Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 10 THPT - Năm học 2008-2009 Trường thpt cẩm thuỷ i Môn thi: Toán (Thời gian làm bài: 180 phút ) Bài 1: 1.Giải phương trình: x x2 x x2 1 x y xy 2.Giải hệ phương trình: 4 2 2 x y x y 21 Bài 2: Giải bất phương trình x + x (3 x 2)( x 2) Giải bất phương trình x 3x x x x x x Bài Tìm hàm f(x) biết r»ng: x : f ( x) f ( ) x Bài Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: A x5 x 8 Bài Cho đường tròn (C): x y x y Víi x 14; LËp phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm M(3;4) Lập phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng 3x + 4y +1 =0 cắt (C) hai điểm A; B cho tam giác IAB có diện tích lớn (Với I tâm đường tròn (C) ) Bµi Chøng minh: a8 b8 c8 1 a b c a 3b c a; b; c 2.Cho số dương a;b;c thõa mÃn điều kiện a+b+c=3 Chøng minh: a b c 2 2 1 b 1 c 1 a Hết Họ tên thí sinh Số báo danh Thí sinh không sử dụng tài liệu, giám thị không giải thích thêm DeThiMau.vn Trường THPT cẩm thuỷ I ®¸p ¸n thi chän häc sinh giái cÊp trêng líp 10 năm học 2008-2009 Bài Môn : Toán Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề ý Nội dung Điểm Giải phương trình: x x x x §K: x 0; x x Đặt u= x x x x u Phương trình trở thành: u 2u u 1; u - Víi u 1 x 1 : 1 2 1® 1® §Ỉt u= x y ; v=xy Cã ngay: u=5;v=2 Ta cã hÖ: x y xy 2 3x + Giải ta nghiệm: (1;2); (2;1); (-1;-2); (-2;-1) x2 Trên D (3 x 2)( x 2) D = x R \ x TX§: x y xy x y xy x y x y 21 x y x y 21 Giải hệ phương trình: Bài (4đ) - Với u=1: x=1 Bài (4 đ) 1đ ( u>0) (1) x > 0, Chia vÕ cña (1) cho 3x 1 x2 3x x2 Đặt t = 1đ x ta 3x ,t x2 1Đ t 3x 2 34 x x2 47 BPT 2t2 – 3t + t * Víi t th× * Víi t th× 4 3x x2 x 2 34 VËy tËp nghiƯm cđa BPT (1): T = ; 2; 47 DeThiMau.vn 1§ x 3x x x x x §K: x ;5 1; - Với x=-1: Hiển nhiên nghiệm - Với x>-1: Bất phương trình tương đương: x 1 x x x x 2 x 1đ Bpt vô nghiệm - Với x :Bất phương trình tương đương: x x x x 5 VËy Bpt cã nghiƯm: x=-1; x=-5 x 1® x Thay x bëi 1/x ta cã: f ( ) f ( x) KÕt hỵp víi điều kiện ban đầu, Bài (2 đ) giải hệ ta được: A x5 x f ( x) x - áp dụng Cosi Bài (2 ®) 2® x2 3x x 8 x 8 1,5® x 8 x 8 x 8 Đẳng thức xảy : x x 8 x=14 x 8 1 - Víi x 14 x 8 Đẳng thức xảy x=14 2 Vậy: A Đẳng thức xảy x=14 2 (C ) : ( x 1) ( y 2) T©m I(1;2); bán kính R=2 + Xét tiếp tuyến phương Oy: KiĨm tra thÊy x=3 lµ tiÕp tun + XÐt tiÕp tuyến (d) không phương Oy: y=ax+b Bài (4 ®) dI d ab2 a2 1 1 1 IH HB a R a a ( R a ) R Đẳng thức xảy 2 R R a =a a 2 S IHB khi: 0,5đ 1,5đ Do M năm d nên: 3a+b=4 Giải hệ a=0; b=4 d: y=4 Vậy cã tiÕp tuyÕn tho· m·n: x=3 vµ y=4 Gäi H(x;y) trung điểm AB Giả sử IH=a suy HB= R a 0,5® DeThiMau.vn 1đ Nói cách khác đường thẳng d có dạng: 3x+4y+C=0 cắt đường tròn AB: Trung điểm H AB: IH= Ta cã ngay: 1® C 11 11 C C 5 11 VËy cã đường thẳng cần tìm: 3x+4y+ 11 0;3x y 11 a8 b8 c8 1 a b c a 3b c a; b; c 0,5đ áp dụng bất đẳng thức sau: a b c ab bc ca Ta có : Bài (4đ) 1,5đ b c a 1 1 (a b c ) (ab bc ca) ac ab bc abc abc a b c Ta cã : a b8 c a 4b b c c a a 2b c b c a c a 4b a 3b c a 3b c a 3b c c ab ab ab a a a a 2 2b b b 1đ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh cho trường hợp lại Khi 1đ đó: ab bc ca a b c abc 2 2 1 b 1 c 1 a (Do a+b+c=3 nªn dƠ cã: ab bc ca ) Đẳng thức xảy a=b=c=1 DeThiMau.vn .. .Trường THPT cẩm thuỷ I đáp án thi chọn học sinh giỏi cấp trường lớp 10 năm học 2008-2009 Bài Môn : Toán Thời gian 180 phút, không kể thời gian giao đề ý Nội dung Điểm... IHB khi: 0,5® 1,5® Do M năm d nên: 3a+b=4 Giải hệ a=0; b=4 d: y=4 VËy cã tiÕp tuyÕn tho· mÃn: x=3 y=4 Gọi H(x;y) trung điểm AB Gi¶ sư IH=a suy HB= R a 0,5đ DeThiMau.vn 1đ Nói cách khác... tương tự ta chứng minh cho trường hợp lại Khi 1đ đó: ab bc ca a b c abc 2 2 1 b 1 c 1 a (Do a+b+c=3 nªn dƠ cã: ab bc ca ) Đẳng thức xảy a=b=c=1 DeThiMau.vn