Tài liệu LÝ THUYẾT & BÀI TẬP TOPO doc

1 BÀI SOẠN LÝ THUYẾT & BÀI TẬP LỚP CAO HỌC GIẢI TÍCH – KHÓA 19 – CẦN THƠ Biện soạn theo giáo trình Topo Đại Cương của PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Tài liệu mang nh chất tham khảo – h p://ngu

1

BÀI SOẠN LÝ THUYẾT & BÀI TẬP LỚP CAO HỌC GIẢI TÍCH – KHÓA 19 – CẦN THƠ

Biện soạn theo giáo trình Topo Đại Cương của PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

(Tài liệu mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com)

A LÝ THUYẾT

§3 Định lý 1.1: Cho không gian Tôpô ( , )

1 Nếu ⊂ có tập con liên thông B trù mật ( ⊂ ) thì A liên thông

2 Nếu ⊂ liên thông ∀ ∈ và ⋂∈ ≠ ∅ thì ⋃∈ liên thông

3 Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A”

Khi đó A liên thông

4 Nếu X liên thông và : → ′ liên tục thì ( ) liên thông

Lưu ý:

 Theo bổ đề 1.1 thì nếu với mọi ánh xạ bất kỳ đi từ ( , ) vào với = { , } là không

gian Tôpô rời rạc mà không liên tục thì tương đương với A là tập liên thông Do đó ta chỉ đi xét trường hợp một ánh xạ bất kỳ đi từ ( , ) vào liên tục và khảo sát sự liên thông của

tập A

 f là ánh xạ hằng trên A thì A liên thông

Chứng minh:

Gọi = { , } là không gian Tôpô rời rạc

1 Nếu ⊂ có tập con liên thông B trù mật ( ⊂ ) thì A liên thông

Thật vậy:

Xét ánh xạ : ( , ) → liên tục

Do ⊂ nên ∃ | : ( , ) → liên tục, mà liên thông nên | là ánh xạ hằng trên B

⇒ ( ) = , ∀ ∈

Lại có B trù mật trong A nên ∀ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ∃{ } ⊂ : →

Mà liên tục nên ( ) → ( ), ∀ ∈ (1)

Hơn nữa ( ) = (do ∈ , ∀ ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra ( ) = , ∀ ∈ hay là ánh xạ hằng trên A nên A liên thông

2 Nếu ⊂ liên thông ∀ ∈ và ⋂∈ ≠ ∅ thì ⋃∈ liên thông

Thật vậy:

Xét ánh xạ : ⋃∈ → liên tục

2

Hiển nhiên ⊂ ⋃∈ nên ∃ | : ( , ) → liên tục, mà liên thông nên ta có là ánh xạ

hằng trên mỗi hay ( ) = { }

{ }, ∀ ∈ (3)

Do ⋂ ∈ ≠ ∅ nên ∃ ∈ ⋂∈ : ( ) = (4)

Từ (3) và (4) suy ra ( )= { }, ∀ ∈ ⇒ (⋃∈ )= { } hay f là ánh xạ hằng trên ⋃∈ Suy ra ⋃∈ liên thông

3 Giả sử A có nh chất: “hai điểm bất kỳ của A luôn được chứa trong một tập con liên thông của A” Khi đó A liên thông

Thật vậy:

Cố định ∈ khi đó ∀ ∈ ta gọi là tập con liên thông của A, chứa , ⇒ = ⋃ ∈

Mặt khác ∈ ⋂ ∈ nên ⋂ ∈ ≠ ∅ kết hợp với liên thông

Nên áp dụng phần 2 ta có ⋃ ∈ liên thông hay A liên thông

4 Nếu X liên thông và : → ′ liên tục thì ( ) liên thông

Thật vậy:

Xét ánh xạ : ( ) → liên tục khi đó ánh xạ ∘ : → liên tục

Ta có X liên thông, ∘ : → liên tục nên ∘ ( ) = { }

{ }

Mà ∘ ( ) = ( ( )) nên ( ) = { }

{ } ⇒ ( ) là tập một điểm hay là ánh xạ hằng trên ( )

Suy ra ( ) liên thông

§3 Định lý 2.2: Các mệnh đề sau đây tương đương

(i) X là không gian compact

(ii) Mọi siêu lưới trong X thì hội tụ

(iii) Mọi lưới trong X có lưới con hội tụ

Lưu ý:

 Họ { : ∈ } phủ mở của X compact thì ∃ , … , : = ⋃

 { } hội tụ ⇔ ∃ ∈ , ∀ ∈ , ∃ : ậ { : ≥ } ⊂

 Định lý 2.1: X compact ⇔ Mọi họ có tâm gồm các tập đóng trong X thì có giao khác rỗng

 Định lí 1.1: Mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới

Chứng minh:

 CM: ( ) ⇒ ( ): Cho X là không gian compact Chứng minh mọi siêu lưới trong X thì hội tụ

3

Thật vậy:

Dùng phản chứng: Giả sử tồn tại một siêu lưới { } không hôi tụ

Do { } không hội tụ nên ∀ ∈ , ∃ mở chứa x sao cho ∀ thì tập { : ≥ } ⊄ (1)

Do { } là siêu lưới nên ∃ sao cho tập { : ≥ } ⊂ hoặc { : ≥ } ⊂ \ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∃ sao cho tập { : ≥ } ⊂ \ (3)

Mặt khác họ { : ∈ } phủ mở của X compact nên ∃ , … , : = ⋃

Chọn ≥ , ∀ = 1, thì ∉ , ∀ = 1, (do 3)

Suy ra ∉ ⋃ = (vô lý)

 CM: ( ) ⇒ ( ): Cho mọi siêu lưới trong X thì hội tụ Chứng minh mọi lưới trong X có lưới con

hội tụ

Thật vậy:

Áp dụng định lí 1.1: mọi lưới trong X đều có lưới con là siêu lưới mà theo giả thiết cho mọi siêu lưới

trong X thì hội tụ nên hiển nhiên lưới con đó hội tụ

 CM: ( ) ⇒ ( ): Cho mọi lưới trong X có lưới con hội tụ Chứng minh X compact

Thật vậy:

Xét họ các tập đóng { : ∈ } có nh giao hữu hạn

Đặt = { ⊂ : ℎữ ℎạ }

Ta xét thứ tự ≤ ⇔ ⊂

Lập lưới { : ∈ } sao cho ∈ ⋂ ∈ và gọi { } là lưới con của { } hội tụ về a

Cố định ∈ do { } là lưới con của { } nên ∃ : ∀ ≥ ⟹ = với ≥ { }

Suy ra ∈ ⋂∈ ⊂

Vậy lưới { : ≥ } ⊂ , hội tụ về a nên ∈ Mà là lấy bất kỳ trong nên ∈ ⋂∈

Hay ⋂∈ ≠ ∅

Vậy mọi họ có tâm gồm các tập đóng { : ∈ } trong X có giao khác rỗng nên X compact

§5 Mệnh đề 3.1: Nếu f liên tục đều thì f liên tục đối với Tôpô sinh bởi cấu trúc đều

Lưu ý:

 { [ ]: ∈ } là cơ sở lân cận của điểm trong tôpô sinh bởi hay [ ] là lân cận của

điểm trong tôpô sinh bởi

4

Chứng minh:

Ghi ra điều cần CM:

Chứng minh liên tục đối với tôpô sinh bởi cấu trúc đều

⇔ é ∈ , cho { [ ( )]: ∈ ]} là cơ sở lân cận ( ) trong tôpô sinh bởi

Ta chứng minh ( [ ( )]) là lân cận của trong tôpô sinh bởi

Thật vậy:

Xét ∈ Theo giả thiết cho f liên tục đều ⇔ ∀ ∈ ⇒ ( ) ∈

Suy ra { ( )[ ]: ( ) ∈ } là cơ sở lân cận của trong tôpô sinh bởi hay ( )[ ] lân cận của trong tôpô sinh bởi (1)

Lại có: ( [ ( )]) = { : ( ) ∈ [ ( )]} = { : ( ( ), ( )) ∈ }

= { : ( , ) ∈ ( )} = ( )[ ] (2)

Từ (1) và (2) suy ra ( [ ( )]) là lân cận của trong tôpô sinh bởi (đpcm)

§5 Định lý 3.1: Cho các không gian đều là ( , ), ( , ) và ánh xạ : → thỏa mãn;

1 X với tôpô sinh bởi là - không gian compact

2 f liên tục

Khi đó f liên tục đều

Lưu ý:

 ∈ [ ] ⇒ ( , ) ∈

 Lưới {( , )} là lưới con của lưới {( , )} (định nghĩa trong cấu trúc đều)

 Lưới {( , )} hội tụ về ( , ) (định nghĩa trong cấu trúc đều)

 Mệnh đề 2.1: ∈ thì W là một lân cận của ∆ (đường chéo chính của )

 Bổ đề 1.2: ∀ ∈ , ∃ ∈ , đối xứng, ∘ ∘ ⊂

Chứng minh:

Phản chứng: giả sử f không liên tục đều

Lập lưới {( , ): ∈ } thỏa mãn: ( , ) ∈ , ( ( ), ( )) ∉ (*)

Bài cho X là - không gian compact nên lưới {( , )} có lưới con {( , )} hội tụ về ( , ) nào đó

 Ta chứng minh =

5

Giả sử ≠ thì tồn tại ∈ thỏa mãn [ ] ∩ [ ] = ∅

Theo bổ đề 1.2 ta chọn được ∈ , ′ đối xứng, ′ ∘ ′ ∘ ′ ⊂

- Do {( , )} là lưới con của {( , )} nên:

- Do {( , )} hội tụ về ( , ) nên:

Từ (1) và (2) ta có: ( , ) ∈ ′ ∘ ′ ∘ ′ ⊂ ⇒ ( , ) ∈ hay ∈ [ ]

Suy ra ∈ [ ] ∩ [ ] (mâu thuẫn với [ ] ∩ [ ] = ∅)

Vậy ta có lim , = ( ), ( ) (do f liên tục và {( , )} hội tụ về ( , ))

= ( ( ), ( )) ∈ ∆ (đường chéo chính của )

Do ∈ nên là lân cận của ∆ (theo mệnh đề 2.1)

Vậy f liên tục đều

§6 Định lý 2.1: Giả sử X là không gian compact, ⊂ ℝ( ) thỏa mãn:

(i) là một đại số

(ii) tách các điểm của và không suy biến tại mỗi điểm của

Khi đó trù mật trong ℝ( )

Lưu ý:

 Định nghĩa 2.2: là một đại số nếu:

(i) là một không gian vecto đối với cá phép toán thông thường về cộng hàm và nhân

hàm với số thuộc trường

(ii) Nếu , ∈ thì ∈

 Bổ đề 2.1: Tồn tại dãy đa thức { ( )}, (0) = 0 hội tụ đều trên [0,1] về hàm ( ) = √

 Bổ đề 2.2: Cho là một tôpô đại số, tách các điểm của và không suy biến tại mỗi điểm

của Khi đó với mỗi cặp điểm , ∈ ; , ∈ (nếu = thì = ) tồn tại ∈ : ( ) = , ( ) =

Chứng minh:

 Chứng minh bao đóng ̅ là một đại số tức là cũng có các nh chất (i), (ii) của định nghĩa 2.2 nêu trên

Hiển nhiên có nh chất (i) ta chỉ cần chứng minh nếu , ∈ ̅ thì ∈ ̅

6

Thật vậy:

Do , ∈ ̅ nên tồn tại { }, { } ⊂ sao cho → , →

Để ý rằng do , ∈ mà là một đại số nên { } ⊂ (1)

≤ ‖ ‖‖ − ‖+‖ ‖‖ − ‖

Khi đó cho → ∞ ta có → (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∈ ̅

 Bước 1 : Chứng minh nếu , ∈ thì max { , } và min { , } thuộc về ̅ (TC1)

Để ý rằng max{ , } = ( + + | − |) và min{ , } = ( + − | − |)

Nên ta chỉ cần chứng minh nếu ∈ thì | | ∈ ̅ hay chứng minh tồn tại { } ⊂ : → | |

Gọi ( ) là đa thức như ở bổ đề 2.1; ( ) = ‖ ‖( ) khi đó | | =‖ ‖| | và ∈

Đặt ≔ ‖ ‖ ∘ ∈ Ta chứng minh → | | là xong

Thật vậy:

Xét ‖ − | |‖ = ‖ ‖ ∘ − | | = ‖ ‖ ∘ − ‖ ‖| | =‖ ‖ ‖ ∘ − | |‖

≤ ‖ ‖

∈[ , ] ( ) − √ → 0 khi → ∞

 Bước 2 : Cho ∈ ℝ( ), ∈ , > 0 Ta chứng minh tồn tại hàm ∈ ̅ thỏa mãn:

( ) = ( ), ( ) > ( ) − (TC2)

Thật vậy:

Với mỗi ∈ ta chọn theo bổ đề 2.2 hàm ℎ ∈ sao cho:

ℎ ( ) = ( ), ℎ ( ) = ( )

Do nh liên tục của ℎ − , tập = { / ℎ ( ) > ( ) − } mở, chứa

Từ họ { } ∈ lấy họ hữu hạn { , , … , } phủ

Đặt = max {ℎ , ℎ , … , ℎ } khi đó

Do ℎ ∈ , ∈ thì theo TC1 ở bước 1 ta có = max {ℎ , ℎ , … , ℎ } ∈ ̅

Vậy là hàm cần m

 Bước 3: Cho ∈ ℝ( ), > 0 Ta chứng minh tồn tại hàm ∈ ̅, ‖ − ‖ < (TC3)

Thật vậy:

7

Với mỗi ∈ ta chọn hàm ∈ ̅ thỏa mãn TC2 ở bước 2 khi đó tập = { / ( ) < ( ) + }

mở, chứa

Từ họ { } ∈ lấy họ hữu hạn { , , … , } phủ và đặt = min { , , … , } khi đó: ( ) − < ( ) < ( ) + , ∀ ∈ ⟹ ‖ − ‖ <

Hơn nữa do ∈ ̅, ∀ ∈ thì theo TC1 ở bước 1 và ̅ là một đại số nên ta có

= min { , , … , } ∈ ̿ = ̅

Nên ∈ ̅

 Bước 4: Theo TC3 ở bước 3 ta có ∀ ∈ ℝ( ), > 0 ⇒ ∃ ∈ ̅, ‖ − ‖ <

⇒ > 0, ( , ) ∩ ̅ ≠ ∅

⇒ ∈ ̿ = ̅

⇒ ℝ( ) ⊂ ̅ hay trù mật trong ℝ( )

B BÀI TẬP

Bài 3 (mục 4): Cho không gian Tôpô và ánh xạ : → (−∞, +∞] Ta nói:

(i) f là nửa liên tục dưới (nltd) tại nếu:

∀ < ( ), ∃ ∈ : ∀ ∈ ⇒ < ( )

(ii) f là nửa liên tục dưới trên X nếu f nltd tại mọi ∈

Chứng minh rằng:

Nếu f là nltd trên không gian compact X thì nó đạt giá trị nhỏ nhất trên

Chứng minh:

Chứng minh f đạt giá trị nhỏ nhất trên tức là chứng minh ∃ ∈ : ( ) = inf

∈ ( ) (*)

Thật vậy:

Đặt = inf

∈ ( )

Trường hợp ( ) = +∞, ∀ ∈ thì = +∞ nên hiển nhiên (*) đúng

Giả sử ∃ ∈ sao cho ( ) ≠ +∞ khi đó < +∞ và ta có thể chọn được dãy { } ⊂ ℝ thỏa:

{ } là dãy giảm và lim

Đặt = { ∈ : ( ) ≤ }, ∈ ℕ

 Chứng minh đóng hay chứng minh \ = { ∈ : < ( )} mở (bài 3 mục 2)

8

Thật vậy:

Xét ∈ \ ta có < ( )

⇒ ∃ ∈ : ∀ ∈ ⇒ < ( ) (do f là nltd trên )

⇒ \ là lân cận của

⇒ ∈ ( \ ) ⇒ \ ⊂ ( \ ) ⇒ \ = ( \ ) hay \ mở

 Ta có ⊂ (do < )

 Chứng minh ≠ ∅

Phản chứng:

Giả sử = ∅ ⇒ ( ) > , ∀ ∈ ⇒ = inf

∈ ( ) ≥ (mâu thuẫn vì > )

 Từ những điều vừa chứng minh được: đóng , ⊂ , ≠ ∅ Ta chứng minh

⋂ ≠ ∅ (bài 6 mục 1)

Thật vậy:

Xét ∈ ℕ∗, hữu hạn Đặt = ta có: ⋂ ∈ =

Vì đóng nên = ⋂ ∈ đóng và ≠ ∅ (do ≠ ∅,∀ ∈ ℕ∗)

Vậy ( ) ∈ℕ ∗ là họ có tâm, mà bài cho X compact nên ⋂ ≠ ∅

Suy ra tồn tại ∃ ∈ ⋂ : ( ) ≤ , ∀ ∈ ℕ∗

Cho → ∞ ta có ( ) = = inf

∈ ( ) (đpcm)

Bài 4 (mục 1): Trên ℝ, ℝ ta xét tôpô thông thường Cho : ℝ → ℝ liên tục, đơn ánh Chứng minh

rằng f đơn điệu nghiêm ngặt

Chứng minh:

Xét = {( , ) ∈ ℝ : > } và : ℝ → ℝ xác định bởi ( , ) = ( ) − ( )

Do liên tục và là một hàm theo nên liên tục (1)

Biểu diễn tập A trên hệ trục tọa độ ta dễ dàng nhận thấy là tập liên

thông trong ℝ (2)

Từ (1) và (2) suy ra ( ) là tập liên thông trong ℝ nên ( ) là một

khoảng

Mặt khác do f đơn ánh và > , ∀( , ) ∈ nên 0 ∉ ( )

9

Suy ra ( ) ⊂ (0, +∞) ⇒ ( ) > ( ), ∀ >

( ) ⊂ (−∞, 0) ⇒ ( ) < ( ), ∀ >

Hay f đơn điệu nghiêm ngặt

Bài 5 (mục 1): Cho là không gian liên thông và ( )∈ là một phủ mở của X Chứng minh rằng với mỗi cặp , ∈ tồn tại hữu hạn , … , ∈ sao cho:

Chứng minh:

Trong ta xét quan hệ “~” như sau: ~ ⇔ , thỏa (*)

Xét ∈ Đặt = { ∈ : ~ }, = { ∈ : ≁ }

Ta chỉ cần đi chứng minh =

Thật vậy:

Rõ ràng “~” là quan hệ tương đương vì thỏa các nh chất giao hoán, phân phối, bắc cầu

 Chứng minh mở ⇔ ⊂

Hiển nhiên ≠ ∅ Lấy ∈ ta có ~

Mặt khác: ∃ ∈ : ∈

Xét với ∀ ∈ thì hiển nhiên ~ ⇒ ~ (do có ~ ) ⇒ ∈ Hay ⊂

Vậy tồn tại mở chứa : ⊂ nên là lân cận của

⇒ là điểm trong của hay ∈

⇒ ⊂ ⇒ = hay mở

 Chứng minh mở ⇔ ⊂

Trường hợp = ∅ hiển nhiên mở Lấy ∈ ta có ≁

Mặt khác ∃ ′ ∈ : ∈

Xét với ∀ ∈ thì hiển nhiên ~ ⇒ ≁ (do có ≁ ) ⇒ ∈ Hay ⊂

Vậy tồn tại mở chứa : ⊂ nên là lân cận của

⇒ là điểm trong của hay ∈

Ta có , mở, ∪ = , ∩ = ∅, ≠ ∅

Vì liên thông nên ∄ đồng thời hai tập mở A,B khác rỗng thỏa: ∪ = , ∩ = ∅,

Do đó = ∅ hay = (đpcm)

10

Bài 8 : Cho các không gian tôpô X,Y và ánh xạ : → Trên x ta xét tôpô ch và xét tập

= { , ( ) : ∈ } Chứng minh rằng:

1 Nếu f liên tục trên và là không gian thì là tập đóng

2 Nếu G là tập đóng và là không gian compact thì f liên tục

Lưu ý:

 G đóng ⇔ Với mọi lưới trong , giả sử lưới đó hội tụ về một điểm thì điểm đó thuộc

 Định lí 5.1 §1: f liên tục trên ⇔ mọi tập A mở (đóng) trong thì ( ) mở (đóng) trong

 Định lí 1.1 §3: Nếu f liên tục trên , liên thông thì ( ) liên thông

 Định lí 2.2 §3: Các mệnh đề sau đây tương đương

1 là không gian compact

2 Mọi siêu lưới trong thì hội tụ

3 Mọi lưới trong có lưới con hội tụ

 Định lí 2.3 §3:

1 A compact, B đóng, ⊂ thì B compact

2 compact, X là không gian thì đóng

3 X compact, f liên tục trên X thì f(X) compact

Chứng minh:

1 Nếu f liên tục trên và là không gian thì là tập đóng

Chứng minh là tập đóng

⇔ Xét lưới {( , ( ))} ⊂ Giả sử lim( , ( )) = ( , ) Ta cần chứng minh ( , ) ∈ hay chứng minh = ( )

Thật vậy:

Ta có lim = mà f liên tục trên nên lim ( ) = ( ) (1)

Mặt khác ta cũng có lim ( ) = (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với là không gian (giới hạn là duy nhất) suy ra = ( ) (đpcm)

2 Nếu G là tập đóng và là không gian compact thì f liên tục

Chứng minh f liên tục trên ⇔ Với ∀ đóng trong cần chứng minh ( ) đóng trong

⇔ Với ∀ đóng trong Xét lưới { } ⊂ ( ) Giả sử lim =

Ta cần chứng minh ∈ ( )

Thật vậy:

Do đóng, compact, ⊂ nên compact (theo định lí 2.3 §3)

11

Mà { ( )} ⊂ compact nên ∃ lưới con { ( ( ))} ⊂ { ( )} : ( ) →

Khi đó ( ), ( ) ∈ , ( ), ( ) → ( , ) mà đóng nên ( , ) ∈

⇒ = ( ) Do đó ( ) ∈ hay ∈ ( ) (đpcm)

Bài 9: Cho là – không gian compact và : → liên tục Chứng minh rằng tồn tại tập

đóng ≠ ∅ sao cho ( ) =

Chứng minh:

Đặt = { ⊂ : ≠ ∅, đó , ( ) ⊂ } Trong ta xét quan hệ ≤ ⇔ ⊂

Rõ ràng ≠ ∅ (do ∈ )

Xét { : ∈ } là xích trong ( , ≤) Đặt = ⋂∈ thì ⊂

Ta có:

 đóng (do đóng, ∀ )

 ( ) = (⋂∈ ) ⊂ ⋂∈ ( )⊂ ⋂∈ = ⇒ ( ) ⊂

 Ta chứng minh ≠ ∅

Thật vậy:

Xét ⊂ , hữu hạn Ta chứng minh ⋂∈ ≠ ∅

Ta có ∀ , ∈ ⇒ ≤≥ (do { : ∈ } là xích) ⇒ ⊃⊂

Suy ra ∃ ∈ : ⊂ , ∀ ∈ ⇒ ⋂∈ = ≠ ∅

Hay họ { : ∈ } là họ có tâm nên ≠ ∅

Vậy ta có được đóng, ≠ ∅, ( ) ⊂ nên ∈

⇒ là cận trên của xích nên theo bổ đề Zorn thì có phần tử tối đại đặt là

Ta có được ≠ ∅, đóng, ( ) ⊂ (do cách đặt) (1)

đóng ⇒ compact ⇒ ( ) compact (do f liên tục) ⇒ ( ) đóng (do là - không gian) (2)

Từ (1) ta có ( ( )) ⊂ ( ) và ( ) ≠ ∅ (3)

Từ (2) và (3) suy ra ( ) ∈

Mặt khác ( ) ≥ (do ( ) ⊂ ), mà tối đại nên ( ) = (đpcm)