Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số 1.. Viết phương trình tiếp tuyến của C , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại ,A B sao cho AB= 2IB
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT BÌNH PHƯỚC NĂM HỌC 2013 - 2014
(Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 03/10/2013
Câu I:(THPT:4,0 điểm; GDTX: 4,0 điểm) Cho hàm số: 2 3
2
x y x
−
=
− (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1).
2 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận
ngang lần lượt tại ,A B sao cho AB= 2IB, với (2, 2)I
Câu II:(THPT:5,0 điểm; GDTX: 6,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình:
2
2
x y
¡
2 Giải phương trình: sin 2 3tan 2 sin 4
2.
tan 2 sin 2
−
Câu III:(THPT:4,0 điểm; GDTX:4,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có (5, 7) A − , điểm C thuộc
vào đường thẳng có phương trình: x y− + =4 0 Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn
AB có phương trình: 3 x−4y−23 0= Tìm tọa độ của B và C , biết điểm B có hoành độ dương.
2 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( , ) O R Gọi , P Q lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ »AB , »AC sao cho , , P Q O thẳng hàng Gọi D , E lần lượt là hình chiếu vuông góc của
P lên các đường thẳng BC AB tương ứng và ', ', D E lần lượt là hình chiếu vuông góc của Q lên
các đường thẳng BC AC Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng DE và ' ', D E Tìm giá trị lớn
nhất của diện tích tam giác KDD (theo R ).'
Câu IV:(THPT:3,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng ( SCD và) mặt phẳng đáy bằng 60 0
1 Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và DB theo a
Câu V:(THPT:2,0 điểm; GDTX:3,0 điểm) Cho , , a b c là ba số dương Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1
P
Câu VI:(THPT:2,0 điểm) Cho dãy số ( ) u được xác định: n 1
2
2 2013 (2 9 ) 2 (2 5 ), 1
u
=
Xét dãy số 1 2
n n
n
u
v
− − L − Tìm limv n
-HẾT -• Thí sinh không được sử dụng tài liệu
• Giám thị không giải thích gì thêm.
Lưu ý: Đối với thí sinh học tại các trung tâm GDTX thì không làm câu VI.
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BÌNH PHƯỚC CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 (Hướng dẫn chấm có 06 trang) MÔN: TOÁN
Ngày thi: 03/10/2013
ĐỐI VỚI THÍ SINH THPT
2
x y x
−
=
2,0
lim 2
x
y
→±∞ = ⇒ phương trình đường TCN: y = 2
lim ;lim
→ = −∞ → = +∞ ⇒ phương trình đường TCĐ: x = 2
0,5
/
2
1 0 2
x
−
−
⇒ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Hàm số không có cực trị
0,5
Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm
cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB= 2IB, với I(2;2).
2,0
Trang 3Gọi 0 0
0
2
x
x
PTTT của (C) tại M:
2
1
0,5
Do AB= 2IB và tam giác AIB vuông tại I ⇒ IA = IB nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1 vì / ( )2
1 0 2
y x
−
= <
− nên ta có hệ số góc tiếp tuyến k =
-1
0,5
0 2
0 0
1 1
1
3 1
x x x
=
−
⇒ có hai phương trình tiếp tuyến:
y= − +x 2; y= − +x 6 0,5
II 1
Giải hệ phương trình:
2
, 2
x y
x y
+ + + =
¡
2,5
Đk:
1 2 1 2
x y
≥ −
≥ −
0,5
2 4 0 ( )
x y
+ − =
4
2
2 2
2
4
2
xy
+ =
⇔
1,25
Hệ đã cho tương đương:
1
3
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: 1 3; , 3; 1
− −
0,75
2
2 tan 2 sin 2
−
2,5
Đk: cos 2 0 tan 2 sin 2 0
x
≠
0,5
Trang 43sin 2x+tan 2x+sin 4x =0
3sin 2 cos 2 sin 2 sin 4 cos 2 0 cos 2 1 sin 2 sin 4 0
2 cos 2 1
cos 2 1 0
sin 2 0
1 cos 2
x x
π π π
π π
= +
+ =
= −
0,75
Nghiệm
3
x= ± +π kπ
thỏa mãn (*) Phương trình có 2 họ nghiệm:
3
x= ± +π kπ
0,5
(5, 7)
Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình:
2,0
Gọi C c c( ; + ∈4) d1, M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 3x – 4y – 23 = 0
Ta có AIMV đồng dạng CIDV 2 2 10; 10
⇒ = ⇒ uur= uur⇒ ÷
0,5
Mà I d∈ 2 nên ta có: 3 10 4 10 23 0 1
c
Vậy C(1;5)
0,5
Ta có: 2
M ∈ ⇒d M t − ⇒B t− −
AB= t− + CB= t− −
0,5
Do 0 4( 5) ( 3) 1(3 5 3 19) ( ) 0 129
4
5
t
t
=
=
uuur uuur
( 3; 3) ( )
33 21
;
33 21
5 5
B B
− −
0,5
D , E lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng BC AB,
2,0
Trang 5Chứng minh góc ∠DKD' 90= 0
Kẻ KH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có:
( / / )
∠ = ∠ (tứ giác PEBD nội tiếp)
2
Tương tự, ta chứng minh được: ' 1 »
2
D KH sd AQ
2
∠ = ∠ + ∠ = = (do PQ là đường kính)
0,5
Thật vậy, xét hình thang vuông DPQD vuông tại D và D’ nên ' DD'≤QP=2R
, dấu “=” xảy ra khi PQ BC/ /
0,5
Xét tam giác DKD Ta có: '
2
'
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác DKD bằng ' R khi 2 PQ BC/ /
1,0
cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa mặt phẳng
(SCD và mặt phẳng đáy bằng ) 60 0
1,5
H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD 0,5
Trang 6Ta có: ( ) ( ) ( )
3 2
a
SH =
Góc giữa (SCD) và mặt đáy là 0
60
SMH
tan 60 2
.
S ABCD
V
Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng ∆ đi qua H , ∆⊥ d và ∆ cắt d tại J, ∆ cắt BD tại I trong (SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K
Khi đó: d(BD SA, ) =d(I S d,( , )) =2d(H S d,( , )) =2d(H SBD,( )) =2HK
0,5
10
IH
Xét SHIV vuông tại H, ta có: 1 2 12 12 3
8
a HK
HK = HS + HI ⇒ =
Vậy ( , ) 3
4
BD SA
a
0,5
1
P
2,0
a + + + ≥b c + + + = a b+ + +c ≥ a b c+ + +
0,75
a+ b+ c+ ≤ + + + + + = + + +
0,75
P
= ( )3
2 54
( )
2 f t
+ với t a b c= + + +1 (t >1)
0,75
4 2
4
2 162
1( ) 2
t
t loai
=
f’(t)
f(t)
0
-1/4
Trang 7Vậy giá trị lớn nhất của 1
4
P= khi
3
1 1
a b c
c
+ + =
=
VI
2
2 2013 (2 9 ) 2 (2 5 ), 1
u
=
.
n n
n
u
v
2,0
Ta có u n ≠ ∀ ≥0 n 1.
1
u
+
+
−
2
1
9
Đặt n 2
n
x u
= ∀ ≥n 1 Khi đó ta có dãy mới ( )x được xác định bởi: n
1
2 1
2013
x
=
0,25
x + −x =x − x + −x = x − ≥
Do x1 =2013 3> nên x n+1−x n >0 suy ra dãy ( )x là dãy tăng n
0,25
Giả sử (xn) bị chặn, do dãy tăng và bị chặn nên tồn tại giới hạn hữu hạn
Giả sử dãy (xn) có giới hạn hữu hạn, đặt limx n =a, (a>2013) .
Từ công thức truy hồi x n+1 =x n2 −5x n+9 Lấy giới hạn hai vế, ta được: a a= 2−5a+ ⇔ =9 a 3 (không thỏa mãn)
Do đó dãy đã cho không có giới hạn hữu hạn
0,5
Ta có:
1
1
n n
n
u u
v
1
n
∀ ≥
Mà:
1
x = x −x +
0,5
Do đó, ta có:
n
v
Mà limx n = +∞ nên lim 1
1005
n
v =
0,5
Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn chấm điểm tối đa.
Trang 8SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BÌNH PHƯỚC CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 (Hướng dẫn chấm có 06 trang) MÔN: TOÁN
Ngày thi: 03/10/2013
ĐỐI VỚI THÍ SINH HỌC TẠI CÁC TRUNG TÂM GDTX
2
x y x
−
=
số
2,0
lim 2
x
y
→±∞ = ⇒ phương trình đường TCN: y = 2
lim ;lim
→ = −∞ → = +∞ ⇒ phương trình đường TCĐ: x = 2
0,5
/
2
1 0 2
x
−
−
⇒ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Hàm số không có cực trị
0,5
Giao điểm với trục tung: A(0; 3/2)
2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm 2,0
Trang 9cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho AB= 2IB, với I(2;2).
Gọi 0 0
0
2
x
x
PTTT của (C) tại M:
2
1
− +
0,5
Do AB= 2IB và tam giác AIB vuông tại I ⇒ IA = IB nên hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 hoặc k = -1 vì ( )
/
2
1 0 2
y x
−
= <
− nên ta có hệ số góc tiếp
tuyến k = -1
0,5
0 2
0 0
1 1
1
3 1
x x x
=
−
⇒ có hai phương trình tiếp tuyến:
y= − +x 2; y= − +x 6
0,5
II 1
Giải hệ phương trình:
2
, 2
x y
x y
+ + + =
¡
3,5
Đk:
1 2 1 2
x y
≥ −
≥ −
0,5
2 4 0 ( )
x y
+ − =
4
2
2 2
2
4
2
xy
+ =
⇔
1,25
Hệ đã cho tương đương:
1
3
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm: 1 3; , 3; 1
− −
0,75
2
2 tan 2 sin 2
−
2,5
Trang 10Đk: cos 2 0 tan 2 sin 2 0
x
≠
0,5
Pt tương đương:
3sin 2x+tan 2x+sin 4x =0
3sin 2 cos 2 sin 2 sin 4 cos 2 0 cos 2 1 sin 2 sin 4 0
0,75
2 cos 2 1
cos 2 1 0
sin 2 0
1 cos 2
x x
π π π
π π
= +
+ =
= −
0,75
Nghiệm
3
x= ± +π kπ
thỏa mãn (*) Phương trình có 2 họ nghiệm:
3
x= ± +π kπ
0,5
(5, 7)
Đường thẳng đi qua D và trung điểm của đoạn AB có phương trình:
2,0
Gọi C c c( ; + ∈4) d1, M là trung điểm AB, I là giao điểm của AC và d2: 3x – 4y – 23 = 0
Ta có AIMV đồng dạng CIDV
10 10
⇒ = ⇒uur= uur⇒ ÷
0,5
Mà I d∈ 2 nên ta có: 3 10 4 10 23 0 1
c
Vậy C(1;5)
0,5
Ta có: 2
M ∈ ⇒d M t − ⇒ B t− −
AB= t− + CB= t− −
0,5
Do 0 4( 5) ( 3) 1(3 5 3 19) ( ) 0 129
4
5
t
t
=
=
uuur uuur
( 3; 3) ( )
33 21
;
33 21
5 5
B B
− −
0,5
D , E lần lượt là hình chiếu vuông góc của P lên các đường thẳng
,
BC AB tương ứng và ', ' D E lần lượt là hình chiếu vuông góc của Q lên
2,0
Trang 11Chứng minh góc ∠DKD' 90= 0
Kẻ KH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có:
( / / )
∠ = ∠ (tứ giác PEBD nội tiếp)
2
Tương tự, ta chứng minh được: ' 1 »
2
D KH sd AQ
2
∠ = ∠ + ∠ = = (do PQ là đường kính)
0,5
Thật vậy, xét hình thang vuông DPQD vuông tại D và D’ nên'
DD ≤QP= R, dấu “=” xảy ra khi PQ BC/ /
0,5
Xét tam giác DKD Ta có:'
2
'
Vậy diện tích lớn nhất của tam giác DKD bằng ' 2
R khi PQ BC/ /
1,0
đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Góc giữa mặt
1,5
Trang 12
H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD
3 2
a
SH =
0,5
Góc giữa (SCD) và mặt đáy là ∠SMH =600 0,25
tan 60 2
.
S ABCD
V
Kẻ đường thẳng d đi qua A và d//BD Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ đường thẳng ∆ đi qua H , ∆⊥ d và ∆ cắt d tại J, ∆ cắt BD tại I trong (SHI) kẻ HK vuông góc với SI tại K
Khi đó: d(BD SA, ) =d(I S d,( , ) ) =2d(H S d,( , ) ) =2d(H SBD,( ) ) =2HK
0,5
10
IH
Xét SHIV vuông tại H, ta có: 1 2 12 12 3
8
a HK
HK = HS +HI ⇒ =
Vậy ( , ) 3
4
BD SA
a
0,5
1
P
3,0
a + + + ≥b c + + + = a b+ + +c ≥ a b c+ + +
0,75
a+ b+ c+ ≤ + + + + + = + + +
0,75
P
= ( )3
2 54
( )
2 f t
+ với t a b c= + + +1 (t >1)
0,75
4 2
4
2 162
1( ) 2
t
t loai
=
f’(t)
f(t)
0
-1/4
Trang 13Vậy giá trị lớn nhất của 1
4
P= khi
3
1 1
a b c
c
+ + =
=
Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn chấm điểm tối đa.
