CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Khái niệm: A>B⇔A–B>0; A C ⇒ A > C 2) A > B ⇔ A + C > B + C 3) A > B ⇔ AC > BC C > AC < BC C < 4) A > B, C > D ⇔ A + C > B + D 5) A > B > C > D > ⇒ A.C > B.D 6) A > B > n ∈ N* ⇒ An > Bn 7) A > B > n ∈ N ⇒ n A > n B 1 1 8) A > B ⇒ < AB > Hoặc: > AB < A B A B B MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp biến đổi tương đương Bài 1: Chứng minh: a + b ≥ ab (1) ∀a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi) HD: (1) ⇔ a + b – ab = ( a− b ) ≥ (đúng) Bài 2: Chứng minh: (a + b) ≥ 4ab HD: Biến đổi đưa (a – b)2 ≥ Bài 3: Chứng minh: a2 + b2 ≥ 2ab HD: Xét hiệu, đưa (a – b)2 ≥ Bài 4: Chứng minh: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky) HD: Biến đổi hiệu (ac + bd)2 – (a2 + b2)(c2 + d2) thành (ay – bx)2 Bài 5: Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca HD: Biến đổi hiệu a2 + b2 + c2 – ab + bc + ca thành (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Bài 6: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + ≥ a + b + c + d 2 1 1 1 1 HD: Biến đổi a2 + b2 + c2 + d2 + – a + b + c + d thành: a − + b − + c − + d − 2 2 2 2 Bài 7: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ a(b + c + d + e) 2 2 b c d e HD: Biến dổi dạng: a − + a − + a − + a − ≥ 2 2 2 2 Bài 8: Chứng minh: (ax + by + cz) ≤ (a + b + c )(x + y + z2) HD: Biến đổi dạng: (ay – bx)2 + (az – cx)2 + (bz – cy)2 ≥ Bài 9: Chứng minh a4 + b4 ≥ ab3 + a3 b ∀a, b ≥ b 3b ≥ 0, ∀a, b HD: Biến đổi, phân tích thành: (a – b)2(a2 + ab + b2) = (a − b) a + + 2 a + b3 a + b ≥ Bài 10: Chứng minh: HD: Xét hiệu, phân tích thành nhân tử ⇒ đpcm 2 a + b2 a + b ≥ Bài 11: Chứng minh: HD: Quy đồng mẫu, xét hiệu đưa dạng: (a – b)2 ≥ a + b + c2 a + b + c Bài 12: Chứng minh: ≥ 3 2 HD: Xét hiệu, đưa dạng: (a – b) + (b – c) + (c – a)2 ≥ Trang ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS DeThiMau.vn CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC x+y ∀x, y > ≥ xy x+y HD: Biến đổi (x + y)2 ≥ 4xy ⇒ tương tự Bài 14: Trong hai số sau số lớn hơn? Vì sao? A = HD: Chứng minh A2 ≥ B2 ⇒ đpcm Bài 15: Chứng minh: a2 + b2 ≥ a + b − 2 HD: Biến đổi đưa a − + b − ≥ 2 Bài 13: Chứng minh: 2005 + 2007 B = 2006 a2 + a + ≤ a2 + 2 HD: Quy đồng: 2a + 2a + ≤ 3a + ⇔ (a – 1)2 1 Bài 17: Chứng minh: a) a + ≥ 2, ∀a > b) a + ≤ − 2, ∀a < a a HD: a) Vì a > nên: a2 – 2a + ≥ ⇔ (a – 1)2 ≥ b) Vì a < 0: a2 + 2a + ≥ ⇔ (a + 1)2 ≥ a b a b b) Nếu ab < thì: + ≤ −2 Bài 18: Chứng minh: a) Nếu ab > thì: + ≥ b a b a HD: a) Từ (a – b)2 ≥ ⇔ a2 + b2 ≥ 2ab Chia hai vế a2 + b2 ≥ 2ab cho ab > ⇒ đpcm b) Chia hai vế a2 + b2 ≥ –2ab cho ab < ⇒ đpcm ax + by a + b x + y Bài 19: Cho x ≥ y, a ≥ b Chứng minh: ≥ 2 HD: Biến đổi, đưa về: (a – b)(x – y) ≥ (đúng) 1 1 a b c Bài 20: Cho a > 0, b > 0, c > Chứng minh: + + ≥ + + a b c bc ca ab HD: Do a, b, c > Thực quy đồng, biến đổi về: (a + b + c) ≥ (đúng) 1 + ≥ Bài 21: Cho ab ≥ Chứng minh: (*) 2 + ab 1+ a 1+ b + a + b2 ≥ ⇔ (a – b)2(1 – ab) ≤ (đúng) HD: (*) ⇔ 2 2 + ab 1+ a + b + a b x y x y2 Bài 22: Cho x, y ≠ Chứng minh: + + ≥ 3 + y x y x x y HD: Đặt + = t ( | t | ≥ ) Bất đẳng thức viết lại: t2 – 3t + ≥ ⇔ (t – 1)(t – 2) ≥ 0, ∀| t | ≥ y x Bài 23: Chứng minh: (a – 1)(a – 3)(a – 5)(a – 7) + 15 ≥ 0, ∀a HD: BĐT ⇔ t(t + 6) + 15 ≥ ⇔ (t + 3)2 + > 0, ∀a Bài 24: Chứng minh: (x – 1)(x – 3)(x – 4)(x – 6) + 10 > 0, ∀x HD: Làm tương tự 23 Bài 25: Cho a, b ≥ Chứng minh: a3 + b3 ≥ ab(a + b) HD: Xét hiệu đưa bất đẳng thức: (x + y)(x – y)2 ≥ Phương pháp làm trội, ước lượng 1 1 Bài 26: Chứng minh tổng sau không số tự nhiên: S = + + + + (n ≥ 2) n 1 1 + + + = − < Vậy: 1 (n ∈ N, n > 1) n+ n+ n+ 2n 1 ⇒ A> HD: Thay số hạng tổng số nhỏ n = (đpcm) 2n 2n 1 1 + + + > 1.(n ∈ N, n > 1) Bài 31: Chứng minh: B = + n n+ n+ n 1 HD: Thay số hạng tổng số nhỏ ⇒ B > (n − n) = − > (đpcm) n n n 1 1 Bài 32: Chứng minh: C = + + + + < (n ∈ N, n ≥ 2) 2! 3! 4! n! 1 1 HD: A < + + + + = − < 1.2 2.3 3.4 (n − 1)n n n- Bài 33: Chứng minh: D = + + + + < (n ∈ N, n ≥ 2) 2! 3! 4! n! − 3− n− n HD: D = + + + = − + − + + − 2! 3! n! 2! 2! 3! 3! n! n! 1 1 1 = − + − + + − = 1− (n ∈ N, n ≥ 2) − − − Bài 43: Chứng minh: A = − 12 20 n(n + 1) (n − 1)(n + 2) n+ HD: Nhận xét: − = Thay vào rút gọn: A = > n 3 n(n + 1) n(n + 1) 1 1 Bài 44: Chứng minh: + + + < ( ∀n ∈ N* ) 13 n + (n + 1) 1 11 HD: Sử dụng: = < − ⇒ đpcm 2 n + (n + 1) 2n + 2n + n n + 1 1 1 Bài 45: Chứng minh: + + + + < ( ∀n ∈ N* ) 1.3 1.2.4 1.2.3.5 1.2.3 n(n + 2) 2! n+ n + 2− HD: Sử dụng: A = = = 1.2.3 n(n + 2) 1.2.3 n(n + 1)(n + 2) 1.2.3 n(n + 1)(n + 2) 1 1 = − = − ⇒ đpcm 1.2.3 n(n + 1) 1.2.3 n(n + 1)(n + 2) (k + 1)! (k + 2)! 1 Bài 46: Chứng minh: + + + < 2 n +1 n +2 n + 2005 1 HD: Sử dụng: < = (k = 1, 2, , 2005) ⇒ đpcm n n2 + k n2 Bài 39: Chứng minh: B = Bài 47: Chứng minh: HD: (n + 1) n = + ( n + 1+ + + (n + 1) n n )( n + − (n + 1) n n) < , ∀n ∈ N* n + 1.( n + − (n + 1) n n) = − n n + Trang ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS DeThiMau.vn CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1 Bài 48: Chứng minh: S = 2. + 3(1 + 2) 5( + HD: Với n ≥ 1: (2n + 1)( n + n + 1) = 3) 2( n + − + + n) < 4011( 2005 + 2( n + − n) 2005 < 2006) 2007 = − n(n + 1) n n+ 4n + 4n + 2 n ⇒ S < 1− Cho n = 2005 < 1− = 1− = n+ n+ 4n + n + 4n + Bài 49: Cho số A gồm 2007 số hạng sau: 22 23 24 22007 Hãy so sánh A với + + + + + A= 2 2006 2007 + 2007 + 2007 + 2007 + 1003 2007 +1 HD: Với số tự nhiên m, k lớn ta có: m m mk + m − mk + m 2m m m 2m − = = ⇒ = − k −1 k +1 k + k − k2 − k2 − k −1 22008 Suy ra: A = − < 2007 1003 2007 − 1003 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ Bài 50: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh: a) ab + bc + ac ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b) abc > (a – b + c)(a + c – b)(b + c – a) c) 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 > d) a2(b + c – a) + b2(c + a – b) + c2(a + b – c) ≥ 3abc HD: Biến đổi, đưa bất đẳng thức tam giác Bài 51: Cho a, b, c số dương Chứng minh: (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)c ≥ 6abc HD: Áp dụng bất đẳng thức: x2 + y2 ≥ 2xy ⇒ đpcm ab bc ac a+ b+ c + + ≤ Bài 52: Cho a, b, c số dương Chứng minh: a+ b b+ c a+ c xy x+ y HD: Áp dụng: (x + y)2 ≥ 4xy, chia hai vế cho số dương 4(x + y): Thay x, y ≤ x+ y cặp số (a, b), (b, c), (c, a) Cộng vế với vế bất đẳng thức ⇒ đpcm a b2 c2 c b a Bài 53: Chứng minh: + + ≥ + + b a c b c a a b b c c a HD: Áp dụng x2 + y2 ≥ 2xy Nhân vế với 2, làm tương tự với cặp , , , , , b c c a a b 2 1 + + ≤ + + Bài 54: Cho a, b, c > Chứng minh: a+ b b+ c a+ c a b c 1 HD: Áp dụng bổ đề: ≤ + cho cặp số (a, b), (b, c), (c, a) ⇒ đpcm x+ y x y Bài 55: Cho a, b, c > Chứng minh: 2(a3 + b3 + c3) ≥ a2(b + c) + b2(b + c) + c2(a + b) HD: Áp dụng bất đẳng thức: x3 + y3 ≥ xy(x + y) cho cặp giao hoán a, b, c ⇒ đpcm 2 25 Bài 56: Cho a, b > a + b = Chứng minh: a + + b + ≥ a b 2 1 1 + (1 + 4) (x + y) 1 25 ab 2 ≥ = với x = a + , y = b + ⇒ VT ≥ HD: Áp dụng: x + y ≥ 2 2 a b a + b 1 Cần ý ≥ ab ≤ = ab Trang ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS DeThiMau.vn CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1 1 Bài 57: Cho a, b > Chứng minh: ( a + b) + ≥ a b 1 HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a + b ≥ ab , + ≥ a b ab 1 1 Bài 58: ∀a, b, c > Chứng minh: (a + b + c) + + ≥ a b c HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số Làm tương tự Bài 59: Cho a, b, c > Chứng minh: (a + b)(b +c)(c + a) ≥ 8abc HD: Áp dụng Bất đẳng thức Côsi ⇒ suy đpcm bc ca ab + + ≥ a+ b+ c Bài 60: Cho a, b, c > Chứng minh: a b c HD: Viết lại Bất đẳng thức: a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc(a + b + c) Áp dụng Côsi ⇒ đpcm a b c + + ≥ b+ c a+ c b+ a HD: Biến đổi vế trái, Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số Ta được: a b c 1 1 +1 + +1 + +1 − = [(a+b) + (b+c) + (c+a) ] + + − ≥ a + b b + c c + a b + c a + c b + a 2 a2 b2 c2 a+ b+ c Bài 62: Cho a, b, c > Chứng minh: + + ≥ b+ c a+ c b+ a a2 b + c b a + c c a + b + + ≥ a + b + c ⇒ đpcm HD: Áp dụng Côsi: + + + b + c a + c b + a Bài 63: Cho a, b, c ≥ 0, a + b + c = Chứng minh: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤ 729 a + b + c 3 a + b + b + c + c + a 3 HD: Áp dụng Côsi: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤ = 729 abc Bài 64: Chứng minh: (p – a)(p – b)(p – c) ≤ (a, b, c độ dài cạnh tam giác, p nửa chu vi ) HD: Áp dụng Côsi cho cặp số: (p – a, p – b), (p – b, p – c), (p – c, p – a) ⇒ đpcm a + b2 ≥ 2 Bài 65: Cho a > b ab = chứng minh: a− b (a − b)2 + 2ab = (a − b) + ≥ 2 HD: Biến đổi vế trái, áp dụng bất đẳng thức Côsi: VT = a− b a− b Bài 66: Cho số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra: a) a + b < c + d (1) b) (a + b)(c + d) < ab + cd (2) c) (a + b)cd < (c + d)ab (3) (Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2005 – 2006) C1: Đặt A = c + d – a – b > 0, B = ab – ac – ad – bc – bd + cd > 0, C = abc + abd – acd – bcd > Xét phương trình P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = ⇔ x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + abcd = Phương trình P(x) = có hệ số dương, khơng thể có nghiệm dương Theo cách đặt phương trình P(x) = lại có nghiệm dương a b (vơ lí) ⇒ đpcm C2: Giả sử bất đẳng thức Từ (1) (2) ⇒ (a + b)2 < ab + cd (*) Từ (2) (3) ⇒ (a + b)2cd < (ab + cd)ab (**) Từ (*) ⇒ 4ab < ab + cd ⇒ cd > 3ab (4) Từ (**) ⇒ 4abcd < (ab + cd)ab ⇒ 4cd < ab + cd ⇒ ab < 3cd (5) Từ (4) (5) ⇒ đpcm Bài 61: Cho a, b, c > Chứng minh: Trang ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS DeThiMau.vn ... DeThiMau.vn CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1 1 Bài 57: Cho a, b > Chứng minh: ( a + b) + ≥ a b 1 HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi: a + b ≥ ab , + ≥ a b ab 1 1 Bài 58: ∀a, b, c > Chứng. .. N* ) 1.3 2.4 n(n + 2) Bài 16: Chứng minh: Trang ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS DeThiMau.vn CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HD: Làm tương tự Bài 28: Chứng minh: A = 1 1 + + + < ( ∀n ∈ N*... – A = − n < 2 2 2 100 Bài 38: Chứng minh: B = + + + + 100 < 2 2 Bài 35: Chứng minh: Trang ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS DeThiMau.vn CHUYÊN ĐỀ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HD: Làm tương tự 9,