(SKKN CHẤT 2020) kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán khoảng cách trong hình không gian

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE - - BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHƠNG GIAN CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM download by : skknchat@gmail.com Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN I Tên sáng kiến: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán khoảng cách hình khơng gian (Nguyễn Văn Q – Trường THPT Chuyên Bến Tre ) II Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn III Mơ tả chất sáng kiến: Tình trạng giải pháp biết: Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2017-2018 mơn tốn thi hình thức TNKQ , vấn đề nầy làm cho GV học sinh khơng lo lắng Về phía GV phải suy nghĩ dạy để em làm chủ kiến thức, kĩ đáp ứng tốt với hình thức thi TNKQ Trong đề thi tham khảo mơn tốn năm 2018 BGD, thấy 30 câu đầu thuộc dạng nhận biết, thông hiểu, 20 câu cuối thuộc dạng câu hỏi vận dụng cao đòi hỏi học sinh phải suy luận Trong câu hỏi hình khơng gian mà câu hỏi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, tính khoảng cách đường thẳng chéo làm cho học sinh sợ tự tin giải vấn đề nầy Trong phần hình học khơng gian, tốn khoảng cách chiếm vị trí quan trọng Tuy nhiên thực tế lại có nhiều học sinh sợ học phần Vì tác giả chọn chuyên đề Khoảng cách không gian , nhằm giúp em học sinh có cách nhìn rõ ràng phương pháp giải tốn tính khoảng cách Chun đề nêu lên ba phương pháp tính khoảng cách không gian, phương pháp tương ứng với phần chuyên đề: Phần I Công thức chuyển đổi khoảng cách Phần II Phương pháp sử dụng thể tích Phần III Phương pháp gắn hệ trục tọa độ Hiện có nhiều tài liệu sách tham khảo viết vấn đề nầy, nhiên tài liệu đa phần thiên giải tập mà phân tích phương pháp hữu hiệu giải vấn đề Nội dung giải pháp đề nghị công nhận sáng kiến: download by : skknchat@gmail.com Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ngồi cách thơng thường tơi trọng đến công thức chuyển đổi khoảng cách , cơng cụ hữu hiệu dùng để tính khoảng cách Đó nội dung phần I Nội dung phần nầy để tính d(A,(P)) ta chuyển tính d(B,(P)) việc tính d(B,(P)) thành cơng tốn giải Vấn đề nầy đề cập số tài liệu, nhiên điểm GV hướng dẫn HS biết viết dãy suy luận ngược có dạng: d(A,(P)) ? < d(B,(P)) ? < d(C,(P)) ? Để tính khoảng cách khơng gian, cịn sử dụng phương pháp thể tích Ta biết tứ diện coi hình chóp tam giác với đỉnh đỉnh tứ diện Như dùng thể tích ta có cách để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phằng dễ dàng Ngồi phần 2, tơi cịn giới thiệu cơng thức để tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, công thức nầy giúp học sinh giải nhanh chóng câu hỏi trắc nghiệm tính khoảng cách đường thẳng chéo Bài toán nầy quy việc tính thể tích tứ diện độ dài cạnh tứ diện Nội dung công thức sau: Kết quả: Cho tứ diện ABCD, ta có cơng thức: Cơng thức nầy suy từ công thức: Chú ý: Sau tính V độ dài cạnh tứ diện, ta dùng máy tính CASIO để tìm kết cách nhanh chóng Cần ý độ dài cạnh phụ thuộc vào a ta cho a = để bấm máy, kết ta nhân thêm a Phần III nêu lên phương pháp tính khoảng cách nhờ gắn tọa độ download by : skknchat@gmail.com Phần 1: CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỔI KHOẢNG CÁCH I Công thức chuyển đổi khoảng cách Cho hai điểm phân biệt mặt phẳng , - Nếu đường thẳng song song với - Nếu đường thẳng cắt điểm Khi đó: Ứng dụng “công thức chuyển đổi khoảng cách” lớn Bởi tốn u cầu tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta chuyển tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng dễ tính II Ví dụ minh họa Ví dụ Cho hinh chop co đay la hinh thang, , Canh bên vuông goc vơi đay va Goi chiêu vuông goc cua Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng Phân tích: Sơ đồ chuyển khoảng cách: Hướng dẫn giải: , la hinh S Ta có Gọi giao điểm đường thẳng Dễ chứng minh vng góc với Gọi hình chiếu lên Khi khoảng cách từ lên Ta lại có : K H A D (1) ; C B (2) E Từ (1) (2) ta có Ví dụ Cho hình hộp , , có Tính khoảng cách từ , tới mặt phẳng Phân tích : Sơ đồ chuyển khoảng cách : download by : skknchat@gmail.com , Hướng dẫn giải : D C A D' Theo cơng thức Hê –rơng ta có : E C' A' Từ ta có B' Lại theo cơng thức chuyển khoảng cách ta có : Từ suy khoảng cách từ tới Ví dụ Cho hinh chop Gọi a) Tí b) Tí Hướng dẫn giải: a) Do Gọi Kẻ Do trung điểm Mà Tam giác Lại có có: A D I Vậy b) Ta có O B Do C download by : skknchat@gmail.com Ta lại có tam giác có Do Suy Vậy , Ví dụ 4.(D-11) Cho hinh chop , Tính khoảng cách từ điểm Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng S Xét tam C Và H Mà Hạ Dễ dàng có Ta có , Tam giác Vậy Ví dụ (D-2008) Cho lăng trụ đứng có đáy tam giác vng, Gọi trung điểm Tính theo khoảng cách Phân tích: Gọi trung điểm Khi song song với mặt phẳng Sơ đồ chuyển khoảng cách: download by : skknchat@gmail.com Hướng dẫn giải: Lại có : Suy Xét tứ diện vng Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật trung điểm a) Tính khoảng cách có Gọi ; b) Tính khoảng cách Hướng dẫn giải : a) Gọi giao điểm B' E A' Xét tứ diện vng với D' ta có: Như ta c) B M Ta có C N D A I Lại có Xét tứ diện Khi , kẻ đường cao tam giác Vậy A' D' download by : skknchat@gmail.com Ví dụ Cho hình chóp Gọi phẳng trung điểm vng góc với Phân tích : Sơ đồ chuyển khoảng cách : Ví dụ Cho hình chóp tam giác vng góc với đáy Từ Biết a) b) Tính diện tích tam giác Tính khoảng cách từ Lời giải: a) Xét tam giác Dễ dàng có nên Do Từ (2) suy (do ) Ta Suy Từ (1) ta b)Ta có Do download by : skknchat@gmail.com Bài tập tự luyện Bài Cho lăng trụ Mặt bên hợp với mặt bên có đáy tam giác vng , , hình thoi nằm mặt phẳng vng góc với đáy góc Tính khoảng cách từ tới mặt bên Bài Cho hình chóp có đáy Gọi tam giác vuông trung điểm cạnh a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng b) Tính khoảng cách từ đến Bài Cho lăng trụ Bài Biết Bài Cho lăng trụ có Tính khoảng cách hai đáy lăng trụ góc Bài Cho hình chóp khoảng cách với có đáy hình vng cạnh , , Tính thể tích khối chóp , góc có đáy tam giác vng , Cho trọng tâm cách từ tới Bài Cho hình chóp vng góc với đáy, mãn Bài Cho hình chóp mặt bên chóp Tính Bài Cho a) Góc b) Góc c) Góc d) Góc Bài 10 Cho lăng trụ Gọi cách từ trung điểm tới mặt download by : skknchat@gmail.com Bài 11 Cho hình chóp điểm Bài 12 Cho hình chóp trịn nội đáy Bài 13 khoảng cách Góc cạnh bên đáy Tính theo hai đáy lăng trụ khoảng cách Bài 14 Cho hình chóp có Gọi mặt phẳng qua trung điểm qua , cắt Bài 15 Cho hình chóp Tính có biết , đáy vng góc với hình chữ nhật, Tính: a)Góc mặt phẳng b) Khoảng cách c) Tính góc giữavà Bài 16 Cho hình chóp a) Góc mặt phẳng b) Khoảng cách Bài 17 Cho hình chóp với mặt phẳng đáy và ; ; ; ; có Tính: ; có đáy hình vng cạnh Tính khoảng cách từ: a) Trọng tâm tam giác đến mặt phẳng b) Điểm đến mặt phẳng; a) Tâm Bài 18 Trong mặt phẳng Dựng hai đoạn Tính khoảng cách từ: a) Điểm b) Trung điểm c) Điểm , ; d) Trung điểm Bài 19 Cho hình chóp , vng góc với mặt phẳng đáy a) Tính khoảng cách từ điểm trung điểm cạnh b) Gọi download by : skknchat@gmail.com vng góc Bài 20 Bài 21 Cho , Cho Gọi mặt phẳng Bài 22 Cho hình chóp Bài 23 Cho hình lăng trụ góc để tốn có nghĩa với mặt góc a) Tính ; b) Tính khoảng cách từ trung điểm c) Gọi trung điểm cạnh đến mặt phẳng Tính góc ; mặt phẳng Bài 24 Cho lăng trụ có mặt bên hình vng cạnh Gọi trung điểm cạnh Tính khoảng cách cặp đường thẳng: a) ; b) ; c) Bài 25 Cho lăng trụ có vng góc với mặt phẳng Đáy tam giác vng có a) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ; b) Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng ; c) Chứng minh vuông góc với mặt phẳng cách từ đến mặt phẳng Bài 26 Cho hình chóp S.ABC có mặt (SBC) Tính khoảng cách từ a) vuông , b) cạnh c) cân , tính khoảng , Xác định hình chiếu S lên trường hợp sau: đến Bài 27 Cho hình chóp S.ABC, , Gọi trung điểm phẳng 10 tam giác Tính khoảng cách từ cân , đến mặt download by : skknchat@gmail.com Bài 28 [D-07] Cho hình chóp có đáy hình thang, Cạnh bên , Gọi , hình chiếu lên a) Chứng minh vng b) Tính khoảng cách từ tới Bài 29 Cho tứ diện có tam giác vng cân đỉnh ; cạnh vng góc với mặt Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Gọi trung điểm Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng Bài 30 Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật với Các cạnh bên hình chóp Tính thể tích hình chóp Gọi trung điểm cách từ tới mặt phẳng Tính khoảng cách từ Tính khoảng đến mặt phẳng Bài 31 Cho hình lập phương cách hai đường thẳng Bài 32 điểm Cho hình lập phương Bài 33 Cho hình chóp trung điểm vng góc với mặt Bài 34 Cho hình chóp đường cao a) Tính kc từ b) Bài 35 Cho tứ diện a) Tìm khoảng cách cặp cạnh đối b) Tìm khoảng cách từ Bài 36 Cho tứ diện đôi vuông góc với a) Tính khoảng cách từ b) Tính khoảng cách tới mặt tới mặt với 11 download by : skknchat@gmail.com Phần II PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG THỂ TÍCH II Phương pháp chung Để tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng tính yếu tố, tính: - Thể tích hình chóp - Diện tích tam giác Khi đó: MỘT KỸ THUẬT TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU TRONG HKG Trong đề thi THPTQG mơn tốn ta thường gặp câu hỏi tính khoảng cách đường thẳng chéo HKG Đây câu hỏi vận dụng cao, HS giỏi HKG giải Công thức sau đưa phương án giải vấn đề cách tương đối đơn giản mà khơng cần vẽ hình thêm Nội dung phương pháp nầy là: Để tính khoảng cách cạnh đối AB, CD tứ diện ta cần biết độ dài cạnh thể tích Kết quả: Cho tứ diện ABCD, ta có công thức: Công thức nầy suy từ công thức: Chú ý: Sau tính V độ dài cạnh tứ diện, ta dùng máy tính CASIO để tìm kết cách nhanh chóng Cần ý độ dài cạnh phụ thuộc vào a ta cho a = để bấm máy, kết ta nhân thêm a Bài tập áp dụng: Ví⊥ dụ (THPT QG 2015): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA (ABCD), góc SC (ABCD) Tính theo a Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, A’C’, B’C’ Tính Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, B’C’ Tính khoảng cách hai đường thẳng AN DM 12 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 4⊥(A_2011): Cho hình chóp S.ABC có ΔABC vng cân B, AB = BC = 2a; (SAB), (SAC) (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC, cắt AC N Biết Tính d[AB;SN] theo a Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, BC = Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy Điểm I thuộc⊥ đoạn SC cho SC = 3.CI Tính thể tích khối chóp S.ABCD d[AI;SB], biết AI SC Bài tập tự luyện Bài Cho tứ diện , có Tam giác Tính khoảng cách từ Bài Cho tứ diện tới có có Tam giác cạnh Tính khoảng cách từ tới Bài Cho tứ diện , có a) Tính khoảng cách cặp cạnh đối diện b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt Bài Cho hình chóp , hình thoi cạnh Tính khoảng cách từ đến , cạnh độ dài Bài Cho tứ diện có b) Tính khoảng cách cặp cạnh đối diện c) Tính khoảng cách từ điểm Bài Trên cạnh cho hình vng đến mặt cạnh , lấy điểm với nửa đường thẳng vng góc a) Chứng minh rằng: Nhị diện cạnh hình chóp diện vng b) Tính khoảng cách từ điểm Bài Cho tam giác , lấy điểm cạnh tới mặt phẳng , , lấy điểm nhị , đường thẳng với vng góc với mặt Tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Bài Cho tứ diện đơi vng góc với a) Tính khoảng cách từ b) Tính khoảng cách Bài Cho tứ diện có cạnh tới mặt với vng góc với mặt phẳng Tính khoảng cách từ 13 , download by : skknchat@gmail.com ; tới mặt Phần III PHƯƠNG PHÁP GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I Các công thức Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng qua , có vectơ phương là: Khoảng cách hai đường thẳng Cho đường thẳng qua điểm - Nếu qua điểm có vectơ phương , đường thẳng có vectơ phương song song khoảng cách hai đường thẳng là: - Nếu chéo khoảng cách hai đường thẳng là: II Bài tập tự luyện Bài Cho hình lập phương Bài Trên cạnh Tính khoảng cách hai đường thẳng a) b) c) Bài Cho hình lập phương a) b) Chứng minh nhị diện cạnh Tính khoảng cách từ Lấy Tính theo Gọi đường thẳng Tính góc nhị diện c) Bài Cho tứ diện có Xác định đường vng góc chung , 14 tam giác cạnh tính độ dài download by : skknchat@gmail.com , , Bài Cho hình chóp có đáy tam giác vuông cân cạnh , Xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng Bài Cho tứ diện cạnh a) Tìm khoảng cách cặp cạnh đối b) Tìm khoảng cách từ tới mặt Bài Cho hình chóp tam giác đỉnh trung điểm với mặt phẳng có độ dài cạnh đáy cho biết mặt phẳng Tính khoảng cách từ 15 tới mặt phẳng Gọi vng góc download by : skknchat@gmail.com KẾT LUẬN SKKN nầy tác giả xây dựng nhằm cung cấp cho đồng nghiệp em học sinh tài liệu tương đối đầy đủ phương pháp tính khoảng cách không gian Tuy nhiên chuyên đề chưa đề cập đến việc tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Các phương pháp giải toán chủ yếu có tính định hướng chung cho lớp tốn thường xuất kì thi học sinh tuyển sinh Đại học - Cao đẳng, thi học sinh giỏi Đối với vài ví dụ chun đề bạn tự tìm tịi thấy có cách giải khác Trong thời gian tiếp theo, tác giả tiếp tục bổ sung tốn tích khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, tốn sử dụng cơng cụ khoảng cách để giải toán Hi vọng tài liệu tham khảo giúp ích nhiều cho thầy cô giáo, em học sinh người quan tâm đến giáo dục toán học THPT 16 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Xuân Liêm Bài tập nâng cao số chuyên đề Hình học 11 Nhà xuất Giáo dục- 2008 Trần Phương Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn Nhà xuất Hà Nội- 2004 Nguyễn Văn Qúi Các vấn đề trọng tâm mơn Tốn 12 Nhà xuất Đà Nẵng1998 Tạp chí tốn học tuổi trẻ Nhà xuất Giáo dục Tủ sách toán học tuổi trẻ Nhà xuất Giáo dục- 2010 17 download by : skknchat@gmail.com ... hỏi hình khơng gian mà câu hỏi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, tính khoảng cách đường thẳng chéo làm cho học sinh sợ tự tin giải vấn đề nầy Trong phần hình học khơng gian, tốn khoảng cách. .. thực tế lại có nhiều học sinh sợ học phần Vì tác giả chọn chuyên đề Khoảng cách không gian , nhằm giúp em học sinh có cách nhìn rõ ràng phương pháp giải toán tính khoảng cách Chuyên đề nêu lên... Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng b) Tính khoảng cách từ đến Bài Cho lăng trụ Bài Biết Bài Cho lăng trụ có Tính khoảng cách hai đáy lăng trụ góc Bài Cho hình chóp khoảng cách với có đáy hình