Bài tập cấp số cộng – cấp số nhân53771

BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Bài 1: Cho số dương a, b, c Chứng minh điều kiện cần đủ để dãy số a2; b2; c2 lập thành cấp 1 ; ; số cộng có cơng sai dương dãy số cấp số cộng bc ca ab Bài 2: Biết dãy số thực dương a1; a2; …; an cấp số cộng Chứng minh hệ thức: n 1 1     1 a1  a2 a2  a3 an 1  an a1  an Bài 3: Cho hai cấp số cộng: un = u1; u2; ….un có cơng sai d1 = v1; v2 ….vn có cơng sai d2 Gọi tổng n số hạng đầu cấp số theo thứ tự Sn = u1 + u2 + ….+ un = 7n + u Tn = v1 + v2 +….+ =4n + 27 Tìm tỷ số 11 v11 Bài 4: Xác định cấp số cộng có số hạng, biết tổng chúng tổng bình phương 125 Bài 5: Xác định góc tứ giác lồi, biết số đo góc lập thành cấp số cộng góc lớn lần góc nhỏ Bài 6: a) Tìm phân số sinh số a = 0,23232323… b) Tìm phân số sinh số b = 1,939393… c) Tìm phân số sinh số c = 2,3121212… Bài 7: a)Tính tổng n số hạng : Sn =  33  333  b) Tính tổng n số hạng: Tn = 105 + 110 + 115 +….+995 Bài 8: Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a; b; c Biết ฀A  900 ; a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm số đo góc B C Bài Cho dãy số có số hạng 1,8,22,43, Hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng : 7,14,21 , 7n số 35351 số hạng thứ cấp số cho ? Bài 10 Cho phương trình : x  x   24  m  x  26  n  Tìm hệ thức liên hệ m n để nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng ? Bài 11 a)Tìm m để phương trình sau có nghiệm lập thành cấp số cộng i) x3 - 3x2 – 9x + m = ii) x3 + 3(m -1)x2 + 2(m2 – 4m + 1)x – 4m(m – 1) = b) Tìm m để phương trình sau: có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng i ) x   3m   x   m  1  ii ) x  2(m  1) x  2m   Bài 12 Độ dài cạnh tam giác ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh tam giác ABC có hai góc khơng q 600 ? Bài 13.Tìm bốn số hạng đầu cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu 16 , đồng thời theo thứ tự , chúng số hạng thứ , thứ tư thứ tám cấp số cộng Bài 14 Một cấp số nhân có số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ , tổng hai số hạng đầu 24 Tìm cấp số nhân ? Bài 15 Xen vào hai số : 40 bốn số để dược cấp số cộng ? Tìm bốn số ? Bài 16 Tính tổng : 2 1  1    S=           2n  n  2  4    DeThiMau.vn Bài 17 Với giá trị a , ta tìm giá trị x để số : a x 1  51 x , , 25 x  25 x lập thành cấp số cộng ? Bài 18 Chứng minh dãy số : an  2.3n lập thành cấp số nhân tính tổng số hạng ? Bài 19 Giả sử a,b,c,d lập thành cấp số nhân Hãy tính giá trị biểu thức : 2 2  a  c   b  c   b  d    a  d  Bài 20 Giả sử số : 5x-y,2x+3y, x+2y lập thành cấp số cộng , số : 2  y  1 , xy  1,  x  1 lập thành cấp số nhân Tìm x,y ? Bài 21 Cho cấp số cộng : u1 , u2 , u3 , u4 Chứng minh : u1u4  u2u3  biểu thức A=  x  u1  x  u2  x  u3  x  u4   có nghĩa với x ? Bài 23.Cho ba số tạo thành cấp số nhân mà tổng chúng 93 Ta đặt chúng ( theo thứ tự cấp số nhân kể ) số hạng thứ , thứ hai thứ bẩy cấp số cộng Tìm ba số Bài 24 Tìm bốn số biết ba số hạng đầu lập thành cấp số nhân , ba số hạng sau lập thành cấp số cộng Tổng hai số hạng đầu cuối 14, tổng hai số 12 ? Bài 25 Tổng số hạng thứ hai thứ tư cấp số nhân tăng nghiêm ngặt 30 , tích chúng 144 Tìm tổng mười số hạng dãy số ? Bài 26 Cho tam giác ABC có A  900 cịn a,b, ,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tam giác ABC tam giác có đặc điểm ? Bài 27 Cho tam giác ABC, có ba cạnh a,b,c , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy chứng minh A C : cot cot  2 Bài 28 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA.tanB=6 tanA.tanC=3 Hãy chứng tỏ : tanA,tanB,tanC theo thứ tự dó lập thành cấp số cộng ? Bài 29 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy tìm giá trị nhỏ góc B có ? A B C Bài 30 Tam giác ABC có : cot , cot , cot theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy chứng minh 2 ba cạnh a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng ? Bài 31 Cho tam giác ABC cân ( AB=AC ), có cạnh đáy BC , đường cao AH , cạnh bên AB theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tính cơng bội q cấp số nhân ? DeThiMau.vn BÀI TẬP CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN Bài 1: Cho số dương a, b, c Chứng minh điều kiện cần đủ để dãy số a2; b2; c2 lập thành cấp 1 ; ; số cộng có công sai dương dãy số cấp số cộng bc ca ab 1 ; ; Giải: Dãy số cấp số cộng bc ca ab 1 1 ba c b        b  a  c  b  2b  a  c ca bc ab ca  c  a  b  c   a  b  c  a  Vậy a2; b2; c2 lập thành cấp số cộng Bài 2: Biết dãy số thực dương a1; a2; …; an cấp số cộng Chứng minh hệ thức: n 1 1     1 a1  a2 a2  a3 an 1  an a1  an Giải: Ta có:  a1  a2  a2  a1 a1  a2  a2  a1   a2  a1 a  a1  a2  a1 d a  a2 a  an 1 1   n ; d d a2  a3 an 1  an Vế trái (1) thành: a2  a1  a3  a2   an  an 1 an  a1 an  a1   d d d an  a1 Tương tự:          a   n  1 d   a d  an  a1    n 1 an  a1     Bài 3: Cho hai cấp số cộng: un = u1; u2; ….un có cơng sai d1 = v1; v2 ….vn có cơng sai d2 Gọi tổng n số hạng đầu cấp số theo thứ tự Sn = u1 + u2 + ….+ un = 7n + u Tn = v1 + v2 +….+ =4n + 27 Tìm tỷ số 11 v11 Giải: Ta có: Sn = 2u1 +(n – 1)d1 Tn = 2v1 + (n – 1)d2 nên S n 2u1  (n  1)d1 7n    1 Tn 2v1  (n  1)d 4n  27 u11 u1  10d1 2u1  20d1    2 v11 v1  10d 2v1  20d u 148 So sánh (1) (2) => n = 21 nên 11   v11 111 Bài 4: Xác định cấp số cộng có số hạng, biết tổng chúng tổng bình phương 125 Giải: Gọi d cơng sai Ba số phải tìm là: (x – d); x; (x + d) Ta có hệ phương trình: DeThiMau.vn ( x  d )  x  ( x  d )   2 ( x  d )  x  ( x  d )  125 1  3x   x  1  2    (3  d )2  32  (3  d )2  125  d  7 Với d = cấp số là: -4; 3; 10 với d = -7 cấp số 10; 3; -4 Bài 5: Xác định góc tứ giác lồi, biết số đo góc lập thành cấp số cộng góc lớn lần góc nhỏ Giải: Gọi d  2a công sai Bốn số phải tìm là: A = (x – 3a); B = (x – a); C = (x + a); D = (x + 3a) Ta có hệ phương trình: 0  x  3a    x  a    x  a    x  3a   360  x  90   a  20  x  3a    x  3a  Bốn góc phải tìm là:A = 300; B = 700 ; C = 1100 ; D = 1500 Bài 6: a) Tìm phân số sinh số a = 0,23232323… b) Tìm phân số sinh số b = 1,939393… c) Tìm phân số sinh số c = 2,3121212… Giải: Cách 1: Ta có: 0,232323… = 0,23 + 0,0023 + 0,000023 +… 23 23 23 23 23 23         100 10000 1000000 10 10 10 23 23 23 Đây cấp số nhân có u1  công bội q  nên S  10  10 10  99 10 Cách 2:( em lớp làm sau) Ta có: A  0, 232323 100A  23.232323 23  100A  A  99A  23  A  99 64 763 Tương tự b  ; c  33 330 Bài 7: a)Tính tổng n số hạng : Sn =  33  333  b) Tính tổng n số hạng: Tn = 105 + 110 + 115 +….+995 Giải: a Tính tổng n số hạng : S=  33  333  Ta có : S=3(1+11+111+ +11 (n chữ số 1))  10  102  10n   n    = 3   10  10   10  n  9    10n    n   10n 1  10  9n  10 3 10   27 b Ta có: a1 = 105; a2 = 110 => d = 5; an = 995 = DeThiMau.vn n  a1  an   98450 2 Bài 8: Cho tam giác ABC có cạnh tương ứng a; b; c Biết ฀A  900 ; a; b; c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm số đo góc B C Giải: Theo tính chất cấp số nhân, ta có: ac  b Theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có: b = a sinB, c = a cosB ฀  600 ; C ฀  300 Vậy ac  b  3a cos B  2a sin B  2cos B  3cos B    cos B   B Bài Cho dãy số có số hạng 1,8,22,43, Hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số lập thành cấp số cộng : 7,14,21 , 7n số 35351 số hạng thứ cấp số cho ? HƯỚNG DẪN Theo đầu ta có : u2  u1   u3  u2  14  u4  u3  21   un  un 1   n  1 Cộng vế phương trình hệ ta dược : n  n  1  un  u1   14  21    n  1  1 n  n  1  n  n  10100   n  101 Đặt : un  35351  1  35351   Do : 35351 số hạng thứ 101 dãy sơ Bài 10 Cho phương trình : x  x   24  m  x  26  n  mà: an = a1 + (n – 1)d => 995 = 105 + (n – 1)5 => n = 179  S  Tìm hệ thức liên hệ m n để nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng ? HƯỚNG DẪN Vì nghiệm phân biệt : x1 , x2 , x3 lập thành cấp số cộng , nên ta đặt : x1  x0  d , x2  x0 , x3  x0  d  d   Theo giả thiết ta có : x3  x   24  m  x  26  n   x  x1  x  x2  x  x3    x  x0  d  x  x0  x  x0  d   x3  x0 x   x02  d  x  x03  x0 d  x  Đồng hệ số hai vế phương trình ta có hệ : 3 x0   x0  1   x  1   3 x0  d    24  m   3  d  24  m   m  n  1  d  26  n     26  x x d n   Vậy với m=n ba nghiệm phân biệt phương trình lập thành cấp số cộng Bài 11.Tìm m để phương trình : x   3m   x   m  1  có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng ? HƯỚNG DẪN Giả sử bốn nghiệm phân biệt phương trình : x1 , x2 , x3 , x4 DeThiMau.vn Đặt x  y  , ta phương trình :  y   3m   y   m  1  1 Ta phải tìm m cho (1) có hai nghiệm dương phân biệt :  y1  y2 , Khi (1) có bốn nghiệm : x1   y2 , x2   y1 , x3  y1 , x4  y2 ( Rõ ràng : x1  x2  x3  x4 ) Theo đầu bốn nghiệm lập thành cấp số cộng , nên :  x3  x1  x2  x4  x2  x3  y1  y2  y1  y1  y2  y1  y2 * Áp dụng vi ét cho phương trình (1) ta có hệ :    3m  2   m  12  m      S  y1  y2  10 y1  3m    25 m   2 19   P  y1 y2  y1   m  1 Bài 12 Độ dài cạnh tam giác ABC lập thành cấp số nhân Chứng minh tam giác ABC có hai góc không 600 HƯỚNG DẪN Giả sử ba cạnh tam giác ABC thứ tự a,b,c Không giảm tính tổng quát , ta giả sử 01 , ta chọn a1  3, q   a2  t  a4  t  30t  144      a t  24   a4 Cho nên : S10  u1 6 210   1024  1  3069 1 Bài 26 Cho tam giác ABC có A  900 cịn a,b, ABC tam giác có đặc điểm ? ,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tam giác HƯỚNG DẪN  A  90 a  b  c   Theo giả thiết ta có hệ :   2 2 ,c  a, b,  b  ac  b  ac 3  Từ suy : a  ac  c  2a  3ac  2c   2a  c  a  2c    a  2c  2a  c   c Mà : cosB=   B  600 , C  300 Vậy tam giác ABC tam giác nửa a Bài 27 Cho tam giác ABC, có ba cạnh a,b,c , theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy chứng minh A C : cot cot  2 HƯỚNG DẪN Nếu ba cạnh a,b,c lập thành cấp số cộng ta có : a+c=2b AC A-C B B  sin A  sin C  2sin B  2sin cos  4sin cos (1) 2 2  AC B  B sin  sin  90    cos AC B   Vì : A  C  1800  B   900     *  2 AC B  B  cos  90    sin cos 2   Do (1) trở thành : AC A-C AC A+C A-C B A-C A+C  sin cos  2sin cos  cos  2sin  cos  2cos 2 2 2 2 DeThiMau.vn A C A C A C A C A C A C cos  sin sin  cos cos  2sin sin  cos cos  3sin sin 2 2 2 2 2 2 A C  cot cot   dpcm  2 Bài 28 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA.tanB=6 tanA.tanC=3 Hãy chứng tỏ : tanA,tanB,tanC theo thứ tự dó lập thành cấp số cộng ? HƯỚNG DẪN  t anAtanB=6 Từ giả thiết ta có hệ phương trình :   tanAtanC=3 t anA+tanC t anA+tanC     t anA+tanC  Mặt khác ta có :  tan B  tan  A  C    t anAtanC 1-3 2  tan B  t anA+tanC  2tanAtanB=2tan A  t anAtanC  2.6=2tan A   tan A  Theo giả thiết : tanAtanB=6>0,tanAtanC=3>0 tanA>0,tanB>0,tanC>0 Suy : tanA=3 ,tanB=2 tanC=1 Điều chứng tỏ tanA,tanB,tanC lập thành cấp số cộng có cơng sai d=1 Bài 29 Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện : tanA, tanB, tanC theo thứ tự lập thành cấp số cộng Hãy tìm giá trị nhỏ góc B có ? HƯỚNG DẪN Theo giả thiết : tanA,tanB,tanC lập thành cấp số cộng ta có : tanA+tanC=2tanB sin  A  C  sin B 2sin B sin B  t anA+tanC=    cosA.cosC cosA.cosC cosB cosA.cosC    cos A.cosC=cosB  cos  A+C   cos  A-C   cosB cosB cosA.cosC 1  cosB+cos  A-C   cosB  cosB= cos  A-C     ( 0