Sáng kiến kinh nghiệm I Đặt Vấn đề Tìm hình chiếu vuông góc điểm lên đường thẳng lên mặt phẳng cho trước toán học sinh trung học phổ thông Trong dạng toán tìm cực trị hình học học sinh gặp lúng túng cách tìm lời giải phương pháp giải toán dạng Vì sáng kiến kinh nghiệm muốn áp dụng tìm hình chiếu điểm để giải số dạng toán cực trị hình học Phương pháp giúp học sinh quy toán phức tạp toán đơn giản đà học Tạo hứng thú cách tìm lời giải rèn luyện tư lô gíc phát triển khả sáng tạo việc tìm lời giải cho toán II Nội dung sáng kiến kinh nghiệm Sau đưa số dạng toán cực trị hình học áp dụng phương pháp tìm hình chiếu điểm để giải toán Để cho đơn giản đưa ví dụ cụ thể từ tổng quát hoá toán nêu hướng dẫn lời giải để từ phát triển tư cho học sinh Bài toán 1: Cho đường thẳng d: x - 2y - = vµ điểm A(0;1) B(3;4) Tìm điểm M d cho MA 2MB nhỏ Lời giải Ta cã MA MC CA vµ 2MB 2MC 2CB Từ tìm điểm C cố định cho CA 2CB áp dụng đẳng thức véc tơ từ tìm điểm C(2;3) Khi ®ã MA 2MB 3MC VËy MA 2MB MC lµ nhá nhÊt vµ chØ MC nhỏ Suy M hình chiếu vuông góc C d 16 5 áp dụng phương pháp tìm toạ độ hình chiếu suy M ( ; ) Nguyễn Văn Hoà THPT- Kim Sơn A - Trang DeThiMau.vn Sáng kiến kinh nghiệm Tổng quát : Cho đường thẳng d điểm A B phân biệt cố định.Tìm điểm M trªn d cho a MA b MB lµ nhá nhÊt (víi a vµ b lµ sè thùc) Híng dÉn NÕu a = th× a MA b MB = b MB = b MB M hình chiếu vuông góc B lên đường thẳng d b a Nếu a a MA b MB = a MA MB Nếu b với M a đường thẳng d a MA b MB = a BA không đổi b a b a Nếu ta tìm điểm C cố định cho CA CB (áp dụng đẳng thức b a véc tơ dễ dàng tìm toạ độ điểm C) Khi a MA b MB = a (1 ) MC Vậy M hình chiếu vuông góc C lên d Bài toán 2: Cho đường thẳng d: x - 2y - = điểm A(0;1) B(3;4) Tìm điểm N d cho (2NA2 + NB2) nhỏ Lời giải 2 NA NA 2( NC CA) 2( NC CA ) NC CA NB NB ( NC CB ) NC CB NC CB Cộng lại ta NA NB 3NC 2CA CB NC (2CA CB) Tõ ta tìm điểm C cố định cho 2CA CB suy C(1;2) VËy (2NA2 + NB2) = 3NC2 + 2CA2 + CB2 nhá nhÊt N hình chiếu vuông góc điểm C lên đường thẳng d Từ ta tìm N(2;0) Tổng quát: Cho đường thẳng d điểm A B phân biệt cố định Tìm điểm N d cho (aNA2 + bNB2) nhá nhÊt víi a vµ b lµ sè thùc không âm Hướng dẫn Nếu b = (aNA2 + bNB2) = bNB2 đạt giá trị nhỏ N hình chiếu vuông góc điểm B lên đường thẳng d Nguyễn Văn Hoà THPT- Kim Sơn A - Trang DeThiMau.vn Sáng kiến kinh nghiƯm a b NÕu b th× (aNA bNB ) b( NA NB ) a a a a 2a NA NA ( NC CA) ( NC CA ) NC CA b b b b b NB NB ( NC CB ) NC CB NC CB Khi tìm điểm C cố định cho a CA CB b áp dụng đẳng thức véc tơ ta tìm toạ độ điểm C a b a b Khi ®ã (aNA bNB ) b(( 1) NC CA CB ) Từ (aNA2 + bNB2) nhỏ N hình chiếu vuông góc điểm C lên đường thẳng d Bài toán 3: Cho mặt phẳng (R): 3x - 3y - 2z - = điểm A(1;4;5) B(0;3;1) Tìm P (R) cho PA 3PB đạt giá trị nhỏ Lời giải PA PC CA vµ 3PB 3PC 3CB Cộng vế ta PA 3PB PC CA 3CB 13 ;2) 4 Từ tìm điểm C cố định cho CA 3CB suy C ( ; VËy PA 3PB PC Tõ ®ã ®iĨm P hình chiếu vuông góc điểm C lên mặt phẳng (R) 13 4 áp dụng phương pháp tìm toạ độ hình chiếu suy P( ; ;0) Tổng quát: Cho mặt phẳng (R) điểm A B phân biệt cố định Tìm P (R) cho tho¶ m·n a PA b PB đạt giá trị nhỏ (Với a b sè thùc) Híng dÉn NÕu a = th× a PA b PB = b PB = b PB P hình chiếu vuông góc B lên mặt phẳng (R) Nguyễn Văn Hoà THPT- Kim Sơn A - Trang DeThiMau.vn Sáng kiến kinh nghiệm b a NÕu a th× a PA b PB = a PA PB NÕu b với P (R) a PA b PB a BA số không ®æi a NÕu b b 1 ®ã ta tìm điểm C cố định cho CA CB a a áp dụng đẳng thức véc tơ từ ta tìm toạ độ điểm C b a Khi ®ã a PA b PB = a (1 ) PC đạt giá trị nhỏ điểm P hình chiếu vuông góc điểm C lên mặt phẳng (R) Bài toán 4: Cho mặt phẳng (R): 3x - 3y - 2z - 15 = điểm A(1;4;5); B(0;3;1) C(2;-1;0) HÃy tìm điểm Q nằm (R) cho (QA2+ QB2 + QC2) đạt giá trị nhỏ Lời gi¶i QA (QD DA) QD DA 2QD DA QB (QD DB) QD DB 2QD DB QC (QD DC ) QD DC 2QD DC Céng tõng vÕ l¹i QA QB QC 3QD DA DB DC 2QD( DA DB DC ) Ta tìm điểm D cố định cho DA DB DC Suy ®ỵc ®iĨm D(1;2;2) VËy QA2 QB QC 3QD DA2 DB DC nhá nhÊt vµ chØ Q lµ hình chiếu vuông góc điểm D lên mặt phẳng (R) Từ ta tìm điểm Q(4;-1;0) Tổng quát: Cho mặt phẳng (R) n điểm A1; A2; ; An phân biệt cố định HÃy tìm Q nằm trªn (R) cho (QA12 QA22 QAn2 ) đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn Tìm ®iĨm D cè ®Þnh cho DA1 DA2 DAn Tõ ®ã QA12 QA22 QAn2 nQD DA12 DA22 DAn2 Nguyễn Văn Hoà THPT- Kim Sơn A - Trang DeThiMau.vn Sáng kiến kinh nghiÖm VËy (QA12 QA22 QAn2 ) nhỏ Q hình chiếu vuông góc điểm D lên mặt phẳng (R) áp dụng phương pháp tìm hình chiếu ta tìm toạ độ điểm Q III Kết Luận Qua công tác giảng dạy theo cách thấy học sinh dễ hiểu hứng thú việc tìm lời giải phát huy trí lực học sinh Quy toán lạ toán quen thuộc đà học Từ tạo hứng thú tìm tòi lời giải tổng quát hoá toán cụ thể hoá toán đà cho Trên vài kinh nghiệm tích luỹ năm dạy học Mong cấp lÃnh đạo đóng góp ý kiến để kinh nghiệm ngày hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn ! Trường THPT Bình Minh Hiệu trưởng Bình Minh, ngày 25 tháng năm 2008 Người viết Vũ Văn Chức Nguyễn Văn Hoà THPT- Kim Sơn A - Trang DeThiMau.vn Nguyễn Văn Hoà ... công tác giảng dạy theo cách thấy học sinh dễ hiểu hứng thú việc tìm lời giải phát huy trí lực học sinh Quy toán lạ toán quen thuộc đà học Từ tạo hứng thú tìm tòi lời giải tổng quát hoá toán cụ... đà học Từ tạo hứng thú tìm tòi lời giải tổng quát hoá toán cụ thể hoá toán đà cho Trên vài kinh nghiệm tích luỹ năm dạy học Mong cấp lÃnh đạo đóng góp ý kiến để kinh nghiệm ngày hoàn thiện Tôi... a PA b PB = a (1 ) PC đạt giá trị nhỏ điểm P hình chiếu vuông góc điểm C lên mặt phẳng (R) Bài toán 4: Cho mặt phẳng (R): 3x - 3y - 2z - 15 = điểm A(1;4;5); B(0;3;1) C(2;-1;0) HÃy tìm điểm