SKKN Khai thác và phát triển từ một bài toán đơn giản để bồi dưỡng toán 8

A ĐẶT VẤN ĐỀ: Hiện nay, nghiệp giáo dục đào tạo đổi trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hố đại hố đất nước Đó đào tạo người động, sáng tạo, chủ động học tập, thích nghi tốt với sống lao động Vì thế, người giáo viên bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững nội dung kiến thức, phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư sáng tạo, tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức q trình học tập Trong tất cá mơn học cấp THCS, tốn học nói chung hình học nói riêng hình học phân môn quan trọng việc rèn luyện tính lơgic, tư sáng tạo, giúp học sinh khơng học tốt mơn Tốn mà cịn học tốt môn học khác Việc khai thác, phát triển tốn đơn giản góp phần quan trọng việc nâng cao lực tư cho học sinh Qua nhiều năm giảng dạy, thân tơi nhận thấy: Các giáo viên giảng dạy tốn đánh giá cao tầm quan trọng việc khai thác, phát triển từ toán mà học sinh giải Việc khai thác giả thiết, khai thác sâu thêm kết toán để tạo toán khác (đơn giản phức tạp hơn) quan trọng có ích Nó khơng giúp người dạy người học nắm bắt kĩ kiến thức dạng tốn mà cịn nâng cao tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, tổng quát hoá tốn; từ phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo, linh hoạt cho em học sinh; giúp cho học sinh nắm chắc, hiểu sâu rộng kiến thức cách lôgic, khoa học; tạo hứng thú u thích mơn tốn Nhưng hầu hết học sinh ( kể học sinh giỏi) sau giải xong tốn thỗ mãn với mà khơng có ý thức khai thác, phát triển thành chùm tốn liên quan Chính điều làm hạn chế phát triển tư duy, tính sáng tạo linh hoạt học sinh Chúng ta biết rằng, tốn có giả thiết kết luận Việc chứng minh kết luận yêu cầu bắt buộc học sinh phải thực Song, cần rèn cho học sinh suy nghĩ đằng sau tập cịn khai thác gì, khai thác vấn đề cần thiết để giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo linh hoạt Chẳng hạn: Chúng ta khai thác thêm toán từ tốn đó, thay đổi số giả thiết cho tốn nào, hay đảo ngược tốn sao? Trong chương trình hình học 8, có nhiều tốn hay khó dành cho học sinh giỏi lại xuất phát từ toán đơn giản Chỉ với thay đổi vài giả thiết tạo hệ tập hay giúp cho học sinh phát triển tư nhiều Qua dạy giảng dạy nhiều năm lớp xin trao đổi kinh nghiệm: “Khai thác phát triển từ toán đơn giản để bồi dưỡng toán 8“ B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chúng ta bắt đầu toán sau: Bài toán ( Bài tốn bản): Cho hình vng ABCD Gọi I điểm thay đổi cạnh AB Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC L Chứng minh rằng: Tam giác DIL cân Hướng dẫn: A D I L B C ADI, CDL có: AD=CD   DAI = DCL =900 ( tính chất hình vng)    D3 = D1 ( phụ với D2 )  ADI = CDL ( c.g.c)  DI = DL Vậy : DIL cân D  Khai thác toán: Từ toán 1, ta kẻ đường phân giác IDL cắt cạnh BC M A D I L C M B  Khi đó: IDM = 450  LDM = IDM  ML = MI  PIBM = IB + BM + MI = IB + BM + ML = IB + BC + CL = BC + BA = PABCD ( Với P chu vi ) Do ta có tốn sau đây: Bài tốn 2: Cho hình vng ABCD Gọi I điểm thay đổi cạnh AB  Lấy điểm M cạnh BC cho IDM = 450 Chứng minh rằng: Chu vi IBM chu vi hình vng ABCD Hướng dẫn: Như từ toán 1, ta cần phải tạo ADI = CDL ( c.g.c) cách vẽ thêm đường phụ sau: Trên tia đối tia CB, lấy điểm L cho CL=AI A D 45° I L  CLD=AID (c.g.c)    DL=DI, D1 = D4 (1) C M B     Mà D4 + D3 + D2 = CDA = 900 ( tính chất hình vng)     D4 + D2 = 900 - D3 = 450 (2)    Từ 1,2 suy ra: D1 + D2 = 450 hay LDM = 450  LDM = IDM (c.g.c)  ML = MI Do đó: PIBM = IB + BM + MI = IB + BM + ML = IB + BM + CL + CM = IB + BM + AI + CM = (BI + AI) + (BM + MC) = AB + BC= P ABCD Để dạy cho học sinh đại trà, ta chia tốn thành nhiều ý sau: “Cho hình vng ABCD Gọi I điểm thay đổi cạnh AB  Lấy điểm M cạnh BC cho IDM = 450 a, Trên tia đối tia CB, lấy điểm L cho CL=AI Chứng minh rằng: CLD =AID b, Chứng minh rằng: ML = MI c, Chứng minh rằng: Chu vi IBM chu vi hình vng ABCD.” Khai thác toán: Đặt câu hỏi ngược lại với toán 2, chu vi  IBM chu vi hình vng ABCD số đo IDM = 450 hay khơng? Ta có tiếp tốn sau đây: Bài tốn 3: Cho hình vng ABCD Gọi I điểm thay đổi cạnh AB Lấy điểm M cạnh BC cho chu vi IBM chu vi  hình vng ABCD Chứng minh rằng: IDM = 450 Hướng dẫn: Vẫn từ toán 1, ta cần phải tạo ADI = CDL ( c.g.c) cách vẽ thêm đường phụ sau: Trên tia đối tia CB, lấy điểm L cho CL=AI A D I L  CLD=AID (c.g.c) C M B    DL=DI, D1 = D4 (1) Ta có:PIBM = PABCD  IB + BM + MI = AB + BC  IB + BM + MI = BI + AI + BM + MC  MI = AI + MC (2) Từ 1,2 suy ra: MI = CL + MC = ML  LDM = IDM (c.c.c)       LDM = MDI hay D1 + D2 = D3     D4 + D2 = D3     Mà D4 + D3 + D2 = CDA = 900 ( tính chất hình vng)   D3 = 450  Vậy : IDM = 450 Để dạy cho học sinh đại trà, ta chia tốn thành nhiều ý sau: “Cho hình vuông ABCD Gọi I điểm thay đổi cạnh AB Lấy điểm M cạnh BC cho chu vi IBM chu vi hình vng ABCD a, Trên tia đối tia CB, lấy điểm L cho CL=AI Chứng minh rằng: CLD=AID b, Chứng minh rằng: LDM = IDM  c, Chứng minh rằng: IDM = 450.” Khai thác toán: Trong toán 3, chu vi IBM chu vi hình vuông ABCD Nên chu vi IBM 2a ( với a độ dài cạnh hình vng ABCD cho trước) khơng đổi diện tích IBM ln thay đổi độ dài cạnh MI phụ thuộc vào vị trí điểm di động I cạnh AB kéo theo diện tích DMI thay đổi Lúc vấn đề đặt diện tích DMI lớn điểm I vị trí AB? Khai thác giả thiết ta có tốn cực trị hình học sau đây: Bài tốn 4: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi I điểm thay đổi cạnh AB Lấy điểm M cạnh BC cho chu vi IBM chu vi hình vng ABCD Xác định vị trí điểm M I để diện tích DMI đạt giá trị lớn tìm giá trị đó? Hướng dẫn: A D I L C M B Theo tốn 3, CLD = AID (c.g.c); LDM = IDM (c.c.c) SDMI = SABCD - ( SAID + SCDM + SIBM ) = SABCD - ( SCLD + SCDM + SIBM ) = SABCD - ( SLDM + SIBM ) = SABCD - ( SDMI + SIBM )  2SDMI = SABCD - SIBM 1 1  SDMI = SABCD - SIBM = a2 - SIBM 2 2  SDMI  a2 Dấu “ = “ xảy SIBM =  I  B M  C I  A M  B Vậy: SDMI đạt giá trị lớn a I  B M  C I  A M  B Bài toán chủ yếu dành cho học sinh giỏi Khai thác toán: Trở lại toán 1, điểm I thay đổi AB kéo theo độ dài đoạn thẳng LI thay đổi Nên trung điểm M LI điểm di động khoảng cách từ M tới D tới B với nhau? DB đoạn thẳng cố định sao? Vậy M di động đường cố định nào? Với khai thác giả thiết toán theo hướng cho ta toán chứng minh điểm di động đường cố định sau: Bài tốn 5: Cho hình vng ABCD Gọi I điểm thay đổi cạnh AB Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC L M trung điểm IL.Chứng minh rằng: M di chuyển đường cố định I thay đổi AB Hướng dẫn: A D I M L C B DIL vuông D(gt) M trung điểm cạnh huyền IL  MD = LI (1) BIL vuông B(gt) M trung điểm cạnh huyền IL  MB = LI ( 2) Từ 1,2 suy ra: MD = MB  M cách hai đầu đoạn thẳng BD Mà đoạn thẳng cố định BD ( hình vng ABCD cố định) nên đường trung trực BD cố định I thay đổi AB Vậy: M di động đường trung trực BD cố định I thay đổi AB Để dạy cho học sinh đại trà, ta viết tốn thành sau: Cho hình vng ABCD Gọi I điểm thay đổi cạnh AB Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC L M trung điểm IL.Chứng minh rằng: M nằm đường trung trực đoạn thẳng BD.” Khai thác tiếp toán 4: Tiếp tục khai thác thay đổi độ dài đoạn thẳng LI điểm I di động AB đoạn thẳng LI ngắn I nằm đâu AB? Ta có tiếp câu b, câu c sau: b, Đặt AI = x ( < x  a) Tính LI theo a x c, Tìm vị trí điểm I AB để LI có độ dài ngắn tìm giá trị Hướng dẫn: b, Ta có: AID vng A nên: DI2 = AD2 + AI2 = a2 + x2 DIL vuông cân D nên: LI2 = 2DI2 = 2a2 + 2x2 c, Từ câu b, ta có: LI2  2a2  LI = a Vậy LI có độ độ dài ngắn a đạt x=0  I  A Khai thác toán: Trở lại với toán 1, ta kéo dài DI cắt tia CB E I thay đổi AB kéo theo độ dài số đoạn thẳng thay đổi AID đồng dạng với BIE  vng DEL có đường cao DC ln khơng đổi I Vì vậy, ta có tốn tiếp theo: Bài tốn 6: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi I nằm A B Tia DI cắt CB E a, Chứng minh rằng: IE.IA = IB.ID b, Chứng minh: 1 + = DI DE a c, Trên tia đối tia AB lấy điểm F cho AF = BE Gọi K giao điểm FC AE Chứng minh: DK  EF Hướng dẫn: D a, A I ADI, BIE có: E B C   DAI = EBI = 900 (gt)   AID = BIE ( đối đỉnh)  ADI ∽ BIE ( g.g)  IA ID = IB IE  IE.IA = IB.ID b, (Theo tốn 1) Qua D kẻ đường thẳng vng góc với DI cắt CB L D A I L C B E Khi DI = DL ( theo toán 1)  1 1 DE2+DL2 EL2 + = + = = (1) DI2 DE2 DL2 DE2 DE2.DL2 DE2.DL2 Mà: CDL ∽ DEL ( g.g)  CD DL = DE EL  DE.DL = CD.EL  DE2.DL2 = CD2.EL2 (2) Từ 1, suy ra: 1 EL2 1 + = 2 2 = = DI DE DE DL CD a c, F K D A I L B E Dễ dàng chứng minh được: CDE = CBF (c.g.c)      D2 = C2 mà D2 + E1 = 900 ( Vì CDE vng C)    C2 + E1 = 900 nên: CF  DE hay FK  DE K (3) Dễ dàng chứng minh được: BAE = ADF (c.g.c)       A1 = D3 mà A1 + BAD + DAK = 1800 ( E,A,K thẳng hàng)   Hay A1 + 900 + DAK = 1800    A1 + DAK = 900   Nên: D3 + DAK = 900 Do đó: AK  DF hay EK  DF K (4) Từ 3,4 suy ra: K trọng tâm DEF Vậy: DK  EF Đây đề thi HSG huyện Thạch Hà mơn tốn năm học 2013 - 2014 Để dạy cho học sinh đại trà, ta yêu cầu học sinh làm câu a, câu b với cách đề sau: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi I nằm A B Tia DI cắt CB E a, Chứng minh rằng: IE.IA = IB.ID b, Qua D kẻ đường thẳng vng góc với DI cắt CB L Chứng minh:CDL ∽ DEL từ suy ra: DE2.DL2 c, Chứng minh: = CD2.EL2 1 + = DI DE a Khai thác toán: Tiếp tục khai thác thay đổi điểm I AB đường thẳng qua D khơng vng góc với tia BC mà lại vng góc với tia BA L với tia DI cắt tia CB E Khi ta có tốn hồn tồn tương tự tốn liệu LI ngắn có phải a khơng? Và lúc vị trí điểm I có trùng với A hay khơng? Để trả lời câu hỏi ta tiếp sang toán sau đây: Bài tốn 7: Cho hình vng ABCD có độ dài cạnh a Gọi I điểm thay đổi cạnh AB Đường thẳng qua D vng góc với DI cắt tia BC L Gọi M trung điểm LI a, Chứng minh rằng: M di động đường thẳng cố định I thay đổi AB b, Đặt AI = x ( < x  a) Tính LI theo a x c, Tìm vị trí điểm I AB để LI có độ dài ngắn tìm giá trị Hướng dẫn: L M D A I C B E a, Câu a hồn tồn giải tốn b, Ta có: AID vng A nên: DI2 = AD2 + AI2 = a2 + x2(3) Nhưng DIL vuông D khơng cân ta sử dụng hai tam giác đồng dạng để lập tỉ số đoạn thẳng tính DI2 sau : DIL  AID (g.g)  DI IL =  DI2 = AI.IL = x.LI (4) AI ID Từ 3,4 suy ra: a2 + x2 = x.LI  LI = ( ( a2+x2 a2 = +x2 x x a2 x = 2a x a - x)2  0, với x > 0, a > ) x Vậy LI có độ dài ngắn 2a, đạt a2 =xx=a x  I  B C KẾT LUẬN Trên số cách khai thác phát triển từ giả thiết I điểm di động cạnh AB hình vng cho trước tốn kết hợp với thay đổi số giả thiết khác, hay đảo ngược tốn, có khai thác thêm giả thiết toán gốc để tạo chùm toán liên quan với nhiều dạng tốn nhằm mục đích rèn kĩ giải tốn kĩ khai thác phát triển toán cho học sinh nói chung học sinh giỏi tốn nói riêng đáp ứng mục tiêu phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho người học Và sau cho học sinh thực hành theo kinh nghiệm này, nhận thấy ban đầu em bỡ ngỡ sau em hứng thú say mê hơn, đa số em tập thói quen làm xong tốn ln hướng thân suy nghĩ tốn theo hướng: - Tìm thêm kết luận khác từ giả thiết - Tìm tốn họ hàng - Tìm tốn hay khó cách thử thay đổi số giả thiết Dưới kết khảo sát thân trước sau áp dụng kinh nghiệm học sinh lớp mà dạy đại trà bồi dưỡng: Kĩ Trước áp dụng Khai thác toán cách linh hoạt, sáng tạo Sau áp dụng 30% 60% Đây kinh nghiệm nhỏ mà trình dạy học tơi đúc rút nhiên cịn hạn chế, thiếu sót cần bổ sung Tơi mọng nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp D KIẾN NGHỊ - Hàng năm trường, huyện thường tổ chức viết sáng kiến kinh nghiệm Nên sau chấm đề nghị ban tổ chức đánh giá triển khai kinh nghiệm hay có ích cho việc dạy học đến đồng nghiệp đơn vị để chất lượng dạy học ngày nâng lên Tôi xin chân thành cảm ơn! ...tôi xin trao đổi kinh nghiệm: ? ?Khai thác phát triển từ toán đơn giản để bồi dưỡng toán 8? ?? B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Chúng ta bắt đầu toán sau: Bài toán ( Bài tốn bản): Cho hình vng ABCD Gọi I... cách khai thác phát triển từ giả thiết I điểm di động cạnh AB hình vng cho trước tốn kết hợp với thay đổi số giả thiết khác, hay đảo ngược tốn, có khai thác thêm giả thiết toán gốc để tạo chùm toán. .. dạng toán nhằm mục đích rèn kĩ giải tốn kĩ khai thác phát triển toán cho học sinh nói chung học sinh giỏi tốn nói riêng đáp ứng mục tiêu phát triển tư duy, nâng cao tính sáng tạo cho người học Và