Đề tài Từ một bài toán cơ bản xây dựng các bài toán phát triển52697

Từ toán xây dựng toán phát triển A.Lý chọn đề tài: Tìm tòi để sáng tạo, nhiệm vụ hàng đầu người làm toán Tìm tòi sáng tạo việc không dễ có nhiều đường khác để đạt mục đích Vì vậy, việc hướng dẫn học sinh tìm tòi sáng tạo rát cần thiết tất thầy cô giáo dạy toán đây, muốn trao đổi số ví dụ hướng dẫn học sinh tìm tòi sáng tạo từ toán nhỏ Lý khách quan: Lý chđ quan: Ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, tự giác chủ động học tập học sinh nhiệm vụ trọng tâm việc đổi phương pháp dạy học Cũng giống môn khác, môn toán với đặc thù riêng mang tính lôgíc chặt chẽ đòi hỏi tư trừu tượng cao việc tạo hứng thú, say mê học tập tất đối tượng học sinh ( Kém, Yếu , Trung bình, Khá giỏi) yêu cầu cần thiết giáo viên Trong thực tế trường, lớp trình độ nhận thức học sinh không đồng Vậy làm để thu hút ttất em vào hoạt động nhận thức với tính tích cực, chủ động cao, làm để học sinh dù thuộc đối tượng (Kém, Yếu , Trung bình, Khá giỏi) phát huy tối đa linh hoạt, sáng tạo việc tiếp cận tri thức hay xây dựng kỹ vận dụng kiến thức giải tập trình xây dựng tìm tòi gia công nghiêm túc giáo viên Thực tế cho thấy môn toán học sinh khối trung học sở ( lớp cuối cấp) đà có phân hoá rõ rệt trình độ nhận thức, số tập thầy giáo giao cho lớp làm, có em cảm thấy dễ có học sinh lại cảm thấy khó Xét góc độ tích cực hai trường hợp xảy tâm lí không sẵn sàng chủ động giải toán Đối với học sinh giỏi coi thường cảm thấy nhàm chán, học sinh yếu không tìm hướng giải sinh nản chí Trong trường hợp vai trò người giáo viên quan trọng, với nhiều đối tượng học sinh chênh lệch khả nhận thức việc thiết kế dạy đảm bảo phát huy tối đa søc suy nghÜ cđa häc sinh lµ mét viƯc lµm cần thiết không đơn giản Trong dạy học nói chung giảng dạy môn toán nói riêng người giáo viên phải đặt trước học sinh tình có vấn đề Tình có vấn đề môn toán thường đặt dạng tập, trình xây dựng kiến thức cho häc sinh cịng nh­ viƯc cđng cè, rÌn lun kỹ giải toán, người giáo viên thường chuẩn bị hệ thống câu hỏi , tập phù hợp với đối tượng học sinh Trong lên lớp để đảm bảo cho tập thể học sinh tham gia tích cực vào học, nhiều phương pháp Từ toán xây dựng toán phát triển với ý nghĩ đà thực nghiên cứu giảng dạy trình công tác trường trung học sở Cẩm Đàn xin trao đổi đồng nghiệp Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán phát triển 10 B.Nội dung: I/Phần số học; Bài toán: Một sè chia cho th× d­ 6, chia cho dư Hỏi số chia cho 56 dư bao nhiêu? Giải: Cách 1: Gọi số bị chia a, theo giả thiết ta có: a = 7q1 + (1) a = 8q2 + (2) Để tạo bội 56, ta nhân hai vÕ cđa (1) víi vµ (2) víi ta cã: 8a = 56q1 + 48 (3) 7a = 56q2 + 35 (4) Tõ (3) vµ (4) suy ra: 8a – 7a = 56(q1 – q2) +13 Hay a = 56(q1 q2) +13 Số dư cần tìm 13 Cách 2: Từ (1) (2) suy : 7q1 + = 8q2 + (5) Tõ (5) rót ra: 7q1 – 7q2 = q2 - Hay q2 - = 7(q1 – q2) = 7q hay q2 = 7q + (6) Thay (6) vµo (2) ta ®­ỵc: a = 8(7q + 1) + = 56q + 13 Vậy số dư 13 Lời bình: Từ giả thiết ta có a = 7q1 + a = 8q2 + ta ®· ®i ®Õn hai cách giải: Cách 1: Tìm số dư r chia a cho 56, ta tìm cách biểu diễn: a = 56 q + r víi < r < 56 Cách 2: Ta ý đến 56 = 7.8 8a 7a = a Khai thác toán: Từ toán ta phát triển mở rộng lên thành toán tổng quát sau: Khi chia sốnguyên a cho số nguyên n dư r1 , chia cho (n +1) th× d­ r2 Hái chia a cho n(n + 1) số dư bao nhiêu? Gải: Theo giả thiết ta có : a = nq1 + r1 vµ a = (n +1)q2 + r2 Do ®ã (n + 1)a = n(n +1)q1 + (n +1)r1 Vµ na = n(n +1)q2 + nr2 _ Tõ suy : Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán ph¸t triĨn (n + 1)a - na = n(n +1)(q1 – q2) + (n +1)r1 - nr2 V× (n +1)r1 - nr2 < n(n +1) nªn ta cã: + NÕu (n +1)r1 - nr2  th× sè d­ lµ (n +1)r1 - nr2 +) NÕu (n +1)r1 - nr2 < th× a = n(n +1)(q1 – q2 - 1) + n(n + 1) + (n +1)r1 - nr2 vµ < n(n + 1) + (n +1)r1 - nr2 < n(n + 1) ®ã sè d­ là: n(n + 1) + (n +1)r1 - nr2 II/Phần đại số: Bài toán: Tìm giá trị lớn A x4 2x Giải: Cách 1: x x4 x0 A xác định áp dụng bất đẳng thúc Cô si cho hai số không âm ta có: x   x    x 2 x4 x Do ®ã: A   2x  2x DÊu “ = ” x¶y  x – =  x = Vậy giá trị lớn A lµ x   A xác định x4 x0 x4 Cách 2: áp dụng bất đẳng thúc Cô si cho hai số không âm ta có: 2x x  4   x  4   x4 x4 x4   2x x4 DÊu “ = ” x¶y  x – =  x = Vậy giá trị lớn A Do đó: A Lời bình: Bài toán có hai cách giải áp dụng bất đẳng thức Cô sic ho hai số không âm Cách 1: Từ x tìm cách viết thành Trung bình nhân thích hợp để chuyển sang Trung bình cộng phần chứa biến x A bị triệt tiêu lại số Cách 2: Từ 2x tìm cách viết thành Trung bình cộng Thích hợp để chuyển sang Trung bình nhân phần chứa biến x A bị triệt tiêu lại số Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán phát triển Từ cách giải toán ta khai thác phát triển thành toán tổng quát sau: Bài toán tổng quát: Tìm giá trị lớn biểu thức A  ax  b ®ã a, b, c, d số cx d áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ( điều kiện thích hợp định) ta có hai cách giải sau: Cách 1: ax b Do ®ã A  bc  bc    cx   d    bc  a  a  c d    a  a a bc   c d   a   cx  bc bc d  a a a bc   c d   a  C¸ch 2:  ax  b    ad  b    c ad  2c  c    2c  ax  d   ax   a c  a   a     a Do ®ã A  bc   c d   a  ax  b  ad  b   c  Víi a =1, b = -4, c=2 vµ d = ta cã bµi toán III/ Bài toán hình học: Bài toán 1: (Bài toán lớp 7) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B ta dựng đoạn thẳng AE AC AE = AC Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng ADAB AB = AD Vẽ đường cao AH ABC, tia HA cắt BE M Chứng minh M trung điểm DE Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán phát triển Giải Ta có hình vẽ sau: (hình 1) E M D A C H B §èi víi häc sinh lớp 7, để chứng minh hai đoạn thẳng ta đưa việc chứng minh hai tam giác DƠ kiĨm tra thÊy DMA chøa MD vµ MEA chứa ME Để giải vấn đề ta phải tạo hai tam giác khác nhận ME cạnh chứng minh đựơc chúng Khai thác ADAB ta suy : DAM =  AHB ( v× cïng phơ víi gãc BAM) kÕt hỵp víi AD = AB ta nghÜ đến việc tạo tam giác vuông ABH ( cạnh huyền góc nhọn ) cách kẻ DI MA Tương tự ta kẻ EK AM để tạo tam giác ACH Ta có hình vẽ 2; K E M D I A B H C Khai th¸c kÕt ta được: DIA = AHB ( cạnh huyền góc nhọn) ta DI = AH (1) KEA = HAC (như cách vẽ) ta KE = AH (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy ra: DI = KE Từ kết ta chứng minh MDI = MEK (Hai tam giác có hai cạnh góc vuông góc nhọn nhau) Từ suy ra: MD = ME (đpcm) Từ toán theo cách nhìn nhận AB AD hai cạnh kề hình vuông ta mở rộng thành toán sau: Bài toán 2: (đối với học sinh lớp 8) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Lấy AB AC làm cạnh dựng phía Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán phát triển tam giác hai hình vuông ADQB AEFC Gọi 01 02 theo thứ tự tâm hai hình vuông N trung điểm BC chøng minh r»ng: NO1 = NO2 vµ NO1 NO2 Giải: O1N qua trung điểm hai đoạn thẳng nên ta nghĩ đến đường trung bình cđa tam gi¸c ta cã: DC O1N  DC vµ O1N = (*) O2N  EB vµ O2N = EB Lúc toán trở chøng minh DC = EB vµ DC  EB Ta dễ dàng nhận thấy: AD = AB (Cạnh hình vu«ng ADQB)    => ADC = BAE (c.g.c) AE = AC ( Cạnh hình vuông AEFC)  DAC =  BAE ( ®Ịu b»ng 900 +  BAC) => DC = BE (1) vµ  ADC = ABE Gọi P giao điểm DC vµ AB, R lµ giao cđa DC vµ BE Q B O1 N D P R C A O2 E F Xét hai tam giác DAP BRP có :  DPA =  BPR ( ®èi ®Ønh)  PDA =  PBR (Chøng minh trªn) =>  DPA =  BRA Mµ  DAP = 900 (gãc cđa hình vuông) nên BRP = 900 => DC BE (2) Tõ (*), (1), (2) suy ra: NO1 = NO2 NO1 NO2 (đpcm) Ban đầu toán đà tạo tam giác tam giác ABH Ta đặt vấn đề tạo tam giác tam giác ABC kết khác không? Điều dẫn đến việc đề xuất toán sau: Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán phát triển Bài toán 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, Vẽ đoạn thẳng AD thoả yêu cầu toán1 Dựng hình bình hành ADGE Vẽ đường cao AH cđa tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: a, G, A, M, H thẳng hàng b, QC, AH , BF đồng qui Giải : a/- Nối DE GA chúng cắt M, theo tính chất hình bình hành ta suy M trung điểm DE G D M E Q A S F C T H B - Theo kết toán ta H, A, G thẳng hàng, theo cách xác định M M, A, H thẳng hàng Từ suy bốn điểm G, M, A,H thẳng hàng b/ Bây giải yêu cầu toán Trước hết, để chứng minh ba đường thẳng ®ång qui, ta th­êng dùa vµo tÝnh chÊt ®ång qui ba đường chủ yếu tam giác, lại có GH  BC nªn ta liªn t­ëng tíi ba d­êng cao tam giác Dựa vào toán theo tính chất hình bình hành ta cã: GEA = BAC v× cã: GE = AB (cïng AD) AE = AC ( cạnh hình vuông AEFC)    => GA = BC    BAC =  GEA (cïng bï víi  DAE) Sư dụng kết ta lại có: GAC = BCF (g.c.g) có: Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán ph¸t triĨn GAC  90  GAE   BCF  90  BCA   GC = BF vµ  BFC =  GCA BCA  GAE  Gäi giao cđa GC vµ BF lµ S, BF AC T Ta có: FCT vuông C   CTF +  CFT = 900 hay BF  GC Chøng minh t­¬ng tù ta cịng cã GC vuông góc với QB AH, QC, BF ba đường thẳng chứa đường cao GBC, ®­êng cao cđa GBC ®ång qui  §pcm Ci cïng ta để ý tới tính bình đẳng tương đối ABC ADE, sử dụng đặc biệt toán ta đề xuất toán sau: Bài toán 4: Cho ABC có góc nhọn, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Về phía ABC vẽ hình vuông ADQB AEFC Gọi trung điểm DE BC M N Chøng minh AM  BC Tr­êng hỵp OD = OE a) Tứ giác AMON hình b) Tính góc BAC Giải Giả sử MA BC cắt H Ta phải chứng minh AH BC, hay  AHC +  HCA = 900 Ta ®· cã:  MAE +  HAC = 900 nªn chØ cÇn chøng minh  HCA =  MAE Muèn vậy, ta dựng hình bình hành ADGE chứng minh AEG = CAB Điều ta đà làm toán a) Từ giả thuyết OD = OE M trung điểm DE ta có AN DE (tính chất tam giác cân) Lại có N trung điểm BC (GT) Làm tương tù nh­ c©u cã AN  DE suy AN // OM (3) Theo câu theo cách xác định tâm đường tròng ngoại tiếp ta có AN // ON (vì vuông góc với BC) (4) Từ (3) (4) suy tứ giác AMON hình bình hành b) Ta có: AM AG (giao điểm hai đường chéo hình bình hành) (do AEG = CAB) AG = BC Suy ra: AM BC Mặt khác AM = ON (cạnh đối hình bình hành) nên suy ON BC Trong OBC có ON đường trung tuyến nên OBC vuông O hay BOC = 900 Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán phát triển Trong đường tròn ngoại tiếp ABC ta có BAC BOC (góc nội tiếp có số đo không 900 nửa số đo góc tâm chắn cung) Do BAC=450 C Kết luận Trên số ví dụ cách tìm tòi, khai thác toán Làm bồi dưỡng lực tư sáng tạo cho học sinh, giúp em có ý thức ham muốn tìm tòi sáng tạo Nó giúp em ghi nhớ nhóm toán, Bồi dưỡng lực tư lôgíc cho em Qua viƯc lµm nµy häc sinh sÏ cã høng thó häc to¸n, suy nghÜ cđa c¸c em sÏ linh hoạt dần lên mà không bị gò ép, khuôn mẫu Hi vọng nhận nhiều ý kiến trao đổi tiếp tục khai thác toán đồng nghiệp Đối với giáo viên muốn dạy học sinh giải toán tốt phải thường xuyên đọc sách tự nâng cao kiến thức phải có kế hoạch giải toán thường xuyên sưu tầm tập rút kinh nghiệm sau tiết dạy Phát huy tính tích cực, chủ động học sinh điều mà người giáo viên biết trình đổi phương pháp giảng dạy Nó điều hoàn toàn đắn có lẽ không mẻ Ngay từ thời cổ Hilạp Xôcrát Đà đề sướng nguyên lý Hoạt ®éng tÝch cùc” ®Ị cao vai trß cđa ng­êi häc hay Léptôntôi đà nói Kiến thức thùc sù lµ kiÕn thøc nµo nã lµ thµnh cố gắng tư chí nhớ Việc thực giảng dạy theo phưng pháp không nằm quan điểm Mong muốn lớn song với khả có hạn chắn vấn đề mà vừa trình bày chưa hẳn đà chọn vẹn, đà hay tránh khỏi sai sót mong thầy cô giáo đóng góp ý kiến phê bình để việc giảng dạy ngày tốt Trong trình giảng dạy thực nghiệm bắt tay vào viết sáng kiến giúp đỡ tận tình thầy cô giáo trường THCS Cẩm Đàn thầy cô giáo dạy môn toán huyện Sơn Động Xin chân thành cảm ơn! Sơn Động, ngày tháng năm Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán phát triển Xác nhận hội đồng khoa học trường THCS cẩm đàn T/M HĐKH nhà trường Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn .. .Từ toán xây dựng toán phát triển 10 B.Nội dung: I/Phần số học; Bài toán: Một số chia cho dư 6, chia cho dư Hỏi số chia cho 56 dư bao nhiêu? Giải: Cách 1: Gọi số bị chia... Ban đầu toán đà tạo tam giác tam giác ABH Ta đặt vấn đề tạo tam giác tam giác ABC kết khác không? Điều dẫn đến việc đề xuất toán sau: Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán phát triển... rộng thành toán sau: Bài toán 2: (đối với học sinh lớp 8) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Lấy AB AC làm cạnh dựng phía Trường THCS Cẩm Đàn DeThiMau.vn Từ toán xây dựng toán phát triển tam giác