Tuyển tập bộ đề thi học sinh giỏi các tỉnh trong các năm học vừa qua. Đề thi học sinh giỏi môn toán tỉnh Ninh Bình năm học 20152016. Đề đã được kiểm tra và đánh giá. Đề luôn đảm bảo chất lượng và nội dung.
SỞ GD&ĐT NINH BÌNH Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG THPT Năm học 2015 – 2016 MÔN: TOÁN Ngày thi 06/10/2015 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang) Nội dung (1) x − 12x − y + 6y − 16 = 2 4x + − x − 4y − y + m = (2) Điều kiện xác định: x ∈ [-2;2], y ∈ [0;4] Điểm Ta có (1) ⇔ x − 12x = ( y − ) − 12 ( y − ) 0,5 3 3 Xét hàm số f (t) = t − 12t, t ∈ [ −2;2] ⇒ f '(t) = 3t − 12 = ( t − ) < 0, ∀t ∈ ( −2;2 ) (5,0 điểm) Suy hàm số f (t) nghịch biến [ −2;2] Mặt khác x y − thuộc đoạn [ −2;2] 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 (1) ⇔ f (x) = f (y − 2) ⇔ x = y − 0,25 Thay vào (2) ta có phương trình − x − 4x = m (4) 0,5 Do hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (4) có nghiệm x ∈ [ −2;2] 0,5 Đặt g(x) = − x − 4x , x ∈ [ − 2;2] 0,25 − 8x = −x +8÷ − x2 4−x g '(x) = ⇔ x = g(0) = 6; g(−2) = g(2) = −16 −3x g '(x) = g(x) = −16; m ax g(x) = x∈[− 2;2] x∈[− 2;2] Vậy hệ phương trình cho có nghiệm −16 ≤ m ≤ a + u − = 2013 > n n +1 + Giả sử u n − > với n ∈ ¥ ,n ≥ Ta chứng minh u n +1 − > Ta có: n +1 u n +1 − = ( n u n − ) − = ( n u n − + ) − = ( 2n u n − + 1) − 0,25 0,25 0,25 0,5 3,0 0,5 0,5 0,5 0,5 = ( 2n u n − ) > 0,5 Suy ra: u n − > ∀n ∈ ¥ b 0,5 2,0 n Trang 1/3 (5,0 điểm) 2n u n +1 = n u n − ⇒ u n +1 = u n − 2n 0,5 u n = u − 1 + + + n −1 ÷ 1− n = 2013 − = 2015 − 2n −1 1− ⇒ lim u n = 2013 0,5 0,5 0,5 A Z (6,0 điểm) Y M T X B N C -Ta có điểm sau đồng viên: (X,Y,N,B)(Y,M,T,N)(T,N,Z,C)(A,X,N,Z) Bốn điểm X, Y, Z, T đồng viên thẳng hàng ⇔ ( YX,YT ) = ( ZX, ZT ) ⇔ ( YX,YN ) + ( YN,YT ) = ( ZX, ZN ) + ( ZN, ZT ) ⇔ ( BX,BN ) + ( MN,MT ) = ( AX,AN ) + ( CN,CT ) ⇔ ( BA,BN ) + ( AN,MC ) = ( AB,AN ) + ( CN,CM ) ⇔ ( BA,BN ) + ( AN,AB ) + ( AN,MC ) + ( CM,CN ) = ⇔ ( AN,BN ) + ( AN,CN ) = 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ⇔ ( AN,CN ) = π ⇔ ( AN,CN ) = ⇔ AN ⊥ BC (4,0 điểm) 1,0 0,5 0,5 0,5 Gọi S n số cách phát loại đề cho n học sinh cho học sinh ngồi cạnh có loại đề thi ( n ∈ N,n ≥ ), ta có: S2 = 20, S3 = 60 Với n ≥ , giả sử A C hai học sinh ngồi cạnh học sinh B Xảy Trang 2/3 0,5 trường hợp sau: + A C nhận hai đề khác nhau: Khi ta có cách phát đề cho B, suy số cách phát đề trường hợp 3Sn-1 + A C nhận hai đề giống nhau: Khi ta có cách phát đề cho B, suy số cách phát đề trường hợp 4Sn-2 Do ta có hệ thức Sn = 3Sn −1 + 4Sn − ( n ≥ ) 1,0 1,0 0,5 ⇒ Sn = ( −1) + 4n∀n ∈ N,n ≥ 0,5 Vậy S10 = + 410 0,5 n Hết -Chú ý 1) Điểm thi không làm tròn 2) Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa Trang 3/3