SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 - LẦN THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu MƠN: TỐN Đề thức (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x + (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số (1) b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x ( x − 2) + = m có nghiệm phân biệt Câu (1,0 điểm) 3π + cot α sin α = − ⋅ Tính A = ⋅ − cot α b) Cho số phức z thỏa mãn 3( z + 1) = z + i(7 − i) Tính mơđun số phức z a) Cho góc α thỏa mãn π < α < Câu (0,5 điểm) Giải phương trình 22+ x − 22− x = 15 4 x = x + + 1 ( x − y + y − 2) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ⋅ ( x + y )2 + 2014 y + 2015 = x + 4030 y e Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x x + ln x dx ( ) Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = 3a, BC = 5a; mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Biết SA = 2a SAC = 30o Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có D(5; 4) Đường trung trực đoạn DC có phương trình d1 : 2x + y − = đường phân giác góc BAC tam giác ABC có phương trình d : x + y + 10 = Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành Câu (1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(–1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) x = −t đường thẳng d : y = + t , t ∈ ℝ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm tọa độ giao điểm d với z = − t mặt phẳng (ABC) Câu (0,5 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cnn + Cnn−1 + An2 = 821 Tìm hệ số x31 khai triển Niu-tơn x + n ( x ≠ 0) x2 Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 4x2 + x + y2 + x y − + ⋅ y x +1 y +1 Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: C P T T phamtrongthu@gmail.com) đã chia s đ n www.laisac.page.tl ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN KỲ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015 MƠN: Tốn – Khối A; A1; B; D1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI (HDC gồm 04 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Điểm tồn tính đến 0,25 điểm (sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả) II) Đáp án thang điểm: Câu Đáp án Điểm Cho hàm số y = x − x + (1) a)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số (1) i Tập xác định ℝ i Chiều biến thiên: - Ta có y′ = x( x − 1); y′ = ⇔ x = x = ±1 0.25 - Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; − 1) (0;1) - Hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) (1; +∞) i Cực trị: - Hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = y( ±1) = - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCÑ = y (0) = i Các giới hạn vô cực: lim y = +∞; lim y = +∞ x→−∞ 0.25 x →+∞ Bảng biến thiên x y' −1 −∞ − 0 0 + +∞ − +∞ + +∞ 0.25 y Câu (2 điểm) 3 Đồ thị hàm số : Đồ thị qua điểm A − ; 31 , B( − 2; 12), C (2; 12) 9 y 0.25 −1 O x b) Tìm giá trị tham số m để phương trình x ( x − 2) + = m có nghiệm phân biệt 0.25 Ta có x ( x − 2) + = m ⇔ x − x + = m ⇔ x − x + = m + (*) Số nghiệm PT(*) số giao điểm đường thẳng d : y = m + với đồ thị 0.25 (C ) Dựa vào đồ thị (C ), để PT cho có nghiệm thì: m + > m + = Hay m > m = Vậy PT cho có nghiệm m > m = Câu (1 điểm) a) Cho góc α thỏa mãn π < α < 3π + cot α sin α = − ⋅ Tính A = ⋅ − cot α ThuVienDeThi.com 0.25 0.25 16 3π ) = ⇒ cos α = − (do π < α < 25 25 − − sin α + cos α Từ có A = = 5 = sin α − cos α − + 5 b) Cho số phức z thỏa mãn 3( z + 1) = z + i (7 − i ) Tính mơđun số phức z Ta có cos α = − sin α = − Đặt z = a + bi (a, b ∈ ℝ ) Khi 3( z + 1) = z + i (7 − i ) ⇔ 3(a + bi + 1) = 4(a − bi ) + + 7i ⇔ a − + 7(1 − b)i = a = ⇔ ⇒ z = b = 0.25 0.25 0.25 0.25 Giải phương trình 22+ x − 22− x = 15 = 15 2x Đặt t = x (t > 0) ta 4t − 15t − = ⇔ t = − (loại) t = 4 PT viết lại 4.2 x − Câu (0,5 điểm) 0.25 i Với t = x = 22 ⇔ x = Vậy PT cho có nghiệm x = 0.25 (1) 4 x = x + + 1 ( x − y + y − 2) ⋅ ( x + y )2 + 2014 y + 2015 = x + 4030 y (2) Giải hệ phương trình Từ PT(2), ta có ( x + y ) − ( x + y ) = −2015( y − 1) ≤ ⇒ ≤ x + y ≤ Do x ≤ 1; y ≤ Câu (1 điểm) i Nếu x + − = ⇔ x = 0, thay vào HPT, ta − y + y − = −( y − 1)2 ( y + 2) = ⇔ ⇔ y = (do y ≤ 1) 4 y + 2014 y + 2015 = 4030 y y + 2014 y + 2015 = 4030 y Như ( x; y ) = (0;1) nghiệm HPT cho i Nếu x + − ≠ ⇔ x ≠ 0, nhân hai vế PT(1) với 0.25 0.25 x + − , ta (1) ⇔ x x + − 1 = x ( x − y + y − 2) ⇔ x + − 1 = x − y + y − ⇔ x + − x + + = y − y + ⇔ x + − 1 x + − = ( y + 2)( y − 1) (3) 0.25 Với x ≠ 0; x ≤ 1; y ≤ 1, ta có x + − > 0; x + − < 0;( y + 2)( y − 1) ≥ x + − < ≤ ( y + 2)( y − 1) , từ PT(3) vơ nghiệm Nên x + − 1 Đối chiếu với điều kiện ta thấy ( x; y) = (0;1) nghiệm HPT cho Câu (1 điểm) e 0.25 Tính tích phân I = ∫ x x + ln x dx ( ) e Ta có I = ∫ e x ln xdx = e − 1 + x ln xdx e x dx + ∫ ∫ 0.25 e Tính I1 = ∫ x ln xdx 0.25 ThuVienDeThi.com du = x dx u = ln x Đặt ⇒ ⋅ x2 dv = xdx v= e e x2 e2 ⇒ I1 = ln x − xdx = + 4 1 21 ∫ 0.25 Vậy I = 8e + e − ⋅ 4 0.25 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = 3a, BC = 5a; mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Biết SA = 2a SAC = 30o Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) i Kẻ SH ⊥ AC ( H ∈ AC ) S Do ( SAC ) ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ ( ABC ) 2a Ta có SH = SA.sin SAC = 2a = a 0.25 30 o H A K C D 3a 5a Câu (1 điểm) B Thể tích khối chóp S ABC 1 VS ABC = S ABC SH = AB AC.SH = ⋅ 3a.4a.a = 2a3 3 6 i Kẻ HD ⊥ BC ( D ∈ BC ), HK ⊥ SD ( K ∈ SD ) Khi HK = d ( H ;( SBC )) 0.25 = 3a nên AC = HC ⇒ d ( A;( SBC )) = 4d ( H ;( SBC )) = HK 0.25 Vì AH = SA.cos SAC = 2a Ta có HD AB 3a = ⇒ HD = ⋅ HC BC Từ d ( A;( SBC )) = HK = Câu (1 điểm) 3a = 6a ⋅ = 2 9a SH + HD 3a + 25 SH HD 4a 0.25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có D(5; 4) Đường trung trực đoạn DC có phương trình d1 : 2x + y − = đường phân giác góc BAC tam giác ABC có phương trình d : x + y + 10 = Xác định tọa độ đỉnh cịn lại hình bình hành Gọi M trung điểm DC , M ∈ d1 nên M (3m + 3; − 2m + 1), m ∈ ℝ Ta có u1.DM = (*), với u1 = (−3; 2) vectơ phương (VTCP) d1 DM = (3m − 2; − 2m − 3) Nên (*) ⇔ −3(3m − 2) + 2(−2m − 3) = ⇔ m = Vậy M (3; 1) , suy C (1; − 2) 0.25 Củng theo giả thiết A ∈ d nên A(a; − 10 − 5a), a ∈ ℝ xB − a = −4 x = a − ⇔ B yB + 10 + 5a = −6 yB = −16 − 5a Mặt khác ABCD HBH nên AB = DC ⇔ ThuVienDeThi.com 0.25 ⇒ B(a − 4; − 16 − 5a ) Vì DA DC không phương nên a − −14 − 5a ≠ ⇔ a ≠ −1 −4 −6 Đường thẳng d phân giác góc BAC nhận u2 = (−1; 5) VTCP nên ( ) ( ) cos AB; u2 = cos AC ; u2 ⇔ ⇔ (−4)(−1) + (−6)5 (−4) + ( −6) = AB.u2 AC.u2 = AB u2 AC u2 (1 − a)(−1) + (8 + 5a)5 2 (1 − a) + (8 + 5a) ⇔− 0.25 26 26a + 39 = 52 (1 − a )2 + (8 + 5a ) ⇔ a = −2 (thỏa mãn) Vậy A(−2; 0), B(−6; − 6) 0.25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(–1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4) x = −t đường thẳng d : y = + t , t ∈ ℝ Viết phương trình mặt phẳng (ABC) tìm tọa độ giao z = − t điểm d với mặt phẳng (ABC) Ta có AB = (1; 0; −1); AC = (2; −1; 2); AB, AC = ( −1; − 4; − 1) Câu (1 điểm) Mặt phẳng (ABC) nhận vectơ n = AB, AC làm vectơ pháp tuyến 0.25 0.25 Suy (ABC) : x + 4(y − 1) + z − = hay x + y + z − = x = −t Tọa độ giao điểm I d mp(ABC) nghiệm hệ y = + t z = − t x + y + z − = ⇒ −t + 4(2 + t ) + − t − = ⇒ t = −3 ⇒ I (3; − 1; 6) 0.25 0.25 Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện Cnn + Cnn−1 + An2 = 821 Tìm hệ số x31 khai triển Niu-tơn x + n ( x ≠ 0) x2 Điều kiện n ≥ 2, n ∈ ℕ Câu (0,5 điểm) 2 ⇔ n + n − 1640 = ⇒ n = 40 Theo giả thiết Cnn + Cnn −1 + A 2n = 821 ⇔ + n + Ta có x + x2 40 n(n − 1) = 821 0.25 k 40 =∑ ⋅ = ∑ C k40 x 40 −3k x2 k =0 k =0 u cầu tốn 40 − 3k = 31 ⇔ k = 40 C k40 x 40 − k 0.25 Vậy hệ số x 31 C340 = 9880 Câu 10 (1 điểm) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + x + y2 + i Gọi M = x + x x y − + ⋅ y x +1 y +1 + y2 + y2 Ta có 2 2 1 2y + = x + y + + (Theo Cauchy-Schwarz) 2x + + x y x y 5 5 5 ≥ − xy (Theo BĐT AM-GM) xy + = xy + 5 5 xy xy M≥ ThuVienDeThi.com 0.25 3 xy ⋅ − = (do giả thiết) xy Suy M ≥ (1) x y + ⋅ i Gọi N = x +1 y +1 4x 4y x y x y + ≤ + = + Ta có N = x + y + 4x + y + x + + y + + 4 4 4 4x 4y 4 Hơn nữa: + = − 3 + = − 3⋅ = ⋅ ≤ 2−3 4x + y + 4x + y + 10 4x + y + Do − N ≥ − (2) Từ (1) (2) suy P ≥ − ⋅ 4 Khi x = y = P = − ⋅ Vậy MinP = − ⋅ 5 ≥ 0.25 0.25 0.25 -Hết -C P T T phamtrongthu@gmail.com) đã chia s đ n www.laisac.page.tl ThuVienDeThi.com ... KỲ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2015 MƠN: Tốn – Khối A; A1; B; D1 HƯỚNG DẪN CHẤM THI (HDC gồm 04 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Nếu thí sinh làm không theo cách nêu đáp án cho đủ số. .. Điểm Cho hàm số y = x − x + (1) a)Khảo sát biến thi? ?n vẽ đồ thị hàm số (C) hàm số (1) i Tập xác định ℝ i Chiều biến thi? ?n: - Ta có y′ = x( x − 1); y′ = ⇔ x = x = ±1 0.25 - Hàm số nghịch biến... Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; − 1) (0;1) - Hàm số đồng biến khoảng (−1; 0) (1; +∞) i Cực trị: - Hàm số đạt cực tiểu x = ±1, yCT = y( ±1) = - Hàm số đạt cực đại x = 0, yCÑ = y (0) = i Các giới