Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường khối 11 THPT môn Toán54223

Tr­êng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giỏi cấp trường Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Bài 1(5 điểm) a) Giải phương trình: cos x  cos (  x)  sin (   3x)  b) Cho a, b  R Chøng minh r»ng hai ph­¬ng trình sau phải có phương trình có nghiÖm: 2008 sin x  a cos x  b 2008 tan x  a cot x  b Bài ( điểm) a) DÃy số u1 , u , u , , u n xác định sau: u1 0, u u1  , u  u  , , u n  u n 1  1 (u1  u   u n )   n b) T×m giới hạn dÃy số có số hạng tổng quát: 2 un  2 2     Chøng minh rằng: n Bài (5 điểm) a) Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh T A1 A2 An XÐt c¸c tam gi¸c cã đỉnh đỉnh đa giác T Hỏi số tam giác có tam giác mà cạnh ba cạnh đa giác T ? b) Tìm giá trị nguyên dương x thoả mÃn 2007 2006 2005 k 2007  k 2007 x C 2008 C 2008  C 2008 C 2007  C 2008 C 2006   C 2008 C 2008  k   C 2008 C1 2008.2 Bài (5 điểm) Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 a) HÃy tìm điểm M đường chéo BD mặt ABCD điểm N đường chéo CD1 mặt bên CDD1C1 cho MN // AC1 b) Gäi I vµ J trung điểm A1 D1 B1 B Chøng minh r»ng IJ  AC1 Hä, tên thí sinh: Cán coi thi không giải thích thêm DeThiMau.vn SBD: Trường thpt cẩm thuỷ i Kú thi chän häc sinh giái cÊp tr­êng Khèi 11 THPT - Năm học 2007-2008 Đề thi thức đáp án hướng dẫn chấm môn Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Câu Câu a) Nội dung Giải phương trình: cos x cos (  x)  sin (  2 2 +) Ta cã (1)  cos x  cos x  cos x  (2) +) Đặt t cos x , điều kiÖn t  0;1 (*)  x)  (1) 0.5  t   +) Khi (2) trở thành: t (8t 10t 3)   t    t +) Giải tìm nghiệm x +) Kết luận: Nghiệm phương trình đà cho là: x   k , k  Z ; x   l  ,lZ ; x    ®iĨm ®iĨm ®iĨm  m , m  Z b) 0.5 0.5 0.5 ®iĨm *) Có hai trường hợp xảy ra: +) Trường hợp 1: 2008  a  b th× (1) cã nghiƯm +) Tr­êng hỵp 2: 2008  a  b 2008 tan x  b tan x  a  (3) Ta cã (2)   sin x  NhËn xÐt: (2) cã nghiƯm vµ chØ (3) cã nghiƯm tan x  Ta cã: *)   (b )  4a.2008  2(a  2008  2a.2008)  2(a  2008)  b (luôn đúng, có 2008  a  b nªn b  2008 Do (3) có nghiệm khác +) Kết luËn: *) S  C©u a) Ta chän sè u n 1 cho u n 1  u n  Khi ®ã ta cã: DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 ®iĨm ®iĨm 0.25 u1  u  (u1  1)  u1  2u1  2 u  (u  1)  u  2u  2 u n 1  (u n  1)  u n  2u n  2 Suy ra: 2 2 2 2 u1  u  u   u n 1  u1  u  u   u n  2(u1  u  u   u n )  n  2(u1  u  u   u n )  u n 1  n  n 1 (u1  u  u   u n )   n +) KÕt luËn: Ta cã: 0.5  b)  cos   cos   cos  0.25  22  cos  23 0.75      cos  n n (Chứng minh quy nạp) Ta có u n  cos  22 cos   cos 23 lim u n  lim ( n   n   sin   24 cos  n 1  n sin  n 1  n sin   n 1 sin 2 n 1 )    n 1 0.75 Câu a) +) Số tam giác phân biệt có đỉnh đỉnh đa giác T C103 120 b) 0.5 +) ứng với cạnh đa giác T có cách chọn đỉnh lại để tạo thành tam giác chứa cạnh Suy số tam giác có cạnh cạnh đa giác T 80 (tam giác) +) Trong 80 tam giác có 10 tam giác có cạnh cạnh đa giác T lặp lại hai lần +) Kết luận: Số tam giác cần tìm (120 80) + 10 = 50 (tam giác) Tìm giá trị nguyên dương x thoả m·n 2007 2006 2005 k 2007  k 2007 x C 2008 C 2008  C 2008 C 2007  C 2008 C 2006   C 2008 C 2008  k   C 2008 C1  2008.2 DeThiMau.vn ®iĨm ®iĨm 0.5 0.5 0.5 0.5 ®iĨm 2008! (2008  k ) ! k  2008C 2007 k!(2008  k )! (2007  k )! Do 2005 k 2007  k 2007 x  C 2008 C 2006   C 2008 C 2008  k   C 2008 C1  2008.2 k 2007  k C 2008 +) Ta cã C 2008 k  +) 2007 2006 C 2008 C 2008  C 2008 C 2007 ®ã 2007  2008(C 2007  C 2007  C 2007   C 2007 )  2008.2 x C 2007 C 2007 C 2007   C 2007 2007 2 0.75 x 0.75  2007  x  x  2007(t / m) +) Kết luận: 0.5 điểm điểm Câu a) D1 C1 I B1 A N J D C M A Đặt AB a, AD b, B AA1  c Ta cã AC1  a  b  c V× MN // AC1 nen k  R * : MN  k AC1 hay MN  k a  k b  k c (1) MỈt kh¸c MN  MB  BC  CN  n DB  BC  mCD1 ta  n(a  b)  b  m(c  a )  (n  m)a  (1  n)b  mc (2)  k  n  m  k    Tõ (1) vµ (2) ta suy 1  n  k  m  m  k    n  VËy víi MB  DB va CN  CD1 th× MN // AC1 3 DeThiMau.vn cã: 0.75 0.75 0.5 b) Gọi I J trung ®iĨm cđa A1 D1 vµ B1 B Chøng minh r»ng IJ  AC1 ®iĨm +) AC1  a  b  c 1 +) IJ  a  b  c 2 1 +) IJ AC1  (a  b  c)(a  b  c)  2 +) VËy IJ  AC1 (®pcm) 0.5 0.5 0.75 0.25 DeThiMau.vn ...Tr­êng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giỏi cấp trường Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008 Đề thi thức đáp án hướng dẫn chấm môn Toán (Thời gian làm bài: 180 phút...    ®iĨm ®iĨm ®iĨm  m , m  Z b) 0.5 0.5 0.5 điểm *) Có hai trường hợp xảy ra: +) Tr­êng hỵp 1: 2008  a b (1) có nghiệm +) Trường hợp 2: 2008  a  b 2008 tan x  b tan x  a  (3) Ta cã... (3) có nghiệm khác +) Kết luận: *) S Câu a) Ta chän sè u n 1 cho u n 1  u n  Khi ®ã ta cã: DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 ®iĨm ®iÓm 0.25 u1  u  (u1  1)  u1  2u1  2 u  (u  1)  u  2u 