(SKKN mới NHẤT) SKKN một số kinh nghiệm mở rộng, phát triển, đặt các đề toán ở từ một bài toán đơn giản

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM MỞ RỘNG, PHÁT TRIỂN, ĐẶT CÁC ĐỀ TOÁN TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN Năm học: 2013 - 2014 download by : skknchat@gmail.com I ĐẶT VẤN ĐỀ: Cơ sở lí luận: Ở bậc tiểu học mơn tốn mơn học quan trọng Mơn tốn nhằm giúp học sinh phát triển óc sáng tạo, kỹ tưởng tượng, suy luận phán đốn giải vấn đề cách xác góp phần hình thành, phát triển tồn diện nhân cách học sinh Vì mơn tốn mơn học khó, khó khơng phần tiếp thu kiến thức mà khó phần vận dụng kiến thức vào giải tập Đối với học sinh Tiểu học nhận thức nặng cảm tính, cụ thể, lực tư cịn hạn chế q trình giải tập em cịn máy móc, thụ động lúng túng phân tích, tưởng tượng, liên kết mối quan hệ kiến thức để giải tập phức tạp Mơn tốn tiểu học cấu trúc bao gồm mảng kiến thức về: số học, yếu tố đại số, đo đại lượng, yếu tố hình học giải tốn có lời văn Với đặc điểm mơn học, đặc điểm tư học sinh với nội dung chương trình dạng tốn tiểu học vô đa dạng phong phú nên phạm vi đề tài đưa mạch kiến thức vài tập đại diện để phân tích từ phát triển số đề phức tạp so với toán ban đầu giúp học sinh giỏi lớp 4, tự giải, đồng thời giúp bạn đồng nghiệp có hướng q trình hướng dẫn học sinh giải toán hay tự đề cho học sinh làm Cơ sở thực tiễn: Căn nội dung chương trình mơn tốn tiểu học nói chung lớp 4, nói riêng, Căn vào trình giảng dạy đại trà bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp 4, rút số kinh nghiệm mở rộng, phát triển đặt đề toán tứ toán đơn giản Qua thực tế giảng dạy nhiều năm thấy toán hướng dẫn học sinh giải đơn phân tích kiện tốn để phục vụ cho việc tìm cách giải tốn sau học sinh gặp tốn dạng tượng tự có thêm bớt kiện, yêu cầu….thì học sinh lúng túng khó tự tìm cách làm khơng có gợi ý dẫn dắt giáo viên giải tốn mà giáo download by : skknchat@gmail.com viên q trình phân tích hướng dẫn học sinh giải có liên hệ mở rộng thêm số yếu tố liên quan, phân tích thêm kiện tốn học sinh dễ liên tưởng để giải tốn dạng tương tự mà khơng cần hỗ trợ thêm cô giáo Mặt khác qua q trình phân tích hướng dẫn học sinh giải tốn giáo viên tự đề khác tương tự hay phát triển thêm cách thay đổi kiện, thêm, bớt kiện….mà khơng cần phải máy móc tìm kiếm đề sách tham khảo,….mà lại phát huy tích liên kết kiến thức, khắc sâu kiến thức cho học sinh Từ lí trên, rút số kinh nghiệm thực tế áp dụng có hiệu hướng dẫn học sinh giỏi lớp 4, giải toán sau: II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: Phạm vi nghiên cứu: Nội dung chương trình tốn tiểu học lớp 4, Đối tượng thể nghiệm: Học sinh giỏi lớp 4, Nội dung chính: Trong chương trình tốn lớp học sinh học dạng tốn trung bình cộng dạng tốn điển hình lí thú biết khai thác sâu Sau hướng phân tích phát triển từ tốn dạng tốn trung bình cộng: Ví dụ 1: Số học sinh lớp 25 học sinh, 27 học sinh, 32 học sinh Hỏi trung bình cộng lớp có học sinh? (số trang 27 sách tốn 4) Phân tích: Đây tốn đơn giản để tính trung bình lớp có học sinh trước hết phải tính tổng số học sinh lớp Sau thực phép chia cho Giải: Tổng số học sinh lớp là: 25 + 27 + 32 = 84 ( học sinh ) Trung bình lớp có: 84 : = 28 ( học sinh ) Mở rộng: Sau giải toán giáo viên mở rộng thêm cho học sinh thêm câu hỏi: Nếu biết trung bình cộng, muốn tính tổng ta làm nào? Từ toán phát triển thành toán khác cho học sinh làm sau: download by : skknchat@gmail.com Khối trường tiểu học có lớp, lớp 4A có 25 học sinh, lớp 4B có 27 học sinh trung bình số học sinh lớp 28 học sinh Hỏi lớp 4C có học sinh? Phân tích: Bài tốn cho biết trung bình cộng => biết tổng số học sinh khối từ dễ dàng giải toán Giải: Tổng số học sinh lớp khối là: 28 x = 84 ( học sinh ) Số học sinh lớp 4C là: 84 - ( 25 + 27) = 32 ( học sinh ) Đáp số: 32 học sinh Tại trường tiểu học có lớp Trong lớp 4A có 25 học sinh, lớp 4B có số học sinh nhiều trung bình số học sinh lớp 4A 4B học sinh, lớp 4C có 32 học sinh Hỏi trung bình lớp có học sinh? Phân tích: Mấu chốt để giải tốn từ kiện lớp 4B có số học sinh nhiều trung bình số học sinh lớp 4A 4B HS Từ kiện lí luận trung bình số HS lớp 4A 4B => tổng số học sinh lớp Giải: Coi trung bình số HS lớp 4A 4B phần tổng số HS lớp phần Khi số HS lớp 4B phần cộng thêm em Ta có sơ đồ: 4A 4B TB số HS lớp 4A 4B Nhìn vào sơ đồ ta thấy số HS lớp 4A trung bình số HS lớp em Vậy trung bình số HS lớp 4A 4B là: 25 + = 26 ( em ) Tổng số HS lớp là: 26 x + 32 = 84 ( em ) Trung bình lớp có số HS là: download by : skknchat@gmail.com 84 : = 28 ( em ) Đáp số: 28 em Khối lớp trường tiểu học có lớp Trong lớp 4A có 25 HS, lớp 4B có số HS nhiều trung bình số HS lớp 4A 4B em, lớp 4C có số HS nhiều trung bình số HS lớp em Tính số HS lớp khối 4? ( Cách phân tích để giải toán tương tự toán trên) Giải: Coi trung bình số HS lớp phần tổng số HS lớp phần Khi số HS lớp 4C phần cộng thêm em Ta có sơ đồ: 4A + 4B 4C Từ sơ đồ ta thấy tổng số HS lớp 4A 4B phần bớt em Do trung bình số HS lớp 4A 4B phần trừ em suy số HS lớp 4B phần bớt em số HS lớp 4A phần bớt em nên phần ứng với số HS là: 25 + = 28 ( em ) Số HS lớp khối là: 28 x = 84 ( em ) Đáp số: 84 em Khối trường tiểu học có lớp Biết trung bình lớp có 28 HS, số HS lớp 4B lớp 4C em nhiều lớp 4A em Tính xem lớp có HS? Phân tích: Biết trung bình lớp có 28 HS => biết tổng số HS khối => vẽ sơ đồ để giải Giải: Tổng số HS lớp là: 28 = 84 (em) Ta có sơ đồ: Số HS lớp 4A Số HS lớp 4B Số HS lớp 4C Nhìn vào sơ đồ ta thấy số HS lớp 4A là: download by : skknchat@gmail.com (84 - - - 5) : = 25 (em) Số HS lớp 4B là: 25 + = 27 (em) Số HS lớp 4C là: 27 + = 32 (em) Đáp số: 25 em, 27 em, 32 em Ví dụ 2: Cho a, b, c số tự nhiên khác 0, biết c - b = a Hãy chứng tỏ rằng: = - Phân tích: Đây tốn đơn giản HS việc thực phép trừ hai phân số cách quy đồng mẫu số Giải: - = Vậy: = = = - Từ tốn mở rộng, phát triển thành toán cho HS giải sau: Tính tổng sau cách thuận tiện nhất: + + + Phân tích: Ta thấy: - = 1, - = 1, - = theo tốn ví dụ 1, ta phân tích số hạng thành hiệu phân số để giải Giải: Ta thấy: Vậy: =1+ ; + = - + ; = =1- + - ; + = - + Tính tổng: a + + + …….+ + (Cách giải tương tự trên) b + + + + …….+ + download by : skknchat@gmail.com - =1- = ( Ở cần viết mẫu số thành tích số tự nhiên liên tiếp để đưa dạng trên: = x 3, 12 = x 4, 20 = x 5, … , 90 = x 10, 110 = 10 x 11 ) c + + + + + ( Ở dễ dàng nhận dạng giống 13 - 11 = 2, 15 - 13 = 2, 19 - 17 = 2, 21 - 19 = 2, 23 - 21 = nên phân tích số hạng thành hiệu phân số d + = - 3 + + 28 70 , = - ; …….) + ( Đưa dạng giống c cách phân tích mẫu số thành tích số tự nhiên đơn vị: = x 4, 28 = x 7, 70 = x 10, 130 = 10 x 13, 208 = 13 x 16.) Ngồi dạng mở rộng thêm khó như: Tính tổng: a + + + … + Phân tích: Theo cách nhận dạng nhanh trên, ta thấy: 3-1 =2, 5-3 =2, … HS suy nghĩ đến việc làm xuất số tử số cách: Đặt tổng S tính S x 2, ta có: Sx2= + + + ….+ Bài tốn trở giống với 2c Tính kết chia đơi để tính S b + + ……+ Phân tích: Cũng theo cách suy luận 3a.: Vì 5-1= 4, 9-5= 4, …., 97-93= nên HS suy nghĩ làm xuất số tử số cách: Đặt tổng A tính A x 2, ta có: A x 2= + + ……+ Bài tốn trở giống 3a c + + ….+ download by : skknchat@gmail.com Phân tích: Ta thấy - 1= 1, - 2= 1, … 100 - 99= HS có suy nghĩ làm xuất số tử số cách: Đặt tổng S tính S : Cách giải giống trên, tính kết đem nhân để tính S d + + + … + Phân tích: Vì - = 2, - = 2, …., 99 - 97 = nên phải làm xuất số tử số cách: Đặt tổng S tính S : Tính kết đem nhân để tính S Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên M N biết M gấp lần N cộng thêm đơn vị vào N M gấp lần N Phân tích: Ta thấy đại lượng M không đổi Vậy cần dựa vào M để giải toán Giải: Ban đầu M gấp lần N nên N = M Sau thêm đơn vị vào N M gấp lần N, lúc N+3 = Vậy đơn vị ứng với: - = (M) M=3: = 60 M N = 60 : = 12 Từ tốn thay đổi giả thiết cách bớt N giữ nguyên M thay đổi M giữ nguyên N với cách giải tương tự GV cho HS làm sau: Tìm số tự nhiên M N biết M gấp lần N Nếu bớt N đơn vị M gấp lần N Phân tích: Ở cần dựa vào đại lượng không đổi M Giải: Ban đầu: N = M Sau N bớt đơn vị : N - = đơn vị ứng với: - = M (M) download by : skknchat@gmail.com M=2: = 60; N = 60 : = 12 Đáp số: M = 60, N = 12 M N hai số tự nhiên, biết M gấp lần N, bớt M 12 đơn vị M gấp lần N Tìm số M N Phân tích: Ở tốn N đại lượng không đổi Giải: Ban đầu M = N Sau bớt M 12 đơn vị : M - 12 = N 12 đơn vị ứng với: 5N - N = N Vậy N = 12; M = 12x = 60 Đáp số: M = 60, N = 12 Cho số tự nhiên M N, biết M gấp lần N Nếu thêm vào M đơn vị N = M Tìm M, N ? Phân tích: Ở tốn đại lượng khơng đổi N Giải: Ban đầu m = N Sau thêm vào M đơn vị thì: M = đơn vị ứng với: N=2: N-5N= N N =6 M = x = 30 Đáp số: M = 30, N = Tìm số tự nhiên M N biết M gấp lần N Nếu thêm vào N đơn vị bớt M đơn vị lúc N = M Phân tích: Ở tốn ta thấy đại lượng M N thay đổi Nhưng ta thấy thêm vào N bớt M số đơn vị (3) nên tổng (M + N) không đổi Nên để giải toán cần dựa vào tổng M N Giải: download by : skknchat@gmail.com M = 5N nên coi N phần M gồm phần Vậy M + N = (phần) => N = (M + N) Sau thêm vào N đơn vị bớt M đơn vị thì: N+3= (M + N) = (M + N) đơn vị ứng với: - = (M + N) M+N=3: = 72 N = 72 : = 12 ; M = 12 x = 60 Đáp số: M = 60; N = 12 Tìm số tự nhiên M N, biết M gấp lần N Nếu thêm vào số đơn vị lúc N = M Phân tích: Cũng 4, đại lượng M N thay đổi thêm vào số số đơn vị (3) nên hiệu (M-N) không thay đổi => Dựa vào hiệu M - N khơng đổi để giải tốn Tóm tắt cách giải: M = 5N nên M = (M-N) = (M-N) Sau thêm vào số đơn vị thì: M+N= (M-N) = đơn vị ứng với: M-N=3: M= - (M-N) = (M-N) = 48 x 48 = 60 N = 60 : = 12 Đáp số: M = 60; N = 12 Ví dụ 4: Cho phân số Hãy viết phân số cho dạng tổng phân số có tử số mẫu số khác download by : skknchat@gmail.com Phân tích: Để phân tích phân số thành tổng phân số có tử số = mẫu số khác trước hết ta cần phân tích phân số thành tổng phân số khác mà mẫu số chia hết cho tử số ( để rút gọn làm xuất tử số = 1, mẫu số khác nhau) Từ ta suy nghĩ cách làm là: Phân tích tử số 15 thành tổng số khác ước số mẫu số 16 Ta có: 15 = + + + ( 1, 2, 4, ước 16) Giải: = = + + + = + + ( Hoàn toàn tương tự với toán mà tay phân số , , , , + phân số , , … ) Hoặc mở rộng thêm sau: Hãy viết phân số thành tổng phân số khác có mẫu số khác tử số dều Có cách viết ? Phân tích: Đối với u cầu thứ cách làm hồn tồn giống ví dụ Cịn u cầu thứ lưu ý thêm cho HS phân tích tử số 14 thành tổng số ước 30 cần tìm hết xem có cách phân tích tốn có nhiêu cách viết Ta thấy: 14 = + + + = + + = + + 10 Có cách phân tích tốn có cách viết Giải: Cách 1: = Cách 2: = Cách 3: = = = = + + + + + + = + = + = + + + + + + Phân tích phân số thành tổng phân số tối giản có mẫu số: a b download by : skknchat@gmail.com Phân tích: Nếu tốn ví dụ phân tích phân số theo hướng thành tổng phân số rút gọn (tử số ước mẫu số) ngược lại tốn ta lại phân tích tử số thành tổng số mà mẫu số không chia hết (không phải ước mẫu số) a Ta thấy: = + = + ( 1, 2, ước 5) Từ ta có cách giải sau: Giải: Cách 1: = = + Cách 2: = = + Lưu ý: Vì tốn khơng u cầu viết thành tổng phân số khác nên ta có cách Mặt khác đề yêu cầu phân tích thành tổng phân số nên có cách tốn u cầu phân tích thành tổng phân số ta cịn có thêm cách là: Cách 3: = Cách 4: = + = + + + + b Cách giải tương tự a Phân tích phân số thành tổng phân số khác tối giản? Phân tích: Đối với việc phân tích tử số 11 thành tổng số khác không cần quan tâm đến dấu hiệu chia hết hay không chia hết trên, đề yêu cầu phân số tối giản nên sau phân tích xong phân số rút gọn ta rút gọn đến tối giản Từ ta có cách phân tích số 11 thành tổng số sau: 11 = + 10 = + = + = + = + (5 cách) Giải: Cách 1: = + = Cách 2: = + = + 12 Cách 3: = + = + + download by : skknchat@gmail.com Cách 4: = + = Cách 5: = + = + + Lưu ý: Từ lập đề khác cách yêu cầu phân tích thành tổng phân số, phân số,……… Ví dụ 5: Cho hình thang ABCD có đường chéo AC BD Hãy chứng tỏ rằng: a Diện tích tam giác ACD diện tích tam giác BCD b Diện tích tam giác ADB diện tích tam giác ACB Vẽ hình: A B D C Phân tích: => để chứng tỏ tam giác có diện tích cần nghĩ đến việc so sánh đáy chiều cao chúng a Xét ACD BDC có: - Chiều cao hạ từ A B (vì chúng chiều cao hình thang ABCD) - Chung đáy CD Vậy diện tích b Tương tự ACD = diện tích ADB BDC ACB có: - Chiều cao hạ từ D C (vì chúng chiều cao hình thang ABCD) - Chung đáy AB Vậy diện tích ADB = diện tích ACB Mở rộng: Từ tốn HS vận dụng để giải tập sau: Cho hình thang ABCD có đáy AB CD Hãy chứng tỏ diện tích tam giác AID diện tích tam giác BIC (hoặc so sánh diện tích tam giác AID BIC), biết I giao điểm AC BD download by : skknchat@gmail.com A B I D C Tóm tắt cách giải: Diện tích DAC = diện tích DBC (vì chiều cao hạ từ A B nhau, chung đáy DC) Mặt khác: Diện tích AID = diện tích DAC - diện tích DIC BIC = diện tích DBC - diện tích DIC Diện tích =>Diện tích AID = diện tích BIC Trong hình vẽ sau, ABCD hình thang, biết diện tích tam giác APD 12 cm 2, diện tích tam giác BQC 13 cm2 Tính diện tích tứ giác PMQN ? A M B P Q D C N Tóm tắt cách giải: Nối MN ta có: Diện tích DAN = diện tích DMN (chiều cao hạ từ A M chiều cao hình thang MAND, chung đáy DN) Diện tích APD = diện tích DAN - diện tích DPN Diện tích MPN = diện tích DMN - diện tích DPN =>Diện tích APD = diện tích Hồn tồn tương tự: Ta có diện tích MPN = 12 cm2 (1) MQN = diện tích Từ (1) (2) ta có: Diện tích tứ giác PMQN = diện tích BQC = 13 cm (2) MPN + diện tích MQN = 12 + 13 = 25 (cm2) Đáp số: Diện tích tứ giác PMQN = 25 (cm2) Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo AC BC cắt I có IB = IC Hãy chứng tỏ rằng: download by : skknchat@gmail.com ID; IA = a Tứ giác ABCD hình thang b Cạnh đáy AB = cạnh đáy CD A B I D C Tóm tắt cách giải: a Diện tích AID = diện tích DIC (chung chiều cao từ D đáy AI = IC) DIC (chung chiều cao hạ từ C, đáy BI = ID) (1) Diện tích BIC = diện tích (2) Từ (1) (2) => Diện tích DAC = diện tích DBC mà tam giác có chung đáy DC nên chiều cao hạ từ đỉnh A đỉnh B xuống đáy DC phải => tứ giác ABCD hình thang b Ta có: Diện tích IAB = diện tích IBC (chung chiều cao từ B đáy AI = IC) (1) Diện tích AID = diện tích DIC (chung chiều cao hạ từ D, đáy IA = IC) (2) Từ (1) (2) ta có: Diện tích AIB + diện tích AID = => Diện tích Mà DAB DAB = diện tích diện tích IBC + diện tích DIC DBC DBC có chiều cao hạ từ đỉnh D xuống đáy AB chiều cao hạ từ đỉnh B xuống đáy DC chiều cao hình thang ABCD Do đáy AB phải đáy DC (điều phải chứng tỏ) Kết quả: download by : skknchat@gmail.com Với thời gian đầu tư cho việc nghiên cứu nội dung chương trình tốn lớp lớp nói chung chương trình tốn bồi dưỡng (trong sách tốn tham khảo, báo chí, ….) nói riêng chưa nhiều, thời gian thể nghiệm đề tài hạn chế bước đầu mang lại kết khả quan qua làm học sinh Các em khơng cịn bị động trước toán khác lạ mà nhiều em cịn thích thú phân tích, tìm tịi để tìm cách giải nhiên cịn số em giải cịn mang tính áp đặt, máy móc, thiếu linh động dẫn đến kết làm chưa cao Nguyên nhân việc nắm kiến thức chưa chắn, trình độ học sinh không đồng nên mức độ tiếp thu em khác nhau, mặt khác việc phân tích tìm dạng việc vơ khó khăn, toán mở rộng từ dạng mẫu giải mang đầy tính sáng tạo có dạng mỗi cách diễn đạt nên đòi hỏi học sinh phải biết tưởng tượng liên kết kiến thức để giải Kết cụ thể năm áp dụng chuyên đề bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp sau: Sau áp dụng chuyên đề khảo sát cho lớp bồi dưỡng lớp trường, kết thu được: - Năm học 2011 - 2012 trường có 26/30 em bồi dưỡng đạt điểm trở lên - Năm học 2012 - 2013 trường có 24/28 em bồi dưỡng đạt điểm trở lên Từ thành công bước đầu vấn đề tồn thể nghiệm cho học sinh chuyên đề này, rút số đề xuất học kinh nghiệm là: Đề xuất học kinh nghiệm: Trong q trình giảng dạy nói chung hướng dẫn thực hành giải tập nói riêng để đạt kết cao giáo viên cần lưu ý vấn đề sau: - Cần trang bị cho học sinh có lượng kiến thức phù hợp, vững đạt mục tiêu yêu cầu - Trong trình giảng dạy không nên quan niệm giảng thật kỹ phần lí thuyết mà quan tâm đến việc phân tích, mở rộng hướng dẫn học sinh phần tập thực hành - Trong trình hướng dẫn học sinh luyện tập, giáo viên cung cấp hệ thống tập từ toán dễ phát triển dần lên tốn khó download by : skknchat@gmail.com - Mặt khác trình giảng dạy, giáo viên phải đầu tư thời gian thích đáng việc tìm hiểu dạy, sưu tầm, nghiên cứu, phân tích, phát cách nhận dạng nhanh số để tìm cách giải dễ hiểu nhất, mang lại hiệu cao III KẾT LUẬN: Trên số hướng phân tích, mở rộng tốn khác từ tốn đơn giản Điều góp phần việc phát triển tư tốn học học sinh tiểu học qua trình thử nghiệm bước đầu có hiệu tơi muốn đưa để trao đổi với bạn đồng nghiệp, mong góp ý tất bạn./ Xin chân thành cảm ơn download by : skknchat@gmail.com ... kinh nghiệm mở rộng, phát triển đặt đề toán tứ toán đơn giản Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tơi thấy tốn hướng dẫn học sinh giải đơn phân tích kiện toán để phục vụ cho việc tìm cách giải tốn... Phân tích: Đây toán đơn giản HS việc thực phép trừ hai phân số cách quy đồng mẫu số Giải: - = Vậy: = = = - Từ toán mở rộng, phát triển thành tốn cho HS giải sau: Tính tổng sau cách thuận tiện nhất:... phân số thành tổng phân số khác mà mẫu số chia hết cho tử số ( để rút gọn làm xuất tử số = 1, mẫu số khác nhau) Từ ta suy nghĩ cách làm là: Phân tích tử số 15 thành tổng số khác ước số mẫu số 16