THÔNG TIN TÀI LIỆU
TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 TÍCH PHÂN LUY N THI IH C TH Y NGUY N QUANG S N 0909 230 970 108/53b,Tr n V n Quang,F10,Tân Bình ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 TÍCH PHÂN I I BI N S TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PH NG PHÁP GI I TOÁN i bi n s d ng b tính tích phân f[u(x)]u (x)dx ta th / c hi n b c sau: a B B t t = u(x) tính dt u/ (x)dx i c n: x a t u(a) , x b t u(b) c c b B c f[u(x)]u (x)dx f(t)dt / a e2 dx x ln x Ví d Tính tích phân I e Gi i dx t t ln x dt x I dt ln t t I C N : x e t 1, x e2 t ln V y I ln cos x (sin x cos x) Ví d Tính tích phân I dx H ng d n: I cos x (sin x cos x) dx (tan x 1) 3 Ví d Tính tích phân I dx 2x ng d n: t t 2x S: I ln Ví d 10 Tính tích phân I H dx cos2 x (1 x) H 3x dx 1x ng d n: 3x t2 dt ; đ t t tan u 8 2 1x (t 1) S: I t t ThuVienDeThi.com t t tan x ; S: I TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 Chú ý: Phân tích I i bi n s d ng 3x dx , r i đ t t 1x x s tính nhanh h n b Cho hàm s f(x) liên t c đo n [a;b], đ tính f ( x)dx ta th c hi n b c sau: a B B t x = u(t) tính dx u / (t )dt i c n: x a t , x b t c c b B c f ( x)dx f [u(t )]u (t )dt g (t )dt / a Ví d Tính tích phân I dx x2 Gi i t x sin t, t ; dx cos tdt 2 I C N : x t 0, x t I cos t dt sin2 t cos t dt cos t dt t 06 0 V y I 6 Ví d Tính tích phân I x dx H ng d n: t x sin t S: I Ví d Tính tích phân I dx 1 x Gi i ; dx (tan2 x 1)dt 2 x t 0, x t t x tan t, t I tan t dt t tan 1 Ví d Tính tích phân I H dt dx x 2x ng d n: ThuVienDeThi.com V y I TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 1 I 1 dx x 2x dx (x 1)2 Ví d Tính tích phân I dx x2 1 Ví d Tính tích phân I t x tan t ; S: I S: I dx x 2x S: I 12 12 Các d ng đ c bi t 3.1 D ng l ng giác Ví d 11 (b c sin l ) Tính tích phân I cos x sin3 xdx H ng d n: t t cos x S: I 15 Ví d 12 (b c cosin l ) Tính tích phân I cos xdx H ng d n: t t sin x S: I 15 Ví d 13 (b c sin cosin ch n) Tính tích phân I cos x sin2 xdx I cos x sin2 xdx cos2 x sin2 2xdx Gi i 1 (1 cos 4x)dx cos 2x sin2 2xdx 16 x sin3 2x 1 sin 4x (1 cos 4x)dx sin 2xd(sin 2x) 16 64 16 24 32 V y I 32 Ví d 14 Tính tích phân I dx cos x sin x H ng d n: t t tan x S: I ln ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 Bi u di n hàm s LG theo t tan 3.2 D ng liên k t Ví d 15 Tính tích phân I 2t 1 t 2t a ; cos a ; tan a : sin a 2 1 t 1 t 1t2 xdx sin x Gi i t x t dx dt I 0 I C N x t , x t sin t sin t dt ( t)dt sin( t) t dt dt I I sin t sin t 0 dt t t cos 2 sin dt cos2 t t d t tan V y I t cos T ng quát: xf(sin x)dx f(sin x)dx Ví d 16 Tính tích phân I sin2007 x dx sin2007 x cos2007 x t x t dx dt sin2007 I sin2007 M t khác I J Gi i I C N: x t 2 t 2 t cos 2 t 2007 dx dx n (2) T (1) (2) suy I T ng quát: , x t0 2 sin x dx n sin x cosn x cos2007 t dx J (1) sin2007 t cos2007 t cosn x dx , n n n sin x cos x ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 Ví d 17 Tính tích phân I sin x dx J sin x cos x cos2 x dx sin x cos x Gi i I 3J (1) dx dx IJ dx sin x sin x cos x t t x dt dx I J ln (2) 1 1 T (1) (2) I ln , J ln 16 16 Ví d 18 Tính tích phân I ln(1 x) dx x2 Gi i t x tan t dx (1 tan t)dt C: x t 0, x t ln(1 tan t) tan2 t dt ln(1 tan t)dt tan t 0 t t u dt du C: t u , t u 4 I I tan u 0 ln 2du ln tan u du ln I V y I ln Ví d 19 Tính tích phân I cos x dx x 1 2007 H ln tan u du ln tan u du ln(1 tan t)dt ln tan u du ng d n: t x t S: I ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 T ng quát: V i a > , , hàm s f(x) ch n liên t c đo n ; f(x) a x dx f(x)dx Ví d 20 Cho hàm s f(x) liên t c th a f(x) 2f(x) cos x Tính tích phân I f(x)dx Gi i f(x)dx , x t dx dt tJ cos xdx 2 cos xdx t , x t 2 2 f(t)dt J 3I J 2I f(x) 2f(x) dx C: x I V y I 3.3 Các k t qu c n nh a i/ V i a > , hàm s f(x) l liên t c đo n [–a; a] f(x)dx a a ii/ V i a > , hàm s f(x) ch n liên t c đo n [–a; a] cos n Trong xdx n!! đ c n walliss đ f(x)dx 2 f(x)dx a iii/ Công th c Walliss (dùng cho tr c nghi m) a (n 1)!! , n lẻ n sin xdx n !! (n 1)!! , n chẵn n !! c đ nh ngh a d a vào n l hay ch n Ch ng h n: !! 1; 1!! 1; !! 2; !! 1.3; !! 2.4; !! 1.3.5; !! 2.4.6; !! 1.3.5.7; !! 2.4.6.8; !! 1.3.5.7.9; 10 !! 2.4.6.8.10 Ví d 21 cos 11 xdx 10 !! 2.4.6.8.10 256 11!! 1.3.5.7.9.11 693 sin 10 xdx !! 1.3.5.7.9 63 10 !! 2.4.6.8.10 512 Ví d 22 ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 II TÍCH PHÂN T NG PH N Công th c Cho hai hàm s u(x), v(x) liên t c có đ o hàm đo n [a; b] Ta có uv / u/ v uv/ uv / dx u/ vdx uv/ dx b d uv vdu udv b d(uv) vdu udv a b uv b a b a b a b b vdu udv udv uv a a a b a vdu a Công th c: b b udv uv b a a Cơng th c (1) cịn đ c vi t d vdu (1) a i d ng: b b f(x)g (x)dx f(x)g(x) / Ph f / (x)g(x)dx (2) b a a a ng pháp gi i tốn b Gi s c n tính tích phân f(x)g(x)dx ta th c hi n a Cách B c t u f(x), dv g(x)dx (ho c ng c l i) cho d tìm nguyên hàm v(x) vi b phân du u (x)dx không ph c t p H n n a, tích phân / B i/ N u g p b b P(x) sin axdx, P(x) cos axdx, e a c a c Thay vào cơng th c (1) đ tính k t qu c bi t: b vdu ph i tính đ a ax P(x)dx a V i P(x) đa th c đ t u P(x) b ii/ N u g p P(x) ln xdx đ t u ln x a Cách b Vi t l i tích phân b f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx / a s d ng tr c ti p cơng th c (2) a Ví d Tính tích phân I xe dx x u x du dx t x dv e dx v e x Gi i 1 xe dx xe x x 0 ThuVienDeThi.com e x dx (x 1)e x TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 e x ln xdx Ví d Tính tích phân I dx du u ln x x t dv xdx x v Gi i e e e x2 e2 x ln xdx ln x xdx 2 e Ví d Tính tích phân I x sin xdx u sin x du cos xdx t dv e x dx v e x Gi i I e x sin xdx ex sin x 0 du sin xdx u cos x t dv e x dx v e x J e x e x cos xdx e J cos xdx ex cos x e x sin xdx 1 I e2 I e (1 I) I Chú ý: ôi ta ph i đ i bi n s tr c l y tích phân t ng ph n Ví d Tính tích phân I cos xdx H ng d n: t t x I t cos tdt e Ví d Tính tích phân I sin(ln x)dx S: I III TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T Ph ng pháp gi i toán: D ng 1: I: ThuVienDeThi.com (sin1 cos1)e TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 b Gi s c n tính tích phân I B f(x) dx , ta th c hi n b c sau a c L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) đo n [a; b], gi s f(x) có BXD: b B c Tính I x1 a x f(x) f(x) dx a x2 b x1 x2 f(x)dx f(x)dx a b x1 f(x)dx x2 Ví d Tính tích phân I x 3x dx 3 Gi i B ng xét d u x x 3x 2 I x 3 2 3 3x dx x 3x dx 59 V y I 59 Ví d 10 Tính tích phân I cos2 x sin xdx S: I D ng b Gi s c n tính tích phân I f(x) g(x) dx , ta th c hi n a Cách b Tách I b f(x) g(x) dx a b f(x) dx a g(x) dx r i s d ng d ng a Cách B c L p b ng xét d u chung c a hàm s f(x) g(x) đo n [a; b] B c D a vào b ng xét d u ta b giá tr t đ i c a f(x) g(x) Ví d 11 Tính tích phân I x x dx 1 Gi i Cách I x x dx 1 xdx 1 1 2 x dx x dx 1 xdx (x 1)dx (x 1)dx 1 10 ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 x2 1 x2 x2 x x 2 1 1 x2 2 Cách B ng xét d u x x x–1 –1 0 – – I + + x x 1 dx x x dx x x dx 1 x x x x 1 + – D ng V y I b tính tích phân I b max f(x), g(x) dx J a f(x), g(x) dx , ta th c a hi n b c sau: B c L p b ng xét d u hàm s h(x) f(x) g(x) đo n [a; b] B c + N u h(x) max f(x), g(x) f(x) f(x), g(x) g(x) + N u h(x) max f(x), g(x) g(x) f(x), g(x) f(x) max x Ví d 12 Tính tích phân I 1, 4x dx Gi i t h(x) x2 4x x 4x B ng xét d u x h(x) + I x – + dx 4x dx x dx V y I 80 80 Ví d 13 Tính tích phân I , x x dx Gi i t h(x) x x x x B ng xét d u x h(x) I dx x – + x dx 3x x2 5 4x V y I ln 1 ln ln 11 ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 IV B T NG TH C TÍCH PHÂN Ph ng pháp gi i tốn D ng b ch ng minh b f(x)dx (ho c f(x)dx ) ta ch a ng minh f(x) (ho c f(x) a ) v i x a; b Ví d 14 Ch ng minh x dx Gi i V i x 0; : x 1x x dx D ng b ch ng minh b f(x)dx g(x)dx ta ch a ng minh f(x) g(x) v i x a; b a Ví d 15 Ch ng minh dx sin 10 x dx sin 11 x Gi i V i x 0; : sin x sin11 x sin10 x 1 sin10 x sin11 x 10 sin x sin11 x V y D ng dx sin 10 x dx sin 11 x b ch ng minh A f(x)dx B ta th c hi n b c sau a B c Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a f(x) đo n [a; b] ta đ c m f(x) M b B c L y tích phân A m(b a) f(x)dx M(b a) B a Ví d 16 Ch ng minh x dx Gi i V i x 0; : x x2 V y2 x dx 12 ThuVienDeThi.com 5 TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 Ví d 17 Ch ng minh 3 dx sin x Gi i 3 ; sin x sin2 x : 2 4 1 sin2 x 1 sin2 x V i x 3 4 3 dx 3 1 V y 4 sin x 12 Ví d 18 Ch ng minh 3 dx sin x cotx dx x Gi i Xét hàm s f(x) cotx ta có , x ; x x cotx f / (x) sin x x ; x cotx ; f f(x) f x ; x x cotx dx V y x 12 D ng (tham kh o) cotx dx x b ch ng minh A f(x)dx B (mà d ng không làm đ c) ta th c hi n a B B f(x) g(x) x a; b b b c Tìm hàm s g(x) cho f(x)dx B g(x)dx B a a h(x) f(x) x a; b b b A f(x)dx c Tìm hàm s h(x) cho h(x)dx A a a 13 ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 Ví d 19 Ch ng minh 2 dx x 2007 Gi i V i x 0; 2 : x 2007 x 1 x x 2007 x 2007 2 2 2 dx x 0 t x sin t dx cos tdt C: x t 0, x t 2 dx x2 Ví d 20 Ch ng minh dx x 2007 1 x2 dx 2 cos tdt Vy cos t 1 dx 2007 1x xdx x 1 1 Gi i V i x 0; : x2 x x x 1 1 x2 V y V xdx 1 1 xdx x 1 xdx x 1 xdx 1 1 NG D NG C A TÍCH PHÂN A TÍNH DI N TÍCH HÌNH PH NG: Di n tích hình thang cong Cho hàm s f(x) liên t c đo n [a; b] Di n tích hình thang cong gi i h n b i đ b y f(x), x a, x b tr c hoành S f(x) dx a Ph ng pháp gi i toán B c L p b ng xét d u hàm s f(x) đo n [a; b] b B c D a vào b ng xét d u tính tích phân f(x) dx a Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y ln x, x 1, x e Ox Gi i 14 ThuVienDeThi.com ng TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 Do ln x x 1; e nên e S e ln x dx ln xdx x ln x V y S (đvdt) e 1 Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 4x 3, x 0, x Ox Gi i B ng xét d u x y 1 – + S x 4x dx x 4x dx x3 x3 8 2x2 3x 2x2 3x V y S (đvdt) 0 1 3 Di n tích hình ph ng 2.1 Tr ng h p Cho hai hàm s f(x) g(x) liên t c đo n [a; b] Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng b y f(x), y g(x), x a, x b S f(x) g(x) dx a Ph ng pháp gi i toán B c L p b ng xét d u hàm s f(x) g(x) đo n [a; b] b B c D a vào b ng xét d u tính tích phân f(x) g(x) dx a 2.2 Tr ng h p Cho hai hàm s f(x) g(x) liên t c đo n [a; b] Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng y f(x), y g(x) S f(x) g(x) dx Trong , nghi m nh nh t l n nh t c a ph ng trình f(x) g(x) a b Ph ng pháp gi i toán B c Gi i ph ng trình f(x) g(x) B c L p b ng xét d u hàm s f(x) g(x) đo n ; B c D a vào b ng xét d u tính tích phân f(x) g(x) dx Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng y x 11x 6, y 6x2 , x 0, x Gi i t h(x) (x 11x 6) 6x2 x 6x2 11x h(x) x x x (lo i) Ví d B ng xét d u: 15 ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 x h(x) – + S x 6x 11x dx x 6x 11x dx x x 11x 11x2 5 2x 6x 2x3 6x V y S (đvdt) 0 1 2 2 ng y x 11x 6, y 6x2 Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ Gi i t h(x) (x 11x 6) 6x2 x 6x2 11x h(x) x x x B ng xét d u x h(x) + 2 S – x 6x 11x dx x 6x 11x dx 2 x x 11x 11x2 1 3 2x 6x 2x 6x V y S (đvdt) 4 1 2 2 2 Chú ý:N u đo n ; ph ng trình f(x) g(x) khơng cịn nghi m n a ta có th 2 dùng công th c f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x , y 4x Gi i Ta có x 4x x 2 x x S x 4x dx 2 x4 x4 x 4x dx 2x 2x 2 0 V y S (đvdt) Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 x tr c hoành Gi i Ta có x x t2 4t 0, t x t x 1 x 1 t3 x 3 x 3 S 3 x x dx x 4x dx x 4x dx x 16 ThuVienDeThi.com 4x dx TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 2 x3 2x 3x x 2x 3x 1 16 16 V yS (đvdt) 3 Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 4x y x Ph Gi i ng trình hồnh đ giao m x2 4x x x x 4x x x2 4x x B ng xét d u x x 4x S x 5x 2 – + x 5x dx + x x x 3x dx 3 2 5x dx x x 3x 5x 6x 0 1 2 x 109 109 V y S (đvdt) 3 Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 , y x Ph Gi i ng trình hoành đ giao m x2 x t2 t 5, t x t x t x t t x 3 t t2 t S B ng xét d u 3 x x dx x x dx X x 1 – + S2 x x dx x c gi i h n t đ x dx x x3 x2 x2 73 4x 6x 0 1 2 Chú ý: N u hình ph ng đ V yS 73 (đvdt) ng tr lên v hình (tuy nhiên thi H khơng có) B TÍNH TH TÍCH KH I TRỊN XOAY: Tr ng h p 17 ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 Th tích kh i trịn xoay hình ph ng gi i h n b i đ ng y f(x) x a; b , b y , x a x b (a b) quay quanh tr c Ox V f (x)dx a Ví d Tính th tích hình c u hình tròn (C) : x y R quay quanh Ox Gi i Hoành đ giao m c a (C) Ox x R x R Ph ng trình (C) : x2 y2 R y2 R x2 R 2 R V R x dx 2 R x dx 2 R x 4R 2 R2 x 0 R 3 V y V 4 R (đvtt) Tr ng h p Th tích kh i trịn xoay hình ph ng gi i h n b i đ ng x g(y) y c; d , d x , y c y d (c d) quay quanh tr c Oy V g2 (y)dy c Ví d 10 Tính th tích hình kh i ellipse (E) : 2 x y quay quanh Oy a b Gi i y2 y b b2 x2 y2 a y2 Ph ng trình (E) : x2 a a b b b 2 2 a y a dy 2 a a y2 dy b b Tung đ giao m c a (E) Oy b V b a y 2 a y 3b2 4a b 0 R V y V 4 a b (đvtt) 3 Tr ng h p Th tích kh i trịn xoay hình ph ng gi i h n b i đ ng y f(x), y g(x) , x a x b (a b, f(x) 0, g(x) x a; b ) quay quanh tr c Ox b V f (x) g2 (x) dx a Ví d 11 Tính th tích hình kh i hình ph ng gi i h n b i đ quanh Ox Gi i x ng y x2 , y2 x quay x x x x Hoành đ giao m 18 ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 1 V x x dx x 15 x x 3 10 V y V x dx 3 (đvtt) 10 Tr ng h p Th tích kh i trịn xoay hình ph ng gi i h n b i đ ng x f(y), x g(y) , y c y d (c d, f(y) 0, g(y) y c; d ) quay quanh tr c Oy d V f (y) g2 (y) dy c 12 Tính th tích hình kh i hình ph ng gi i h n b i đ x y quay quanh Oy Gi i Ví d ng x y2 , y 1 y Tung đ giao m y2 y 2 V y2 y 2 dy 1 y 11y3 153 3y2 16y 1 y 11y 6y 16 dy 1 V yV 153 (đvtt) PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I PH NG PHÁP I BI N S : D u hi u Cách ch n ; 2 ho c x = |a| cost; v i t 0; t x = |a| sint; v i t a2 x2 ; \ 0 sint 2 a ho c x = ; v i t 0; \ cost 2 t x = |a|tant; v i t ; 2 ho c x = |a|cost; v i t 0; tx= x2 a2 a x2 ax ho c ax ax ax a ; v i t t x = acos2t 19 ThuVienDeThi.com TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 x a b x t x = a + (b – a)sin2t ; 2 a x2 t x = atant; v i t x2 dx x2 Bài 1: Tính I 2 Gi i: ; dx = - sint d 2 t x = cost, t i c n: x 2 t I Khi đó: cos2t sint x2 = dx cos 2t dt = x2 2 sin t sin t cos 2t dt = sin t 0 cos 2t dt = = tan t t = (vì t 0; nên sint sin t sin t ) 4 0 cos 2t 1dt a Bài 2: Tính I x a x dx Gi i: ; dx = acostdt 2 t x = asint, t i c n: X T a Khi đó: I x a x dx = a sin a 0 A 2 sin t a 1 sin t .acostdt = a sin tcos 2tdt = 2 2tdt a = a4 a4 sin = t t = cos t dt 0 16 0 Bài 3: Tính I x x dx Gi i: 20 ThuVienDeThi.com ... n s tr c l y tích phân t ng ph n Ví d Tính tích phân I cos xdx H ng d n: t t x I t cos tdt e Ví d Tính tích phân I sin(ln x)dx S: I III TÍCH PHÂN CH A GIÁ... i toán b Gi s c n tính tích phân f(x)g(x)dx ta th c hi n a Cách B c t u f(x), dv g(x)dx (ho c ng c l i) cho d tìm nguyên hàm v(x) vi b phân du u (x)dx không ph c t p H n n a, tích phân. .. Ví d Tính tích phân I H dt dx x 2x ng d n: ThuVienDeThi.com V y I TH Y NGUY N QUANG S N T 0909 230 970 1 I 1 dx x 2x dx (x 1)2 Ví d Tính tích phân I dx
Ngày đăng: 31/03/2022, 22:48
Xem thêm: