CHO CÁC LỚP KHÔNG CHUYÊN, chương trình cơ bản, các lớp mức độ 8,5 điểm. đề rất sát với ma trận đề thi Trung học phổ thông quốc gia năm 2021 của Bộ Giáo Dục trong năm học 21 22. Đề có đáp án và hướng dẫn giải chi tiết, có bảng đáp án phù hợp với các cách ra đề cho học sinh làm trực tiếp trên hệ thống AZOTA .
ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KÌ TỐN 12 MỨC NHẸ ( un ) với u1 =2 d = Tìm số hạng thứ tư cấp số cộng C u4 = D u4 = 11 Câu Cho cấp số cộng Câu A u4 = 13 B u4 = 10 Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm 12 học sinh ? A C125 B công sai A125 C P5 D x− Câu A Câu B Trong không gian Oxyz , mặt cầu uur n4 = ( 1;2; − 1) C y−1 z +1 d: = = Trong không gian Oxyz , cho phương trình đường thẳng −1 phương đường thẳng d ? uur n1 = ( 2;1; − 1) 125 uur n3 = ( −1;2;1) Véctơ véctơ D uur n2 = ( 2;1;1) ( S ) có phương trình x2 + y + z − x − y + z + 10 = Bán kính R mặt cầu ( S ) bằng? A Câu R= B R = y = x3 − x + Số giao điểm hai đồ thị hàm số A B z = + 2i R= y = 3x + C C w = iz − + 3i R= D Câu Cho số phức Câu 25 Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy r độ dài đường sinh l Câu Mô đun số phức D A 5i B C D A S xq = 2π rl B S xq = π rl C S xq = 2π r l D Trong không gian với hệ trục tọa độ ABC Trọng tâm tam giác A ( 1; − 1; − 1) Oxyz , cho tam giác ABC với S xq = π rl A ( 1; − 2; − 3) , B ( − 4;1;1) , C ( 3; − 2; − 1) có tọa độ B ( − 2; − 2; − ) ( 1;0; − 1) C C D ( 0; − 1; − 1) ∫ ( x + 1) dx Tích phân Câu 10 A Câu 10 B Cho hàm số 11 D f ( x ) = 3x − , khẳng định sau, khẳng định đúng? 3x x f ( x ) dx = − x+C A ∫ B f ( x ) dx = ln − x + C ln ∫ C ∫ f ( x ) dx = − x + C x Câu 11 Cho A Câu 12 ∫ g ( x ) dx = x z = 4+ i 3x + x+ C ln ∫ f ( x ) − g ( x ) dx C w = + 5i Số phức z − w B + 6i C − 4i B − 4i Với ∫ 17 Cho hai số phức A Câu 13 ∫ f ( x ) dx = D f ( x ) dx = số thực dương tùy ý, log x3 D −1 D + 6i A Câu 14 + log x V= 3Bh B Cho hình chóp S ABCD có đáy C B chiều cao V = B2h C Thể tích khối chóp có diện tích đáy A Câu 15 log x B ABCD SA = 2a Góc đường thẳng SC hình vuông cạnh mặt phẳng ( log x ) D 3log x D V = Bh 3h V= Bh a Đường thẳng SA ( ABCD ) ϕ Khi tan ϕ vng góc với mặt phẳng đáy A Câu 16 y' = Với A a a 2 B Đạo hàm hàm số A Câu 17 y = log x x ln y' = a2 x ln C y ' = x ln D 2 D y' = x B a B số dương tùy ý , C C a D a D [ 0;3] D Q ( 2;1;0 ) x −3 x − Câu 18 1 Tập nghiệm bất phương trình ÷ Câu 19 Câu 20 B Cho khối trụ có diện tích đáy V = 24 ( −∞;0] B = 12 đường cao C h = Thể tích V khối trụ C V = 72 V =8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng x − y + z − = A Câu 21 là: [ 3;+∞ ) Trong không gian Oxyz , điểm sau thuộc mặt phẳng ( Oxy ) ? A N ( 2;0;1) B M ( 0;1;2 ) C P ( 0;0; − 1) A ( −∞;0] ∪ [ 3; +∞ ) ≥4 B hình lập phương Thể tích khối lập phương A Câu 22 V= 3 D V= x= Cho hàm số B B f ( x) 2 log ( 3x − 1) = y = − x3 + 3x + y = − x4 + 2x2 + D x=2 C y = x4 − x2 + D y = x − 3x + C −4 D Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên sau : Giá trị cực đại hàm số cho A Câu 25 C V= A B C x = Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình vẽ ? A Câu 24 V= B Nghiệm phương trình x= Câu 23 27 V = 36 x − y + z + = chứa hai mặt D có bảng biến thiên sau Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A Câu 26 12π cm3 B z = − 2i Câu 30 72π cm3 z = − − 2i y = x3 − x2 + 3x + Cho hàm số 20 y = f ( x) ( − 3; + ∞ ) h = 4cm Thể tích khối nón C 27π cm3 D 36π cm3 C z = − + 3i D z = + 3i C 19 ¡ 11 D 38 ? y = ln x B D số nguyên dương Xác suất để chọn hai số có tổng B 38 Hàm số sau đồng biến ( − ∞ ;0) Chọn ngẫu nhiên hai số khác số chẵn A C độ dài đường cao z = − 3i B A 19 Câu 29 ( − 1;0) r = 3cm Số phức liên hợp số phức A Câu 28 B Cho hình nón có bán kính đáy A Câu 27 ( − 3;0) C có bảng xét dấu đạo hàm f ′ ( x) y= 2x − x+ D y = x − x + 2021 sau Hàm số cho có điểm cực trị? A Câu 31 B C y= Tiệm cận ngang đồ thị hàm số A x = −2 B D − 2x + x − đường thẳng y = −2 C y = D x = π Câu 32 Biết A Câu 33 nguyên hàm hàm số π − B Gọi x =3 ¡ Giá trị ∫ ( + f ( x ) ) dx C π + D π C x = D x = M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x − 3x + đoạn [ 0;2] Giá trị M − m B Cho hình chóp cách từ điểm A Câu 36 = 32 B x = A Câu 35 π f ( x) Nghiệm phương trình 22 x+ A Câu 34 F ( x ) = sin x O OABC C có ba cạnh đến mặt phẳng OA, OB, OC ( ABC ) D đơi vng góc với OA = OB = OC = Khoảng B Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu ( S ) C có tâm D I ( 2; − 1;2 ) qua gốc tọa độ có phương trình A Câu 37 Câu 38 ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) 2 x2 + y + z = A ∫ f ( x ) dx = − cos x + e C ∫ f ( x ) dx = cos 2x + e Cho lăng trụ tứ giác 300 A x x +C +C V = a3 B y = f ( x ) Hàm số f ( − 1) − sin 2 g ( x ) = f ( x ) − sin x B f ( x) Giá trị biểu thức −2 = ∫ f ( x ) dx = − 2cos x + e D ∫ f ( x ) dx = − 2cos 2x + e , góc ∫ [ − 1;1] C f ( 0) để bất phương trình 65021 C ¡ f ′(4sin x − 2) cos xdx + A' B x +C x +C mặt phẳng A ' ACC ' A , song song với (3 x2 − x V = 2a D f ( 1) − sin )( ) − 2x − m ≤ y = f ( x) có nghiệm nguyên? D 65024 D hình vẽ f ′( x + 2)dx ∫0 C Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = mặt phẳng D 65023 Đồ thị hàm số B Trong không gian với hệ tọa độ qua điểm m có đạo hàm liên tục π ∆ B đoạn f ( ) − sin B 65022 Cho hàm số A C V = a V = a3 y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên hình vẽ Có giá trị nguyên tham số A Câu 43 Tính thể tích khối lăng trụ cho Cho hàm số A Câu 42 ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy a Giá trị lớn hàm số Câu 41 ( x − ) + ( y + 1) + ( z − 2) B D Câu 40 = ( x + ) + ( y − 1) + ( z + ) = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z = i ( + 2i ) điểm đây? A Q ( 2; − ) B N ( 3; − ) C M ( 3;2 ) D P ( − 2;3) x Cho hàm số f ( x ) = sin x + e , khẳng định sau, khẳng định đúng? C Câu 39 ( P) đồng thời cắt trục Oz điểm A ( 1;2;3 ) Đường thẳng có phương trình tham số x = 1+ t y = + 6t A z = + t Câu 44 Có số phực A Câu 45 x = t y = 2t B z = + t z x = + 3t y = + 2t C z = + t thoả mãn đồng thời điều kiện B z+ 2− i = x = 1− t y = + 6t D z = + t ( z − i) số phức C D số ảo? 288dm3 Đáy Một người muốn xây bể chứa nước, dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu người biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi người phải trả chi phí thấp để th nhân cơng xây dựng bể bao nhiêu? A Câu 46 910000 đồng A z1 + z2 B thỏa mãn 1680000 ( z + i ) ( z + 3i ) đồng P ( 1; − 2; − ) OABC Oxyz C 2+ B F ( 1; − 2; − 8) f ( x) ( ABC ) C D I ( 2; − 1; − ) cho mặt cầu (S) có tâm lớn mặt phẳng Có số ngun dương x, x ≤ A 10 B 11 Cho hàm số D 540000 số ảo Biết ba đường thẳng thay đổi, không đồng phẳng qua Khi thể tích khối tứ diện Câu 49 z C +3 Trong không gian với hệ trục tọa độ A đồng đồng z1 − z2 = , giá trị 2+ d1 ; d2 ; d3 Câu 48 1080000 Giả sử z1 , z2 hai số số phức lớn Câu 47 B 3+3 qua gốc tọa độ O Gọi O cắt ( S ) điểm thứ hai A, B, C qua điểm sau E ( −1;2; −8) D Q ( 2; −3;5) y x 2021 cho tồn số nguyên y thỏa mãn x ( + y − 1) = − log2 x C 12 D đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ −1 x Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = e ( f ( x + 1) ) A Câu 50 Cho hàm số B C f ( x ) = ax + bx + 1, ( a ≠ 0, a, b ∈ ¡ ) chung nằm trục Oy mà đồ thị hàm số (hình vẽ), ± x1 D f ′′ ( x ) nghiệm đồ thị hàm số f ( x) ± x2 ( x1 , x2 > 0) Biết x1 = 3x2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị f ( x ) , f ′′ ( x ) f ( x) có điểm nghiệm trục Ox f ′′ ( x ) , 152 A 45 73 B 15 152 C 15 HẾT 73 D 45 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.C 21.B 31.B 41.D Câu 2.A 12.A 22.C 32.D 42.D 3.B 13.D 23.B 33.B 43.B Cho cấp số cộng A 4.C 14.C 24.D 34.B 44.D ( un ) u4 = 13 5.C 15.B 25.B 35.C 45.B với u1 B 6.C 16.A 26.A 36.A 46.D 7.B 17.C 27.D 37.D 47.C 8.D 18.D 28.A 38.A 48.B 9.A 19.D 29.A 39.A 49.A 10.A 20.A 30.C 40.C 50.A = cơng sai d = Tìm số hạng thứ tư cấp số cộng u4 = 10 C u4 = D u4 = 11 Lời giải Theo công thức số hạng tổng quát cấp số cộng ta có: u4 Chọn D Câu = u1 + 3d = 11 Có cách chọn học sinh từ nhóm gồm 12 học sinh ? A C125 B A125 C P5 D 125 Lời giải Mỗi cách chọn học sinh từ nhóm gồm 12 học sinh tổ hợp chập 12 phần tử Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là: C125 Chọn A Câu Trong không gian Oxyz, cho phương trình đường thẳng véctơ phương đường thẳng A ur n1 = ( 2;1; − 1) B uur n4 = ( 1;2; − 1) C d: x− y−1 z+1 = = − Véctơ d? ur n3 = ( − 1;2;1) D uur n2 = ( 2;1;1) Lời giải Một véctơ phương đường thẳng Câu Trong không gian Oxyz , mặt cầu kính A uur n d : d = ( 1;2; − 1) ( S ) có phương trình x2 + y + z − x − y + z + 10 = Bán R mặt cầu ( S ) bằng? R= B R = C R = Lời giải D R = R = a + b + c − d ⇒ R = 12 + 22 + ( − 3) − 10 = Câu Số giao điểm hai đồ thị hàm số A B y = x3 − x + y = 3x + C Lời giải D Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x3 − x + y = 3x + : x − x + = 3x + ⇔ x3 − x = x = ⇔ x = x = −2 Vậy s Câu ố giao điểm hai đồ thị hàm số Cho số phức A z = + 2i 5i Ta có: Mơ đun số phức B w = iz − + 3i C Lời giải D ( − 3) + 42 = Cơng thức tính diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy A 25 w = i ( + 2i ) − + 3i = i + 2i − + 3i = i − − + 3i = − + 4i ⇒ w = − + 4i = Câu y = x3 − x + y = 3x + S xq = 2π rl B S xq = π rl C r độ dài đường sinh l S xq = π rl D S xq = 2π r l Lời giải Công thức SGK Câu S xq = π rl Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC B ( − 4;1;1) , C ( 3; − 2; − 1) Trọng tâm tam giác ABC A ( 1; − 1; − 1) B ( 1;0; − 1) C với A ( 1; − 2; − 3) , có tọa độ ( − 2; − 2; − ) D ( 0; − 1; − 1) Lời giải Áp dụng cơng thức tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC ta có: x +x +x y +y +y z +z +z G = A B C ; A B C ; A B C ÷ = ( 0; − 1; − 1) 3 ∫ ( x + 1) dx Tích phân Câu 10 A B C Lời giải 11 D x3 14 10 x + d x = ∫1 ( ) + x ÷ = − = Câu 10 Cho hàm số f ( x ) = 3x − , khẳng định sau, khẳng định đúng? 3x f ( x ) dx = − x+C A ∫ ln C ∫ f ( x ) dx = ln − x + C x B 3x f ( x ) dx = + x+ C D ∫ ln ∫ f ( x ) dx = − x + C x Lời giải 3x f ( x ) dx = − x+C Ta có: ∫ ln Câu 11 Cho 2 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx A 17 B C D − D + 6i D 3log x Lời giải Ta có: 2 0 ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = 3∫ f ( x ) dx − 2∫ g ( x ) dx = 3.4 − 2.3 = Câu 12 Cho hai số phức A − 4i w = + 5i Số phức z − w B + 6i C − 4i z = 4+ i Lời giải Ta có: Câu 13 Với A x z − w = + i − ( + 5i ) = − 4i số thực dương tùy ý, + log x log x3 log x B ( log x ) C Lời giải log x3 = 3log x Câu 14 Thể tích khối chóp có diện tích đáy A V = 3Bh V = B2h B B chiều cao C V = Bh Lời giải Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp ta được: 1 V = Sđáy.(chiề u cao)= B.3h = Bh 3 3h V = Bh D S ABCD Câu 15 Cho hình chóp tan ϕ hình vng cạnh SA = 2a Góc đường thẳng SC với mặt phẳng đáy ABCD có đáy a Đường thẳng SA mặt phẳng ( ABCD ) A B C D 2 Lời giải Góc đường thẳng Câu 16 Đạo hàm hàm số A xln2 y' = mặt phẳng ( ABCD ) · =ϕ SCA SA 2a = = AC a tan ϕ = Khi đó: SC y = log x B y' = x ln2 y' = xln2 C D y' = x Lời giải y ' = ( log x ) ' = Ta có: Câu 17 Với A a x ln a số dương tùy ý , B a a2 C a D a D [ 0;3] Lời giải Ta có: a =a 2 x2 − x − 1 ÷ Câu 18 Tập nghiệm bất phương trình A ( −∞ ;0] ∪ [ 3; +∞ ) B ( −∞;0] ≥4 là: C Lời giải [ 3;+∞ ) vng góc ϕ Khi A ( − 3;0) B ( − 1;0) C ( −∞ ;0 ) D ( − 3; +∞ ) Lời giải Từ bảng biến thiên, hàm số f ( x) Câu 26 Cho hình nón có bán kính đáy A 12π cm3 B đồng biến khoảng ( − 1;0) ( 1;+∞ ) r = 3cm độ dài đường cao h = 4cm Thể tích khối nón 72π cm3 C 27π cm3 D 36π cm3 D z = + 3i Lời giải 1 V = π r h = π 32.4 = 12π ( cm3 ) Thể tích khối nón là: 3 Câu 27 Số phức liên hợp số phức A z = − 2i B z = − 3i z = − − 2i Số phức liên hợp số phức z = − 3i Câu 28 Chọn ngẫu nhiên hai số khác hai số có tổng số chẵn A 19 B 38 C z = Lời giải − + 3i z = + 3i 20 số nguyên dương Xác suất để chọn C 19 11 D 38 Lời giải Chọn ngẫu nhiên hai số 20 số nguyên dương có C202 cách chọn ⇒ n ( Ω ) = C202 Gọi A biến cố “ hai số chọn có tổng số chẵn” Do 20 số nguyên dương có 10 số chẵn, 10 số lẻ Mà tổng hai số ngun dương số chẵn hai số chẵn lẻ Do n ( A) = 2.C102 2C102 P ( A) = = C20 19 Vậy Câu 29 Hàm số sau đồng biến A y = x − x + 3x + B ¡ ? y = ln x Lời giải C y= 2x − x+ D y = x − x + 2021 Ta có: Đáp án C hàm phân thức y= Đáp án D hàm trùng phương Đáp án B hàm y = ln x Đáp án A có đạo hàm Câu 30 Cho hàm số y = f ( x) 2x − x + có TXĐ ¡ \ { − 3} nên loại C y = x − x + 2021 nên loại D có TXĐ ( 0;+ ∞ ) nên loại B y′ = 3x − x + > 0, ∀ x a = > 0, ∆ ′ = − < Do chọn A f ′ ( x) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số cho có điểm cực trị? A B C D Lời giải Căn vào bảng xét dấu điểm cực trị f ′ ( x) Câu 31 Tiệm cận ngang đồ thị hàm số A x = −2 B ta thấy y= y = −2 f ′ ( x) đổi dấu qua điểm − 2;0;2 nên hàm số có − 2x + x − đường thẳng C y = D x = Lời giải −2x + −2x + = −2 lim = −2 Ta có: x→+∞ x − x→−∞ x − − 2x + y= Vậy tiệm cận ngang đồ thị hàm số x − đường thẳng y = − lim π Câu 32 Biết F A ( x ) = sin x π − nguyên hàm hàm số π B C Lời giải f ( x) π + ¡ Giá trị D π ∫ ( + f ( x ) ) dx Ta có: π π π 0 ∫ ( + f ( x ) ) dx = ∫ 2dx + ∫ f ( x ) dx = x Câu 33 Nghiệm phương trình x = A π π π + F ( x ) = − ÷+ F ÷− F ( 0π) = sin+ π sin− π = 2 2 π 22 x+ = 32 B x= x= C D x = Lời giải Ta có 22 x+ = 32 ⇔ 22 x+ = 25 ⇔ x + = ⇔ x = Câu 34 Gọi M,m đoạn giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = x3 − 3x + [ 0;2] Giá trị M − m A B C D Lời giải Ta có f ' ( x ) = 3x − x = 1∈ [ 0;2] f ' ( x ) = ⇔ 3x − = ⇔ x = − 1∉ [ 0;2] Ta thấy f ( ) = 1; f ( 1) = − 1; f ( ) = Nên rút M = 3, m = − ⇒ M − m = − ( − 1) = Câu 35 Cho hình chóp OABC OA, OB, OC có ba cạnh OA = OB = OC = Khoảng cách từ điểm O B A đơi vng góc với đến mặt phẳng ( ABC ) C D Lời giải Hình chóp OABC OA, OB, OC có ba cạnh 1 1 = + + = 2 d ( O; ( ABC ) ) OA OB OC Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ độ có phương trình A ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) 2 = đơi vng góc với nên + + ( 3) ( 3) ( 3) 2 Oxyz , mặt cầu ( S ) B =1 có tâm ⇒ d ( O; ( ABC ) ) = I ( 2; − 1;2 ) ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) 2 qua gốc tọa = C x2 + y + z = ( x + ) + ( y − 1) + ( z + ) D 2 = Lời giải Bán kính mặt cầu R = OI = Mặt cầu ( S ) Câu 37 có phương trình ( x − ) + ( y + 1) + ( z − ) = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , điểm biểu diễn số phức z = i ( + 2i ) A Q ( 2; − 3) N ( 3; − ) B 2 M ( 3;2 ) C điểm đây? P ( − 2;3) D Lời giải Ta có: z = i ( + 2i ) = − + 3i ⇒ Điểm biểu diễn số phức P ( − 2;3) Câu 38 Cho hàm số z mặt phẳng tọa độ Oxy f ( x ) = sin x + e x , khẳng định sau, khẳng định đúng? f ( x ) dx = − cos x + e A ∫ x +C ∫ f ( x ) dx = − 2cos x + e B f x d x = cos x + e x + C ( ) ∫ C x +C D f ( x ) dx = − 2cos x + e + C ∫ x Lời giải Ta có : ∫ f ( x ) dx = ∫ ( sin x + e x ) dx = Câu 39 Cho lăng trụ tứ giác 1 x sin x d x + e d x = − cos x + e x + C ( ) ∫ ∫ 2 ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy a , góc A' B mặt phẳng A ' ACC ' 300 Tính thể tích khối lăng trụ cho A V = a3 B V = a3 C V = a3 Lời giải D V = 2a O = AC ∩ BD Gọi Nên : · ' O ⇒ BA · ' O = 30 ( A ' B, ( ACC ' A ') ) = BA Ta có : Vậy OB ⊥ AC ⇒ OB ⊥ ( A ' ACC ') Vì OB ⊥ AA ' A 'O = OB a = 2 tan 300 ⇒ AA ' = A ' O − AO = a V = a3 Câu 40 Cho hàm số y = f ( x) Hàm số Giá trị lớn hàm số A f ( − 1) − sin 2 B y = f ′ ( x) có bảng biến thiên hình vẽ g ( x ) = f ( x ) − sin x f ( ) − sin đoạn C f ( 0) [ − 1;1] D f ( 1) − sin Lời giải Ta có: Đặt g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 2sin x.cos x = f ′ ( x ) − sin x h ( x ) = sin x ⇒ h′ ( x ) = 2cos2 x = ⇔ cos2 x = ⇔ x = π π x ∈ [ − 1;1] ⇒ x ∈ − ; Với 4 Bảng biến thiên hàm số h( x) Bảng biến thiên hàm số f ′ ( 2x ) Ta có g′ ( x ) = ⇒ x = π π kπ + kπ ⇔ x = + , k ∈ ¢ 2 Từ ta có bảng biến thiên g ( x) max g ( x ) = g ( ) = f ( ) Khi [ − 1;1] Chọn đáp án C Câu 41 Có giá trị nguyên tham số nghiệm nguyên? A 65022 B ( )( 2 ) x −x x − − m ≤ có để bất phương trình m 65021 C 65023 D 65024 Lời giải 2 x ≥ 20 = Ta có: TH1: m < suy 2x − m > ( )( ) 2 3x − x − x − m ≤ ⇔ 3x − x − ≤ ⇔ x − x ≤ ⇔ − ≤ x ≤ Khi x thỏa mãn − 1;0;1;2 Vậy có số nguyên Suy TH2: m < loại a m ≥ Đặt m = ⇔ a = log m với a≥ Khi (3 x2 − x Nếu a ≥ Nếu ≤ Nếu )( − x − 2a ) 3x2 − x − ≥ x − x − ≥ 2 x − 2a ≤ x − a ≤ ≤0⇔ ⇔ ⇔ ( x − x − ) ( x − a ) ≤ ( 1) 3x − x − ≤ x − x − ≤ x2 a2 x − a ≥ − ≥ 2 ≤ x ≤ a − a ≤ x ≤ − Vậy để có nghiệm ngun ( 1) ⇔ a < ≤ a < 3≤ a < a ≤ x ≤ − a ≤ x ≤ − Vậy ( 1) có tối đa nghiệm nguyên ( 1) ⇔ −1 ≤ x ≤ − a a ≤ x ≤ Vậy ( 1) có tối đa nghiệm nguyên ( 1) ⇔ Vậy để BPT đầu có nghiệm ngun ≤ a < ⇔ ≤ a < 16 ⇔ ≤ log m < 16 ⇔ 29 ≤ m < 216 Vậy có 216 − 29 = 65024 số nguyên m Câu 42 Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục π Giá trị biểu thức A thỏa mãn ∫ ¡ f ′(4sin x − 2) cos xdx + −2 Đồ thị hàm số hình vẽ f ′( x + 2)dx ∫0 C B y = f ( x) D Lời giải *) Đặt t = 4sin x − ⇒ dt = Đổi cận: x= ⇒ cos xdx = dt 4cos xdx x = ⇒ t = −2 , π ⇒t=2 Từ đồ thị hàm số π y = f ( x) , ta có f (2) = 2, f (− 2) = − Do ∫ *) Đặt u = x + ⇒ du = dx f ′(4sin x − 2) cos xdx = Đổi cận: 2 1 ′ f ( t )d t = f (t ) = −∫2 −2 x = 0⇒ u = 2, x = 2⇒ u = Từ đồ thị hàm số y = f ( x) , ta có f (2) = 2, f (4) = f ( ) − f ( − ) = 4 − ( − ) = 4 ∫ f ′( x + 2)dx = ∫ f ′ ( u ) du = f (u ) = f (4) − f (2) = − = Do π ∫ Suy ra: 1 f ′(4sin x − 2) cos xdx + ∫ f ′( x + 2)dx = + = 40 Câu 43 Trong không gian với hệ tọa độ A ( 1;2;3) Đường thẳng ∆ Oz Oxyz , qua điểm ( P ) : x + y − z + = điểm mặt phẳng ( P ) đồng thời cắt trục cho mặt phẳng A , song song với có phương trình tham số x = 1+ t y = + 6t A z = + t x = t y = 2t B z = + t x = 1− t y = + 6t D z = + t x = + 3t y = + 2t C z = + t Lời giải r Mặt phẳng ( P ) : x + y − z + = có véc tơ pháp tuyến n = ( 2;1; − ) Giả sử đường thẳng ∆ cắt trục Oz Véc tơ phương đường thẳng Đường thẳng ∆ M ⇒ M ∈ Oz ⇒ M ( 0;0; m ) uuuur ∆ AM = ( − 1; − 2; m − 3) song song với mặt phẳng ( P) uuuur r uuuur r AM ⊥ n ⇔ AM n = suy ⇔ −2 − − ( m − ) = ⇔ m = uuuur ⇒ M ( 0;0;2 ) , AM = ( − 1; − 2; − 1) = − ( 1;2;1) Vậy phương trình đường thẳng Câu 44 Có số phực số ảo? A z ∆ x = t y = 2t z = + t thoả mãn đồng thời điều kiện B Lời giải z+ 2− i = C số phức D ( z − i) Chọn D Ta có tâm z + − i = ⇔ z − ( −2 + i) = nên điểm M biểu diễn cho z nằm đường tròn I = ( − 2;1) , bán kính R = z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ⇒ ( z − i ) = x + ( y − 1) i = x − ( y − 1) + x ( y − 1) i Giả sử 2 ( C) Do ( z − i) x − y + = ( ∆1 ) x − ( y − 1) = ⇔ x + y − = ( ∆ ) số ảo nên Vậy điểm M ∈ ∆ hai điểm phân biệt Do M ∈ ∆ Để ý d ( I , ∆ ) = d ( I , ∆ ) = < = R ∆ ∆ cắt A = ( 0;1) ∈ ( C ) nên ( C) cắt ∆ 1, ∆ nên tồn ba số phức thoả mãn toán Câu 45 Một người muốn xây bể chứa nước, dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích 288dm3 Đáy bể hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng, giá th nhân công để xây bể 500000 đồng/ m Nếu người biết xác định kích thước bể hợp lí chi phí th nhân cơng thấp Hỏi người phải trả chi phí thấp để th nhân cơng xây dựng bể bao nhiêu? A 910000 B 1080000 đồng đồng C 1680000 đồng D 540000 đồng Lời giải Gọi chiều rộng bể Vì thể tích bể x (m) ( x > 0) Suy chiều dài bể 2x 288dm = 0,288m 3 nên chiều cao h bể h= 0, 288 0,144 = 2 x.x x 0,144 0,144 0,864 T = x ÷ + x ÷ + x.x 500000 = 500000 + 2x ÷ x x Chi phí làm bể là: x 0,864 f ( x ) = 500000 + 2x2 ÷ Đặt x với f ′ ( x) = ⇔ x> − 0,864 f ′ ( x ) = 500000 + 4x ÷ Suy ra: x − 0,864 + x = ⇒ x3 = 0, 216 ⇒ x = 0,6 x Ta có bảng biến thiên: f ( x ) = f ( 0,6 ) = 1080000 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( 0;+∞ ) Vậy chi phí thấp để thuê nhân công xây bể 1080000 đồng Câu 46 Giả sử z1 , z2 z1 − z2 = , giá trị lớn z1 + z2 A z hai số số phức 2 + B thỏa mãn ( z + i ) ( z + 3i ) số ảo Biết + C 2+ D 3+ Lời giải Gọi z = x + yi ( x , y ∈ ¡ ) , ta có: ( z + i ) ( z + 3i ) = ( x + yi + i ) ( x − yi + 3i ) = x + ( y + 1) i x + ( − y + 3) i số ảo ⇔ x − ( y + 1) ( − y + 3) = ⇔ x + ( y − 1) = Gọi A, B A, B điểm biểu diễn hai số phức I ( 0;1) bán kính R = uuur uuur MA + 2MB = Khi đó: thuộc đường trịn tâm Xét điểm M thoản mãn z1 , z2 Do đó: AB = (vì z1 − z2 = ) uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur P = z1 + z2 = OA + 2OB = OM + MA + OM + MB = 3OM = 3OM ( Gọi H trung điểm ) AB , ta có: AB AB MH = HB − MB = − = IH = IB − HB = 22 − = ÷ 2 ⇒ IM = MH + IH = Suy Vậy M thuộc đường tròn tâm I ( 0;1) , bán kính r = ( ( ) M ≡ E∈ I; , O, , I E thẳng hàng Câu 47 Trong không gian với hệ trục tọa độ tọa độ O Gọi ( S) d1; d ; d3 điểm thứ hai ( ABC ) A ) Pmax = 3OM max = ( OI + IE ) = 3OE = ( OI + r ) = + = + Oxyz I nằm O E ) cho mặt cầu (S) có tâm (đạt I ( 2; −1; −2 ) qua gốc ba đường thẳng thay đổi, không đồng phẳng qua A, B, C Khi thể tích khối tứ diện OABC O cắt lớn mặt phẳng qua điểm sau P ( 1; − 2; − ) B F ( 1; − 2; − ) C E ( − 1;2; − 8) D Q ( 2; − 3;5 ) Lời giải Có R = OI = Ta thấy thể tích khối tứ diện OABC lớn đường thẳng OI vng góc với ( ABC ) tâm H đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC V = S ABC OH OABC Đặt IH = r ( < r < R ) Ta có với 2 S ABC = 2rABC sin A.sin B.sin C ≤ 2rABC 3 3 2 ⇒ S ABC ≤ (R −r ) Dấu xảy tam giác ABC đều, suy Xét hàm số f ( r ) = ( R2 − r ) ( R + r ) với VOABC ≤ ( < r < R) 2 ( R − r ) ( R + r ) R f ' ( r ) = −2r ( R + r ) + ( R − r ) = ( R + r ) ( R − 3r ) ; f ' ( r ) = ⇔ r = 3 R 32R Max f ( r ) = f ÷ = = 32 Suy r∈( 0; R ) 27 uuur uur 8 uur OH = OI = ; − ; − ÷ Khi 3 , suy mặt phẳng (ABC) qua điểm H, nhận OI làm 8 4 8 x − ÷ − y + ÷ − z + ÷ = ⇔ x − y − z − 12 = VTPT có phương trình là: 3 3 3 Kiểm tra tọa độ điểm P, F, E, Q ta thấy điểm x, x ≤ 2021 Câu 48 Có số nguyên dương x ( y + y − 1) = − log x x A 10 E ( − 1;2; − ) B 11 thỏa mãn PTMP (ABC) cho tồn số nguyên C 12 y thỏa D Lời giải x ( y + y − 1) = − log x x ⇔ x log x + x ( y + y − 1) = Ta có: Đặt t = log x ⇔ x = 2t Khi 2t.t + 2t ( y + y − 1) = ⇔ t + y + y − = 21−t ⇔ y + y = 21−t + − t ( 1) Xét hàm số: f ( u ) = 2u + u ( 0;+∞ ) Do từ ( 1) Vì ≤ có suy f ′ ( u ) = 2u ln u + > 0, ∀ u > nên hàm f ( u) đồng biến y = − t ⇔ y = − log x ⇔ log x = − y ⇔ x = 21− y x ≤ 2021 ⇔ ≤ 21− y ≤ 2021 ⇔ ≤ − y ≤ log 2021 ⇔ − log 2021 ≤ y ≤ Khi y ∈ { −9; −8; −7; ;1} Câu 49 Cho hàm số f ( x) Với x = 21− y Vậy có 11 số nguyên x đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ −1 x Số điểm cực trị hàm số g ( x ) = e ( f ( x + 1) ) thỏa mãn mãn A B C D Lời giải −1 −1 2 g ′ ( x ) = e × ×( f ( x + 1) ) + e x ×3 ( f ( x + 1) ) ×f ′ ( x + 1) g ′ ( x ) = Ta có , x x2 ( f ( x + 1) ) = ( 1) 2 ⇔ e ×( f ( x + 1) ) f ( x + 1) + f ′ ( x + 1) ÷ = ⇔ x x3 f ( x + 1) + f ′ ( x + 1) = ( ) −1 x2 Vì nghiệm ( 2) : Xét ( t − 1) ( 1) nghiệm bội chẵn nên f ( x + 1) + f ′ ( x + 1) = Đặt x3 f ( t) + f ′( t) = ⇔ Dựa vào đồ thị hàm ( t − 1) +3 g′ ( x) t = x + ( ) khơng đổi dấu x qua nghiệm trở thành f ′( t) = ( 3) f ( t) f ( x ) , ta có f ( t ) = a ( t − t1 ) ( t − t2 ) ( t − t3 ) ( t − t4 ) với a > giả sử t1 < t2 < t3 < t4 Tính đạo hàm ( t − 1) + thay vào ( 3) , ta 3 3 + + + =0 ( t − t1 ) ( t − t2 ) ( t − t3 ) ( t − t4 ) Xét hàm số h′ ( t ) = f ( t) h( t) = −6 ( t − 1) + ( t − 1) −3 ( t − t1 ) + + 3 3 + + + ( t − t1 ) ( t − t2 ) ( t − t3 ) ( t − t4 ) , ta có −3 ( t − t2 ) + −3 ( t − t3 ) + −3 ( t − t4 ) < 0, ∀ t Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, nhận thấy phương trình ( 3) trị có nghiệm phân biệt ⇒ ( 2) h( t) = có nghiệm phân biệt nên phương trình có nghiệm phân biệt, suy hàm số g ( x) có điểm cực Câu 50 Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + 1, ( a ≠ 0, a, b ∈ ¡ ) mà đồ thị hàm số f ( x) có điểm chung nằm trục f ( x) ± x2 nghiệm hạn đồ thị (hình vẽ), đồ thị hàm số ± x1 nghiệm f ′′ ( x ) , ( x1 , x2 > ) Biết x1 = 3x2 Tính diện tích hình phẳng giới f ( x ) , f ′′ ( x ) 152 A 45 Oy f ′′ ( x ) trục Ox 73 B 15 152 C 15 73 D 45 Lời giải Ta có f ( x ) = ax + bx + ⇒ f ′′ ( x ) = 12ax + 2b, ( a ≠ 0, a, b ∈¡ Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị Theo ta có x= f ( x) f ′′ ( x ) ) ax + bx + = 12ax + 2b nghiệm phương trình nên 2b = ⇔ b = Do f ( x ) = ax + x + 1, f ′′ ( x ) = 12ax + Ta có Do f ′′ ( x ) = ⇔ 12ax + = ⇔ x = − a< Ta có 12a , có nghiệm a < nên x22 = − −1 − − 16a −1 + − 16a −1 − − 16a > 0, 0,