CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG Bài 1: Cho tam giác ABC cố định Gọi D, E, F điểm di động BC, CA, AB cho AD, BE, CF đồng quy O Xác định vị trí điểm D, E, F cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn S BDF x ; S ABC x 1 z 1 SCED y S ABC x 1 y 1 x y z S DEF S ABC 1 1 z 1 x 1 x 1 y 1 y 1 z S DEF Cauchy 2S S 1 x 1 y 1 z Dấu “=” xảy D, E , F trung điểm đoạn BC , CA, AB Bài 2: Cho đường tròn (O) đường thẳng d (O ) Gọi E chân đường vng góc từ O tới d M d E Từ M kẻ đường tiếp tuyến tới (O ) MA, MB Gọi C , D hình chiếu Đặt E lên MA, MB Chứng minh CD qua điểm cố DB EC FA x; y; z DC EA FB định Do AD, BE , CF ln đồng quy O , ta có định lý Mê-nê-la-uýt: DB EC FA xyz ; DC EA FB S DEF S ABC S AEF S BDF SCED Mà S AEF AE AF S ABC AB AC Do EC EA EA y EA EC y AC y Và S FA AF z z z AEF FB AB z S ABC y 1 z 1 Hoàn toàn tương tự, ta có: Giả sử CD OE F DeThiMau.vn Từ E kẻ EK AB K ; AB OE H Dễ dàng chứng minh OH OE R OH R2 const H cố định OE Trước hết ta dễ dàng chứng minh điểm A, O, B, E , M thuộc đường trịn đường kính OM E AMB EC MA Mà ta lại có: ED MB CDK đường thẳng Xim-sơn MAB EK AB C , D, K thẳng hàng Do tứ giác OBEM nội tiếp MOE MBE DBE (1) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC Nối A2C Ta lại dễ dàng nhận thấy tứ giác DBKE nội tiếp AC B Ta có: Do CC2 phân giác góc C nên C 2 DBE DKE Tương tự: AA2 phân giác góc A nên A2 B A2C (2) Từ (1) (2) suy FKE FOM FEK (do OM / / EK ) AC B Suy A2C C A2 B A2C2 A2 IC A2CI A2 IC cân 2 FEK cân F FE FK A2 I A2C (1) Mà HKE vuông K FH FE F cố định Chứng minh tương tự: A2 I A2 B Mà F CD CD qua điểm cố định Ta có: A2CA1 A1 AB A2 AC A2 A1C A2CA Bài 3: Cho ABC có góc nhọn, nội tiếp đường tròn O Các đường phân giác AA1 ; BB1 ; CC1 cắt đường tròn điểm thứ hai A2 ; B2 ; C Tìm giá trị nhỏ của: T A2 A1 A2 A A2C A2 I (do (1)) A2 A A2 I A2 I A2 A1 Do tứ giác ABA2C nội tiếp, áp dụng định lý Ptôlêmê: AA2 BB2 CC A1 A2 B1 B2 C1C DeThiMau.vn (2) AA2 b c A2 I a c A2C b A2 B a AA2 Trước hết, ta thấy tứ giác AEBD, ADFC nội tiếp (3) A2 A A2 I b c A2 A b c A2 I A2 A1 a A2 A1 a Từ (2) (3) suy ra: B2 B c a C2 C a b ; B2 B1 b C2C1 c Tương tự: bc ca ab T a b c 2 Mà M , N trung điểm đoạn BC , EF 2 Bunhyakovski ACD ACB AFD AFE ABC AEF g g AED AEC ABD ABC 1bc ca ab a b c M BAM EAN EAB NAM ABM AEN EA AB NA AM EAB NAM (c.g c.) AEB ANM 90 1 1 M a b c M T 12 a b c Dấu “=” xảy a b c ABC Vậy Tmin 12 ABC Bài 4: Cho ABC điểm D chân đường cao kẻ từ A xuống BC Đường thẳng EF qua D cho AEB AFC 90 E , F D Gọi M , N trung điểm đoạn BC , EF Chứng minh rằng: ANM 90 DeThiMau.vn