Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường khối 12 môn Toán22547

TR NG THPT QU NG X Đ THI CH N H C SINH GI I C P TR NG NG KH I NĂM H C Mơn Tốn th i gian Câu Câu m Cho hàm s m Gi i ph m ng trình Tìm giá tr l n nh t c a y z x S  x  x2  y  y2 1 z  z2 1  Tìm m đ b t ph m sin ng trình Cho x y z s th c d bi u th c Câu có đ th Cm Kh o sát s bi n thiên v đ th hàm s cho m Tìm giá tr c a tham s m đ đ th Cm có m c c tr đ nh c a m t tam giác nh n g c t a đ tr ng tâm Gi i h ph Câu phút không k th i gian phát đ ng th a mãn x  y  z    ng trình sau có nghi m m x  x   x   x   m Cho t di n SABC có ba c nh SA, SB, SC đơi m t vng góc v i a Cho SB SC a góc gi a hai m t ABC SBC Tính th tích kh i t di n SABC kho ng cách t S t i m t ph ng ABC theo a b G i R r theo th t bán kính m t c u ngo i ti p n i ti p t di n SABC Ch ng minh r ng R   r  Câu   Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy Cho tam giác nh n ABC Đ ng trung n k t A đ ng th ng BC l n l t có ph ng trình x y x y Đ ng th ng qua A vng góc v i BC c t đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC t i m th hai D Vi t ph ng trình đ ng th ng AB bi t m B có tung đ âm m M t h p đ ng m i chi c th gi ng đ c đánh s t đ n H ic nl y nh t chi c th đ xác su t có nh t m t chi c th ghi s chia h t cho ph i l n h n H t Chú ý Giám th coi thi khơng gi i thích thêm ThuVienDeThi.com Đáp án Câu ý N i dung H c sinh t gi i Đi m Hàm s có m c c tr m Khi đ th hàm s có m c c tr A B C T a đ tr ng tâm g c t a đ K t h p v i u ki n ta đ Ph ng trình T gi i đ c giá tr c n tìm c nghi m Tr v v i v ta đ c Xét hàm s Ta có hàm f t đ ng bi n mi n Thay vào ta đ D ch ng minh đ c c ph ng trình có nghi m nh t x V y h có nghi m nh t x   nên pt  y   Ta có ln S  y ln x  x   z ln y  y   x ln z  z    f  t   ln t  t  , t  1 Ta có Xét hàm s V y ph ng trình ti p n c a đ th  C  c a hàm s f 't   3  f '   4 t 1  3  t i m  ; ln  có ph 4  L i có f ''  t   t t ng trình y  t  ln   1 t   0, t  nên đ th 1 d   C  l i kho ng  0;   Do ti p n d c a đ th  C  n m phía đ th  C  Suy   ln t  t   t  ln  , t  5 Áp d ng b t đ ng th c cho s d ThuVienDeThi.com ng x ta đ c   ln x  x   T ng t có     4 3  x  ln   y ln x  x   xy   ln   y 5 5  3  yz   ln   z 5  z ln y  y     x ln z  z   C ng theo v ba BĐT ta đ 3  zx   ln   x 5  c 3  lnS   xy  yz  zx    ln    x  y  z  5   x  y  z  3   ln    x  y  z   ln 5   Đ ng th c x y ch x  y  z  V y giá tr l n nh t c a S 4 B t ph ng trình  m( x  x   1)  x  x   Đ t t  x  x  1, t  1/ Khi Xét hàm s tr thành m  f (t )  t2  t 1 t2  , t  1/ fmin t 1 f Suy b t ph ng trình có nghi m m  A G i M trung m c a a BC suy góc Suy AS SM a T tính đ N c th tích đvtt Kho ng cách t S t i ABC Là I c S b M B Đ t SA  a, SB  b, SC  c  a  0, b  0, c   b G i I, J l n l SABC M, N l n l Khi C t tâm m t c u ngo i ti p n i ti p t di n t trung m c a BC , SA R  IS  SN  SM  1 SA   SB  SC   a  b2  c2 4 ThuVienDeThi.com M t khác v i t di n vng SABC ta có Di n tích tồn ph n c a t di n SABC Stp  ab  bc  ca  a 2b  b c  c a 2 Th tích t di n SABC VSABC  abc   L i có VSABC  VJABC  VJSAB  VJSBC  VJSCA 1 1  VSABC  r.S ABC  r.S SAB  r.S SBC  r.S SCA 3 3  VSABC  r.Stp 3VSABC abc r  Stp ab  bc  ca  a 2b  b c  c a V y nên  a  b  c ab  bc  ca  a 2b  b 2c  c a 2R  r abc 3 a 2b c  3 ab.b c.ca  3 a 2b b 2c c a     abc   1  theo BĐT Cauchy V y ta có u ph i ch ng minh G i M trung m c a BC t a đ c a m M 1 ; ) 2 K đ ng kính AA G i H tr c tâm c a tam giác ABC ta có t giác BHCA hình bình hành Vi t ph ng trình đ ng th ng AD suy t a đ m A Ch ng minh H đ i x ng v i D qua BC suy t a đ m H A Vi t ph ng trình đ ng trịn ngo i ti p tam giác ABC ThuVienDeThi.com  suy t a đ m B suy ph ng trình đ th ng AB x y ng Nh n th y th cho có hai th ghi s chia h t cho th ghi s ho c s th l i ghi s không chia h t cho Gi s rút x th 1  x  10, x    s cách ch n x t th h p C10x s ph n t c a không gian m u n     C10x Trong s x th l y có nh t m t th ghi Th bi n c đ i c a A A Trong s x s chia h t cho th l y khơng có th ghi s chia h t cho G i A bi n c S cách ch n t Ta có P  A   ng ng v i bi n c A n  A   C8x  C n A n  x x 10 C  10  x   x  90 Do P  A    P  A   0,9  P  A   10  x   x   1  10 90 10 hay x  19 x  81   6,  x  12,5 Suy  x  10 Giá tr nh nh t c a x rút nh t mà ta ph i tìm ThuVienDeThi.com V y s th ph i ...  x   x   1  10 90 10 hay x  19 x  81   6,  x  12, 5 Suy  x  10 Giá tr nh nh t c a x rút nh t mà ta ph i tìm ThuVienDeThi.com V y s th ph i ... m phía đ th  C  Suy   ln t  t   t  ln  , t  5 Áp d ng b t đ ng th c cho s d ThuVienDeThi.com ng x ta đ c   ln x  x   T ng t có     4 3  x  ln   y ln x  x   xy   ln... ti p t di n t trung m c a BC , SA R  IS  SN  SM  1 SA   SB  SC   a  b2  c2 4 ThuVienDeThi.com M t khác v i t di n vuông SABC ta có Di n tích tồn ph n c a t di n SABC Stp  ab  bc 