Chuyên đề Về hình học phẳng54737

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC PHẲNG Bài 1: Cho tam giác ABC cố định Gọi D, E, F điểm di động BC, CA, AB cho AD, BE, CF đồng quy O Xác định vị trí điểm D, E, F cho diện tích tam giác DEF đạt giá trị lớn S BDF x  ; S ABC  x  1 z  1 SCED y  S ABC  x  1 y  1    x y z  S DEF  S ABC 1         1  z 1  x  1  x 1  y  1  y 1  z    S DEF  Cauchy 2S  S 1  x 1  y 1  z  Dấu “=” xảy  D, E , F trung điểm đoạn BC , CA, AB Bài 2: Cho đường tròn (O) đường thẳng d  (O ) Gọi E chân đường vng góc từ O tới d M  d  E Từ M kẻ đường tiếp tuyến tới (O ) MA, MB Gọi C , D hình chiếu Đặt E lên MA, MB Chứng minh CD qua điểm cố DB EC FA  x;  y; z DC EA FB định Do AD, BE , CF ln đồng quy O , ta có định lý Mê-nê-la-uýt: DB EC FA   xyz  ; DC EA FB S DEF  S ABC   S AEF  S BDF  SCED  Mà S AEF AE AF  S ABC AB AC Do EC EA EA  y    EA EC y AC y  Và S FA AF z z z   AEF  FB AB z  S ABC  y  1 z  1 Hoàn toàn tương tự, ta có: Giả sử CD  OE  F DeThiMau.vn Từ E kẻ EK  AB  K ; AB  OE  H Dễ dàng chứng minh OH OE  R  OH  R2  const  H cố định OE Trước hết ta dễ dàng chứng minh điểm A, O, B, E , M thuộc đường trịn đường kính OM  E   AMB   EC  MA  Mà ta lại có:  ED  MB  CDK đường thẳng Xim-sơn MAB  EK  AB   C , D, K thẳng hàng Do tứ giác OBEM nội tiếp  MOE  MBE  DBE (1) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp ABC Nối A2C Ta lại dễ dàng nhận thấy tứ giác DBKE nội tiếp ฀ AC ฀ B Ta có: Do CC2 phân giác góc C nên C 2  DBE  DKE Tương tự: AA2 phân giác góc A nên ฀ A2 B  ฀ A2C (2) Từ (1) (2) suy FKE  FOM  FEK (do OM / / EK ) ฀ AC ฀ B ฀ Suy ฀ A2C  C A2 B  ฀ A2C2  A2 IC  A2CI  A2 IC cân 2  FEK cân F  FE  FK  A2 I  A2C (1) Mà HKE vuông K  FH  FE  F cố định Chứng minh tương tự: A2 I  A2 B Mà F  CD  CD qua điểm cố định Ta có: A2CA1  A1 AB  A2 AC  A2 A1C ฀ A2CA Bài 3: Cho ABC có góc nhọn, nội tiếp đường tròn  O  Các đường phân giác AA1 ; BB1 ; CC1 cắt đường tròn điểm thứ hai A2 ; B2 ; C Tìm giá trị nhỏ của: T  A2 A1 A2 A  A2C  A2 I (do (1))  A2 A A2 I  A2 I A2 A1 Do tứ giác ABA2C nội tiếp, áp dụng định lý Ptôlêmê: AA2 BB2 CC   A1 A2 B1 B2 C1C DeThiMau.vn (2) AA2 b  c  A2 I a c A2C  b A2 B  a AA2  Trước hết, ta thấy tứ giác AEBD, ADFC nội tiếp (3) A2 A A2 I  b  c  A2 A  b  c       A2 I A2 A1  a  A2 A1  a  Từ (2) (3) suy ra: B2 B  c  a  C2 C  a  b     ;  B2 B1  b  C2C1  c  Tương tự: bc  ca   ab T        a   b   c  2 Mà M , N trung điểm đoạn BC , EF 2 Bunhyakovski  ACD  ACB  AFD  AFE   ABC ฀ AEF  g g  AED  AEC  ABD  ABC   1bc ca ab     a  b c  M   BAM  EAN  EAB  NAM   ABM ฀ AEN   EA AB   NA AM  EAB ฀ NAM (c.g c.)  AEB  ANM  90 1 1 M    a  b  c        M   T  12 a b c Dấu “=” xảy  a  b  c  ABC Vậy Tmin  12  ABC Bài 4: Cho ABC điểm D chân đường cao kẻ từ A xuống BC Đường thẳng EF qua D cho AEB  AFC  90  E , F  D  Gọi M , N trung điểm đoạn BC , EF Chứng minh rằng: ANM  90 DeThiMau.vn