Tài liệu LÝ THUYẾT & BÀI TẬP TOPO doc

1 BÀI SOẠN LÝ THUYẾT & BÀI TẬP LỚP CAO HỌC GIẢI TÍCH – KHÓA 19 – CẦN THƠ Biện soạn theo giáo trình Topo Đại Cương của PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY (Tài liệu mang nh chất tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com) A .LÝ THUYẾT §3. Định lý 1.1: Cho không gian Tôpô (, ) 1. Nếu  ⊂  có tập con liên thông B trù mật ( ⊂   ) thì A liên thông. 2. Nếu   ⊂  liên thông ∀ ∈  và ⋂   ≠ ∅ ∈ thì ⋃  ∈ liên thông. 3. Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”. Khi đó A liên thông. 4. Nếu X liên thông và :  → ′ liên tục thì  (  ) liên thông. Lưu ý:  Theo bổ đề 1.1 thì nếu với mọi ánh xạ bất kỳ đi từ ( ,   ) vào  với  = {   ,   } là không gian Tôpô rời rạc mà không liên tục thì tương đương với A là tập liên thông. Do đó ta chỉ đi xét trường hợp một ánh xạ bất kỳ đi từ ( ,   ) vào  liên tục và khảo sát sự liên thông của tập A  f là ánh xạ hằng trên A thì A liên thông Chứng minh: Gọi  = {   ,   } là không gian Tôpô rời rạc 1. Nếu  ⊂  có tập con liên thông B trù mật ( ⊂   ) thì A liên thông. Thật vậy: Xét ánh xạ : ( ,   ) →  liên tục. Do  ⊂  nên ∃|  : (,   ) →  liên tục, mà  liên thông nên |  là ánh xạ hằng trên B ⇒  (  ) =   , ∀ ∈  Lại có B trù mật trong A nên ∀ ∈ ⇒  ∈   ⇒ ∃ {   } ⊂ :   →  Mà  liên tục nên  (   ) →  (  ) , ∀ ∈  (1) Hơn nữa  (   ) =   (do   ∈ , ∀) (2) Từ (1) và (2) suy ra  (  ) =   , ∀ ∈  hay  là ánh xạ hằng trên A nên A liên thông 2. Nếu   ⊂  liên thông ∀ ∈  và ⋂   ≠ ∅ ∈ thì ⋃  ∈ liên thông. Thật vậy: Xét ánh xạ : ⋃  ∈ →  liên tục. 2 Hiển nhiên   ⊂ ⋃  ∈ nên ∃|   : (  ,    ) →  liên tục, mà   liên thông nên ta có  là ánh xạ hằng trên mỗi   hay  (   ) =  {  } {  } , ∀ ∈  (3) Do ⋂   ≠ ∅ ∈ nên ∃  ∈ ⋂   ∈ :  (   ) =   (4) Từ (3) và (4) suy ra  (   ) = {  }, ∀ ∈  ⇒  ( ⋃  ∈ ) = {  } hay f là ánh xạ hằng trên ⋃  ∈ Suy ra ⋃  ∈ liên thông 3. Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”. Khi đó A liên thông. Thật vậy: Cố định  ∈  khi đó ∀ ∈  ta gọi   là tập con liên thông của A, chứa ,  ⇒  = ⋃  ∈ Mặt khác  ∈ ⋂  ∈ nên ⋂  ∈ ≠ ∅ kết hợp với   liên thông Nên áp dụng phần 2 ta có ⋃  ∈ liên thông hay A liên thông 4. Nếu X liên thông và :  → ′ liên tục thì  (  ) liên thông. Thật vậy: Xét ánh xạ : () →  liên tục khi đó ánh xạ ∘:  →  liên tục Ta có X liên thông, ∘:  →  liên tục nên ∘ (  ) =  {  } {  } Mà  ∘ (  ) = ( (  ) ) nên  (  )  =  {   } {   } ⇒  (  )  là tập một điểm hay  là ánh xạ hằng trên  (  ) Suy ra  (  ) liên thông §3. Định lý 2.2: Các mệnh đề sau đây tương đương (i) X là không gian compact (ii) Mọi siêu lưới trong X thì hội tụ (iii) Mọi lưới trong X có lưới con hội tụ Lưu ý:  Họ {  :  ∈ } phủ mở của X compact thì ∃  , … ,   :  = ⋃       {  } hội tụ ⇔ ∃ ∈ , ∀ ∈   , ∃  : ậ {  :  ≥   } ⊂   Định lý 2.1: X compact ⇔ Mọi họ có tâm gồm các tập đóng trong X thì có giao khác rỗng  Định lí 1.1: Mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới Chứng minh:  CM: () ⇒ (): Cho X là không gian compact. Chứng minh mọi siêu lưới trong X thì hội tụ 3 Thật vậy: Dùng phản chứng: Giả sử tồn tại một siêu lưới {  } không hôi tụ Do {  } không hội tụ nên ∀ ∈ , ∃  mở chứa x sao cho ∀ thì tập {  :  ≥ } ⊄   (1) Do {  } là siêu lưới nên ∃  sao cho tập {  :  ≥   } ⊂   hoặc {  :  ≥   } ⊂ \  (2) Từ (1) và (2) suy ra ∃  sao cho tập {  :  ≥   } ⊂ \  (3) Mặt khác họ {  :  ∈ } phủ mở của X compact nên ∃  , … ,   :  = ⋃      Chọn  ≥    , ∀ = 1,       thì   ∉    , ∀ = 1,       (do 3) Suy ra   ∉ ⋃      =  (vô lý)  CM: () ⇒ (): Cho mọi siêu lưới trong X thì hội tụ. Chứng minh mọi lưới trong X có lưới con hội tụ Thật vậy: Áp dụng định lí 1.1: mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới mà theo giả thiết cho mọi siêu lưới trong X thì hội tụ nên hiển nhiên lưới con đó hội tụ  CM: () ⇒ (): Cho mọi lưới trong X có lưới con hội tụ. Chứng minh X compact Thật vậy: Xét họ các tập đóng {  :  ∈ } có nh giao hữu hạn. Đặt  = { ⊂ :  ℎữ ℎạ}. Ta xét thứ tự   ≤   ⇔   ⊂   Lập lưới {  :  ∈ } sao cho   ∈ ⋂  ∈ và gọi {  } là lưới con của {  } hội tụ về a Ta chứng minh  ∈ ⋂  ∈ Cố định   ∈  do {  } là lưới con của {  } nên ∃  : ∀ ≥   ⟹   =   với  ≥ {  } Suy ra   ∈ ⋂   ⊂    ∈ Vậy lưới {  :  ≥  } ⊂    , hội tụ về a nên  ∈    . Mà   là lấy bất kỳ trong  nên  ∈ ⋂  ∈ Hay ⋂  ∈ ≠ ∅ Vậy mọi họ có tâm gồm các tập đóng {   :  ∈  } trong X có giao khác rỗng nên X compact §5. Mệnh đề 3.1: Nếu f liên tục đều thì f liên tục đối với Tôpô sinh bởi cấu trúc đều Lưu ý:  {  [  ] :  ∈  } là cơ sở lân cận của điểm  trong tôpô sinh bởi  hay  [  ] là lân cận của điểm  trong tôpô sinh bởi  4 Chứng minh: Ghi ra điều cần CM: Chứng minh  liên tục đối với tôpô sinh bởi cấu trúc đều ⇔ é  ∈ , cho {[ (  ) ]:  ∈   ]} là cơ sở lân cận  (  ) trong tôpô sinh bởi   Ta chứng minh   ( [ (  ) ] ) là lân cận của  trong tôpô sinh bởi   Thật vậy: Xét  ∈ . Theo giả thiết cho f liên tục đều ⇔ ∀ ∈   ⇒   (  ) ∈   Suy ra {  (  )[  ] :   (  ) ∈   } là cơ sở lân cận của  trong tôpô sinh bởi   hay   (  )[  ] lân cận của  trong tôpô sinh bởi   (1) Lại có:   (  [  (  )]) = { :  (  ) ∈  [  (  )]} = {: ( (  ) , ()) ∈ } = { : ( ,  ) ∈   (  )} =   (  ) [] (2) Từ (1) và (2) suy ra   (  [  (  )]) là lân cận của  trong tôpô sinh bởi   (đpcm) §5. Định lý 3.1: Cho các không gian đều là ( ,   ) , (,   ) và ánh xạ :  →  thỏa mãn; 1. X với tôpô sinh bởi   là   - không gian compact 2. f liên tục Khi đó f liên tục đều Lưu ý:   ∈ [] ⇒ (, ) ∈   Lưới {(   ,    )} là lưới con của lưới { (   ,   ) } (định nghĩa trong cấu trúc đều) ⇔ ∀  ∈   , ∃  : ∀ ≥   ⇒     ,     = (   ,   ) , ∀ ≥ ′  Lưới { (   ,   ) } hội tụ về ( ,  ) (định nghĩa trong cấu trúc đều) ⇔ ∀  ∈   , ∃  : ∀ ≥   ⇒   ∈   [  ] ,   ∈   [  ]  Mệnh đề 2.1:  ∈   thì W là một lân cận của ∆ (đường chéo chính của   )  Bổ đề 1.2: ∀ ∈   , ∃ ∈   ,  đối xứng,  ∘ ∘ ⊂  Chứng minh: Phản chứng: giả sử f không liên tục đều ⇔ ∃  ∈   : ∀ ∈   ⇒ () ⊄   Lập lưới { (   ,   ) :  ∈  } thỏa mãn: (   ,   ) ∈ , ( (  ), (  ) ) ∉   (*) Bài cho X là   - không gian compact nên lưới { (   ,   ) } có lưới con {(   ,    )} hội tụ về (, ) nào đó  Ta chứng minh  =  5 Giả sử  ≠  thì tồn tại  ∈   thỏa mãn  [  ] ∩ [  ] = ∅. Theo bổ đề 1.2 ta chọn được   ∈   , ′ đối xứng, ′∘′∘′ ⊂  - Do {(   ,    )} là lưới con của { (   ,   ) } nên: ∃  : ∀ ≥   ⇒     ,     = (   ,   ) , ∀ ≥ ′ ⇒     ,     ∈ ′ (1) - Do {(   ,    )} hội tụ về (, ) nên: ∃  ∶ ∀ ≥   ⇒    ∈   [  ] ,    ∈   [  ] ⇒ ,     ∈   , (,    ) ∈   (2) Từ (1) và (2) ta có: ( ,  ) ∈ ′∘′∘′ ⊂ ⇒ (, ) ∈  hay  ∈ [] Suy ra  ∈ [] ∩ [  ] (mâu thuẫn với  [  ] ∩ [  ] = ∅) Vậy ta có lim    ,     =  (  ) ,  (  )  (do f liên tục và {(   ,    )} hội tụ về (, )) = ( (  ) , ()) ∈ ∆ (đường chéo chính của   ) Do   ∈   nên   là lân cận của ∆ (theo mệnh đề 2.1) ⇒ ∃  : ∀ ≥   ⇒     ,      ∈   (mâu thuẫn với (*)) Vậy f liên tục đều §6. Định lý 2.1: Giả sử X là không gian compact,  ⊂  ℝ () thỏa mãn: (i)  là một đại số (ii)  tách các điểm của  và không suy biến tại mỗi điểm của . Khi đó  trù mật trong  ℝ () Lưu ý:  Định nghĩa 2.2:  là một đại số nếu: (i)  là một không gian vecto đối với cá phép toán thông thường về cộng hàm và nhân hàm với số thuộc trường  (ii) Nếu ,  ∈  thì  ∈  Bổ đề 2.1: Tồn tại dãy đa thức {   (  )} ,   ( 0 ) = 0 hội tụ đều trên [0,1] về hàm  (  ) = √   Bổ đề 2.2: Cho  là một tôpô đại số, tách các điểm của  và không suy biến tại mỗi điểm của . Khi đó với mỗi cặp điểm   ,   ∈ ;   ,   ∈  (nếu   =   thì   =   ) tồn tại  ∈ :  (   ) =   ,  (   ) =   Chứng minh:  Chứng minh bao đóng  ̅ là một đại số tức là cũng có các nh chất (i), (ii) của định nghĩa 2.2 nêu trên Hiển nhiên      có nh chất (i) ta chỉ cần chứng minh nếu ,  ∈  ̅ thì  ∈  ̅ 6 Thật vậy: Do ,  ∈  ̅ nên tồn tại {   } , {  } ⊂  sao cho   → ,   →  Để ý rằng do   ,   ∈  mà  là một đại số nên {    } ⊂  (1) Xét ‖     − ‖ = ‖     −  +   − ‖ = ‖   (   − ) +  (   − )‖ ≤ ‖   ‖‖   − ‖ + ‖  ‖‖   − ‖ Khi đó cho  → ∞ ta có     →  (2) Từ (1) và (2) suy ra  ∈  ̅  Bước 1 : Chứng minh nếu ,  ∈  thì max {, } và min {, } thuộc về  ̅ (TC1) Để ý rằng max { ,  } =   (+ + | −|) và min { ,  } =   (+  − |  − | ) Nên ta chỉ cần chứng minh nếu  ∈  thì || ∈  ̅ hay chứng minh tồn tại {  } ⊂ :   → || Gọi   () là đa thức như ở bổ đề 2.1;  (  ) = () ‖  ‖ khi đó || = || ‖  ‖ và  ∈  Đặt   ≔ ‖  ‖   ∘  ∈ . Ta chứng minh   → || là xong Thật vậy: Xét ‖   −|| ‖ =  ‖  ‖   ∘  −||= ‖  ‖   ∘  − ‖  ‖ ||= ‖  ‖ . ‖   ∘  −|| ‖ ≤ ‖  ‖ .  ∈     (  ) −    () ≤ ‖  ‖ .  ∈[,]   (  ) − √  → 0 khi  → ∞  Bước 2 : Cho  ∈  ℝ (  ) ,  ∈ ,  > 0. Ta chứng minh tồn tại hàm   ∈  ̅ thỏa mãn:   (  ) =  (  ) ,   (  ) >  (  ) − (TC2) Thật vậy: Với mỗi  ∈  ta chọn theo bổ đề 2.2 hàm ℎ  ∈  sao cho: ℎ  (  ) =  (  ) , ℎ  (  ) =  (  ) Do nh liên tục của ℎ  −, tập   = {/ ℎ  (  ) >  (  ) −} mở, chứa  Từ họ {  } ∈ lấy họ hữu hạn {   ,    , … ,    } phủ . Đặt   = max {ℎ   , ℎ   , … , ℎ   } khi đó Do ℎ  ∈ ,  ∈  thì theo TC1 ở bước 1 ta có   = max {ℎ   , ℎ   , … , ℎ   } ∈  ̅ Vậy   là hàm cần m  Bước 3: Cho  ∈  ℝ (  ) ,  > 0. Ta chứng minh tồn tại hàm  ∈  ̅ , ‖  − ‖ <  (TC3) Thật vậy: 7 Với mỗi  ∈  ta chọn hàm   ∈  ̅ thỏa mãn TC2 ở bước 2 khi đó tập   = {/   (  ) <  (  ) + } mở, chứa  Từ họ {  } ∈ lấy họ hữu hạn {   ,    , … ,    } phủ  và đặt  = min {   ,    , … ,    } khi đó:  (  ) − <  (  ) <  (  ) + , ∀ ∈  ⟹ ‖ − ‖ <  Hơn nữa do   ∈  ̅ , ∀ ∈  thì theo TC1 ở bước 1 và  ̅ là một đại số nên ta có = min {   ,    , … ,    } ∈  ̿ =  ̅ Nên  ∈  ̅  Bước 4: Theo TC3 ở bước 3 ta có ∀ ∈  ℝ (  ) ,  > 0 ⇒ ∃  ∈  ̅ , ‖  − ‖ <  ⇒  > 0, (, ) ∩  ̅ ≠ ∅ ⇒  ∈  ̿ =  ̅ ⇒  ℝ (  ) ⊂  ̅ hay  trù mật trong  ℝ (  ) B .BÀI TẬP Bài 3 (mục 4): Cho không gian Tôpô  và ánh xạ :  → ( −∞, +∞ ] . Ta nói: (i) f là nửa liên tục dưới (nltd) tại   nếu: ∀ <  (   ) , ∃ ∈    : ∀ ∈  ⇒  < () (ii) f là nửa liên tục dưới trên X nếu f nltd tại mọi  ∈  Chứng minh rằng: Nếu f là nltd trên không gian compact X thì nó đạt giá trị nhỏ nhất trên  Chứng minh: Chứng minh f đạt giá trị nhỏ nhất trên  tức là chứng minh ∃  ∈ :  (   ) = inf ∈ () (*) Thật vậy: Đặt  = inf ∈ () Trường hợp  (  ) = +∞, ∀ ∈  thì  = +∞ nên hiển nhiên (*) đúng Giả sử ∃ ∈  sao cho  (  ) ≠ +∞ khi đó  < +∞ và ta có thể chọn được dãy {  } ⊂ ℝ thỏa: {  } là dãy giảm và lim →   =  Đặt   = {  ∈ :  (  ) ≤   } ,  ∈ ℕ.  Chứng minh   đóng hay chứng minh \  = {  ∈ :   < () } mở (bài 3 mục 2) 8 Thật vậy: Xét   ∈ \  ta có   <  (   ) ⇒ ∃ ∈    : ∀ ∈  ⇒   < () (do f là nltd trên ) ⇒ ∃ ∈    : ∀ ∈  ⇒  ∈ \   ⇒ ∃ ∈    :  ⊂ \   ⇒ \  là lân cận của   ⇒   ∈  ( \  ) ⇒ \  ⊂  ( \  ) ⇒ \  = (\  ) hay \  mở  Ta có   ⊂   (do   <   )  Chứng minh   ≠ ∅ Phản chứng: Giả sử   = ∅ ⇒  (  ) >   , ∀ ∈  ⇒  = inf ∈  (  ) ≥   (mâu thuẫn vì   > )  Từ những điều vừa chứng minh được:   đóng ,   ⊂   ,   ≠ ∅. Ta chứng minh ⋂     ≠ ∅ (bài 6 mục 1) Thật vậy: Xét  ∈ ℕ ∗ ,  hữu hạn. Đặt   =  ta có: ⋂  ∈ =    Vì   đóng nên    = ⋂  ∈ đóng và    ≠ ∅ (do   ≠ ∅,∀ ∈ ℕ ∗ ) Vậy (  ) ∈ℕ ∗ là họ có tâm, mà bài cho X compact nên ⋂     ≠ ∅ Suy ra tồn tại ∃  ∈ ⋂     :  (   ) ≤   , ∀ ∈ ℕ ∗ Cho  → ∞ ta có  (   ) =  = inf ∈ () (đpcm) Bài 4 (mục 1): Trên ℝ, ℝ  ta xét tôpô thông thường. Cho : ℝ → ℝ liên tục, đơn ánh. Chứng minh rằng f đơn điệu nghiêm ngặt. Chứng minh: Xét  = {( ,  ) ∈ ℝ  :  >  } và : ℝ  → ℝ xác định bởi  ( ,  ) =  (  ) −() Do  liên tục và  là một hàm theo  nên  liên tục (1) Biểu diễn tập A trên hệ trục tọa độ ta dễ dàng nhận thấy  là tập liên thông trong ℝ  (2) Từ (1) và (2) suy ra () là tập liên thông trong ℝ nên () là một khoảng Mặt khác do f đơn ánh và  > , ∀(, ) ∈  nên 0 ∉ () 9 Suy ra   (  ) ⊂ ( 0, +∞ ) ⇒  (  ) >  (  ) , ∀ >   (  ) ⊂ ( −∞, 0 ) ⇒  (  ) <  (  ) , ∀ >  Hay f đơn điệu nghiêm ngặt Bài 5 (mục 1): Cho  là không gian liên thông và (  ) ∈ là một phủ mở của X. Chứng minh rằng với mỗi cặp ,  ∈  tồn tại hữu hạn   , … ,   ∈  sao cho:  ∈    ,    ∩   ≠ ∅, (  = 1,  −1           ) ,  ∈    (*) Chứng minh: Trong  ta xét quan hệ “~” như sau: ~ ⇔,  thỏa (*) Xét  ∈ . Đặt  = {  ∈ : ~ } ,  = { ∈ :  ≁ } Ta chỉ cần đi chứng minh  =  Thật vậy: Rõ ràng “~” là quan hệ tương đương vì thỏa các nh chất giao hoán, phân phối, bắc cầu  Chứng minh  mở ⇔  ⊂ Hiển nhiên  ≠ ∅. Lấy  ∈ ta có ~ Mặt khác: ∃  ∈ :  ∈    Xét với ∀ ∈    thì hiển nhiên ~ ⇒ ~ (do có ~) ⇒  ∈ . Hay    ⊂  Vậy tồn tại    mở chứa :    ⊂  nên  là lân cận của  ⇒  là điểm trong của  hay  ∈  ⇒  ⊂  ⇒  =  hay  mở  Chứng minh  mở ⇔  ⊂  Trường hợp  = ∅ hiển nhiên  mở. Lấy  ∈ ta có  ≁  Mặt khác ∃′ ∈ :  ∈   Xét với ∀ ∈   thì hiển nhiên ~ ⇒  ≁  (do có  ≁ ) ⇒  ∈ . Hay   ⊂  Vậy tồn tại   mở chứa :   ⊂  nên  là lân cận của  ⇒  là điểm trong của  hay  ∈  ⇒  ⊂  ⇒  =  hay  mở Ta có ,  mở, ∪ = , ∩ = ∅,  ≠ ∅ Vì  liên thông nên ∄ đồng thời hai tập mở A,B khác rỗng thỏa: ∪ = ,  ∩ = ∅, Do đó  = ∅ hay  =  (đpcm) 10 Bài 8 : Cho các không gian tôpô X,Y và ánh xạ :  → . Trên x ta xét tôpô ch và xét tập  = {,  (  ) :  ∈ }. Chứng minh rằng: 1. Nếu f liên tục trên  và  là   không gian thì  là tập đóng 2. Nếu G là tập đóng và  là không gian compact thì f liên tục Lưu ý:  G đóng ⇔ Với mọi lưới trong , giả sử lưới đó hội tụ về một điểm thì điểm đó thuộc   Định lí 5.1 §1: f liên tục trên  ⇔ mọi tập A mở (đóng) trong  thì   () mở (đóng) trong   Định lí 1.1 §3: Nếu f liên tục trên  ,  liên thông thì () liên thông  Định lí 2.2 §3: Các mệnh đề sau đây tương đương 1.  là không gian compact 2. Mọi siêu lưới trong  thì hội tụ 3. Mọi lưới trong  có lưới con hội tụ  Định lí 2.3 §3: 1. A compact, B đóng,  ⊂  thì B compact 2.  compact, X là   không gian thì  đóng 3. X compact, f liên tục trên X thì f(X) compact Chứng minh: 1. Nếu f liên tục trên  và  là   không gian thì  là tập đóng Chứng minh  là tập đóng ⇔ Xét lưới {(  ,  (   ) )} ⊂. Giả sử lim  (  ,  (   ) ) = (, ). Ta cần chứng minh (, ) ∈  hay chứng minh  = () Thật vậy: Ta có lim    =  mà f liên tục trên  nên lim  (  ) = () (1) Mặt khác ta cũng có lim  (  ) =  (2) Từ (1) và (2) kết hợp với  là   không gian (giới hạn là duy nhất) suy ra  = () (đpcm) 2. Nếu G là tập đóng và  là không gian compact thì f liên tục Chứng minh f liên tục trên  ⇔ Với ∀ đóng trong  cần chứng minh   (  ) đóng trong  ⇔ Với ∀ đóng trong  . Xét lưới {  } ⊂   (  ) . Giả sử lim    = . Ta cần chứng minh  ∈  (  ) Thật vậy: Do  đóng,  compact,  ⊂  nên  compact (theo định lí 2.3 §3) [...]... )} ⊂ Khi đó ( ), ⇒ compact nên ∃ lưới con { ( ∈ , ( ) = ( ) Do đó ( ) ∈ ( ), hay ⊂{ ( ( ) )} → ( , ) mà ( ) )} : ( ) → đóng nên ( , ) ∈ ( ) (đpcm) ∈ : Bài 9: Cho là – không gian compact và đóng ≠ ∅ sao cho ( ) = → liên tục Chứng minh rằng tồn tại tập Chứng minh: ={ ⊂ : Đặt Rõ ràng ≠ ∅, ≠ ∅ (do ∈ đó , ( ) ⊂ } Trong ta xét quan hệ ≤ ⇔ ⊂ ) Xét { : ∈ } là xích trong ( , ≤) Đặt =⋂∈ ⊂ thì Ta có:    . BÀI SOẠN LÝ THUYẾT & BÀI TẬP LỚP CAO HỌC GIẢI TÍCH – KHÓA 19 – CẦN THƠ Biện soạn theo giáo trình Topo Đại Cương của PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY (Tài liệu.  > 0 ⇒ ∃  ∈  ̅ , ‖  − ‖ <  ⇒  > 0, (, ) ∩  ̅ ≠ ∅ ⇒  ∈  ̿ =  ̅ ⇒  ℝ (  ) ⊂  ̅ hay  trù mật trong  ℝ (  ) B .BÀI TẬP