PHƯƠNG PHÁP PTHH – MHCV ÁP DỤNG CHO HỆ THANH Ths Vũ Tiến Chương

PHƯƠNG PHÁP PTHH – MHCV ÁP DỤNG CHO HỆ THANH Ths Vũ Tiến Chương – BM CHKC – NUCE pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE Các loại PTHH Phân loại theo hình dạng phần tử - Các PTHH có hình dạng khác - Biên PTHH thẳng cong Phân loại theo số nút phần tử - Phần tử hữu hạn tuyến tính (bậc 1) - Phần tử hữu hạn bậc cao [2] pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE HỆ TỌA ĐỘ Hệ tọa độ địa phương Hệ tọa độ gắn liền với phần tử Hệ tọa độ chung Hệ tọa độ chung cho tất phần tử, cho toàn hệ  [3] pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE Các phương trình pp PTHH Phương trình cân PTHH thứ e a Phương trình cân PTHH thứ e hệ tọa độ địa phương: { } = [ ] { } Độ cứng phần tử phụ thuộc yếu tố: - - - Vật liệu (E, ) Kích thước tiết diện (A, I, ) Chiều dài (l) Liên kết b Phương trình cân PTHH thứ e hệ tọa độ chung: { ′} = [ ′] { ′} Phương trình cân tồn kết cấu Gộp tất phương trình cân phần tử hệ tọa độ chung ta phương trình: { } = [ ] { } Đưa vào điều kiện liên kết phần tử ta phương trình: { } = [ ] { } Đưa vào điều kiện biên hệ ta phương trình cân bằng: { ∗} =[ [4] ∗] { ∗} pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE I QUY TRÌNH GIẢI BÀI KẾT CẤU THEO PHƯƠNG PHÁP PTHH-MHCV ÁP DỤNG CHO HỆ THANH Rời rạc hóa kết cấu: - Chọn loại dạng PTHH thích hợp Rời rạc hóa kết cấu thành lưới PTHH Chuẩn bị số liệu: - Chọn trường chuyển vị Xác định đặt tên PTHH Xác định đặt tên nút Chọn hệ tọa độ địa phương cho phần tử Chọn hệ tọa độ chung cho toàn kết cấu Đặt tên thành phần chuyển vị nút Tính tốn thơng số hình học ( , , , ) tải trọng cho phần tử ( ( ), ( ), , , ) Xác định điều kiện biên ( ), ( ),…) Xác định số thông số khác ( , Thực tính tốn: a) Xác định thành phần phương trình cân cho phần tử hệ tọa độ địa phương: { } = [ ] ∙ { } (1.1) - Tùy theo loại phần tử, tính: [ ] , { } theo công thức lập sẵn tương ứng - Nếu phần tử có nhiều loại tải trọng tác dụng tính { } theo cách áp dụng nguyên lý cộng tác dụng b) Xác định thành phần phương trình cân cho phần tử hệ tọa độ chung: { } = [ ] ∙ { } (1.2) Tính tốn theo cơng thức sau: { } = [ ] { } (1.3) { } = [ ] { } = [ ] { } (1.4) ([ ] có tính trực giao nên [ ] =[ ] ) { } = [ ] { } (1.5) { } = [ ] { } (1.6) [ (1.7.1) ] = [ ] [ ] [ ] ⎡ ⎢− ⎢ ⎢ [ ] =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 − 0 [5] ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎦ (1.7.2) pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE (Cũng dùng cơng thức lập sẵn để tính tốn) Nếu áp dụng cách tính ma trận độ cứng trực tiếp ta bỏ qua bước c) , d) e) c) Xác định thành phần phương trình cân bằng: { } = [ Gộp ma trận [ ] , { } xếp theo thứ tự phần tử: ]∙{ } (1.8) { } = {{ } { } … { } } (1.9) { } = {{ } { } … { } } (1.10) [ [ ] ⎡ ]=⎢ ⎢ ⎣ 0 [ ] … [ ⎤ ⎥ ⎥ ] ⎦ (1.11) d) Khử trùng lặp phương trình (1.8) ta phương trình cân toàn hệ hệ tọa độ chung: { } = [ ] ∙ { } (1.12) - Từ { ’} khử trùng lặp  { } - Từ phương trình { } = [ ] { } ⇒ [ ] - Tính { } = [ ] ∙ { ′} - Tính [ ] = [ ] [ ] [ ] e) Khử suy biến phương trình (1.12) ta phương trình cân bằng: { ∗} = [ ∗] ∙ { ∗} (1.13) ∗ - Loại bỏ ẩn số biết theo điều kiện biên { } ⇒ { } - Loại bỏ thành phần { } tương ứng với vị trí loại bỏ ẩn { } ⇒ { ∗ } - Loại bỏ hàng & cột [ ] tương ứng với vị trí loại bỏ ẩn { } ⇒ [ ∗ ] f) Giải phương trình (1.13) suy { ∗ }: { ∗ } = [ ∗] { ∗ } (1.14) Xử lý kết quả: - Từ { ∗ } ⇒ { } ⇒ { } ⇒ Nội lực đầu (theo công thức lập sẵn) - Vẽ biểu đồ nội lực cách treo biểu đồ - Xác định chuyển vị bên phần tử thông qua trường chuyển vị [6] Ma trận độ cứng  Độ cứng: Lực cần thiết để tiết diện có chuyển vị R = K.q [q = K = R]  Ma trận độ cứng phần tử thanh: ⎡ ⎢ [ ]=⎢ ⎢ ⎢ ⎣  Ma trận độ cứng phần tử hai đầu ngàm: Từ tính giá trị ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE II PHẦN TỬ THANH CHỊU UỐN PHẲNG + KÉO (NÉN)  Phần tử đầu ngàm - đầu ngàm (N-N)  Hình dạng phần tử thông số - Chiều dài , , số  Hình Phần tử đầu ngàm  Tải trọng tác dụng - Tải phân bố dọc trục - Tải phân bố vng góc với trục - Tải tập trung đặt thanh: tải trọng dọc trục , tải trọng vng góc với trục & mômen tập trung  Ma trận độ cứng [ ] PTHH thứ e hệ tọa độ địa phương ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ [ ] =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 0 − − ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − ⎥ ⎥ ⎦ đ/ đó: =  = = = Ma trận độ cứng [ ’] PTHH thứ e hệ tọa độ chung [ ’] = [ ] [ ] [ ] [8] = 12 pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE − ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ] =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ [ − − − − − ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ − đ/ − đó: = ( = ) − =  = + = = cos ; + = sin Véc tơ lực nút tương đương { } hệ tọa độ địa phương  Tải trọng phân bố { } = 2 12 2 − 12  Tải trọng tập trung đặt { } =  − 2 + − − Véc tơ lực nút tương đương { ’} hệ tọa độ chung { } ={  − − + − + Xác định nội lực  Véc tơ lực nút riêng chuyển vị nút hai đầu phần tử e gây = [ ] { } = ⎧ ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ = + + + ( + ) + + + − − − − ( + ) + + + ⎧ − ⎪ ⎪ − ⎨ ⎪ ⎪ ⎩− ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ đó: = = = − = = = − [9] } pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE  Véc tơ nội lực hai đầu phần tử e ⎧ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ − − − − − − [ 10 ] − ⎧ ⎪ = − ⎬ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪− ⎭ ⎩ ⎫ ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE  Phần tử đầu khớp - đầu ngàm (K-N)  Hình dạng phần tử thông số - Chiều dài , , số  Hình Phần tử đầu khớp – đầu ngàm  Tải trọng tác dụng - Tải phân bố dọc trục - Tải phân bố vng góc với trục - Tải tập trung đặt thanh: tải trọng dọc trục , tải trọng vng góc với trục & mơmen tập trung  Ma trận độ cứng [ ] PTHH thứ e hệ tọa độ địa phương ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ [ ] =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 0 0 − 0 đ/ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − ⎥ ⎥ ⎦ đó: =  = = Ma trận độ cứng [ ’] PTHH thứ e hệ tọa độ chung [ ’] = [ ] [ ] [ ] [ 14 ] = pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ] =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ [ − − − − 0 − đ/ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ − ⎥ ⎥ ⎦ đó: = = ( =  = + − ) = = cos ; + = sin Véc tơ lực nút tương đương { } hệ tọa độ địa phương  Tải trọng phân bố { } = 8 −  Tải trọng tập trung đặt { } =  11 + 16 − − 16 Véc tơ lực nút tương đương { ’} hệ tọa độ chung { } ={  − 16 − + − + Xác định nội lực  Véc tơ lực nút riêng chuyển vị nút hai đầu phần tử e gây = [ ] { } = ⎧ ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪− ⎪ = ′ ′ 14 + 25 ⎫ ′ + ′ + ′⎪ 25 14 ⎪ − ′14 − ′ 25 ′ − 14 ′ + 14 ′ − 25 ′ + 25 ⎨ ⎪ ⎪ ⎩− ⎬ ′ ⎪ ⎪ ′ 6⎭ đó: = = = − = = = − [ 15 ] } pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE  Véc tơ nội lực hai đầu phần tử e ⎧ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ − − − − − [ 16 ] − ⎧ ⎪ = − ⎬ ⎨ ⎪ ⎪− ⎪ ⎭ ⎩ ⎫ ⎪ ⎪ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭ pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE III PHẦN TỬ THANH HAI ĐẦU KHỚP (K-K) PTHH với đầu trái khớp, đầu phải khớp Chiều dài l độ cứng EA số Tải trọng tác dụng: - Tải phân bố dọc trục t(x) Tải phân bố vng góc với trục p(x) Tải tập trung dọc trục T, tải tập trung vuông góc với trục P & mơmen tập trung M Ma trận độ cứng [K]i PTHH thứ i hệ tọa độ địa phương − 0 − 0 0 0 0 0 S0 -S0 0 0 S0 0 = [ 17 ] pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE Ma trận độ cứng [K’]e PTHH thứ e hệ tọa độ chung [K’]e = [T]T.[K]e.[T] C1 C3 -C1 -C3 C2 -C3 -C2 C1 C3 C2 Với: C1 = C2 = C3 = Véc tơ lực nút tương đương {R}e hệ tọa độ địa phương Tải trọng phân bố {R}e = Tải trọng tập trung đặt − {R}e = + Véc tơ lực nút tương đương {R’}e hệ tọa độ chung {R’}e = − + [ 18 ] − + pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE Xác định nội lực Véc tơ lực nút riêng chuyển vị nút hai đầu phần tử e gây {Rq}e = {Rq1 Rq2 Rq3 Rq4} {Rq}e = [K]e {q}e = − + − = − Với: N1 = S.Cx ; N2 = S.Cy ; N3 = N1.q’13 + N2.q’24 q’13 = q’1 – q’3 ; q’24 = q’2 – q’4 − ⎡ − =⎢ − ⎢− ⎣ − [ 19 ] − ⎤ ⎡ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣− ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE Phần tử chịu uốn phẳng Chiều dài l độ cứng EI số Tải trọng tác dụng: - Tải phân bố vng góc với trục p(x) Tải tập vng góc với trục P & mômen tập trung M Phần tử chịu uốn phẳng thường dùng để tính tốn dầm Nếu chọn hệ tọa độ địa phương trùng với hệ tọa độ chung (trục x trùng với trục dầm) thì: {q’}e = {q}e ; {R’}e = {R}e ; [K’]e = [K]e Phần tử hai đầu ngàm Ma trận độ cứng [K’]e PTHH thứ e − − − − − − D0 C0 -D0 C0 A0 -C0 B0 D0 -C0 A0 [ 20 ] pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE Véc tơ lực nút tương đương {R’}e Tải trọng phân bố {R’}e = − Tải trọng tập trung đặt − {R’}e = + − − Phần tử đầu ngàm – đầu khớp Ma trận độ cứng [K’]e PTHH thứ i − − − − 0 0 D3 D2 -D3 D1 -D2 D3 0 [ 21 ] − pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE Véc tơ lực nút tương đương {R’}e Tải trọng phân bố {R’}e = Tải trọng tập trung đặt − {R’}e = − + Phần tử đầu khớp – đầu ngàm Ma trận độ cứng [K’]e PTHH thứ e − − 0 − − D3 0 -D3 D2 0 D3 -D2 D1 [ 22 ] pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE Véc tơ lực nút tương đương {R’}e Tải trọng phân bố {R’}e = − Tải trọng tập trung đặt {R’}e = − [ 23 ] + − − pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE Cho hệ chịu tải trọng hình vẽ: Các có tiết diện hình trịn với đường kính D1 D2 tương ứng cho hình vẽ Số liệu: a = 400cm; D1 = 5cm; D2 = 8cm; P = 50kN; q = 0.1 kN/cm; M = 10000kN.cm; E = 2.1*104 kN/cm2 Yêu cầu: Tính [K*], {R*} {q*} Vẽ biểu đồ nội lực cho tồn hệ Rời rạc hóa kết cấu: Đặt tên phần tử, nút, ẩn số, chọn hệ tọa độ địa phương, hệ tọa độ chung hình vẽ: Lập bảng số liệu: BẢNG SỐ LIỆU PHẦN TỬ Tên PT Nút trái 3 Nút phải L 400 500 400 EA EI 412334.036 644271.931 1055575.13 4222300.53 412334.036 644271.931 [ 24 ] C S Loại PT 0.8 -0.6 N-N N-N N-K pp PTHH - MHCV Ths Vũ Tiến Chương - NUCE BẢNG SỐ LIỆU TẢI TRỌNG TÁC DỤNG TRÊN PHẦN TỬ Phần tử Tải trọng tác dụng phần tử T P M 30 -40 Tải trọng phân bố t p -0.1 BẢNG SỐ LIỆU NÚT Nút q’x q’1=0 q’4 q’7 q’10=0 Chuyển vị nút q’y q’2=0 q’5=0 q’8=0 q’11=0 q’z q’3=0 q’6 q’9 q’12 ko xác định x Tải trọng nút y z -10000 Giải toán theo phương pháp PTHH-MHCV với ẩn số q’4, q’6, q’7 q’9 Tính tốn cho phần tử: (sử dụng công thức lập sẵn)  Phần tử 1: Ngàm – Ngàm  Xác định [K] : = = = 1030.835089 = = 3221.359655 = = 6442.719309 = 24.16019741 = 12 = 0.120800987 Do phần tử có hệ tọa độ địa phương hệ tọa độ chung trùng nên: [ ] =[ ] = 1030.835089 0 -1030.83509 0 0.12080099 24.1601974 -0.12080099 24.1601974 24.1601974 6442.71931 -24.1601974 3221.35965 -1030.835089 0 1030.835089 0 -0.120800987 -24.16019741 0.120800987 -24.16019741 24.1601974 3221.35965 -24.1601974 6442.71931 (1) (2) (3) (4) (5) (6)  Xác định {R} {R′} : { } ={ } = { (1) (2)  Phần tử 2: Ngàm – Ngàm  Xác định [K ] : [ 25 ] (3) (4) (5) 0} (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6)