Bài giảng Chương 45 Sản phẩm phái sinh Trường Đại học Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh

Chương 4-5 Mơ hình nhị phân BlackScholes-Merton Mơ hình định giá quyền chọn • Là cơng thức tốn học sử dụng yếu tố định giá quyền chọn làm nhập liệu giá trị hợp lý mặt lý thuyết quyền chọn Mơ hình nhị phân thời kỳ • Điều kiện giả định: ▪ Một thời kỳ, hai kết ▪ S = giá cổ phiếu ▪ u = + tỉ suất sinh lợi giá cổ phiếu tăng ▪ d = + tỉ suất sinh lợi giá cổ phiếu giảm ▪ r = lãi suất phi rủi ro • Giá trị quyền chọn mua kiểu Âu đáo hạn thời kỳ sau: ▪ Cu = Max(0,Su - X) ▪ Cd = Max(0,Sd - X) • Chú ý: d < + r < u để ngăn arbitrage Mơ hình nhị phân thời kỳ Mơ hình nhị phân thời kỳ • Lập danh mục phòng ngừa gồm số cổ phiếu h bán quyền chọn mua Giá trị danh mục: ▪ V = hS - C • Giá trị danh mục đáo hạn: ▪ Vu = hSu - Cu ▪ Vd = hSd - Cd ▪ Nếu danh mục khơng có rủi ro, hai biểu thức phải nhau, tức Vu = Vd Từ giá trị h (tỉ số phịng ngừa) là: Mơ hình nhị phân thời kỳ C u − Cd h= Su − Sd • Danh mục phi rủi ro nên tỉ suất sinh lợi phải lãi suất phi rủi ro Do đó: ▪ V(1+r) = Vu (hay Vd) • Thế V & Vu: ▪ (hS - C)(1+r) = hSu - Cu Mơ hình nhị phân thời kỳ • Giá trị lý thuyết quyền chọn: pC u + (1 − p)C d C= 1+ r : p = (1 + r - d)/(u - d) Mơ hình nhị phân thời kỳ • Ví dụ: ▪ S = 100, X = 100, u = 1.25, d = 0.80, r = 0.07 ▪ Tìm giá trị Cu, Cd, h p: o Cu = Max[0, 100(1.25) - 100] = Max[0, 125 - 100] = 25 o Cd = Max[0, 100(0.80) - 100] = Max(0, 80 - 100) = o h = (25 - 0)/(125 - 80) = 0.556 o p = (1.07 - 0.80)/(1.25 - 0.80) = 0.6 ▪ Tính C: C= (0.6)25 + (0.4)0 = 14.02 1.07 Mơ hình nhị phân thời kỳ • Danh mục phịng ngừa: Mơ hình nhị phân thời kỳ • Khi quyền chọn mua bị định giá cao: ▪ Giả sử quyền chọn mua bán với giá $15 ▪ Số tiền đầu tư 556($100) - 1000($15) = $40600 ▪ Tiền thu $44500, tức tỉ suất sinh lợi 9.6% ▪ Mọi người tìm cách tận dụng điều này, hạ giá quyền chọn mua xuống $14.02 Mở rộng mơ hình nhị phân • Giá trị quyền chọn bán tại: pPu + (1 − p)Pd P= 1+ r (0.6)0 + (0.4)13.46 = = 5.03 1.07 Mở rộng mơ hình nhị phân • Quyền chọn bán kiểu Mỹ thực sớm: ▪ Trong ví dụ vừa rồi, giá cổ phiếu 80, quyền chọn bán cao giá $20 (>$13.46) nên ta thực sớm $20 vào Pd: (0.6)0.0 + (0.4)20 P= = 7.48 1.07 Mở rộng mơ hình nhị phân • Cổ phiếu chia cổ tức theo tỉ lệ  cho thời kỳ: Mở rộng mơ hình nhị phân • Cổ tức khoản tiền cố định: Mở rộng mơ hình nhị phân Mở rộng mơ hình nhị phân ▪ Trong trường hợp ta lấy giá cổ phiếu trừ giá cổ tức Mở rộng mơ hình nhị phân • Quyền chọn mua kiểu Mỹ & thực sớm: ▪ Ở ví dụ vừa rồi, giá quyền chọn đáo hạn: C u = Max(0,138.74 − 100) = 38.74 C ud = Max(0,88.79 − 100) = Cd = Max(0,56.82 − 100) = ▪ Giá quyền chọn kỳ thứ nhất: (0.6)38.74 + (0.4)0 Cu = = 21.72 1.07 (0.6)0 + (0.4)0 Cd = =0 1.07 Mở rộng mơ hình nhị phân • Giá trị quyền chọn mua kiểu Âu thời điểm 0: C= (0.6)21.72 + (0.4)0 = 12.18 1.07 • Đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ, ta thực sớm thời điểm • Khi Cu = 122.99 – 100 = 22.99 > 21.72 • Giá trị quyền chọn mua kiểu Mỹ thời điểm 0: C= (0.6)22.99 + (0.4)0 = 12.89 1.07 Mở rộng mơ hình nhị phân • Quyền chọn ngoại tệ (với ρ lãi suất phi rủi ro nước ngoài): 1+ r −d 1+  p= u−d Mở rộng mơ hình nhị phân • Mở rộng mơ hình nhị phân n thời kỳ: Mở rộng mơ hình nhị phân • Mơ hình nhị phân n thời kỳ với thời gian hiệu lực quyền chọn không đổi: ▪ Lãi suất phi rủi ro điều chỉnh thành (1 + r)T/n - u = eσ T/n d = 1/u ▪ Khi n tăng, giá trị quyền chọn hội tụ điểm Mở rộng mơ hình nhị phân • Mơ hình nhị phân sử dụng lãi suất tính ghép liên tục ln(1 + r): u=e (ln(1+ r) − /2)(T/n)+ T/n d=e (ln(1+ r) − /2)(T/n)− T/n p= e  (T/n)/2 e T/n − e − − e − T/n T/n • Khi n tăng, p hội tụ 0.5 giá trị quyền chọn hội tụ điểm Mở rộng mơ hình nhị phân Mơ hình Black-ScholesMerton • Các giả định mơ hình: ▪ Giá cổ phiếu biến động ngẫu nhiên phát triển theo phân phối logarit chuẩn (lognormal distribution) o Lognormal distribution tỉ suất sinh lợi logarit (tức lãi ghép liên tục) tuân theo phân phối chuẩn (normal distribution) ▪ Lãi suất phi rủi ro độ bất ổn tỉ suất sinh lợi logarit cổ phiếu không đổi suốt thời gian có hiệu lực quyền chọn ▪ Khơng có thuế chi phí giao dịch ▪ Cổ phiếu không trả cổ tức ▪ Quyền chọn kiểu Âu Mơ hình Black-ScholesMerton • Cơng thức: C = S0 N(d1 ) − Xe − rcT N(d ) ln(S0 /X) + (rc + σ /2)T d1 = σ T d = d1 − σ T ▪ N(d1), N(d2) = xác suất phân phối chuẩn tích lũy ▪  = độ bất ổn hàng năm (độ lệch chuẩn) tỉ suất sinh lợi logarit cổ phiếu ▪ rc = lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục ... ngẫu nhiên phát triển theo phân phối logarit chuẩn (lognormal distribution) o Lognormal distribution tỉ suất sinh lợi logarit (tức lãi ghép liên tục) tuân theo phân phối chuẩn (normal distribution)... chọn mua bán với giá $15 ▪ Số tiền đầu tư 556($100) - 1000($15) = $40600 ▪ Tiền thu $ 4450 0, tức tỉ suất sinh lợi 9.6% ▪ Mọi người tìm cách tận dụng điều này, hạ giá quyền chọn mua xuống $14.02... 1000 quyền chọn mua với giá $13 Từ thu $42600 ▪ Khi đáo hạn, ta phải trả $ 4450 0 ▪ Cái tương tự bạn vay $42600 trả $ 4450 0, tức lãi suất 4.46%, thấp lãi suất phi rủi ro ▪ Các nhà đầu tư tìm cách