Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán Đề 4452949

§Ị thi häc sinh giái líp 12 B¶ng A Thêi gian: 180 phút Bài 1: (4 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: x  4x  y 1 x TÝnh tÝch ph©n:  x sin xdx cos x Bài 2: (4 điểm) I a x3   x2  Cho ph­¬ng trình: Giải phương trình a = Tìm a để phương trình có nghiệm Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: tgx 3cotg3x = 2tg2x Chứng minh ABC thoả mÃn: A B C tgA + tgB + tgC = cot g  cot g  cot g 2 Bài 4: (2 điểm) x 3x Tìm giíi h¹n: lim ( ) x  x  Bài 5: (2 điểm) 2x Giải bất phương trình: x x  log (x  1) Bµi 5: (4 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy x2 y2 ; điểm I(-1;-2) đường thẳng Cho elip (E) có phương trình: 16 (d): x + y – = ViÕt ph­¬ng trình đường thẳng qua I cắt (E) hai điểm A, B cho I trung điểm AB Tìm toạ độ điểm M (E) cho khoảng cách từ M đến d nhỏ DeThiMau.vn ý Néi dung DeThiMau.vn Thang ®iĨm H­íng dÉn chÊm ®Ị thi học sinh giỏi lớp 12 Tập xác định: R\{1} Sù biÕn thiªn: 0.5 x  ,y ( )   x  2x   x 2 ,y ( )  y’= (1  x) +, lim y  ; lim y -> đường thẳng x=1 tiệm cËn [ x1 x1 ®øng +, lim y  ; x   y   lim x  Bµi x  4x  y  x    lim [y  (x  3)]  1 x 1 x x  = lim đường thẳng y= - x+3 tiệm cận xiên x x Bảng biến thiên: x y - + 0 y Đồ thị: 0.25 + + + + 0.25 - - y 0.25 DeThiMau.vn x 0.75  x sin xdx  cos x Đặt x  t TÝnh: I = x t  0  dx = - dt I = - Bµi  (  t ) sin t sin t dt   dt  I 2   cos t  cos t   sin t dt I   cos t Đặt u = cost -> du = - sintdt t  u -1  du I 11 u Đặt u = tgv víi v ( ; ) , du = (1+tg2v)dv 2 u -1 v   4    du (1  tg v )dv      dv I dv v    u2  tg v     2  (  ) 4 4 0.75 0.5     0.75 DeThiMau.vn §iỊu kiƯn: x Phương trình đà cho tương đương với : 0.25 a (x  1)(x  x  1)  (x  x  1)  (x  1) a x 1 x2  x  1 ( x 1 ) (do x  x   0) x  x 1 32 x 1 ®iỊu kiƯn  t x2 x phương trình trë thµnh: f(t) = t + at – = Với a = ta có: phương trình (1) lµ: t2 + 4t – = t  ( lo i ) đặt t = [ (1) 0.75 0.75 3 ] x 1 Víi t =- + ta cã: t = x2  x  t2x2 + t2x +t2 = x – t2x2 + (t2 – 1)x +t2 + = 0.5  t   3t  t x hiển nhi ê n thoả mà n x  0.5 2t VËy víi a = phương trình đà cho có nghiệm: Bài  x1, t  2   [ 0;  t   3t  t   , víi t  2t 0.25 Phương trình đà cho có nghiệm phương trình: 32 ]D dễ thấy phương trình (1) có nghiƯm t1, t2 tho¶ m·n: t1 < < t2 , phương trình có nghiệm t2  D t2 + at – = (1) cã nghiÖm t  [0; 2(  1) 32 )0a 32 2(  1) VËy tập giá trị cần tìm a là: [ ;  ) 32  f( DeThiMau.vn 0.25 0.5 0.25 §iỊu kiƯn: cos2x  0; cosx  0; sin3x  tgx – 3tg3x = 2tg2x tgx – cotg3x = 2(tg2x + cotg3x) sin x cos 3x sin x cos 3x    2(  ) cos x sin 3x cos x sin 3x - cos4x cos2x = cos2x (2cos22x - 1)(cos2x) +1 +cos2x = cos32x = ®èi chiÕu ®iỊu kiƯn: cosx  cos2x   cos x  cos2x  -1 sin3x  sinx(3 – 4sin2x)  sin2x  sin2x  1 cos x 0 cos x 1  1cos  2x   cos x  2 => cos32x = - (thoả mÃn điều kiện) cos2x = -  cos   x   k 2 Vậy phương trình đà cho có nghiƯm lµ:  x    k, k  Z víi cos    2 Bài { 0.25 { Vì tgA, tgB, tgC xác định nên ABC không vuông tgA  tgB  tgC  tgA  tgB  tgC  tgA.tgB.tgC  tgAtgB A B cot g  cot g C A B 2 cot g  tg(  )  A B 2 cot g cot g  2 A B C A B C  cot g  cot g  cot g  cot g cot g cot g 2 2 2 DeThiMau.vn 0.5 0.25 0.25 0.25 -> giả thiết đề cho tương tương với: A B C tgA.tgB.tgC = cot g cot g cot g > 2  ABC nhọn -> tgA, tgB, tgC số dương 0.25 sin A sin B cos(A  B )  cos C  cos A cos B cos(A  B ) cos C ta chứng minh được: ta có: tgA.tgB = cos(A  B )  cos C  cos C  (*) cos(A  B )  cos C  cos C 0.25 thËt vËy: 1- cosC > 0; cos(A-B) – cosC = 2cosA.cosB > ®ã (*) cos(A-B) - cos(A-B)cosC + cosC – cos2C  cos(A-B) + cos(A-B)cosC – cosC – cos2C 0.25 cosC cos(A-B) – cosC  cos(A-B) – (vì cosC > 0)  cos C C  cot g  cos C B t­¬ng tù: tgA.tgC  cotg2 A tgB.tgC  cotg A B C  tgA  tgB  tgC  cot g  cot g  cot g 2 dÊu “=” x¶y khi: cos(A - B) = cos(B - C) = A = B = C cos(C - A) = A B C VËy nÕu tgA  tgB  tgC  cot g  cot g  cot g 2 ABC tam giác Vậy: tgA.tgB DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 x  3x 1  lim (  1)3x 1 ) x  x  x  x đặt t = x + ta có x    t   x  3x 1 1 lim ( )  lim{[(1  ) t ]3 }  e3 x  x  t  t (1  )5 t 0.25 Bµi lim ( 0.25 1.5 x  2x  2 x  x   log (®iỊu kiƯn x 1 ) (2 x  1) 2x   2(x  1)  (2 x  1)  log  log 2 (x  1) Bµi {  2(x  1)  log [2(x  1) ]  log (2 x  1)  x  XÐt hµm sè: f(X) = X + log2X  f ' (X )    x  X ln -> f(X) đồng biến R* đặt: X1=2x + x  { 3 3  2x  6x    x [ Vậy bất phương trình đà cho có tËp nghiƯm lµ: 3 3 ( ; ][ ;  ) 2 DeThiMau.vn 0.5 X2= 2(x-1)2 => X1, X2  R* víi x Khi bất phương trình trở thành f(X2) f(X1)  X  X tøc lµ: 2(x-1)2 2x+1 x 0.25 0.5 0.5 0.25 Giả sử đường thẳng đường thẳng có phương trình cần tìm Vì qua I(-1; -2) nên có phương trình tham số: x at Bài {y  2  bt (a2+b2  V× A, B giao điểm (E) nên: A(-1 + at1; -2 + bt1); B(-1 + at2; -2 + bt2) với t1, t2 nghiệm phương trình: (1 at ) (2  bt )  1 16 a2 b2 a 2b  (  )t  2(  )t     (*) 16 16 16 DeThiMau.vn 0.25 0.5 a2 b2 (  )(   1)  v× a2 + b2  16 16 nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 I trung ®iĨm AB nªn:   a(t  t )   b( t  t )   1 vµ  2 2 b( t  t )  t1 + t2 = (v× a2 + b2  ) a(t  t )  a 2b t1 + t2 =  0 16 9a = -32b, chän b = -9 => a=32 => đường thẳng có phương trình: x 1 y   32 9 0.25 0.5 0.25 0.25 Giả sử M(x0; y0) M (E) nªn: 2 x0 16  y0 0.5 1 x sin t x0 y0 đặt sin t cos t , Khi đó: y 3 cos t 4 sin t  cos t  cos(t  )   d ( M ,d )   2 cos   cos(t  ) víi sin  -> d ( M,d )  => d(M, d) nhá nhÊt cos(t -  ) =  t    k  { { 16 x  sin(  k )  sin   y  cos(  k ) cos Vậy điểm cần tìm là: M( 16 ; ) 5 DeThiMau.vn 0.75 0.5 0.25 DeThiMau.vn ...ý Néi dung DeThiMau.vn Thang ®iĨm H­íng dÉn chÊm ®Ị thi học sinh giỏi lớp 12 Tập xác định: R{1} Sù biÕn thi? ?n: 0.5 x  ,y ( )   x  2x   x 2 ,y ( ) ... phương trình đà cho có nghiệm: Bài  x1, t  2   [ 0;  t   3t  t   , víi t  2t 0.25 Phương trình đà cho có nghiệm phương trình: 32 ]D dễ thấy phương trình (1) có nghiƯm t1, t2 tho¶... cot g  2 A B C A B C  cot g  cot g  cot g  cot g cot g cot g 2 2 2 DeThiMau.vn 0.5 0.25 0.25 0.25 -> giả thi? ??t đề cho tương tương với: A B C tgA.tgB.tgC = cot g cot g cot g > 2  ABC nhọn