CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT - GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CẨM NANG CHO MÙA THI (LỚP 11 & ÔN THI THPT QUỐC GIA)

CẨM NANG CHO MÙA THI CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (LỚP 11 & ƠN THI THPT QUỐC GIA) NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Email: ng.huubien@gmail.com LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thân mến, tập giải phương trình lượng giác nội dung thường xuyên xuất đề thi đại học, kiến thức giải phương trình lượng giác em học chương trình giải tích lớp 11 kết hợp với công thức kiến thức tảng lớp 10 Để giải phương trình lượng giác, điều em cần phải biết cách học thuộc công thức biến đổi lượng giác bản, em cần học tập siêng năng, chuyên cần để đúc rút kinh nghiệm cho thân, từ biết phân chia dạng tốn kỹ thuật giải tương ứng để “đối phó” tốt với loại giải phương trình lượng giác đề thi Cuốn tài liệu CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC chắt lọc, đánh máy cơng phu, trình bày đẹp Nội dung hữu ích cho học sinh lớp 11, học sinh ôn thi đại học mơn Tốn q thầy giáo dạy Tốn THPT Tài liệu biên soạn tỉ mỉ, phân chia dạng tốn rõ ràng, cơng thức đầy đủ, phần có ví dụ minh họa hướng dẫn Học sinh bị gốc kiến thức lượng giác học lại từ đầu khơng khó khăn Hy vọng với tài liệu hữu ích này, em học sinh có “cẩm nang” để chinh phục phương trình lượng giác thi cử Tài liệu cịn vài khiếm khuyết, mong nhận ý kiến từ em học sinh độc giả Liên hệ tác giả: NGUYỄN HỮU BIỂN Fb: https://www.facebook.com/ng.huubien Email: ng.huubien@gmail.com ÔN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phần 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Hàm số y = sinx + TXĐ: D = R (Vì lấy giá trị x, thay vào hàm số ta tính y) + Tập giá trị: [ -1 ; ] (Vì giá trị tính y nằm đoạn [ -1 ; ], nghĩa −1 ≤ s inx ≤ ) + Hàm y = sinx hàm số lẻ (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D sin(-x) = - sinx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O) + Chu kỳ T = 2π (Vì sin(x + π) = s inx - Cứ biến số cộng thêm 2π giá trị hàm số trở cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau chu kỳ 2π - tính chất giúp vẽ đồ thị thuận tiện) + Bảng biến thiên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ) π x y = sinx π 0 + Đồ thị hàm số Hàm số y = sinx hàm số lẻ R, tuần hoàn với chu kỳ 2π Do muốn khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = sinx R, cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn [0;π] (nửa chu kỳ) sau lấy đối xứng qua gốc tọa độ O ta đồ thị đoạn [ −π; π] (1 chu kỳ), cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái, sang phải theo trục hồnh đoạn có độ dài 2π;4π;6π; *Nhận xét: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  π  π   + Hàm số y = sinx đồng biến khoảng  − + k.2π; + k.2π  π 3π  + Hàm số y = sinx nghịch biến khoảng  + k.2π; + k.2π  , k ∈ Z 2  Hàm số y = cosx + TXĐ: D = R (Vì lấy giá trị x, thay vào hàm số ta tính y) + Tập giá trị: [ -1 ; ] (Vì giá trị tính y nằm đoạn [ -1 ; ], nghĩa −1 ≤ cosx ≤ ) + Hàm y = cosx hàm số chẵn (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D cos(-x) = cosx: đồ thị đối xứng qua trục tung Oy) + Chu kỳ T = 2π (Vì cos(x + π) = cos x - Cứ biến số cộng thêm 2π giá trị hàm số trở cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau chu kỳ 2π - tính chất giúp vẽ đồ thị thuận tiện: ) + Bảng biến thiên đoạn [0;π] (trên nửa chu kỳ) π x y = cosx π -1 + Đồ thị hàm số Hàm số y = cosx hàm số chẵn R, tuần hồn với chu kỳ 2π Do đó, muốn khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = cosx R ta cần khảo sát vẽ đồ thị hàm số đoạn [0;π] (nửa chu kỳ), sau lấy đối xứng đồ thị qua trục Oy ta đồ thị đoạn [ −π; π] (1 chu kỳ), cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang trái, sang phải theo trục hồnh đoạn có độ dài 2π;4π;6π; Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Hàm số y = tanx π 2   + TXĐ: D = R \  + kπ / k ∈ Z  (Vì cos x ≠ ) + Tập giá trị: R + Hàm y = tanx hàm số lẻ (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D tan(-x) = - tanx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O) + Chu kỳ T = π (Vì tan(x + π) = tan x - Cứ biến số cộng thêm π giá trị hàm số trở cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau chu kỳ π )  π + Bảng biến thiên đoạn 0;  (nửa chu kỳ)  2 x y = tanx π +∞ 10 + Đồ thị hàm số π 2   Hàm số y = tanx hàm số lẻ R \  + kπ / k ∈ Z  , tuần hồn với chu kỳ π Do đó, muốn khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = tanx R ta cần khảo  π sát vẽ đồ thị hàm số đoạn 0;  (nửa chu kỳ), sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc  2  π π tọa độ O ta đồ thị đoạn  − ;  (1 chu kỳ), cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu  2 sang trái, sang phải theo trục hồnh đoạn có độ dài π;2π;3π; y = tanx Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC *Nhận xét:  π π  + Hàm số y = tanx đồng biến khoảng  − + k.π; + k.π  , k ∈ Z   + Hàm số khơng có khoảng nghịch biến π  + Mỗi đường thẳng vng góc với trục hồnh, qua điểm  + k.π;0  gọi đường 2  tiệm cận đồ thị hàm số y = tanx (Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = π + k.π làm đường tiệm cận) Hàm số y = cotx + TXĐ: D = R \ {kπ / k ∈ Z} (Vì sin x ≠ ) + Tập giá trị: R + Hàm y = cotx hàm số lẻ (Vì ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D cot(-x) = - cotx: đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O) + Chu kỳ T = π (Vì cot(x + π) = cot x - Cứ biến số cộng thêm π giá trị hàm số trở cũ - đồ thị hàm số lặp lại sau chu kỳ π )  π + Bảng biến thiên đoạn 0;  (nửa chu kỳ)  2 x y = cotx π +∞ + Đồ thị hàm số Hàm số y = tanx hàm số lẻ R \ {kπ / k ∈ Z} , tuần hồn với chu kỳ π Do đó, muốn khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = tanx R ta cần khảo sát vẽ  π đồ thị hàm số đoạn 0;  (nửa chu kỳ), sau lấy đối xứng đồ thị qua gốc tọa độ O  2  π π ta đồ thị đoạn  − ;  (1 chu kỳ), cuối tịnh tiến đồ thị vừa thu sang  2 trái, sang phải theo trục hồnh đoạn có độ dài π;2π;3π; Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC y = cotx *Nhận xét: + Hàm số y = tanx nghịch biến khoảng (k.π; π + k.π) k ∈ Z + Hàm số khơng có khoảng đồng biến biến + Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = k.π làm đường tiệm cận II BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng: + Hàm số y = sinx có TXĐ: D = R + Hàm số y = cosx có TXĐ: D = R π 2   + Hàm số y = tanx có TXĐ: D = R \  + kπ / k ∈ Z  (Vì cos x ≠ ) + Hàm số y = cotx có TXĐ: D = R \ {kπ / k ∈ Z} (Vì sin x ≠ ) BÀI TẬP: Tìm tập xác định hàm số sau 1) y= 5cos2 x − s inx + − s inx 3) y = + s inx − cos x 5) y = + sin 3x + 3cos 7) y = t anx + c otx 9) y = 2) y= + cos x x.sin x cos x − s inx + cos x 4) y = x+3 x−2 − cos x cos2 x 6) y = sin 2x 2x − 5cos x+3 2x − π 8) y = tan(2x + ) 10) y = + sin x + cos x Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 11) y = + tgx + sin x π  12) y = 2tgx + 3cot g  x −    HƯỚNG DẪN 1) Hàm số y= 5cos2 x − s inx + π xác định − s inx ≠ ⇔ s inx ≠ ⇔ x ≠ + k.2 π (k ∈ Z) − s inx π 2   Vậy TXĐ: D = R \  + k.2π, k ∈ Z  2) Hàm số y= cos x − s inx + π xác định cos x ≠ ⇔ x ≠ + k.π (k ∈ Z) cos x π 2   Vậy TXĐ: D = R \  + k.π, k ∈ Z  3) Vì + s inx ≥ − cos x ≥ với x nên − cos x ≠ Vậy hàm số y = + s inx ≥ với x thỏa mãn điều kiện − cos x + s inx xác định − cos x ≠ hay cos x ≠ ⇔ x ≠ k.2 π − cos x Vậy TXĐ: D = R \ {k.2π, k ∈ Z} 4) Vì − cos x ≥ cos2 x ≥ với x nên cos x ≠ ⇔ x ≠ − cos x ≥ với x thỏa mãn điều kiện cos2 x π π  + k.π Vậy TXĐ: D = R \  + k.π, k ∈ Z  2  5) Hàm số y = + sin 3x + 3cos x+3 xác định ⇔ x − ≠ ⇔ x ≠ x−2 Vậy TXĐ: D = R \ {2}  x ≠ −3 x + ≠ 2x 2x  6) Hàm số y = sin − 5cos xác định ⇔  ⇔ x+3 2x − x ≠ 2x − ≠    1 2 Vậy TXĐ: D = R \ −3;  7) tanx xác định x ≠ π + k.π, k ∈ Z , cotx xác định x ≠ k.π, k ∈ Z Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π  k.π x ≠ + k.π Vậy y = t anx + c otx xác định  (k ∈ Z) hay x ≠ (k ∈ Z) 2 x ≠ k.π  k.π  , k ∈ Z   TXĐ: D = R \   π π π π k.π 8) y = tan  2x +  xác định 2x + ≠ + k.π hay x ≠ + (k ∈ Z) 4  π 8 Vậy TXĐ: D = R \  + k.π  , k ∈ Z  + cos x có nghĩa khi: x.s inx ≠ ⇔ x ≠ kπ x.sin x Vậy tập xác định hàm số là: D = R \ {kπ / k ∈ Z} 9) Biểu thức y = 10) Do + sin x + cos x = (1 + sin x ) + (1 + cos x ) > Do hàm số y = + sin x + cos x xác định với x Vậy tập xác định hàm số là: D = R + tgx có nghĩa khi: + sin x π  π x ≠ + kπ   π x ≠ + k π   ⇔ ⇔ x ≠ + kπ  sin x ≠ −1  x ≠ − π + k 2π  π  Vậy tập xác định hàm số là: D = R \  + kπ / k ∈ ℕ  2  π  12) Biểu thức y = 2tgx + 3cot g  x −  có nghĩa : 3  π π    x ≠ + kπ  x ≠ + kπ ⇔   x − π ≠ kπ x ≠ π + k π   11) Biểu thức y = Vậy tập xác định hàm số là: π π π    D = D \ A ∪ B với A =  x / x ≠ + kπ  B =  x / x ≠ + k     2 Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN + cos x Bài Tìm tập xác định hàm số y = sin x Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ Tập xác định D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} Bài Tìm tập xác định hàm số y = sin x cos ( x − π ) Hướng dẫn: Hàm số xác định 3π + kπ , k ∈ ℤ 2  3π  Tập xác định D = ℝ \  + kπ , k ∈ ℤ    2π   Bài Tìm tập xác định hàm số y = tan  x +    Hướng dẫn: Hàm số xác định 2π  2π π π π  ⇔ cos  x + ≠ + kπ ⇔ x ≠ − + k , k ∈ ℤ  ≠ ⇔ 5x +  30  ⇔ cos ( x − π ) ≠ ⇔ x − π ≠ π + kπ ⇔ x ≠ π  π  Tập xác định D = ℝ \ − + k , k ∈ ℤ   30  + cos x Bài Tìm tập xác định hàm số y = − sin x Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ sin x ≠ ⇔ x ≠ π + k 2π , k ∈ ℤ π  Tập xác định D = ℝ \  + k 2π , k ∈ ℤ  2  + cos x Bài Tìm tập xác định hàm số y = − sin x Hướng dẫn: Hàm số xác định ⇔ sin x ≠ (luôn thoả với x) Tập xác định D = ℝ + sin x cos x + Hướng dẫn: Ta có −1 ≤ sin x ≤ −1 ≤ cos x ≤ nên + sin x > cos x + ≥  + sin x ≥ ( luoân thoaû )  Hàm số xác định ⇔  cos x + ⇔ cos x ≠ −1 ⇔ x ≠ π + kπ , k ∈ ℤ cos x + ≠ Tập xác định D = ℝ \ {π + kπ , k ∈ ℤ} Bài Tìm tập xác định hàm số y = Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC − 3cos x π  + sin  x −  2  Hướng dẫn: Ta có −1 ≤ cos x ≤ nên − 3cos x > π  Mặt khác + sin  x −  ≥ 2  Hàm số xác định  − 3cos2x ≥ 0( thoả )  π   1+ sin  2x −  π π π  2 ⇔ ⇔ sin  2x −  ≠ −1 ⇔ 2x − ≠ − + k 2π ⇔ x ≠ kπ , k ∈ ℤ  2 2   π  1+ sin  2x −  ≠ 2   Tập xác định D = ℝ \ {kπ , k ∈ ℤ} Bài Tìm tập xác định hàm số y = π  + cot  + x  3  Bài Tìm tập xác định hàm số y = π  tan  3x −  4  Hướng dẫn:  π  π π  π + x ≠ k x ≠ − + kπ sin  + x  ≠ 3         π π π π π   Hàm số xác định ⇔ cos  3x −  ≠ ⇔ 3x − ≠ + kπ ⇔  x ≠ + k , k ∈ ℤ 4 4     π π π  2   π  tan  x −  ≠  x − ≠ kπ  x ≠ 12 + k   4   π π π π  π  Tập xác định D = ℝ \ − + kπ , + k , + k , k ∈ ℤ  12   − tan x Bài Tìm tập xác định hàm số y = 2sin x − Hướng dẫn: π π π   x ≠ + k π x ≠ + k   cos x ≠   π π    Hàm số xác định ⇔  ⇔  x ≠ + k 2π ⇔  x ≠ + k 2π , k ∈ ℤ sin x ≠    3π 3π    x ≠ + k 2π  x ≠ + k 2π   π π 3π π  Tập xác định D = ℝ \  + k , + k 2π , + k 2π , k ∈ ℤ  4 8  Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π + cos x  Bài 10 Tìm tập xác định hàm số y = cot  x +  + 6 − cos x  + cos x Hướng dẫn: Vì −1 ≤ cos x ≤ nên + cos x ≥ − cos x ≥ ⇒ ≥ − cos x   π π π    sin  x +  ≠  x + ≠ kπ  x ≠ − + kπ Hàm số xác định ⇔   ⇔ ⇔ ,k ∈ ℤ 6 6 1 − cos x ≠  x ≠ k 2π  x ≠ k 2π   π  Tập xác định D = ℝ \ − + kπ , k 2π , k ∈ ℤ    Bài 11 Tìm tập xác định hàm số y = + sin x − tan x − Hướng dẫn: Vì −1 ≤ sin x ≤ nên + sin x ≥ Hàm số xác định π   + sin x ≥ ( thoả ) x ≠ ± + kπ   ≠ ± tan x   ⇔  tan x − ≠ ⇔ ⇔ , k, m ∈ ℤ  cos x ≠  cos x ≠  x ≠ π + kπ   π  π  Tập xác định D = ℝ \ ± + kπ , + kπ , k ∈ ℤ    π  + tan  + x  3  Bài 12 Tìm tập xác định hàm số y = cot x + Hướng dẫn: Hàm số xác định  cot x + ≠ ( thoả )  π π π π   π  + x ≠ + kπ x ≠ + k  ⇔  cos  + x  ≠ ⇔3 ⇔ 12 ,k ∈ ℤ     x ≠ kπ  x ≠ kπ  sin x ≠  π π  Tập xác định D = ℝ \  + k , kπ , k ∈ ℤ  12  Dạng 2: TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng: + Hàm số y = sinx y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T = π Mở rộng: Hàm số y = sin(ax + b) y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ: T = 2π a + Hàm số y = tanx y = cotx tuần hoàn với chu kỳ T = π Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 10 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Mở rộng: Hàm số y = tan(ax + b) y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T = π a + Nếu hàm số f(x) có chu kỳ T1 , hàm số g(x) có chu kỳ T2 hàm số y = f (x) + g(x) có chu kỳ T = k.BCNN(T1 ;T2 ) Bài 1: Chứng minh hàm số y = f(x) = sin2x tuần hoàn với chu kỳ T = π , tức là: f(x + π ) = f(x), ∀x (*) T = π số dương nhỏ thỏa mãn điều kiện (*) Hướng dẫn HS y = f(x) = sin2x có TXĐ: D = R ∀x ∈ D , ta có: f(x + π) = sin 2(x + π ) = sin(2x + π ) = sin 2x = f(x) Giả sử có số T0 cho: < T0 < π f(x + T0 ) = f(x), ∀x Cho x = ⇒ π π π π π , ta được: sin 2( + T0 ) = sin ⇒ sin( + 2T0 ) = sin = 4 2 π π + 2T0 = + k.2 π (k ∈ Z) ⇒ T0 = k π (k ∈ Z) Điều trái với giả thiết < T0 < π 2 Nghĩa T = π số dương nhỏ thỏa mãn điều kiện f(x + T) = f(x), ∀x Vậy y = sin2x hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π Bài 2: Tìm chu kỳ hàm số sau π 1) y = sin 3x 2) y = 4cos (5x + ) π 4) y = cot(−5x + ) π  3) y = tan(3x − 2) x     5) y = sin  − x  + tan   3 6) y = tan 4x − cos8x 1− + cos8x Hướng dẫn 1) y = sin 3x = − cos6x Vậy hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ T = π 2π π = π 2) y = 4cos (5x + ) = + 2cos(10x + ) Vậy hàm số cho tuần hoàn với chu kỳ T= 2π π = 10 3) y = tan(3x − 2) hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 11 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π 4) y = cot(−5x + ) hàm số tuần hoàn với chu kỳ T = π  π π = −5 x     5) Ta thấy hàm số f (x) = sin  − x  có chu kỳ T1 = 2π Hàm số g(x) = tan   có chu kỳ 3 T2 = 3π Vậy hàm số y co chu kỳ T = 6π 6) Ta có : sin 4x tan 4x (1 + cos8x ) cos4x cos 4x 2sin 4x.cos4x sin 8x tan 4x y= = = = = = tan 8x + cos8x − + cos8x cos8x cos8x cos8x cos8x + cos8x π Vậy hàm số y có chu kỳ T = Dạng 3: XÉT TÍNH CHẴN - LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng: + Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D Hàm số f gọi hàm số chẵn với x thuộc D, ta có x thuộc D (D tập đối xứng) f(-x) = f(x) + Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D Hàm số f gọi hàm số lẻ với x thuộc D, ta có x thuộc D (D tập đối xứng) f(-x) = -f(x) BÀI TẬP: Xét tính chẵn - lẻ hàm số sau 1) y = x + cos5x 2) y = cos x + sin x 3) y = sin x sin 2x 4) y = 5) f (x) = 3sin x − 6) f (x) = s inx − cos x 7) f (x) = s inx.cos x + t anx 8) f (x) = sin 2x − cos3x c otx + cos x Hướng dẫn 1) Hàm số y = f(x) = x + cos5x có TXĐ: D = R Ta có x ∈ D ⇒ − x ∈ D ∀x ∈ D, f(− x) = − x + cos(−5x) = x + cos5x = f(x) Vậy f(x) hàm số chẵn 2) Hàm số y = f(x) = cos x + sin x có TXĐ: D = R Ta có x ∈ D ⇒ − x ∈ D ∀x ∈ D, f(− x) = 3cos(− x) + sin (− x) = cos x + (− s inx)2 = cos x + sin x = f(x) Vậy f(x) hàm số chẵn 3) Hàm số y = sin x sin 2x có TXĐ: D = R Ta có x ∈ D ⇒ − x ∈ D Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 12 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ∀x ∈ D, f(− x) = sin (− x) sin(−2x) = − sin x sin 2x = − f(x) Vậy y = f(x) = sin x sin 2x hàm số lẻ 4) Hàm số y = f(x) = ∀x ∈ D, f(− x) = c otx có TXĐ: D = R \ {k.π / k ∈ Z} Ta có x ∈ D ⇒ − x ∈ D + cos x cot(− x) c otx =− = − f(x) Vậy f(x) hàm số lẻ + cos (− x) + cos x f (− x) ≠ f (x) f (− x) ≠ −f (x) 5) TXĐ: D = R Ta có x ∈ D ⇒ − x ∈ D Xét f (− x) = −3sin x − ⇒  Vậy f(x) không hàm chẵn không hàm lẻ f (− x) ≠ f (x) f (− x) ≠ −f (x) 6) TXĐ: D = R Ta có x ∈ D ⇒ − x ∈ D Xét f (− x) = − s inx − cos x ⇒  Vậy f(x) không hàm chẵn không hàm lẻ 7) TXĐ: D = R Ta có x ∈ D ⇒ − x ∈ D Xét f (− x) = − s inx.cos x − t anx = − ( s inx.cos2 x + t anx ) = −f (x) Vậy f(x) hàm số lẻ 8) Vậy f(x) không hàm chẵn không hàm lẻ Dạng 4: TÌM MIN - MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Lý thuyết vận dụng: Ta có: −1 ≤ sin(ax + b) ≤ 1, ∀x ∈ R, −1 ≤ cos(ax + b) ≤ 1, ∀x ∈ R BÀI TẬP: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số π 1) y = 2cos(x + ) + 2) y = sin x 3) y = + sin x cos x 4) y = + s inx − 5) y = − sin ( x ) − 6) f(x) = − sin 2 x 7) f(x) = 2cos2x – cosx + 8) f(x) = sin2x – 4sinx – Hướng dẫn π  1) ∀x , ta có: −1 ≤ cos  x +  ≤ nên  3 π π   −2 ≤ 2cos  x +  ≤ ⇔ ≤ 2cos  x +  + ≤ ⇔ ≤ y ≤ 3 3   Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 13 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC π π   ⇒ y = ⇔ cos  x +  = −1, y max = ⇔ cos  x +  = 3 3   2) ∀x ≥ , ta có: −1 ≤ sin x ≤ ⇔ −4 ≤ sin x ≤ ⇔ −4 ≤ y ≤ ⇒ y = −4 ⇔ sin x = −1, y max = ⇔ sin x = 1 3) Ta có: y = + sin x cos x = + sin 2x ∀x , ta có: −1 ≤ sin 2x ≤ nên: − 1 1 1 23 25 ≤y≤ ≤ sin 2x ≤ ⇔ − ≤ + sin 2x ≤ + ⇔ 8 8 8 8 Vậy giá trị lớn y 25 đạt khi: sin2x = Vậy giá trị nhỏ y 23 đạt khi: sin2x = -1 4) ∀x , ta có: −1 ≤ s inx ≤ ⇔ ≤ + s inx ≤ ⇔ ≤ + s inx ≤ ⇔ −3 ≤ + s inx − ≤ − ⇔ −3 ≤ y ≤ − Vậy giá trị lớn y − đạt khi: sinx = Vậy giá trị nhỏ y -3 đạt khi: sinx = -1 5) Hàm số: y = − sin ( x ) − có tập xác định D = R Với x ∈ R ta có: −1 ≤ − sin ( x ) − ≤ − ⇔ −1 ≤ y ≤ − *) ymax = − ⇔ sin ( x ) = −1 ; *) ymin = −1 xảy khi: sin ( x ) = 6) Do ≤ sin22x ≤1 ⇒ – sin22x > 0, ∀ x ∈ ℝ Vậy hàm số f(x) = − sin 2 x xác định với ∀ x ∈ ℝ Ta có ≤ sin22x ≤1 ⇒ < – sin22x ≤ 9, ∀ x ∈ ℝ ⇒ y = ⇔ sin x = 1, y max = ⇔ s in x = 7) Hàm số f(x) = 2cos2x – cosx + xác định với ∀ x ∈ ℝ Đặt t = cosx, -1 ≤ t ≤ Xét hàm số F(t) = 2t2 – t + có bảng biến thiên sau: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 14 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC t -∞ -1 F(t) +∞ Từ ta có: ⇒ y max = ⇔ cos x = −1, y = ⇔ cos x = 8) Hàm số f(x) = sin2x – 4sinx – xác định với ∀ x ∈ ℝ Đặt t =sinx, –1 ≤ t ≤ Ta có: F(t) = t2 – 4t – t -∞ F(t) -1 +∞ -5 ⇒ y max = ⇔ sin x = −1, y = −5 ⇔ s inx = Dạng 5: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, vẽ đồ thị hàm số y = s inx Hướng dẫn x -2π -π O π 2π  s inx nÕu sinx ≥ (y ≥ 0)  − s inx nÕu sinx < Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có: s inx =  Như vậy, đồ thị hàm số y = s inx trục số suy cách sau: + Phần đồ thị với s inx ≥ lấy (giữ nguyên) (Vì s inx = s inx nÕu sinx ≥ ) + Phần đồ thị với s inx < lấy đối xứng qua trục hồnh (Vì s inx = − s inx nÕu sinx < ) Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x + Suy đồ thị hàm số y = sin 2x Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 15 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC + Tìm khoảng đồng biên - nghịch biến hàm số y = sin2x + Tìm khoảng để hàm số y = sin2x nhận giá trị dương - giá trị âm Hướng dẫn * Ý 1: Vẽ đồ thị hàm số y = sin2x + TXĐ: R + Chu kỳ T = 2π =π + Hàm số y = sin2x hàm lẻ, đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ  π + Xét BBT hàm số y = sin2x nửa chu kỳ 0;   2 x y = sin2x π π  π (Hàm số y = sin2x nửa chu kỳ 0;  hàm số y = sinx nửa chu kỳ [0; π] )  2 + Đồ thị hàm số -π - π π π O π x π -1 * Ý 2: Suy đồ thị hàm số y = sin 2x + Vì y = sin 2x ≥ nên đồ thị hàm số y = sin 2x suy từ đồ thị hàm số y = sin 2x cách: - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = sin 2x với y ≥ - Lây đối xứng phần cịn lại qua trục Ox Ta có đồ thị hình bên dưới: Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 16 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC x -π - π - O π π π π * Ý 3:  π  π   + Hàm số đồng biến khoảng  − + kπ; + kπ  , k ∈ Z π 3π  + Hàm số nghịch biến khoảng  + kπ; + kπ  , k ∈ Z 4  * Ý 4:   π   + y ≥ khoảng  kπ; + kπ  , k ∈ Z  π    + y ≤ khoảng  − + kπ; kπ  , k ∈ Z Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 17 CÁC KỸ THUẬT PHỔ BIẾN NHẤT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I NHẮC LẠI CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ cot α  cot Cách nhớ trục lượng giác + cosin trục nằm ngang + song song với có chàng cot + cịn sin đứng thẳng băng + đối diện với có tan đứng chờ M sin α cos {
α t } tan α cosα sin tan • − ≤ sin α ≤ 1, ∀α • − ≤ cosα ≤ 1, ∀α • sin(α + k 2π ) = sin α , k ∈ ℤ • cos(α + k 2π ) = cosα , k ∈ ℤ • tan(α + kπ ) = tan α , k ∈ ℤ • cot(α + kπ ) = cot α , k ∈ ℤ Sáu công thức cos2 α (5) + cot2 α = sin2 α (1) sin2 α + cos2 α = (4) + tan α = sin α cos α cos α (3) cot α = sin α (2) tan α = (6) tan α cot α = Công thức cộng - trừ: cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin rõ ràng cos đổi dấu chàng sin giữ dấu xin nàng nhớ cho tan tổng lấy tổng tan, chia trừ tích với tan - dễ mà (1) cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b (2) cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b (3) sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a (4) sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a tan a + tan b − tan a tan b tan a − tan b (6) tan (a − b) = + tan a tan b (5) tan (a + b) = Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 18