THI TH K THI THPT QU C GIA 2015 Mơn thi: TỐN Th i gian làm bài: 180 phút, khơng k th i gian phát đ TR NG THPT CHUYÊN H NG YÊN BAN CHUYÊN MÔN Câu 1 (2,0 đi m). Cho hàm s y = x + 3mx 2 + 2 (1), v i m là tham s th c. a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1. b) Tìm m đ đ th hàm s (1) có hai đi m c c tr A, B sao cho di n tích tam giác OAB b ng 2 (O là g c t a đ ). Câu 2 (1,0 đi m). Gi i b t ph ( ) ( ) ng trình log x + ≥ log x +1 − − log 2 2 x 2 Câu 3 (1,0 đi m). a) G i A, B là hai đi m bi u di n cho các s ph c là nghi m c a ph ng trình z 2 + z + = 0 . Tính đ dài đo n th ng AB. b) Trong kì thi THPT Qu c gia n m 2015, m i thí sinh có th d thi t i đa 8 mơn: Tốn, Lý, Hóa, Sinh, V n, S , a và Ti ng anh. M t tr ng i h c d ki n tuy n sinh d a vào t ng đi m c a 3 mơn trong kì thi chung và có ít nh t 1 trong hai mơn là Tốn ho c V n. H i tr có bao nhiêu ph ng i h c đó ng án tuy n sinh? π 2 sin x Câu 4 (1,0 đi m). Tính tích phân I = ∫ dx cos x + 3cos x + 2 0 Câu 5 (1,0 m). Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho hai m A ( 4; 2; ) , B ( 0;0;7 ) và đ ng th ng d : x − y − z − 1 = = Ch ng minh r ng hai đ − 2 1 m t ph ng. Tìm đi m C thu c đ ng th ng d và AB cùng thu c m t ng th ng d sao cho tam giác ABC cân đ nh A. Câu 6 (1,0 m). Cho l ng tr đ ng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân, AB = AC = a , · = 120 0 M t ph ng (AB'C') t o v i m t đáy góc 60 0 . Tính th tích l ng tr ABC.A'B'C' và BAC kho ng cách t đ ng th ng BC đ n m t ph ng ( AB ' C ' ) theo a hoctoancapba.com Câu 7 (1,0 đi m). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình vng ABCD có A ( − 1; 2 ) . G i M, N l n l t là trung đi m c a c nh AD và DC; K là giao đi m c a BN v i CM. Vi t ph ng trình đ ng trịn ngo i ti p tam giác BMK, bi t BN có ph ng trình x + y − = 0 và đi m B có hồnh đ l n h n 2. (1 − y ) x + y 2 = x + y + 3 xy Câu 8 (1,0 đi m). Gi i h ph ng trình ( x, y ∈ ℝ ) y + + x + y 2 = 2 y − x Câu 9 (1,0 m). Cho x, y, z là các s th c d ng th a mãn x + y + z 2 = ( xy + 2 yz + zx ) ( Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P = ) x 1 − 2 y + z ( x + y + z ) 3 H t C m n b n MathLove(lovemaths.@yahoo.com.vn) đã g i t i www.laisac.page.tl ThuVienDeThi.com ÁP ÁN Câu 1 N i dung a) Kh o sát hàm s y = x + 3mx + 2 V i m = 1, ta có hàm s : y = x 3 + 3x 2 + 2 *) TX : ℝ *) S bi n thiên: +) Gi i h n t i vô c c: lim y = ±∞ i m 2 0,25 x →±∞ +) Chi u bi n thiên: y' = 3x 2 + 6x ⇒ y' = 0 ⇔ x = 0 ho c x = 2 B ng bi n thiên: x ∞ 2 y ’ + 0 0 0 +∞ + 0,25 6 +∞ y 2 ∞ ⇒ hàm s đ ng bi n trên (∞; 2) và (0; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (2; 0) hàm s đ t c c đ i t i x = 2, yC = 6; hàm s đ t c c ti u t i x = 0, yCT = 2 *) th : Nh n xét: đ th hàm s nh n đi m I(1; 4) làm tâm đ i x ng. 0,25 6 4 0,25 2 5 2 b) Tìm m đ đ th hàm s (1) có hai đi m c c tr A, B sao cho di n tích tam giác OAB b ng 2 V i m i x ∈ ℝ , y' = 3x 2 + 6mx ⇒ y' = 0 ⇔ x = 0 ho c x = 2m hàm s có c c đ i, c c ti u thì ph ng trình y' = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ m ≠ 0 Khi đó, t a đ các đi m c c tr là: A(0; 2); B(2m; 4m 3 + 2) m = 1 SOAB = 1 ⇔ OA.d(B;OA) = 4 ⇔ −2m = 2 ⇔ (th a mãn) m = −1 V y v i m = ± 1 thì hàm s có 2 c c tr th a mãn bài. log x + ≥ log x +1 − − log 2 2 x ( ) ( 0,5 0,5 ) 2 0,5 ThuVienDeThi.com ⇔ log ( x + ) ≥ log ( x +1 − 3) + log 1 2 x 2 2 x ⇔ log ( x + ) ≥ log 1 ( 22 x +1 − 3.2 x ) 2 0,5 ⇔ x + ≤ 2 x +1 − 3.2 ⇔ x − 3.2 x − ≥ 0 x ≤ −1 ( L ) ⇔ x ⇔ x ≥ 2 2 ≥ 4 V y BPT có t p nghi m: S = [ 2; +∞ ) 3 a) Xét ph ng trình: z 2 + z + = 0 ( ) D' = 1 3 = 2 = i 2 2 ng trình có hai nghi m: z1 = −1 + i 2; z2 = −1 − i 2 Ph ( ) ( ) 0,25 ⇒ A −1; ; B −1; − 2 0,25 AB = 2 b) TH1: Tr ng H ch xét 1 trong 2 mơn Tốn ho c V n: Có: 2.C6 2 = 30 (cách) TH2: Tr ng H xét c hai mơn Tốn và V n: Có: 1.C6 1 = 6 (cách) V y có các tr 4 ng h p là: 30 + 6 = 36 (cách) π 0,25 0,25 π 2 sin x sin x dx = ∫ dx 2 + + + + cos 3cos 2cos 3cos 1 x x x x 0 I=∫ 0,25 t cosx = t ⇒ dt = sinxdx V i x = 0 ⇒ t = 1; v i x = 1 π ⇒ t = 0 1 dt dt 1 =∫ = 2 ∫ − dt 2 t t t t t t + + + + + + 1 2 2 ( )( ) 0 0 I =∫ 0,25 1 3 2t + = ln = ln 2 2t + 0 0,5 ThuVienDeThi.com 5 r ng u ( −2; 2;1 ) và đi qua M(3;6;1) uuur ng th ng AB có véct ch ph ng AB ( −4; −2;5 ) uuuur AM ( −1; 4; −1 ) r uuur r uuur uuuur Ta có: u, AB = (12;6;12 ) ⇒ u , AB AM = −12 + 24 − 12 = 0 ng th ng d có véct ch ph 0,5 V y AB và d đ ng ph ng C ∈ d ⇒ C ( − 2t ;6 + 2t ;1 + t ) Tam giác ABC cân t i A ⇔ AB = AC ⇔ (1 + 2t) 2 + (4 + 2t) 2 + (1 t) 2 = 45 ⇔ 9t 2 + 18t 27 = 0 ⇔ t = 1 ho c t = 3 0,5 V y C(1; 8; 2) ho c C(9; 0; 2) 6 B C A H K B' C' A' + Xác đ nh góc gi a (AB'C') và m t đáy là · AKA ' ⇒ · AKA ' = 60 0 . a 3 a 1 Tính A'K = A ' C ' = ⇒ AA ' = A ' K tan 60 0 = 2 2 3 3 a VABC A ' B ' C ' =AA'.S ABC = hoctoancapba.com 8 0,5 +) d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C')) Ch ng minh: (AA'K) ⊥ (AB'C') Trong m t ph ng (AA'K) d ng A'H vng góc v i AK ⇒ A'H ⊥ (AB'C') ⇒ d(A';(AB'C')) = A'H a Tính: A'H = 4 a V y d(B;(AB'C')) = 4 0,5 ThuVienDeThi.com 7 G i E = BN ∩ AD ⇒ D là trung đi m c a AE D ng AH ⊥ BN t i H ⇒ AH = d ( A; BN ) = A 8 1 5 = + = Trong tam giác vuông ABE: 2 AH AB AE 4AB2 5.AH ⇒ AB = = 4 B H M 0,25 K D N C E B ∈ BN ⇒ B(b; 8 2b) (b > 2) AB = 4 ⇒ B(3; 2) 0,25 Ph ng trình AE: x + 1 = 0 E = AE ∩ BN ⇒ E(1; 10) ⇒ D(1; 6) ⇒ M(1; 4) G i I là tâm c a (BKM) ⇒ I là trung đi m c a BM ⇒ I(1; 3) R= BM = 5 . V y ph ng trình đ ng trịn: (x 1) 2 + (y 3) 2 = 5. 0,25 0,25 (1 − y ) x + y 2 = x + y + xy (1 ) y + + x + y 2 = − x + y ( 2 ) K: y ≥ 1 Xét (1): (1 − y ) x + y 2 = x + y + 3 xy t Ph x + y 2 = t ( t ≥ 0 ) 0,5 ng trình (1) tr thành: t + (1 − y ) t − x − y − x − y − xy = 0 2 2 D = (1 y) 2 + 4(x 2 + 2y 2 + x + 2y + 3xy) = (2x + 3y + 1) 2 2 t = − x − y − 1 x + y = − x − y − 1 ⇒ ⇔ x + y 2 = x + 2 y t = x + 2 y V i x + y 2 = − x − y − 1 , thay vào (2) ta có: 1 y ≥ − ⇔ y = 0 y +1 = 3y + ⇔ 3 2 9 y + y = 0 ⇒ x 2 = − x − 1 (vô nghi m) ThuVienDeThi.com 0,25 −1 − 5 x = y + = −2 x 4 V i x + y 2 = x + 2 y , ta có h : ⇔ 2 x + y = x + 2 y y = + 5 2 −1 − + 5 V y h ph ng trình có nghi m ( x; y ) = ; 2 9 0,25 T đi u ki n: 5x 2 + 5(y 2 + z 2 ) = 9x(y + z) + 18yz hoctoancapba.com ⇔ 5x 2 9x(y + z) = 18yz 5(y 2 + z 2 ) 1 2 Áp d ng B T Cơsi ta có: yz ≤ ( y + z ) ;y + z 2 ≥ ( y + z ) ⇒ 18yz 5(y 2 + z 2 ) ≤ 2(y + z) 2 . Do đó: 5x 2 9x(y + z) ≤ 2(y + z) 2 ⇔ [x 2(y + z)](5x + y + z) ≤ 0 ⇒ x ≤ 2(y + z) x 2x 1 − ≤ − ≤ − P = 3 3 2 y + z (x + y + z) ( y + z ) ( x + y + z ) y + z 27 ( y + z ) t y + z = t > 0, ta có: P ≤ 4t 1 3 t 27 Xét hàm ⇒ P ≤ 16. 1 y = z = 12 V y MaxP = 16 khi x = 1 C m n b n MathLove(lovemaths.@yahoo.com.vn) đã g i t i www.laisac.page.tl ThuVienDeThi.com ... *) TX : ℝ *) S bi n? ?thi? ?n: +) Gi i h n t i vô c c: lim y = ±∞ i m 2 0,25 x →±∞ +) Chi u bi n? ?thi? ?n: y' = 3x 2 + 6x ⇒ y' = 0 ⇔ x = 0 ho c x = 2 B ng bi n? ?thi? ?n: x ∞ 2 y ’ ... có 2 c c tr th a mãn bài. log x + ≥ log x +1 − − log 2 2 x ( ) ( 0,5 0,5 ) 2 0,5 ThuVienDeThi.com ⇔ log ( x + ) ≥ log ( x +1 − 3) + log 1 2 x 2 2 x ⇔ log ( x + ) ≥ log 1 ( 22 x +1 ... + 1 2 2 ( )( ) 0 0 I =∫ 0,25 1 3 2t + = ln = ln 2 2t + 0 0,5 ThuVienDeThi.com 5 r ng u ( −2; 2;1 ) và đi qua M(3;6;1) uuur ng th ng AB có véct ch ph ng AB ( −4;