Cách giải cho một số Hệ phương trình50507

Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net Trong ph n trư c ñã ñi xét m t s d ng h mà có đư ng l i gi i t ng quát Trong ph n ñi xét m t s h mà khơng có đư ng l i gi i t ng quát ð tìm l i gi i c a nh ng h Phương pháp th : N i dung c a phương pháp t m t phương trình ho c k t h p hai phương trình c a h ta bi u di n n qua n ho c m t bi u th c qua bi u th c khác th vào phương trình cịn l i chuy n v phương trình m t n (có th n ph ) M c đích c a vi c làm gi m s n Tùy thu c vào ñ c m c a tốn mà ta có nh ng cách bi n ñ i phù h p Trong phương pháp ta c n lưu ý m t s d u hi u sau • N u h phương trình có m t phương trình b c nh t đ i v i m t n ta rút n qua n th vào phương trình cịn l i chuy n v gi i phương trình m t n • V i hai s th c b t kì x ≠ 0; y ta ln có y = tx (t s th c c n tìm) V i cách làm ta s ñư c h v phương trình m t n t • Phương trình f (x; y) = f (y;x) ln có m t c p nghi m x = y (các b n th gi i thích sao?), ta ln phân tích phương trình cho v d ng: (x − y)g(x; y) = • Trong h phương trình n u bi u th c u(x) xu t hi n hai phương trình ta có th đ t t = u(x) đ làm đơn gi n hình th c tốn  x y = 16 Ví d 1: Gi i h phương trình:  3x + y = (1) (2) Gi i : Ta th y (2) m t phương trình b c nh t hai n nên ta rút n qua n T phương trình (2) ⇒ y = − 3x thay vào phương trình (1) ta ñư c: x (8 − 3x) = 16 ⇔ 3x − 8x + 16 = ⇔ (x − 2)2 (3x + 4x + 4) = ⇔ x = V y h có nghi m x = y = Chú ý : cách gi i ta th y h có nghi m nh t x = y = , đ!ng th i t hai phương trình ta có nh n xét x, y > phương trình (2) VT 3x + y , phương trình (1) có tích x y ði u g i cho liên tư ng ñ n BðT Cauchy Ta có cách gi i khác sau: Ta th y n u h có nghi m (x;y) x, y > Áp d ng bđt Cauchy ta có: 3x + y = x + x + x + y ≥ 4 x y = ð"ng th c x y ⇔ x = y = Th l i ta th y th#a mãn Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai ThuVienDeThi.com Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 (  y(1 + x ) = x + y  Ví d 2:Gi i h phương trình:   x + 3y = http://www.toanthpt.net ) (1) (2) Gi i: D th y phương trình (1) có c p nghi m x = y , ta bi n đ i phương trình (1) c a h th a s (x − y) x = y Ta có: (1) ⇔ x − y + xy(y − x) = ⇔ (x − y)(1 − xy) = ⇔  xy =  * x = y ⇒ 4x = ⇔ x = ± * x = ⇒ 3y − y + = phương trình vơ nghi m y V y nghi m c a h là: x = y = ± 1  (1) x − x = y − y Ví d 3: Gi i h phương trình:  2y = x + (2)  Gi i: xy ≠ x = y x−y = ⇔ (x − y)(1 + ) = ⇔  Ta có (1) ⇔ x − y + y = − xy xy  x * x = y thay vào (2), ta ñư c: −1 ± 1 * y = − thay vào (2), ta ñư c: x + x + = ⇔ (x − ) + (x + ) + = vô x 2 nghi m −1 ± V y h cho có ba c p nghi m: x = y = 1;x = y = x − 2x + = ⇔ (x − 1)(x + x − 1) = ⇔ x = 1;x = Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai ThuVienDeThi.com Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net  x + y = x + y Ví d 4: Gi i h phương trình sau:   x − y = x − y − 12 x + y ≥ Gi i: ðK:  x − y ≥  Ta th y m$i phương trình c a h phương trình m t n x + y x − y Do u mà nghĩ t i gi i t ng phương trình tìm x + y x − y , ta có đư c h phương trình m i ñơn gi n nhi u ð ñơn gi n v m t hình th c ta đ t a = x + y, b = x − y ⇒ a, b ≥ ta có h :  a = a a = V a = a = a ⇔ ⇔  3 b =   b = b − 12 b = (b − 12) a = x + y = x = *V i  ⇔ ⇔ b =  x − y =  y = −2  x =  a = x + y = *V i  ⇔ ⇔ b =  x − y =  y = −  V y nghi m c a h là: (x; y) = (2; −2), ( ; − ) 2  x + y − x − y = Ví d 4: Gi i h phương trình:   x + y + x − y = (1) (2) Gi i: ðK : x ≥| y | Vì (1) ch' ch a lũy th a b c đ i v i x,y cịn (2) ch a lũy th a b c ñ i v i x,y nên suy nghĩ ñ u tiên ta s bình phương hai v phương trình (1) đ ñưa v hai phương trình ñ!ng b c T (1) ⇒ x + y > x − y ⇒ y > 2≤x≤6 x − x − y2 =  x − y = x −    H ⇔ ⇔ ⇔  x − y = (2 − x)2  x + y = − x − y  x + y = − x  2  x + y = (6 − x) Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai ThuVienDeThi.com Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net 2 ≤ x ≤ 2 ≤ x ≤    x = 2 2 ⇔ 2x = (2 − x) + (6 − x) ⇔ 2x = 40 − 16x + 2x ⇔    y = 2   x + y = (6 − x)  y = 36 − 12x V y nghi m c a h ñã cho là: ( ; 6)  x + + y(y + x) = 4y Ví d 6: Gi i h phương trình:  (x + 1)(y + x − 2) = y Gi i: ð t a = x + y t (1) ⇒ x + = y(4 − a) th vào (2), ta có: (1) (2) y(4 − a)(a − 2) = y ⇔ y(a − 6a + 9) = ⇔ y = 0; a = * V i y = thay vào (1) ta th y h vô nghi m * V i a = ⇔ x + y = thay vào h ta có: x = ⇒ y = x2 + = y = − x ⇔ x2 + x − = ⇔  x = − ⇒ y =  V y h cho có hai c p nghi m: (x; y) = (1;2), (−2;5)  x − 8x = y3 + 2y (1) Ví d 7: Gi i h phương trình:  2 x − = 3(y + 1) (2)  Gi i: Cách 1: T (2) ⇒ x = 3(y + 2) (3) thay vào (1) ta ñư c : x = x2 2 ⇔ x(3x − xy − 24) = ⇔  x − 8x = y(y + 2) = y 3x − 24  y=  x * V i x = thay vào (3) ta có: y + = vô nghi m  3x − 24  3x − 24 *V i y= thay vào (3) ta ñư c: x =   + x x    x = ±3 ⇒ y = ±1 x2 = ⇔ 13x − 213x + 864 = ⇔  96 ⇔   x = ± 96 ⇒ y = ∓ 78 x =   13 13 13 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai ThuVienDeThi.com Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net 96 78 ;∓ ) 14 13 Cách 2: Ta th y x = không nghi m c a h nên ta đ t y = tx Khi h tr thành V y h có b n c p nghi m: (x; y) = (±3; ±1), (±  x − 8x = t x + 2tx  x (1 − t ) = 2t + − t3 t + ⇔ ⇒ =  2 2 2 − 3t x − = 3(t x + 1) x (1 − 3t ) =    t = 3 2 ⇔ 3(1 − t ) = (t + 4)(1 − 3t ) ⇔ 12t − t − = ⇔  t = −  2  x (1 − 3t ) =  x = ±3  * t= ⇒ ⇔ x y = ± y =    78 x=±   13 * t=− ⇒  78  y = ∓ 13 | x − 2x | + y = Ví d 8: Gi i h phương trình:   x + | y |= (1) (2) Gi i: T (2) ⇒ −1 ≤ x, y ≤ Ta xét trư ng h p sau * y ≥ ⇒ (1) ⇔ x + y = ⇔ y = − x thay vào (2) ta ñư c: | x − 2x | +1 − x = ⇔| x − 2x |= x ⇔ x (x − 2)2 = x ⇔ x (−4x + 4) = x = ⇒ y = ⇔ x = ⇒ y = * y < ⇒ (1) ⇔ y = x − thay vào (2) ta có: | x − 2x | + x − = ⇔| x − 2x |= − x ⇔ x − 2x + = ⇔ (x − 1)(x − x − 1) = x = ⇔ x = − ⇒ y = −  2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai ThuVienDeThi.com Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 V y h có ba c p nghi m (x; y) = (0;1), (1;0), ( http://www.toanthpt.net 1− 1− ; ) 2 2xy  2 x + y + x + y = Ví d 9: Gi i h phương trình:   x + y = x2 − y  (1) (2) Gi i: ðK : x + y > Ta có: (1) ⇔ x + y + (x + y)2 − (x + y ) −1= x+y (x + y )(x + y) − (x + y ) x + y2 ⇔ + x + y − = ⇔ (x + y − 1)( + 1) = x+y x+y x + y2 ⇔ x + y − = ⇔ y = − x ( Do > ) Thay vào (2), ta ñư c: x+y x = ⇒ y = x − (1 − x) = ⇔ x + x − = ⇔  x = − ⇒ y =  V y h có hai c p nghi m: (x; y) = (1;0), (−2;3)  7x + y + 2x + y = Ví d 10: Gi i h phương trình:  (HSG Qu c Gia – 2001)  2x + y + x − y = Gi i: 8x + t = (3 − t)  7x + y = − t  Cách 1: ð t t = y − x ⇔ y = x + t ta có h :  ⇔ 3x + t = (2 + t) −2 ≤ t ≤  2x + y = + t  3t − 8t = 3(3 − t) − 8(2 + t)2  t + 9t + = −9 + 77 ⇒ ⇔ ⇔t= −2 ≤ t ≤ −2 ≤ t ≤  (t + 2) − t x = = 10 − 77   nghi m c a h ñã cho ⇒ − 11 77 y = t + x =  Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai ThuVienDeThi.com Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net u + v = Cách 2: ð t u = 7x + y, v = 2x + y H tr thành:  v = + y − x  5−x (Do u + v = ) M t khác u − v = 5x ⇒ (u − v)(u + v) = 5x ⇒ u − v = x ⇒ v = 5−x 1+ x 1+ x − x T ⇒ =2+ y−x⇒y= thay vào h ta có đư c: 2x + = 2 2  x ≤  x ≤ 11 − 77 ⇔ x = 10 − 77 ⇒ y = ⇔ ⇔  2 10x + = (5 − x)  x − 20x + 23 =  x = 10 − 77  Thay vào h ta th y th#a mãn V y h cho có nghi m  11 − 77 = y    3x (1 )=2 +  x+y (HSG Qu c Gia – 1996 ) Ví d 11: Gi i h phương trình:   7y(1 − )=4  x+y Gi i: ðK : x, y ≥ Vì x=0 hay y=0 khơng nghi m c a h nên ta có:  +  x+y=  H ⇔ 1 − =  x + y  2 + 1 = 3x 7y  ⇔  = −2 x + y 7y 3x 7y  3x (1) Nhân (1) v i (2) ta ñư c: (2) 1 2 2 )( )= =( − − − ⇔ 21xy = (x + y)(7y − 24x) x+y 3x 7y 3x 7y 3x 7y ⇔ 24x + 38xy − 7y = ⇔ (6x − y)(4x + 7y) = ⇔ y = 6x (Do x, y > ) 11 + 22 + + ⇔x= ⇒ y = 6x = 21 3x 7x Th l i h ta th y th#a mãn  11 + x =  21 V y h có c p nghi m nh t  22 + y =  Thay vào (1) ta có: = Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai ThuVienDeThi.com Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507  x + 3xy = −49 Ví d 12: Gi i h phương trình:  2  x − 8xy + y = 8y − 17x http://www.toanthpt.net (1) (HSG QG – 2004 ) (2) Gi i: Cách 1: Ta th y x = không ph i nghi m c a h nên x + 49 T (1) ⇒ y = − (*) th vào phương trình (2) ta đư c: 3x x + 49 x − 8xy − = 8y − 17 ⇔ 24y(x + x) = 2x + 51x − 49 3x  x = −1 2 ⇔ 24xy(x + 1) = (x + 1)(2x + 49x − 49) ⇔   y = 2x + 49x − 49  24x * x = −1 th vào (*) ⇒ y = ±4 2x + 49x − 49 th vào (*), ta có: * y= 24x x + 49  2x + 49x − 49  2 − =   ⇔ −192x(x + 49) = (2x + 49x − 49) 3x 24x   Bi n ñ i rút g)n ta ñư c: 4x + 4x + 45x + 94x + 49 = ⇔ (x + 1)2 (4x − 4x + 49) = ⇔ x = −1 V y h có hai c p nghi m: (x; y) = (−1; ±4) Cách 2: Nhân phương trình (2) v i r!i c ng v i (1) theo t ng v ta ñư c: x + 3x + 3xy − 24xy + 3y = 24y − 51x − 49 ⇔ x + 3x + 3x + + 3y (x + 1) − 24y(x + 1) + 48(x + 1) = ( ) ⇔ (x + 1) (x + 1) + 3y − 24y + 48 = ⇔ x = −1 Th x = −1 vào phương trình (1) ta có: y = 16 ⇔ y = ±4 V y h có hai c p nghi m (x; y) = (−1; ±2) Cách 3: Vì x = không nghi m c a h nên ta ñ t y = tx Khi ñó h tr thành: Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai ThuVienDeThi.com Nguy n T t Thu 0918927276 or 01699257507 http://www.toanthpt.net −49 −49 −49  x = = =  2  x (1 + 3t ) = −49 + 3t 49 + 3(t − 16) 49 + 3a  ⇔  2 8t − 17 b  x (1 − 8t + t ) = x(8t − 17)  x = 8t − 17 = =  t − 8t + (t − 16) − (8t − 17) a − b (Trong ta đ t: a = t − 16; b = 8t − 17 ) ⇒ ( ) b3 −49 = ⇔ 49 b3 + (a − b)3 + 3a = 49 + 3a (a − b) ( ) ⇔ a  49 b − b(a − b) + (a − b) + 3 = ⇔ a = ⇔ t = 16   Th t = 16 vào h ⇒ x = −1 ⇒ y = ±4 Bài t p: Gi i h phương trình sau:  x − y = x − y  x − y = x − y  2x + y + − x + y = 2)  1)  3)  3x + 2y =  x + y = x + y +  x + − − y = − 2x 1 x   x  x y = 16 x − x = y − y ( y ) + ( y ) = 12 7)  5)  6)  3x + y = 2y = x + (xy)2 + xy =    x  2x 2y  x+ y + x− y =2  x + y2 + y = + =    8)  y 9)  10)  x  y + x − y − x =  x − y + xy = x + x + =   y y 85  4xy + 4(x + y ) + = 2   x − xy + y = 3(x − y) (x + y)  12)  11)  2  x + xy + y = 7(x − y) 2x + = 13  x+y x + y2 =  x + y + xy =  x + y3 − xy =  14)  15)  13)  3 3 4 3x − y = x + y = x + 3y 4x + y = 4x + y   x + y   x + y + x + y − = 16)  2 2x + xy − y − 5x + y + = Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai ThuVienDeThi.com ... Ví d 4: Gi i h phương trình sau:   x − y = x − y − 12 x + y ≥ Gi i: ðK:  x − y ≥  Ta th y m$i phương trình c a h phương trình m t n x + y x − y Do u mà nghĩ t i gi i t ng phương trình... y(1 + x ) = x + y  Ví d 2:Gi i h phương trình:   x + 3y = http://www.toanthpt.net ) (1) (2) Gi i: D th y phương trình (1) có c p nghi m x = y , ta bi n đ i phương trình (1) c a h th a s (x... h phương trình:   x + y + x − y = (1) (2) Gi i: ðK : x ≥| y | Vì (1) ch' ch a lũy th a b c đ i v i x,y cịn (2) ch a lũy th a b c ñ i v i x,y nên suy nghĩ ñ u tiên ta s bình phương hai v phương