Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 34 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
34
Dung lượng
2,15 MB
Nội dung
CHƯƠNG IV: SỐ PHỨC BÀI 1: SỐ PHỨC DẠNG TOÁN: TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC I – LÝ THUYẾT 1.Biểu diễn hình học số phức: Khái niệm: Điểm số phức z a bi M a;b biểu diễn cho M (x; y) Chú ý: Để tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện ta gọi x; y mà kết biểu diễn số phức z dựa vào điều kiện cho để tìm hệ thức liên hệ luận tập hợp điểm Nếu ax by c a) tập hợp điểm đường thẳng (x a)2 (y b)2 r tập hợp điểm đường trịn tâm I (a; b) bán kính r b) II – DẠNG TỐN Dạng 1:Điểm biểu diễn số phức Phương pháp giải.(Dựa vào biểu diễn hình học số phức) Ví dụ 1: Số phức z 3i có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ là: M 2; 3 M 2; 3 A B Lời giải Chọn C Trình bày chi tiết cách làm C M 2; 3 D M 2; 3 D 2;3 Ví dụ 2: Cho số phức z 3i Điểm biểu diễn số phức liên hợp z 2;3 A Lời giải Chọn A B 2; 3 C 2; 3 2;3 Vì z 3i � z 3i Điểm biểu diễn z có tọa độ Ví dụ 3: Oxy Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức z Tìm z ? A z 4 3i B z 4i C z 4i D z 3 4i Lời giải Chọn Ta có C M 3; 4 Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z 4i Ví dụ 4: Cho số phức z có điểm biểu diễn M z biểu diễn Biết số phức điểm N gần với bốn điểm P , Q , R , S hình vẽ bên Hỏi điểm N w gần với điểm nhất? A S B Q C P D R Lời giải Chọn B Cách 1: (Trắc nghiệm) z 1 i Ta có: z a bi theo hình vẽ có a 1, b nên ta chọn w i z 5 điểm cần tìm Q Suy ra: Cách 2: (Tự luận) Ta có: z a bi theo hình vẽ có a 1, b 1 a b w 2 2i z a bi a b a b có phần thực dương bé 1, phần ảo âm lớn Ta có: 1 nên ta chọn điểm Q điểm cần tìm Dạng 2:Tập hợp điểm biểu diễn đường thẳng z 1 i z 2i Ví dụ 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện đường sau ? A Đường thẳng B Đường tròn C Elip D Parabol Lời giải: Chọn Gọi z x yi Ta có: � A , x, y �� biểu diễn điểm M x; y mặt phẳng oxy z 1 i z 2i � x yi 1 i x yi 2i x 1 y 1 2 x2 y 2 � x 1 y 1 x2 y 2 � x 3y 2 x 3y Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng Chú ý: Nếu đường thẳng z z1 z z2 z1; z2 ( cho trước) tập hợp điểm biểu diễn số phức z Ví dụ 2:Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa mãn điều kiện z 2i z 4x 2y A Tập hợp điểm M đường thẳng có phương trình 4x 2y B Tập hợp điểm M đường thẳng có phương trình 2x 4y C Tập hợp điểm M đường thẳng có phương trình 2x 4y D Tập hợp điểm M đường thẳng có phương trình Lời giải Chọn C Gọi z x yi , x, y �� Ta có: z 2i z � x y 2 i x 1 yi � x2 y 2 x 1 y2 � 2x 4y 2 Dạng 3:Tập hợp điểm biểu diễn đường trịn, hình trịn Phương pháp giải z 5i Ví dụ 1: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn là: A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm I 2; 5 I 2;5 I 2; 5 bán kính bán kính bán kính D Đường tròn tâm O bán kính Lời giải: Chọn C C Đường tròn tâm z x yi , x, y �� z 5i � x y 5 i � x 2 y 5 � x 2 y 5 I 2; 5 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức đường tròn tâm , bán kính R 2 2 16 z z1 r(r 0) z1 Chú ý: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn , cho trước z 5i � z (2 5i ) đường trịn có tâm I điểm biểu diễn z1 , bán kính r ( nên tập hợp điểm đường tròn tâm I 2; 5 bán kính ) z Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w 1 i z i A r 2 Lời giải đường trịn Tính bán kính r đường trịn B r C r D r Chọn A Cách 1: w 1 i z i � z w i 1 i ; đặt w x yi ; x, y �� x yi i 1 i x yi i x yi i z �� � � z 1 i 1 i Ta có � x yi i 1 i � x xi yi y i 1 � x y 3 x y 1 i � x y 3 x y 1 16 � x2 y2 2xy 6y 6x x2 y2 1 2xy 2y 2x 16 2 � 2x2 2y2 8x 4y � x2 y2 4x 2y 2 Đường trịn có bán kính R 2 Cách 2: w 1 i z i � w 1 i (z 2) i 2(1 i ) (làm xuất z 2) � w 1 i (z 2) i � w (2 i ) 1 i (z 2) � w (2 i) 1 i (z 2) � w (2 i ) 1 i z 2 Kết luận Phân tích cách làm Mấy caí làm chưa ưng ý z 2; w (1 3i )z Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn, tính bán kính đường trịn A R B R C R D R Lời giải Chọn C lỗi dấu chấm cuối câu w (1 3i )z � w (1 3i )(z 1) 1 3i � w (3 3i ) (1 3i )(z 1) � w 3i 1 3i z 1 1 3i z 1 Ví dụ 4: z 1 3i �4 Xác định tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả điều kiện A Hình trịn tâm I (1;3) , bán kính r B Đường trịn tâm I (1;3) , bán kính r C Hình trịn tâm I (1; 3) , bán kính r Lời giải Chọn A Cách 1: Giả sử z x yi x, y �� z 1 3i �4 � x 1 , ta có D Đường trịn tâm I (1;3) , bán kính r z 1 3i x 1 y 3 i y 3 �4 � x 1 y 3 �16 2 Vậy tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z hình trịn tâm I (1;3) , bán kính r Cách 2: z 1 3i �4 � z (1 3i ) �4 Kết luận Dạng 4:Tập hợp điểm biểu diễn miền Ví dụ 1: Cho số phức z a bi (a, b ��) Để điểm biểu diễn z nằm dải (- 2; 2), hình 1, điều y kiện a b là: A a, b �(2; 2) C a ��; b �(2; 2) B a �(2; 2); b �� D a, b �[ 2; 2] Lời giải Chọn B Các số phức dải cho có phần thực khoảng (2; 2) , phần ảo tùy ý � Đáp án B Ví dụ 2: O x (H×nh 1) Số phức z thỏa mãn điều có điểm biểu diễn thuộc phần gạch chéo hình z a bi;| z |�2; a � 1;1 A Số phức z a bi;| z |�2; a � 1;1 B Số phức z a bi;| z | 2; a � 1;1 C Số phức z a bi;| z |�2; b � 1;1 D Số phức Lời giải Chọn A M a, b Từ hình biểu diễn ta thấy tập hợp điểm biểu diễn số phức z phần gạch chéo O 0,0 thuộc đường trịn tâm bán kính ngồi 1 �a �1 M a, b Vậy điểm biểu diễn số phức z a bi có mơ đun nhỏ có phần thực thuộc đoạn [-1;1] Ta có đáp án A Ví dụ 3: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa điều kiện có điểm biểu diễn số phức thuộc phần tô màu hình vẽ �z �2 A phần ảo dương �z �2 B phần ảo âm 1 z C phần ảo dương 1 z D phần ảo âm Lời giải Chọn B Ta thấy phần tơ màu nửa trục hồnh hình vành khăn tạo hai đường trịn đồng tâm O 0,0 bán kính M x, y Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z x yi mặt phẳng | z |�2 có phần ảo âm phức với � Dạng 5: Tập hợp điểm biểu diễn đường Elip Phương pháp : F ,F F F 2c c Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định , với ( ) Đường Elip tập hợp điểm M cho MF1 MF2 2a, a số cho trước lớn c Hai điểm F1 , F2 gọi tiêu điểm Elip Khoảng cách 2c gọi tiêu cự Elip F c;0 , F2 c;0 Phương trình tắc Elíp có tiêu điểm : x2 y 1, a b 0, b a c a b z z 10 Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn Giá trị lớn nhỏ mô – đun số phức z A 10 B C D Lời giải ChọnD Giải theo tự luận Cách 1: Giả sử z x yi, ( x, y �R ) có điểm biểu diễn M ( x; y ) Giả sử F1 (4;0), F2 (0; 4) , tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 MF2 10 đường elip ( E ) có tiêu điểm F1 , F2 trục lớn 10 Từ ta tìm 2c F1 F2 � c 2a 10 � a suy x2 y2 (E) : 1 2 25 b a c 25 16 � b Từ z OM Vì M di động ( E ) nên lớn nhất, nhỏ OM độ dài nửa bán trục lớn, nửa bán trục nhỏ Hay max z 5; z Do ta chọn đáp án D A B �A B Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức “tam giác” dạng suy 10 z �z ( z 4) ( z 4) z z z max z Vậy + Mặt khác áp dụng A A A bất đẳng thức bunhiacopxki, ta có: 100 z z �(1 12 ) z z 2 50 �( z 4)( z 4) ( z 4)( z 4) 2 , ta +ۣ50 ( z 4)( z 4) ( z 4)( z 4) 50 z.z 32 z z Dấu diễn � �x y �x �z �� �� � 2 2 z4 z4 ( x 4) y ( x 4) y �y �3 � � Giải theo pp trắc nghiệm: Đang nghiên cứu (Giải theo Casio có) Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn nhỏ z B S A Lời giải Chọn A Giải theo tự luận Cách 1: Đặt ý: Gọi M , m giá trị lớn Tính tổng S M m 5 2 S ( z 2)i ( z 2)i C S D S 52 ( z 2)i ( z 2)i � z i z i � z i z i A A nên z i z (2 i ) z i (*) (chú ) a2 a2 6 Đặt a z i , ta , gọi A điểm biểu diễn cho số phức a hai điểm F1 (2;0); F2 (2; 0) ta x2 y AF1 AF2 � A �( E ) : 1 có Ta có y �D � 5; � � � Khi ta z a i x ( y 1) y2 ( y 1)2 , khảo sát hàm số D Từ Từ ta đáp án A lỗi tìm Cách 2: Cho (*) ta có: Áp dụng bđt Bunhiacopxki z 1; max z 36 z i z i �2 z i z i Ta Mặt khác ta có: 2 (đặt b i ) Q z i z i ( z i ).z i ( z i ).z i Q ( z b)( z b) ( z b)( z b) z.z zb bz b.b z z bz zb bb Hay 2 z b z 10 �4� z 20 36 z Dấu xảy � �x y �z �� � ( x 2) ( y 1) ( x 2) ( y 1) � �z i z i �x y �x y 4 �� �� �x� ;y� 8 x y 5 � �y x Giải theo pp trắc nghiệm: Đang nghiên cứu (Giải theo Casio có) Ví dụ 3: Gọi (H) hình biểu diễn tập hợp số phức z mặt phẳng tọa đọ Oxy để số phức z có phần thực khơng âm Tính diện tích hình (H) 3 A B C D 6 Lời giải ChọnA Giải theo tự luận Giả sử z a bi, ( a, b �R) , z a bi , giả thiết toán a b2 2a 2bi (a bi ) �3 � a 3bi �3 � a 9b �9 � �1 Vậy tập hợp điểm biểu 2 (E) : x2 y 1 (kể diễn cho số phức z điểm M (a; b) thuộc miền elip điểm biên) + Bán trục lớn ( E ) a ' , bán trục bé ( E ) b ' nên diện tích cần tính miền ( H ) S a ' b ' 3 Vậy đáp án A Lỗi Giải theo pp trắc nghiệm: Đang nghiên cứu (Giải theo Casio có) Dạng 6: Tập hợp điểm biểu diễn tập hợp khác Ví dụ 1: Cho số phức z a bi, (a �0, b �0; a, b �R) Đặt f ( x) ax bx Biết �1 � f (1) �0; f � �� �4 � Tính giá trị lớn z max z A Lời giải ChọnA Giải theo tự luận B max z C max z a b �0 � a b �2 � �a b � � a 4b �12 � � � � 16 4 � � a �0; b �0 � a �0; b �0 � � Từ giả thiết ta có: Xét hệ tọa độ Oxy đường thẳng d : x y 0; d ' : x y 12 trục tọa độ D max z (I) + Đường thẳng d �Ox A(2;0); d �Oy (0; 2) B; d '�Ox C (12;0); d '�Oy D(0;3) hai đường thẳng d �d ' I (4; 2) + Miền nghiệm (I) biểu diễn mặt phẳng tọa độ nằm tứ giác OAID kể điểm thuộc cạnh đa giác z a b OM 2 z + Ta có: , lớn OM lớn hay OM lớn với M (a; b) điểm thuộc miền đa giác lồi OAID max z + Ta có: OA 2; OI 5; OD Từ suy Dấu diễn z 2i Ví dụ 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa A Một parabol B Một điểm Lời giải ChọnA Giải theo tự luận z z z 2i là? C Một đường thẳng D Một đường tròn Giả sử z x yi, ( x, y ��) , ta có z x yi từ ta y2 � ( x 1) ( y 2) � � � x2 2x � y x 2x y y � y x 2x � y Vậy quỹ tích cần tìm 2 2 đường parabol Chọn đáp án.A Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi H phần mặt phẳng chứa điểm biểu diễn số z 40 0;1 phức z thỏa mãn 40 z có phần thực ảo thuộc Tính diện tích H A 1600 B 400 C 50(3 ) D 1200 200 Lời giải Chọn D Giải theo tự luận + Giả sử z x yi, ( x, y �R) , z x y i 40 40 40 theo ta có: �x �40;0 �y �40 Từ ta thấy điểm biểu z diễn M cho số phức 40 hình vng có OABC hình vẽ 40 40 z 40 x 40 y i 2 x y x y z z z + Theo ta có: 40 x 40 y 0� �1 0� �1 x y x y2 (1) (2) Từ (1) ta x �0 x y �40 x � ( x 20) y �400 (1’) 2 2 Từ (2) ta y �0 x y �40 y � x ( y 20) �400 (2’) Tập hợp điểm biểu diễn cho miền (H) nằm miền “màu đỏ” ta cần tính diện tích miền R 100 + Diện tích phần bốn cung trịn có bán kính R 20 Nên 2 diện tích hình hoa văn tạo cung AIO cung OIC S 100 20 100 400 200 diện tích cần tính bằng: S 40 S 1200 200 * 2 * Ví dụ 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2, z2 gọi M , N điểm biểu diễn P z12 z22 � cho số phức z1 , iz2 MON 30 Tính A P B P C P 3 D P Lời giải Chọn.B Giải theo tự luận Cách 1: Chọn z1 , suy M (2; 0) , (tọa độ điểm iz2 xem giao điểm đường y thẳng iz2 3 x y �x 2 đường tròn có phương trình x y � chọn 2 hay 3 i 2 từ tìm z2 3 i 2 Từ ta �3 � 2 z 4z 4� �2 i � � 2 3i � P z1 z2 � � Từ ta tìm đáp án.B 2 2 z1 z2 z1 4(iz2 ) ( z1 2iz2 )( z1 2iz2 ) Cách 2: Ta có: , từ ta có: 2 P z1 2iz2 z1 2iz2 Theo gọi điểm biểu diễn cho số phức 2iz A N trung điểm đoạn OA z 2iz MA Ta có: , theo định lý sin cho tam giác OMA ta có: MA2 OM OA2 2OM OA.cos 300 4.3 2.2.2 3 4 từ ta MA + Q z1 2iz2 ( z1 2iz2 ).z1 2iz2 ( z1 2iz2 ).( z1 2i z2 ) Q z1 z1 2iz1.z2 2iz2 z1 z2 z2 12 2i ( z2 z1 z1 z2 ) suy Nếu đặt z1 a bi; z2 x yi, (a, b, x, y �R ) , ta có: Q 16 2i ( x yi )(a bi ) (a bi )( x yi ) 16 2i (2bxi 2ayi) 16 4(bx ay ) uuuu r uuur iz y xi OM ( a ; b ); ON ( y; x) nên Ta có: nên ta có: uuuu r uuur OM ON bx ay OM ON cos 300 3 Từ ta Q 16 4.3 28 , từ z 2iz2 suy Từ ta P Nhận xét: Một toán hay (sao lại liên quan đến định lý cô sin tích vô hướng????) z i z 7i Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức 29 2 A Lời giải Chọn.A S P z 1 i Giá trị tổng S M m B S 13 73 C S 73 D S 73 61 A Lời giải Chọn B 41 B 61 C 41 D z,z Gọi M, N điểm biểu diễn số phức mặt phẳng 5i 2 i z 5i 2 � i z 1 i Từ � z 3i � M � C có tâm I 2;3 , bán kính R = z x yi; x; y �� Gọi z 2i z i � x y � N � : x y từ Ta có: z1 z MN d I; � MN d I; R 2 7 4 2 2 7 4 2 2 41 � MN max d I; R Vậy � MN MN max z �2 Câu 15 Cho số phức z thỏa mãn Tích giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P= z +i z bằng: A Bài giải: Chọn D B C z - z1 � z1 + z2 � z1 + z2 Áp dụng BĐT 1 z +i i 1 1- �1�P = = + �1 + �1 + z z z z Ta có D IV – BÀI TẬP LUYỆN TẬP NHẬN BIẾT, THÔNG HIỂU VÀ VẬN DỤNG THẤP Câu Gọi A điểm biểu diễn số phức z 5i B điểm biểu diễn số phức z 2 5i Tìm mệnh đề mệnh đề sau A Hai điểm A B đối xứng với qua trục hoành B Hai điểm A B đối xứng với qua trục tung C Hai điểm A B đối xứng với qua gốc toạ độ O D Hai điểm A B đối xứng với qua đường thẳng y x Câu Cho số phức z 2i Tìm tọa độ biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ M 1; 2 M 2;1 M 1; M 2; 1 A B C D Câu Câu Câu Câu Cho A, B, C điểm biểu diễn số phức 3i ; điểm biểu diễn D cho ABCD hình bình hành: A z 5i B z 8 3i C z 8 4i i Tìm số phức có D z 2i A 1; Trong mặt phẳng toạ độ, điểm điểm biểu diễn số phức số sau? z i z i A B C z 2i D z 2 i 3i mặt phẳng phức là: Tọa độ điểm biểu diễn số phức �2 � �2 3 � �2 � � ; � � ; � � ; � 13 13 13 13 13 13 � � � � � A B C � D z z 3i z 9i Cho số phức z thỏa mãn điều kiện điểm điểm A, B, C , D hình bên? A Điểm D Câu 1 2i i ; B Điểm C Số phức C Điểm B w �2 3 � � ; � �13 13 � iz có điểm biểu diễn D Điểm A Điểm A hình vẽ bên biểu diễn cho số phức z Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực 3 phần ảo C Phần thực phần ảo 2i Câu Cho số phức z 2i Hỏi điểm biểu diễn z điểm điểm M , N , P , Q hình bên A Điểm M Câu B Phần thực phần ảo 2 D Phần thực 3 phần ảo 2i B Điểm N C Điểm P D Điểm Q 3i z 2i 4 Cho số phức z thỏa mãn Điểm sau biểu diễn cho z điểm M , N , P, Q hình bên? A Điểm M B Điểm N C Điểm P D Điểm Q Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn iz i Khoảng cách từ điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy đến điểm M (3; 4) là: A B 13 C 10 D 2 z 2i Câu 11 Cho A , B , C tương ứng điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức , z2 2 5i , z3 4i Số phức z biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A 1 7i B i C 5i D 5i uuu r z,z Câu 12 Gọi A, B theo thứ tự điểm biểu diễn số phức Khi độ dài véctơ AB bằng: z - z2 z + z2 z - z z + z2 A B C D z 2i; M1 , M Câu 13 Cho A điểm biểu diễn số phức: điểm biểu diễn số phức z1 z2 Điều kiện cần để AM 1M cân A là: A C z1 z2 z1 z2 2i Câu 14 Kí hiệu z0 B z1 2i z2 2i D z1 2i z1 z2 nghiệm phức có phần thực phần ảo âm phương trình z z Trên mặt phẳng toạ độ, điểm điểm biểu diễn số phức M 2; 1 M 1; M 2; 1 A B C i 2017 4i Câu 15 Trong mặt phẳng phức, tìm điểm M biểu diễn số phức � � � �4 � � M� ; � M� ; � M� ; � A � 25 25 � B �25 25 � C � 25 25 � w z0 i D ? M 2;1 z � �4 M � ; � D �25 25 � Câu 16 Trong mặt phẳng phức gọi A , B , C điểm biểu diễn số phức z1 i i z2 3i z2 1 3i , , Tam giác ABC A Một tam giác vuông (không cân) B Một tam giác cân (không đều, không vuông) C Một tam giác vuông cân D Một tam giác Câu 17 Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z mặt phẳng phức, biết số phức z thỏa z 2i z mãn điều kiện A Tập hợp điểm M đường thẳng có phương trình x y B Tập hợp điểm M đường thẳng có phương trình x y C Tập hợp điểm M đường thẳng có phương trình x y D Tập hợp điểm M đường thẳng có phương trình x y z = + bi, ( b �R ) Câu 18 Các điểm biểu diễn số phức mặt phẳng tọa độ, nằm đường thẳng có phương trình là: A y = b B y = C x = b D x = 2 Câu 19 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z cho z | z | là: A Gốc tọa độ B Trục hoành C Trục tung trục hoành z 1 i Câu 20 Cho số phức z thỏa Chọn phát biểu đúng: A Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng B Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường Parabol C Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính D Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính D Trục tung z = x + yi, ( x, y �R) Câu 21 Số Phức thỏa mãn điều kiện có điểm biểu diễn phần gạch chéo hình vẽ ? � z �2 � � � �y - > � � �x 1 B � � z �2 � � � �y 1 D � z 4 Câu 22 Cho số phức z có Tập hợp điểm M mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức w z 3i đường trịn Tính bán kính đường trịn A B C D Câu 23 Trong mặt phẳng phức, cho số phức a khác Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z a z a aa z cho: là: A Đường tròn B Một điểm C Đường thẳng D Dường Elip Câu 24 2 C Đường tròn x y x y Câu 25 Câu 27 Câu 28 D Đường thẳng x y i, 3i,1 2i Số phức z biểu diễn Gọi M , N , P lần lượtuulà điểm uu rcác u uur biểu r diễn số phức điểm Q cho MN 3PQ : i A 3 Câu 26 z 1 z i Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức cho số thực 2 A Đường thẳng x y B đường tròn x y x y i B 3 i C 3 i D 3 i z số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức z : Số phức z thỏa mãn A Trục Ox B Trục Oy C Đường thẳng y x D Đường thẳng y x Tập hợp điểm biểu diễn số phức trịn có diện tích : A B 3 w 1 i z 1 z �1 , với z số phức thỏa mãn hình C 4 D 2 Cho số phức z a a i với a �R Khi điểm biểu diễn số phức liên hợp z nằm : A Đường thẳng y x B Parabol y x C Đường thẳng y x D Parabol y x Câu 29 z x yi x, y �R Cho số phức thực âm : z i Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho z i số A Là điểm trục hoành với 1 x x �1 � � x �1 C Các điểm trục hoành với � B Các điểm trục tung với 1 y �y �1 � D Các điểm trục tung với �y �1 1 z Cho số phức z thỏa mãn số thực Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z A Đường tròn B Parabol C Hai đường thẳng D Đường thẳng Câu 30 VẬN DỤNG CAO Câu 31 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện zi (2 i ) là: x 1 y 2 A 2 4 B x 3y x 1 y 2 D C 2x y 4 z z 10 Câu 32 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ A S z Giá trị S M m B S 14 C S 12 D S 10 z 3i z 3i 10 Câu 33 Cho số phức z thỏa mãn Gọi A, B điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện có mơđun lớn nhỏ Gọi M (a; b) trung điểm S ab đoạn AB điểm biểu diễn cho số phức w Khi S S 2 A B C S D S Câu 34 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2, z2 gọi M , N điểm biểu diễn P z12 z22 � cho số phức z1 , iz2 MON 45 Tính A P B P C P D P Câu 35 Trong mặt phẳng phức gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức i,1 3i, a 5i với a �� Biết tam giác ABC vng B Tìm tọa độ C ? A C 3;5 B C 3;5 C C 2;5 D C 2;5 a b c 1 Câu 36 Cho số phức a, b, c thỏa mãn a b c Gọi A, B, C điểm biểu diễn cho số phức a, b c Tính diện tích S tam giác ABC A S B S C S 3 D S 3 Câu 37 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 số phức thỏa mãn z1 z2 z3 z1 z2 z3 Gọi A, B, C điểm biểu diễn cho ba số phức z1 , z2 , z3 Tính diện tích S tam giác ABC A S B S C S 3 D S 3 z z z3 Câu 38 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 số phức thỏa mãn z1 z2 z3 Gọi A, B, C điểm biểu diễn cho ba số phức z1 , z2 , z3 Tính diện tích S tam giác ABC A S 3 B S 3 C S z1 D S 2 4i 6i , z i 2i , z3 1 i 3i Câu 39 Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức Khi đó, mệnh đề A A, B, C thẳng hàng B ABC tam giác tù C ABC tam giác D ABC tam giác vuông cân z 2i z i Câu 40 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức A S P z 3i 29 2 B S Giá trị tổng S M m 5 2 C S 10 D S 52 1 z1 z2 z3 z , z , z z z2 z3 Biết Câu 41 Cho số phức phân biệt thỏa mãn � điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 , z3 A, B, C Tính số đo góc ACB ? A 60� B 90� C 150� D 120� z �5 Gọi z1 ; z �T z z2 số phức có mơdun nhỏ lớn Tìm số phức A 12 2i B 2 12i C 4i D 12 4i Câu 42 Gọi T tập hợp số phức z thỏa mãn Câu 43 Cho số phức M max z , m z A w a, b, c, z thỏa mãn az bz c a b c 0 Tính mơ đun số phức w M mi Câu 44 Cho số phức z thỏa mãn A z i �3 B w 1 z B C w 2 D w 2 3 z z Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ C 13 D Kí hiệu z 1 Câu 45 Cho số phức z thỏa mãn Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P với P 1 z2 1 z ? A B 2 Câu 46 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn D C 1 2 z1 z1 z z gọi M, N điểm biểu diễn z1 ; z2 z z mặt phẳng tọa độ tam giác giác MON có diện tích Tìm giá trị nhỏ A 3 B z z 4i Câu 47 Trong số phức z thỏa mãn A B Câu 48 Cho hai số phức z1 z A C D , mô dun nhỏ z ? C D z1 , z thỏa mãn z1 5, z 3i z 6i Tìm giá trị nhỏ B Câu 49 Trong số phức z thỏa mãn điều kiện A z =2 + i B z =3 + i C z 4i z 2i D Tìm số phức z có mơđun bé C z =2 + 2i D z =1 +3 i Câu 50 Trong số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = Tìm số phức z có mơđun nhỏ z 26 13 78 13 13 26 z 26 13 78 13 13 26 B z 26 13 78 13 13 26 A D z 26 13 78 13 13 26 C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 1B 2C 3A 4C 5C 6D 7B 8A 9A 10D 11B 12C 13B 14A 15B 16C 17C 18D 19A 20D 21B 22A 23A 24D 25D 26D 27D 28B 29B 30C 31A 32A 33B 34B 35A 36C 37A 38A 39B 40A 41D 42A 43A 44C 45D 46C 47B 48C 49C 50A z z 10 Câu 32 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Giá trị S M m A S B S 14 C S 12 D S 10 Giải: Do z nằm (E) có a b nên M 5, m � M m , chọn A z 3i z 3i 10 Câu 33 Cho số phức z thỏa mãn Gọi A, B điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn điều kiện có mơđun lớn nhỏ Gọi M (a; b) trung điểm S ab đoạn AB điểm biểu diễn cho số phức w Khi S S 2 A B C S D S a 2, b � S 2 , chọn B Giải: Do z nằm (E) có a b nên z 2, z2 Câu 34 Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn gọi M , N điểm biểu diễn P z12 z22 � z , iz MON 45 cho số phức Tính A P B P C P D P Câu 35 Trong mặt phẳng phức gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức i,1 3i, a 5i với a �� Biết tam giác ABC vuông B Tìm tọa độ C ? A C 3;5 B C 3;5 C C 2;5 D C 2;5 a b c 1 Câu 36 Cho số phức a, b, c thỏa mãn a b c Gọi A, B, C điểm biểu diễn cho số phức a, b c Tính diện tích S tam giác ABC S A Bài giải Cách 1: (Tự luận) B S C S 3 D S 3 + Trước hết ta chứng minh tam giác ABC nội tiếp đường trịn bán kính Thực vậy: từ giả thiết a b c � A, B, C thuộc đường tròn (O; R 1) + Ta chứng minh tam giác ABC Để chứng minh điều trước hết ta dễ chứng a b AB minh (học sinh tự chứng minh) a b c � a b c � b c c a a b 1 + Từ Mặt khác theo đẳng thức hình bình hành ta có 2 a b a b 2( a b ) a b 2.2 � a b � AB tam giác ABC với cạnh nên ta có Tương tự ta tính BC CA Do nên có diện tích S a2 3 4 3 a 1; b i; c i 2 2 Khi ta dễ thấy Cách 2: Chuẩn hóa số phức số phức thỏa mãn điều kiện toán AB b a + 1 3 i 1 i 2 2 , từ ta tìm diện tích tam giác ABC z z2 z3 Câu 37 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 số phức thỏa mãn z1 z2 z3 Gọi A, B, C điểm biểu diễn cho ba số phức z1 , z2 , z3 Tính diện tích S tam giác ABC A S B S C S 3 D S 3 z z z3 Câu 38 Cho ba số phức z1 , z2 , z3 số phức thỏa mãn z1 z2 z3 Gọi A, B, C điểm biểu diễn cho ba số phức z1 , z2 , z3 Tính diện tích S tam giác ABC A S 3 B S 3 C S z1 D S 2 4i 6i , z i 2i , z3 1 i 3i Câu 39 Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức Khi đó, mệnh đề A A, B, C thẳng hàng B ABC tam giác tù C ABC tam giác D ABC tam giác vuông cân Bài giải z i z2 i z3 2i Ta có , , Từ ta A(2; 1); B(3;1); C (0; 2) uuur uuur uuur AB (1; 2) � AB 5; AC ( 2;3) � AC 13; BC (3;1) � BC 10 Ta � - Do 2 nên ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng từ ta tam giác ABC; - Dễ thấy tam giác ABC tam giác tam giác vuông Vậy tam giác ABC tam giác tù Đáp án B z 2i z i Câu 40 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức 29 2 A Bài giải S P z 3i B S Giá trị tổng S M m 5 2 C S 10 D S 52 + Trước hết ta có mệnh đề quen thuộc: Nếu z , z ' có điểm biểu diễn A, A ' z ' z A ' A z 2i; z2 2 i; z3 i + Xét số phức z x yi, ( x, y �R) có điểm biểu diễn A, B, C N Khi ta có giả thiết NA NB (1) với AB (2) Từ (1) (2) ta N thuộc đoạn thẳng AB Yêu cầu tốn tìm max biểu thức S NC với ABC đỉnh tam giác max P max CA, CB P NC ; + Ta có đường thẳng AB : x y CH d (C , AB) nên 3 + CA 5; CB 29 suy max P 29 Vậy ta đáp số A 1 z1 z2 z3 z , z , z z z2 z3 Biết Câu 41 Cho số phức phân biệt thỏa mãn � điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 , z3 A, B, C Tính số đo góc ACB ? A 60� B 90� C 150� D 120� Bài giải Giả sử zk xk yk i, ( xk , yk �R; k 1, 2,3) , điểm A( x1 ; y1 ), B( x2 ; y2 ), C( x3 ; y3 ) điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2 , z3 mặt phẳng tọa độ Oxy + Từ giả thiết z1 z2 z3 � OA OB OC nên A, B, C thuộc đường trịn tâm O , bán kính R + Từ z 1 z z � 2 � z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 (vì z1 z2 z3 x y i x2 y2i x3 y3i ) hay 1 uuu r uuu r uuur �x1 x2 x3 �� � OA OB OC �y1 y2 y3 (2) uuu r uuu r uuur + Vì OA OB OA OB OC nên OACB hình thoi với đường chéo OC � + Từ suy tam giác OAC , OBC cạnh nên ACB 120 z �5 z ; z �T Gọi số phức có mơdun nhỏ lớn Tìm số phức z1 z2 Câu 42 Gọi T tập hợp số phức z thỏa mãn A 12 2i Bài giải B 2 12i z i �3 C 4i D 12 4i Do z i �3 ngồi đường trịn z �5 nên tập hợp điểm M điểm nằm I 0;1 ; R nằm đường tròn I 1; ; R OM1 �z OM �OM Dựa vào hình vẽ ta chứng minh Khi z1 2i; z � z1 2z 2i 12 a, b, c, z Câu 43 Cho số phức a b c 0 Kí hiệu w A Bài giải thỏa mãn az bz c M max z , m z B w 1 Tính mơ đun số phức w M mi C w 2 D w 2 Cách 1: Ta thấy phương trình az bz c tập số phức ln có hai nghiệm phân biệt trùng z1 , z2 Theo định lý vi – ét ta có z1.z2 Đặt c c c � z1.z2 a a a z1 x 0; x �R z1 z2 b b b � z1 z2 a a a , ta có: z2 x Từ bất đẳng thức z1 z2 �z1 z2 nên ba số z1 , z2 , z1 z2 cạnh tam giác (có thể suy biến thành đoạn thẳng) Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được: � 1� z1 z2 �z1 z2 � x �1 � �x ��1 x � x� �(�� x 1) 2 x � x2 ( x ) 3� 3 x2 3 Từ tìm 3 3 ;m 2 M Từ w M m2 a b �a b ; a b �b a Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức dạng , ta có: a c a c az bz c � bz az c � z z � z z b b b b Từ ta có: z a c a c 2 z � z z � z z �0 b b b b z 1 Bằng cách tương tự ta � � �1 � 1 w � � � � � � � � z � � � � � từ tìm Câu 44 Cho số phức z thỏa mãn z 3 z z Tổng giá trị lớn nhất, nhỏ A Bài giải Đặt: B a z C 13 D z ( a 0) Với giả thiết ta có: z ( z z ) z.z z z z z2 � �� � � � � 1� a �z � �z � �z � z z z z � � 2 z z zz � z �� z � � z � � z� z z z 2 4 a z z ( z z ) z � z (2 a ) z ( z z ) �0 Từ ta (chú ý z z �R ) � a a a a � (2 a ) z �0 � z �� ; � 2 � � � � Nên ta Từ cách thay a cụ thể ta đáp án C z 2 z 1 Câu 45 Cho số phức z thỏa mãn Tìm tổng giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P với P 1 z2 1 z ? A Bài giải Ta có P 1 z2 z B 2 C 1 2 z z z z x ( x 1) y x x Khảo sát hàm số f ( x) x x với x �D 1;1 f '( x ) D 2 x y 2 2x 1 2x 2x + Với x �0 ta có f ( x) x x ta có f '( x) � x � x nên ta có max P P (1) 0; P P(0) + Với 1 �x �0 ta f ( x) 2 x x f '( x ) 2 0 1;0 Từ ta 2x tập điều kiện Hàm số nghịch biến max P P( 1) 2; P P(0) + Từ ta Câu 46 Cho hai số phức max P P( 1) 2; P P(0) 1;1 1;1 z1 , z2 thỏa mãn z1 z1 z z Vậy kết gọi M, N điểm biểu diễn z1 ; z2 z z mặt phẳng tọa độ tam giác giác MON có diện tích Tìm giá trị nhỏ A 3 Lời giải Chọn C Giải theo tự luận B C D z1 z1 z2 z2 z1 z2 z z2 ta �x 2a � z x yi; z2 a bi, (a, b, x, y �R ) + Giả sử Ta �y 2b M ( x; y ); N (a; b); N '(a; b) uuuu r uuur z1 z2 z2 OM ( x ; y ); ON (a; b) điểm biểu diễn cho số phức , Ta có bx ay 16 ab Từ diện tích tam giác OMN nên hay (1) + Từ giả thiết Ta có suy P z2 a b �3 ab Dấu diễn � a �2 � �a b �� � b �2 � �ab Vậy ta chọn đáp án là.C Câu 48 Cho hai số phức z1 z z1 , z thỏa mãn z1 5, z 3i z 6i Tìm giá trị nhỏ Giải: Giả sử M(a; b) điểm biểu diễn số phức z c di số phức z � (a 5) b 25 Ta có 2 Vậy M thuộc đường tròn (C) :(x 5) y 25 z1 a bi , N(c;d) điểm biểu diễn z 3i z 6i � 8c 6d 35 : 8x 6y 35 Vậy N thuộc đường thẳng z z MN Dễ thấy đường thẳng không cắt (C) 2 Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) :(x 5) y 25 đường thẳng : 8x 6y 35 Tìm giá trị nhỏ MN, biết M chạy (C) , N chạy đường thẳng L M d H Gọi d đường thẳng qua I vng góc với PT đường thẳng d 6x-8y=-30 Gọi H giao điểm d Tọa độ điểm H nghiệm hệ �x 8x 6y 35 � � � � � H(1; ) � 6x 8y 30 y � � � Gọi K, L giao điểm d với đường tròn (C) Tọa độ K, L nghiệm hệ x 1; y � (x 5) y 25 � �� � x 9; y 3 6x 8y 30 � � Vậy K(-1;3), L(-9;-3) 5 MinMN � M K, N H Min z1 z 2 Tính trực tiếp HK, HL Suy Khi Câu 50 Trong số phức z thoả mãn điều kiện: |z – 2+3i| = Tìm số phức z có mơđun nhỏ 3 Giải: Giả sử z = x + yi, : |z – 2+3i| = |(x-2) +(y+3)i|= (x-2)2 + (y+3)2 = Tập hợp điểm M thoả mãn điều kiện cho đường trịn tâm I(2;3) bán kính 3/2 Môđun z đạt giá trị nhỏ M thuộc đường tròn gần O M trùng với M1 giao đường thẳng OI với đường trịn Ta có: OI = 13 Kẻ M1H Ox Theo định lý Talet ta có: 13 M1H OM1 � 13M H 13 13 OI 2 13 13 78 13 26 13 M1H = 13 OH � OH 26 13 13 13 Lại có: Vậy số phức cần tìm là: z 26 13 78 13 13 26 ... 4i Câu 15 Trong mặt phẳng phức, tìm điểm M biểu diễn số phức � � � �4 � � M� ; � M� ; � M� ; � A � 25 25 � B � 25 25 � C � 25 25 � w z0 i D ? M 2;1 z � �4 M � ; � D � 25 25 � Câu... cạnh nên ACB 120 z ? ?5 z ; z �T Gọi số phức có mơdun nhỏ lớn Tìm số phức z1 z2 Câu 42 Gọi T tập hợp số phức z thỏa mãn A 12 2i Bài giải B 2 12i z i �3 C 4i D 12 4i Do z ... HƯỚNG DẪN GIẢI 1B 2C 3A 4C 5C 6D 7B 8A 9A 10D 11B 12C 13B 14A 15B 16C 17C 18D 19A 20D 21B 22A 23A 24D 25D 26D 27D 28B 29B 30C 31A 32A 33B 34B 35A 36C 37A 38A 39B 40A 41D 42A 43A 44C 45D 46C 47B