Đề thi thử đại học số 78 môn toán53125

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ 78 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) x2 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số: y  (1) x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) b) Chứng minh đường thẳng y = - x + trục đối xứng đồ thị hàm số (1) sin x  cos x 4  tan x  cot x  sin x Câu (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: Câu (1,0 điểm) Giải phương trình  x   x  2m x 1  x   x 1  x   m3 3  x) dx Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I   c os2x Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA = a vng góc với mặt phẳng (ABC) M, N trung điểm AD, DC Góc mặt phẳng (SBM) mặt phẳng (ABC) 450 Tính thể tích hình chóp S.ABNM khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBM) Câu (1,0 điểm) Cho số thực a Chứng minh rằng:  cot( 2a  2a   2a  (  1)a   2a  (  1)a   Dấu đẳng thức xảy ? II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần riêng (phần A phần B) A Theo chương trình Chuẩn Câu 7.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(0; 2), N(5; - 3), P(- 2; - 2), Q(2; - 4) thuộc cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD Tính diện tích hình vng Câu 8.a (1,0 điểm) Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2; -1; 3), D(1; -1; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với AB CD cho khoảng cách từ đường thẳng AB khoảng cách từ đường thẳng CD đến mặt phẳng (P) Câu 9.a (1,0 điểm) Chứng minh với cặp số nguyên k, n (0  k  n  2013) ta có: 2013 k  2013 2013 C2013 Cnk  C2013 Cnk 1  C2013 Cnk    C2013 Cn  Cnk2013 B Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình ( x  1)  ( y  2)  đường thẳng (d) có phương trình x - y + = Tìm (d) điểm M cho từ kẻ hai tiếp tuyến (C) MA, MB(A, B hai tiếp điểm) cho độ dài AB nhỏ Câu 8.b (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; - 2; - 2) mặt phẳng (P) có phương trình x - y - z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A, vng góc với (P) cắt Oy, Oz M, N cho OM = ON  Câu 9.b (1,0 điểm) Chứng minh rằng, với cặp số nguyên k, n (  k  n ) ta có kCnk  nCnk11 Tìm số nguyên n > biết 2Cn0  5Cn1  8Cn2   (3n  2)Cnn  1600 HẾT -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: DeThiMau.vn Câu 1; 1, ( 1.0đ ) TXĐ: y'   HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 78 D  R \ 1  0, x  D ( x  1) Hàm số nghịch biến khoảng (;1), (1; ) x2 x2 x2 Giới hạn: lim  , lim  , lim 1 x  x  x 1 x  x 1 x  Đường thẳng x = tiệm cận đứng x  1 , x  1 Đường thẳng y = tiệm cận ngang x   Bảng biên thiên: t + y + + y' Đồ thị: y f(x) = x+2 x-1 5/2 -2 O x -2 Câu 1; 2, ( 1.0đ )  Gọi I(1; 1), đồ thị hàm số cho (C) Phép tịnh tiến hệ trục Oxy  IXY theo OI = (1; 1): x  1 X 1 X  Hàm số cho trở thành  Y  Đường thẳng y = - x + trở thành Y   1 X 1 X  y  1 Y 1+Y = - (1 + X) +  Y = - X Trong hệ trục IXY M(X; Y)  (C)  Y  , với X  hiển nhiên Y  X 3  M '(Y ;  X )  (C) Khi Y    X  X Y Mặt khác M(X; Y) M'(- Y; - X) đối xứng với qua đường thẳng Y = - X Suy đpcm Câu 2; ( 1.0đ ) ĐK: s in2x  1  sin 2 x sin x  cos x 1  sin x cos x    tan x  cot x       sin x sin x  cos x sin x  DeThiMau.vn 1  sin 2 x   sin x 2sin x x  k  1   sin 2 x  2  sin 2 x   sin x  1  x  , k  Z thỏa điều kiện KL: Nghiệm phương trình cho x  Câu 3; ( 1.0đ ) Phương trình x   x  2m x 1  x   x 1  x   m3 (1)    k , k  Z k  ,k Z ĐK:  x  Nếu x   0;1 thỏa mãn (1) – x thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm điều kiện m  1 1 Thay x  vào (1) ta được:  m   m3   2 2 m  1 1 * Với m = 0, (1) trở thành: x   x   x  Phương trình (1) có nghiệm x  2 * Với m = - 1, (1) trở thành: x   x  x 1  x   x 1  x   1 cần x   x  x         x   x  x 1  x   x   x  x 1  x     x   x   x  x   x  * Với m = (1) trở thành:  x  1 x   Phương trình (1) có nghiệm x  x   x  x 1  x    x 1  x    x  1 x   x  1 x  x  1 x  0 2 thỏa phương trình Phương trình (1) có nghiệm KL: m = 0, m = -     3    x  cot  tan  x   tan x 4    dx   dx cos 2x  Câu 4; ( 1.0đ ) Ta có I   cos2x cos2x  tan x 0 Ta thấy x  0, x     tan( x  ) dx   tan x  dx I 0 (t anx+1)2 cos2x Đặt t  t anx  dt=  dx  (tan x  1)dx cos x dt 1 Suy I      x   t  0; x   t  (t  1) t  Câu 5; 1, ( 1.0đ ) Gọi H giao điểm BM AN Do M, N trung điểm nên BM  AN  SA  mp ( ABCD) ฀  BM  SH , SA  AH  SHA nhọn   BM  AN ฀ Suy SHA góc hai mặt phẳng: ฀  450  AH  AS  a (ABCD) (SBM) nên SHA 1   2 AB AM AH      2 2 AB AB AH AB AH  AB  AH  AB  AH  a dt(ABNM) = dt(ABCD) - dt(BCN) - dt(MND) 5a 5a 25a = a2    8 25a 25a Suy thể tích hình chóp S.ABNM là: V  a  24 Trong tam giác vuông ABM: DeThiMau.vn  Gọi F trung điểm BC Ta có DF//BM nên DF //mp(SBM) Gọi E giao điểm DF AN Suy d(D, mp(SBM)) = d(E, mp(SBM)) Gọi K hình chiếu E đường thẳng SH EK  mp ( SBM ) Từ d(D, mp(SBM)) = d(E, mp(SBM)) = EK M trung điểm AD nên H trung điểm AE  HE = HA = a a a ฀  450  EK  Để ý KHE Vậy d ( D, mp ( SBM ))  2 Ghi Chú:  d(D, mp(SBM)) = d(A, mp(SBM)) Có thể giải PP tọa độ Câu 6; ( 1.0đ ) 2a  2a   2a  (  1)a   2a  (  1)a   2 2   3  1 3  1  a  (a  1)   a     a     a     a    (1)   2   2   2  1  1 ;   , C   ;   , Gọi M(a; a) Trong mặt phẳng Oxy, chọn A(0; 1), B  2 2   Khi đó, (1)  MA + MB + MC  (2) Tam giác ABC tâm O OA = OB = OC = Suy (2) tương đương MA + MB + MC  OA + OB + OC (3) Ta chứng minh (3) Thực hiệm phép quay tâm A góc 60 C  C ', M  M ' Suy MA = MM', MC = M'C' Khi đó:MA + MB + MC = MB + MM' + M'C'  BC' = OA + OB + OC Dấu đẳng thức xảy khi M  O  a = M' A C' M B C Ghi chú:  Có thể giải PP véc tơ  Khơng dùng bất đẳng thức khơng có SGK để chứng minh Câu 7a; ( 1.0đ ) Đường thẳng chứa cạnh AB: ax + b(y - 2) = Đường thẳng chứa cạnh BC: b(x - 5) - a(y + 3) = 2a  b(2  2) b(2  5)  a (4  3)   2(a  2b)  a  3b d(P; (AB)) = d(Q; (BC))  a  b2 a  b2  2a  4b  a  3b  a  7b    2a  4b  a  3b b  3a i) a = 7, b = - 1: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) =  dt(ABCD) = ii) a = 1, b = - 3: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 10  dt(ABCD) = 10 Câu Mặt  8a; ( 1.0đ )   phẳng (P) song song với AB CD có cặp véc tơ phương: AB  (1; 0; 3), CD  (1; 0;  3)   nên có véc tơ pháp tuyến  AB, CD   (0; 6; 0) Suy phương trình mp(P): y + D = AB CD song song (P) nên d(AB,(P)) = d(A,(P)) d(CD,(P)) = d(C,(P)) 1  D  1  D d(AB,(P)) = d(AB,(P))  d(A,(P)) = d(C,(P))   D  1  D    D  1  D   D Suy phương trình (P): y = 0 2013 k  2013 2013 Câu 9a; ( 1.0đ ) C2013 Cnk  C2013 Cnk 1  C2013 Cnk    C2013 Cn  Cnk2013 (0  k  n  2013) (*) VP(*) hệ số x k  2013 khai triển (1  x) n  2013 DeThiMau.vn VT(*) hệ số x k  2013 khai triển ( x  1) 2013 (1  x) n Mặt khác (1  x) n  2013 = ( x  1) 2013 (1  x) n Hệ số x k  2013 khai triển (1  x) n  2013 hệ số x k  2013 khai triển ( x  1) 2013 (1  x) n Suy đpcm Câu 7b; ( 1.0đ ) Đường trịn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = Gọi H giao điểm IM AB IM  AB HA = HB d(I, d) = > R Suy qua M thuộc (d) kẻ tiếp tuyến (C) 1 1 Tam giác AMI vơng M có::  2   2 2 2 AH AI AM AB R IM  R Từ suy ra, AB nhỏ nhất  IM nhỏ , khi M hình chiếu I (d) M  (d )  M ( x; x  7)  MI  (1  x; 5  x) ,    d có véc tơ phương a  (1; 1) MI  (d )  MI a    x   x   x  2  M (2;5) Câu 8b; ( 1.0đ ) Gọi M(0; a; 0), N(0; 0; b), ab    Ta có AM  (3;  a; 2), AN  (3; 2; b  2) Khi đó, véc tơ pháp tuyến (Q):     nQ  [ AM , AN ]  (2a  2b  ab;3b;3a ) Véc tơ pháp tuyến (P): nP  (1; 1; 1)     ( P)  (Q)  nP  nQ  nP nQ   ab  a  b  (1) OM = ON  a  b  a  b i) a = b : (1)  a  (loại) a =  a = b = 2, ta có nQ  (12;6;6)  Phương trình (Q): 2x + y - + z =  2x + y + z - = ii) a = - b: (1)  a  (loại) Câu 9b; ( 1.0đ ) Vậy, phương trình (Q): 2x + y + z - = (n  1)! n! Ta có kCnk  k n  nCnk11 (đpcm) (k  1)! (n  1)  (k  1) ! k !(n  k )! 2Cn0  5Cn1  8Cn2   (3n  2)Cnn  1600  3Cn1  6Cn2   3nCnn  2(Cn0  Cn1   Cnn )  1600  3n(Cn01  Cn11   Cnn11 )  2(Cn0  Cn1   Cnn )  1600  3n(Cn01  Cn11   Cnn11 )  2(Cn0  Cn1   Cnn )  1600  3n(1  1) n 1  2(1  1) n  1600  3n.2n 1  2n 1  1600  3n.2n 5  2n 3  100 n7 DeThiMau.vn ...Câu 1; 1, ( 1.0đ ) TXĐ: y'   HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 78 D  R 1  0, x  D ( x  1) Hàm số nghịch biến khoảng (;1), (1; ) x2 x2 x2 Giới hạn: lim  , lim... (*) VP(*) hệ số x k  2013 khai triển (1  x) n  2013 DeThiMau.vn VT(*) hệ số x k  2013 khai triển ( x  1) 2013 (1  x) n Mặt khác (1  x) n  2013 = ( x  1) 2013 (1  x) n Hệ số x k  2013... biên thi? ?n: t + y + + y' Đồ thị: y f(x) = x+2 x-1 5/2 -2 O x -2 Câu 1; 2, ( 1.0đ )  Gọi I(1; 1), đồ thị hàm số cho (C) Phép tịnh tiến hệ trục Oxy  IXY theo OI = (1; 1): x  1 X 1 X  Hàm số