Giải bài toán bằng nhiều cách54657

GIẢI BÀI TỐN BẰNG NHIỀU CÁCH Việc giải tốn nhiều cách phương pháp học tương đối hiệu Trong kỳ thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp tỉnh THCS tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 – 2014 có tốn sau: Bài tốn: Cho hình vng ABCD điểm M cạnh CD cho CM = 2DM Gọi E giao điểm đường thẳng AM đường thẳng BD Gọi H chân đường vng góc hạ từ điểm E xuống cạnh AD, O N trung điểm DE BC Chứng minh: a) Tứ giác ABOH nội tiếp đường trịn b) Đường thẳng AM vng góc với đường thẳng EN Sau xin nêu số cách giải cho câu b Cách 1: Gọi K giao điểm CE với AD Ta có: AED  CED (c.g.c)  MAD  KCD  ADM  CDK ( g c.g )  AMD  CKD Mà DKC  KCB (so le trong) nên AMD  KCB (1) A K H E D M Gọi I giao điểm HE với BC, ta có: CI DE DM    Suy I trung điểm CN IB EB AB Khi ENC cân E nên ENC  KCB (2) Từ (1) (2) suy AMD  ENC Do đó, tứ giác EMCN nội tiếp Mà NCM  90 nên MEN  90 Hay NE  AM B Cách 2: Đặt cạnh hình vng a Khi đó: CN  N I A D a 2a 5a ; CM  ; MN  CN  CM  E Do đó: CN + CM + MN = 2a Trên tia đối tia BC lấy điểm K, cho: KB = DM Ta có: ADM  ABK , suy ra: KAB  DAM đó: KAM  90 K DeThiMau.vn B C N M C Ta có: AKN  AMN (c.c.c)  MAN  KAN  45 Vậy tứ giác AENB nội tiếp (Vì có EAN  EBN  45 ) Mà ABN  90 nên AEN  90 Vậy NE  AM Cách 3: a 3 a BF  BD  3 AF 10 Suy  BF A Ta có: AF  AN  D E M (1) Lại có: F a AN  EF  BD  BF  ED NF  B N C 5a 1 a 2 a 2 a 2 12 Suy ra: EF 10  NF (2) Từ (1) (2) ta có: AF EF Khi đó: AFE BFN đồng dạng với  BF NF  EAN  EBN  45 Suy tứ giác AENB nội tiếp Mà ABN  90 nên AEN  90 Vậy NE  AM Cách 4: Lấy điểm K, P cạnh BC cho BK = KN = NP = PC Kẻ NKI//NH//PE(hình vẽ) A D I AD  CM 5a  AB  NH 11a IK =  12 CM  NH 9a EP=  12 a NP = H Ta có: NH = E M B DeThiMau.vn K N P C EP 3 NP AD tan AMD  3 DM Do đó: tan ENP  Suy  ENP  AMD Suy tứ giác EMCN nội tiếp Mà NCM  90 nên MEN  90 Hay NE  AM Cách 5: Kẻ NK  BD A D a 4 KE  BD  BK  ED Ta có: KN  AC  E M O a a a   4 KN BN Suy ra:  Mà  KE BA Do đó: EKN ABN đồng dạng với  BAN  BEN Suy tứ giác AENB nội tiếp Mà ABN  90 nên AEN  90 Vậy NE  AM a 2 K B N C Cách 6: Chứng minh tam giác AEO đồng dạng với tam giác ANB Ta có: BD a a   OE  4 a AO  AO  2 OE AB 2 Do BN  ABN  AOE  AEO  ANB  AEB  ANB DE  A D E M O Suy tứ giác AENB nội tiếp B N Mà ABN  90 nên AEN  90 Vậy NE  AM Nhận xét: Thực chất tốn quen thuộc với bạn thích học tốn, chí tốn có tính chiều Chắc chắn cịn có cách giải khác mong bạn tiếp tục bổ sung Trong cách ta thấy CN + CM + MN = 2a Từ ta phát biểu toán tổng quát sau: DeThiMau.vn C Cho hình vng ABCD cạnh a Điểm M cạnh CD cho CM = m.a, cạnh BC lấy điểm N cho CN = n.a Gọi E giao điểm đường thẳng AM đường thẳng BD Biết m  n  m  n  m, n số hữu tỉ Chứng minh: a) Đường thẳng AM vng góc với đường thẳng EN b) Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với đường trịn cố định c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN Tác giả: Phan Đình Ánh Giáo viên: Trường THCS Thạch Kim – Lộc Hà – Hà Tĩnh Điện thoại: 0986 381 089 Email: dinhanhtk@gmail.com DeThiMau.vn ... học tốn, chí tốn có tính chiều Chắc chắn cịn có cách giải khác mong bạn tiếp tục bổ sung Trong cách ta thấy CN + CM + MN = 2a Từ ta phát biểu toán tổng quát sau: DeThiMau.vn C Cho hình vng ABCD