bé Cực trị hàm nhiều biến Ⅱ Ứng dụng thực tiễn Ví dụ Ví dụ Lời mở đầu Trong sống,... Trong sống, tốn cực trị có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác nhau: tài chính, nơng nghiệp, khoa học… Vì vậy, khơng thể bỏ qua tầm quan trọng toán cực trị kinh tế Liệu việc vân dụng toán cực trị giúp doanh