Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giỏi cấp trường Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008 Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Bài 1(5 điểm) a) Giải phương trình: cos x cos ( x) sin ( 3x) b) Cho a, b R Chøng minh r»ng hai ph¬ng trình sau phải có phương trình có nghiÖm: 2008 sin x a cos x b 2008 tan x a cot x b Bài ( điểm) a) DÃy số u1 , u , u , , u n xác định sau: u1 0, u u1 , u u , , u n u n 1 1 (u1 u u n ) n b) T×m giới hạn dÃy số có số hạng tổng quát: 2 un 2 2 Chøng minh rằng: n Bài (5 điểm) a) Trên mặt phẳng cho đa giác lồi 10 cạnh T A1 A2 An XÐt c¸c tam gi¸c cã đỉnh đỉnh đa giác T Hỏi số tam giác có tam giác mà cạnh ba cạnh đa giác T ? b) Tìm giá trị nguyên dương x thoả mÃn 2007 2006 2005 k 2007 k 2007 x C 2008 C 2008 C 2008 C 2007 C 2008 C 2006 C 2008 C 2008 k C 2008 C1 2008.2 Bài (5 điểm) Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 a) HÃy tìm điểm M đường chéo BD mặt ABCD điểm N đường chéo CD1 mặt bên CDD1C1 cho MN // AC1 b) Gäi I vµ J trung điểm A1 D1 B1 B Chøng minh r»ng IJ AC1 Hä, tên thí sinh: Cán coi thi không giải thích thêm DeThiMau.vn SBD: Trường thpt cẩm thuỷ i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 11 THPT - Năm học 2007-2008 Đề thi thức đáp án hướng dẫn chấm môn Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Câu Câu a) Nội dung Giải phương trình: cos x cos ( x) sin ( 2 2 +) Ta cã (1) cos x cos x cos x (2) +) Đặt t cos x , điều kiÖn t 0;1 (*) x) (1) 0.5 t +) Khi (2) trở thành: t (8t 10t 3) t t +) Giải tìm nghiệm x +) Kết luận: Nghiệm phương trình đà cho là: x k , k Z ; x l ,lZ ; x ®iĨm ®iĨm ®iĨm m , m Z b) 0.5 0.5 0.5 ®iĨm *) Có hai trường hợp xảy ra: +) Trường hợp 1: 2008 a b th× (1) cã nghiƯm +) Trêng hỵp 2: 2008 a b 2008 tan x b tan x a (3) Ta cã (2) sin x NhËn xÐt: (2) cã nghiƯm vµ chØ (3) cã nghiƯm tan x Ta cã: *) (b ) 4a.2008 2(a 2008 2a.2008) 2(a 2008) b (luôn đúng, có 2008 a b nªn b 2008 Do (3) có nghiệm khác +) Kết luËn: *) S C©u a) Ta chän sè u n 1 cho u n 1 u n Khi ®ã ta cã: DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 ®iĨm ®iĨm 0.25 u1 u (u1 1) u1 2u1 2 u (u 1) u 2u 2 u n 1 (u n 1) u n 2u n 2 Suy ra: 2 2 2 2 u1 u u u n 1 u1 u u u n 2(u1 u u u n ) n 2(u1 u u u n ) u n 1 n n 1 (u1 u u u n ) n +) KÕt luËn: Ta cã: 0.5 b) cos cos cos 0.25 22 cos 23 0.75 cos n n (Chứng minh quy nạp) Ta có u n cos 22 cos cos 23 lim u n lim ( n n sin 24 cos n 1 n sin n 1 n sin n 1 sin 2 n 1 ) n 1 0.75 Câu a) +) Số tam giác phân biệt có đỉnh đỉnh đa giác T C103 120 b) 0.5 +) ứng với cạnh đa giác T có cách chọn đỉnh lại để tạo thành tam giác chứa cạnh Suy số tam giác có cạnh cạnh đa giác T 80 (tam giác) +) Trong 80 tam giác có 10 tam giác có cạnh cạnh đa giác T lặp lại hai lần +) Kết luận: Số tam giác cần tìm (120 80) + 10 = 50 (tam giác) Tìm giá trị nguyên dương x thoả m·n 2007 2006 2005 k 2007 k 2007 x C 2008 C 2008 C 2008 C 2007 C 2008 C 2006 C 2008 C 2008 k C 2008 C1 2008.2 DeThiMau.vn ®iĨm ®iĨm 0.5 0.5 0.5 0.5 ®iĨm 2008! (2008 k ) ! k 2008C 2007 k!(2008 k )! (2007 k )! Do 2005 k 2007 k 2007 x C 2008 C 2006 C 2008 C 2008 k C 2008 C1 2008.2 k 2007 k C 2008 +) Ta cã C 2008 k +) 2007 2006 C 2008 C 2008 C 2008 C 2007 ®ã 2007 2008(C 2007 C 2007 C 2007 C 2007 ) 2008.2 x C 2007 C 2007 C 2007 C 2007 2007 2 0.75 x 0.75 2007 x x 2007(t / m) +) Kết luận: 0.5 điểm điểm Câu a) D1 C1 I B1 A N J D C M A Đặt AB a, AD b, B AA1 c Ta cã AC1 a b c V× MN // AC1 nen k R * : MN k AC1 hay MN k a k b k c (1) MỈt kh¸c MN MB BC CN n DB BC mCD1 ta n(a b) b m(c a ) (n m)a (1 n)b mc (2) k n m k Tõ (1) vµ (2) ta suy 1 n k m m k n VËy víi MB DB va CN CD1 th× MN // AC1 3 DeThiMau.vn cã: 0.75 0.75 0.5 b) Gọi I J trung ®iĨm cđa A1 D1 vµ B1 B Chøng minh r»ng IJ AC1 ®iĨm +) AC1 a b c 1 +) IJ a b c 2 1 +) IJ AC1 (a b c)(a b c) 2 +) VËy IJ AC1 (®pcm) 0.5 0.5 0.75 0.25 DeThiMau.vn ...Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giỏi cấp trường Khối 11 THPT - Năm học 2007-2008 Đề thi thức đáp án hướng dẫn chấm môn Toán (Thời gian làm bài: 180 phút... ®iĨm ®iĨm ®iĨm m , m Z b) 0.5 0.5 0.5 điểm *) Có hai trường hợp xảy ra: +) Trêng hỵp 1: 2008 a b (1) có nghiệm +) Trường hợp 2: 2008 a b 2008 tan x b tan x a (3) Ta cã... (3) có nghiệm khác +) Kết luận: *) S Câu a) Ta chän sè u n 1 cho u n 1 u n Khi ®ã ta cã: DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.5 0.5 ®iĨm ®iÓm 0.25 u1 u (u1 1) u1 2u1 2 u (u 1) u 2u