TÀI LIỆU HỌC TẬP KHỐI NGÀNH KINH TẾ - GIẢI TÍCH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VĂN LANG Bộ môn Khoa học tự nhiên – Khoa Khoa học TÀI LIỆU HỌC TẬP KHỐI NGÀNH KINH TẾ Thành phố Hồ Chí Minh – 2017 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích tốn học cung cấp cơng cụ hỗ trợ q trình tính tốn, mơ hình, phân tích, dự báo, quản lý hoạt động kinh doanh, đầu tư Vì vậy, nắm vững kiến thức giải tích từ học phần Giải tích C ln u cầu sinh viên khối ngành kinh tế Tài liệu biên soạn nhằm phục vụ giảng dạy học phần Nội dung tài liệu chủ yếu tham khảo từ CALCULUS tác giả JAMES STEWART (xem Tài liệu tham khảo [1]) Ưu sách viết khơng nặng lý thuyết tốn, dẫn dắt rõ ràng, nhiều hình ảnh minh họa sinh động, dễ hiểu, tập phong phú Ngồi ra, nhóm biên soạn có chọn lọc, bổ sung ứng dụng phù hợp với sinh viên khối ngành kinh tế Đặc biệt, chúng tơi đưa vào số ví dụ tập mô số vấn đề thực tế Việt Nam Với cách tiếp cận vậy, tài liệu hy vọng giúp sinh viên có hứng thú dễ dàng nắm kiến thức tốn giải tích bậc đại học Dù cố gắng song tài liệu khó tránh khỏi thiếu sót Nhóm biên soạn mong nhận góp ý quý bạn đọc để nội dung tài liệu hồn chỉnh Chúng tơi xin chân thành cám ơn Hồ Chí Minh, 2017 i MỤC LỤC Trang Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 1.1 Hàm số 1.2 Giới hạn hàm số 20 1.3 Giới hạn dãy số 35 1.4 Liên tục 38 Bài tập Chương 44 Chương 2: ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Đạo hàm tốc độ biến thiên 55 2.2 Các quy tắc tính đạo hàm 61 2.3 Đạo hàm hàm ẩn 70 2.4 Vi phân 76 2.5 Các ứng dụng đạo hàm 77 Bài tập Chương 99 Chương 3: TÍCH PHÂN 3.1 Nguyên hàm 108 3.2 Tích phân xác định 109 3.3 Tích phân bất định 121 3.4 Các kỹ thuật tính tích phân 122 3.5 Tích phân suy rộng 134 3.6 Ứng dụng kinh tế 140 ii Bài tập Chương 145 Chương 4: HÀM NHIỀU BIẾN 4.1 Các định nghĩa 152 4.2 Giới hạn liên tục 154 4.3 Đạo hàm vi phân 157 4.4 Giá trị cực đại giá trị cực tiểu 163 4.5 Ứng dụng kinh tế 169 Bài tập Chương 176 Chương 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 5.1 Phương trình vi phân tổng quát 182 5.2 Phương trình vi phân cấp 182 5.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 188 5.4 Ứng dụng kinh tế 197 Bài tập Chương 200 TÀI LIỆU THAM KHẢO 203 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN (FUNCTIONS AND LIMITS) 1.1 HÀM SỐ ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ (DEFINITION OF FUNCTIONS) Để nghiên cứu tượng tự nhiên xã hội, người ta cần biểu diễn toán học để mơ tả đại lượng, yếu tố liên quan đến đối tượng xét Việc nhận biết mối quan hệ đại lượng giúp cho việc mô tả trở nên đơn giản xác Hàm số xuất có đại lượng phụ thuộc vào đại lượng khác Ví dụ 1: a Diện tích A hình trịn phụ thuộc vào bán kính r theo công thức A   r Với số dương r cho giá trị A tương ứng, ta gọi A hàm theo r b Trong kinh tế học, xét thời gian định, lượng cầu (quantity demanded) loại hàng hóa/ dịch vụ số lượng loại hàng hóa/dịch vụ mà người mua muốn mua có khả mua ứng với mức giá (price) định (giả sử nhân tố khác không thay đổi) Với mức giá P cho tương ứng giá trị lượng cầu Qd , ta gọi Qd hàm theo P c Giá tiền C để chuyển phát nhanh thư phụ thuộc vào cân nặng w Một bưu điện quy định cước phí theo cân nặng sau: cân nặng đến ounce có cước phí 0.88 dollar, cân nặng từ ounce đến ounce có cước phí 1.05 dollar… Với giá trị w cho tương ứng giá trị C Ta gọi C hàm theo w ĐỊNH NGHĨA: Cho D E tập tập số thực (real) Hàm số (function) f quy tắc cho tương ứng phần tử x tập D với phần tử f ( x) tập E Giá P (1000 đồng/bộ) Lượng cầu Qd (1000 bộ/tuần) 40 160 80 120 120 80 160 40 200 w (ounce) C ( w) (dollar)  w 1 0.88 1 w  1.05 2 w3 1.22 3 w 1.39 4 w5 1.56 12  w  13 2.92 Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN D gọi miền xác định (domain), E gọi miền giá trị (range), x gọi biến độc lập (independent variable), y  f ( x) gọi biến phụ thuộc (dependent variable) Đồ thị (graph) hàm f tập hợp tất điểm ( x, y) thỏa y  f ( x) , với x  D Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số hình bên: a Tính giá trị f (1) , f (5) f (7) b Cho biết miền xác định miền giá trị f Giải: f (1)  , a b f (5)  0.7 , f (7)  Miền xác định: D  [0, 7] Miền giá trị: E  [  2, 4] Ví dụ 3: Vẽ đồ thị, tìm miền xác định miền giá trị hàm số sau: f ( x)  x  a b g ( x)  x Giải: a Đây phương trình đường thẳng có hệ số góc Miền xác định: D  Miền giá trị: E  b Đây phương trình parabol, đỉnh A(0, 0) Miền xác định: D  Miền giá trị: E  [0, ) 1.1 HÀM SỐ Ví dụ 4: Tìm miền xác định hàm số sau: f ( x)  x  a b g ( x)  x x Giải: a Căn bậc hai số thực âm không định nghĩa, miền xác định f tập hợp tất giá trị x thỏa mãn x    x  2 Vậy miền xác định f D  [  2, ) b Hàm g ( x) xác định mẫu số khác Miền xác định g : D  x  x  0, x  1  (, 0)  (0, 1)  (1, ) TIÊU CHUẨN ĐƯỜNG THẲNG ĐỨNG: Đường cong mặt phẳng Oxy đồ thị hàm f khơng có đường thẳng đứng cắt đường cong nhiều điểm Ví dụ, parabol hình vẽ (a) đồ thị hàm theo x có đường thẳng đứng cắt đồ thị hai điểm Tuy nhiên, xem x hàm theo y (a) đồ thị hàm x  y  Vì x  y   y  x   y   x  nên (b) đồ thị hàm y  x  , (c) đồ thị hàm y   x  HÀM ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA TỪNG MIỀN (PIECEWISE DEFINED FUNCTIONS) Các hàm sau định nghĩa công thức khác tập khác miền xác định Chương 1: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Ví dụ 5: Hàm giá trị tuyệt đối:  x, x  y x    x, x  Ví dụ 6: Cho hàm số f xác định   x, x  f ( x)   x , x   Tính f (0) , f (1) , f (2) vẽ đồ thị hàm số cho Giải: Vì   f (0)    ,   f (1)    ,   f (2)  22  Với hàm f cho, nhận xét:  Nếu x  1, giá trị f ( x)  x : phần đồ thị hàm f đường thẳng y   x nằm phía bên trái đường thẳng x   Nếu x  , giá trị f ( x) x : phần lại đồ thị hàm f parabol y  x nằm phía bên phải đường thẳng x  Ví dụ 7: Tìm cơng thức biểu diễn hàm số f có đồ thị hình sau Giải: Bằng cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm, cơng thức cần tìm đồ thị hàm f cho là:  x 1  x,  f ( x)  2  x,  x  0, x2  Ví dụ 8: Trong Ví dụ 1c đầu mục này, chi phí phân phát C ( w) thư chuyển phát nhanh có cân nặng w hàm định nghĩa miền theo bảng giá:  0.88,  w  1.05,  w   C ( w)  1.22,  w  1.39,  w    Hàm có dạng gọi hàm bước nhảy (step function)